精品解析：吉林省油田高级中学2025-2026学年高一上学期期中数学试卷

吉林油田高级中学2025—2026学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集、交集的知识求得正确答案. 【详解】由题意，或，所以. 故选：C 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分母不为零、对数真数大于零列出不等式组，即可得出函数的定义域. 【详解】由题得：，即，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 3. 若命题· “”为真命题，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，进而可求得的取值范围. 【详解】由命题 “”为真命题，即不等式在上恒成立， 所以，当，可得，所以. 故选：D. 4. 下列各组函数为同一函数的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A选项的定义域为，表达式，因此两个函数相同 ；B选项的定义域为 的定义域为，因此两个函数不相同；C选项的定义域为 的定义域为，因此两个函数不相同；D选项的定义域为 的定义域为，因此两个函数不相同；故选A. 5. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出常数m和n，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故； 乙的常数正确，故，故. 所以原不等式为，即，解得， 所以解集为. 故选：C. 6. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足,令, . 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数与对数的运算法则，指数函数、对数函数的单调性结合临界点计算大小即可 【详解】易知，， 由在R上单调递增得， 而在上单调递增，所以， 综上. 故选：B 8. 正实数、满足，若不等式对任意正实数、以及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由参变量分离法得出，将代数式和相乘，利用基本不等式求出的最小值，并利用配方法求出的最小值，由此可求出实数的取值范围. 【详解】由参变量分离法可得， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 又，所以，，则. 因此，实数的取值范围是. 故选C. 【点睛】本题考查利用基本不等式、二次函数的最值求解不等式恒成立问题，解题时可充分利用参变量分离法转化为最值来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的． 9. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举反例即可判断；对于BCD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，若，显然，即，则，故B正确； 对于C，若，且，则，故C正确； 对于D，若，则，即，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值是 B. 函数的最小值是2 C. 函数的最小值是6 D. 若，则的最小值是8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于函数， ， 当且仅当时等号成立，所以A选项正确. B选项，， 当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误. C选项，对于函数，， ， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，由基本不等式得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：ACD 11. 已知定义在R上的函数满足对任意的x，y，均有，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 是R上的减函数 D. 若，则不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对合理赋值求解. 【详解】对于A：令，则，解得，A正确； 对于B：令，则，解得， 再令，则，解得，B正确； 对于C：，且，则，令， 则，即， 因为，所以，所以，即， 所以在上是增函数，C错误； 对于D：令，则，解得， 所以， 因为在上是增函数，且， 所以，即，解得， 即不等式的解集是，D正确； 故选：ABD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若幂函数的图象经过点，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】将点的坐标代入幂函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式，代值计算可得的值. 【详解】由题意可得，故，所以，故. 故答案为：. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数性质可求的函数解析式. 【详解】设，则，因为是定义在R上的奇函数， 所以． 故答案为：. 14. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，推得，得到是上的减函数，再由为奇函数， 得到，得到函数为偶函数，结合，进而求得不等式的解集. 【详解】因为对任意的，且，都有， 不妨设，可得， 所以，所以函数是上的减函数， 又因为为奇函数，即任意，都有， 则，所以函数为偶函数， 因为，则，则， ，解得或， 则不等式的解集为. 因为,则不等式的解集与不等式的解集相同，即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由集合的运算得到，再分和不是空集两种情况由集合的包含关系解不等式组可得； （2）先由是的必要不充分条件得到是的真子集，再由集合包含关系解不等式组可得. 小问1详解】 ∵． ∴． 又∵，． ∴当，即时，，符合； 当，即时，只需，解得． 综上，的取值范围为． 【小问2详解】 ∵是必要不充分条件． ∴是的充分不必要条件，即是的真子集，， 故只需，解得． 综上，的取值范围是． 16. 计算： （1） （2）若，求的值. （3）已知，试用表示. 【答案】（1）10； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据指对数的运算性质化简求值； （2）将条件等式两侧作平方处理求得，同理求目标式的值； （3）应用对数运算性质用表示出. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由题意得，得， 同理，故. 【小问3详解】 . 17. 已知函数，（，且）． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并证明． 【答案】（1） （2）函数为定义域上的偶函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解不等式即可求出结果； （2）令，证得，根据偶函数的定义即可得出结论. 【小问1详解】 由， 则有，得．则函数的定义域为． 【小问2详解】 函数为定义域上的偶函数． 令， 则， 又 ． 则，有成立． 则函数为在定义域上的偶函数． 18. 已知奇函数的定义域为，且． （1）求的值； （2）试判断函数的单调性，并根据定义证明； （3）求使成立的实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）单调递增，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义及给定函数值列式求解. （2）判断单调性，再利用函数单调性定义推理得证. （3）利用奇函数定义变形不等式，再利用单调性求解不等式即得. 【小问1详解】 由奇函数定义域为，得，解得， 由，得，解得，经验证函数是上的奇函数， 所以. 【小问2详解】 函数在上单调递增. 任取，且，则， 由，得，，则，即， 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 奇函数在上单调递增， 不等式，即， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 19. 若函数在其定义域内给定区间上存在实数使得，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点： （1）判断函数是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由： （2）设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的实数对； （3）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围； 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到，求出，即可判断出结果； （2）先由题意，得到，推出，结合题中条件，即可得出结果. （3）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在，使，利用换元法，结合对勾函数的性质，即可求出结果； 【小问1详解】 由题意可知，由于， 则不是是区间上的“平均值函数”； 【小问2详解】 因为函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点， 所以， 即， 所以，又因为，， 所以或或， 因为1是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得， 所以满足条件的数对有或. 【小问3详解】 因为函数是区间上的“平均值函数”， 所以存在，使， 即，即 ， 令， 所以， 由于，故单调递增，所以， ， 因此，； 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田高级中学2025—2026学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 若命题· “”为真命题，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 下列各组函数为同一函数的是（　 　） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 正实数、满足，若不等式对任意正实数、以及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的． 9. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值是 B. 函数的最小值是2 C. 函数最小值是6 D. 若，则的最小值是8 11. 已知定义在R上的函数满足对任意的x，y，均有，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A B. 若，则 C. 是R上的减函数 D. 若，则不等式的解集是 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若幂函数的图象经过点，则___________. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，______． 14. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 计算： （1） （2）若，求的值. （3）已知，试用表示. 17. 已知函数，（，且）． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并证明． 18. 已知奇函数的定义域为，且． （1）求的值； （2）试判断函数的单调性，并根据定义证明； （3）求使成立的实数的取值范围． 19. 若函数在其定义域内给定区间上存在实数使得，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点： （1）判断函数是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由： （2）设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的实数对； （3）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $