江西省宜春市宜丰中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026（上)高二第三次月考数学试卷 组题人： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1.双曲线C石少=1的渐近线方程为（) A.y=44x B.y= c培 D.y=t16x 2.经过点P(0,1),且与直线y=2x-1垂直的直线方程是() A.y=2x+1 B.y=-x-1 2 c.y=1 D.y=2x-1 2 3.设向量a=(1m,2),b=(0,-12),若a1b,则m=（） A.-2 B.-1 C.1 D.4 4.空间直角坐标系0-z中，已知两点(1-2,1)，B(-2,1,3),则这两点间的距离为（) A.21 B.22 C.32 D.18 5.已知P为椭圆三+ =1上的一点，F、E是椭圆的两个焦点，∠FP5=60°，则△FPF的面积值 9￥4 为() A'⑤ B.25 c.45 D.月 .3 3 3 6.在直三棱柱ABC-A8,G中，AB⊥BC,BB=2N互，AB=BC=2,M,N分别是BG,A8的 中点，则直线BM与直线CN所成角的余弦值为() A. 213 B.v13 c.5 D.2 13 13 5 7.已知椭圆C的左、.右焦点分别为F,F,下顶点为A,直线A织交C于另一点B,△ABF的内切 圆与BR相切于点P、若BP=F引，则C的离心串为() A黄 B. c D 8.已知直线4：m肛-y-3m+1=0与直线5：x+my-3m-1=0相交于点P,线段AB是圆 c:(x+旷+0+旷°=4的一条动弦，且A=2N5，点D是线段AB的中点，则PD的取值范围是（) A.[25,4W2] B.[2W2-l,4W2+1 c.(25-142+] D.[22-l,4W2+1 二、多选题（每小题6分，共18分） 9.已知点P(-l,2)到直线：4x-3y+C=0的距离为1，则C的值可以是() A.5 ·B.10 C.-5 D.15 10.设0为坐标原点，直线y=-5(x-)过抛物线C:y2=2pr(P>0)的售点，且与C交于M,N两 点，I为C的准线，则（). A.p=2 B.WMl- C.以MW为直径的圆与I相切 D.aON为等腰三角形 11.棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中，点E为侧面BBCC内一点（包括边界），则以下说法正确 的是() D A.若点F为下底面ABCD内一点（包括边界），则EF的最大值为2√2 B.若AE=√5，则C,E的最小值为2√2-1 C,当点E在棱AG上，且AE-子BG时，平面BDE装该正方体的外接球所得袋面的面积为引 D.若点E到直线BB的距离是它到直线CD距离的2倍，则点E的轨迹是双曲线的一部分 三、填空题（每小题5分，共15分） ~2.用0,1,2,3这4个数字，可组成一个没有重复数字的三位数（用数字作答） 13.P是抛物线y=4x上任意一点，点(3,0)是x轴上的定点，则P的最小值为一 14.椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个 焦点上已知精圆C:苦+号=1，片，月为其左、右旗点M是C上的动点。动直战为此篇圆C的切 线，右焦点B关于直线1的对称点P(,X小：S=x+4y-2,则s的取值范围为一 四、解答题（77分) 15.(13分)已知直线：x+y-3=0与直线/3：x-3y+1=0相交于点C,以C为圆心的圆过点A(0,). (1)求圆C的方程： (2)求过点B(4,5)的四C的切线方程， 16.(15分)如图，在长方体ABCD-AB,C,D,中，AB=AD=2,M=2N2,M为棱DD,的中点 (I)证明：AM⊥平面ACD: A D (2)求直线BD,与平面ACD所成角的正弦值. 17.(15分)已知抛物线y=2π(P>0)的焦点为F,点M(3,m)在抛物线上，且MF=5. ()求抛物线的方程： (2)过焦点F的直线I交抛物线于A、B两点，若AB=16,求直线I的方程. I8.(I7分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ACFD是菱形.AB⊥平面ACFD。平面DEF⊥平 面ACFD,且△ADF与DEF都是正三角形. (I)求证：AC⊥BE (2若4B=25,MC=2,点G在棱EF上，且点C到平面AGB的距离为4丽 (i)求AG: (i)求平面AGB与平面AGC夹角的余弦值. 19.(17分)从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光钱是收开的.反射光說 的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也荧人 矿泛应用。如图，已知双曲线C:号-片=1(>0，b>0)的渐近线方程为y=22x.0为坐标原氢 FF分别为左、右焦点，A,4分别为左、右顶点.由其光学性质知.由F发出的光找经双曲找C 上一点B(3,8)反射后，反射光线的反向延长线过点F,连接？F交双曲望于R, R也是一个反射点，连接RF交双曲线于乃，则R也是一个反射点，再连接R, 交双曲线于乃，则乃也是一个反射点，，由各反射点连线得到折望 B3-B-B3-BR…,设第n个反射点为P(x)(n=0,山23) (I)求双曲线C的标准方程： (2)求直线B的斜串： (3)证明：当n为偶数时，直线OP,与直线PP,:的斜率之积为定值. 高二第三次月考数学参考容案 题号 2 3 5 2.6 7 8 9 10 11 答案 B D B c A B D AD AC BC 5. c【详解】由愿意|PF+PF引=6，焦距为FF=25,平方可得1P+PT'+2 PFIIPF,引=36， 由余弦定理可得lF5=Pf+Pr-2PFP5leos60=20,两式相减可得P5P5l-. 所以△FP5的面积为引P5P5s血60=y5.故选：c 3 6.A【详解】由题意可知BA,BC,BB两两垂直，故分别以直线BA,BC,BB为 x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0),C(0,2,0),M0,l2N2 N0,22,所议BM=(0,12W、C可=(1，-2,22)，设直线BM与直线Cw所成角 为9，则cos0-osB丽.可- 可布2雪所以直线则与直线Cy所双角的余弦值为2匝。 13 7.B[详解】设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则BP=F引=2c, AF=a,设△ABE的内切圆与AE,AF相切于点M,N,如图所示，则 AM =AN,PF=NF3l,BP=BM=2c, 所以AE=|AN+NE=AM+PF=a,所以△ABF的周长为 |AB+lA引+B5引=dBM+lAM+(MN+FD+dBP\+|PFD=4c+2a,由椭 圆定义可得，M+M5+B=4a,所以4c+2a=4a,则e=9= 0 2 8.D【详解】~直线4：-y-3m+1=0,整理得m(x-3)-(y-)=0,则直线4恒过定点M(3,),. 同理头：x+m-3m-1=0,整理得x-1+m(-3)=0,则直线马恒过定点N(1,3), A4+BB=1×m+(-1)×m=0,∴4⊥马，点P的轨迹为以MN为直径的圆， 圆心022，半径，-_3-+-=2，：点3,3)不在直线h上， “点P的轨迹方程为(x-2+0y-2)=2,不含点(3,3).圆C:(x+1+(心+1=4 是以O（-1,-1)为圆心，半径r=2的圆，圆与圆的位置关系如下图所示，连接O,D, h=25,线段B是动弦D为中点，，--学-西，点D的轨迹是以a(-) 为圆心，半径是5=1的圆，方程为(x+1'+(y+1=1∴圆心距00=[2-（-1]+[2-（-=32， 剔除点t(3,3),则00-方-5≤PD<O0+5+5,即PD∈[2W2-l,4W2+.故选：D. ,AD【洋详解1由直线E离公式有号-1=G-105C=15或C5激如 10.AC【详解】A选项：直线y=√(x-)过点(1,0)，所以抛物线C:y=2pπ(p>0) 的焦点FL,0),所以呈=p=2,2p=4,则A透项正确，且抛物线C的方程为y=4怀B 选项：设M,小W,为)，由化-消去y并化简得 3-10x3(x-33-刂=0，解得马=35=子所例=子+与+p=时2=货.日造项错哭C 选项：设MN的中点为A,M,N,A到直线I的距商分别为dd,因为 d=+d,)=0MFr-个，即A到直线r的距离答于N的-羊，所以以bW为直壶的圈 与直线1相切，C选项正确.D选项：直践y=√厅(x-),即中y-店=0,0到在盘压“y-厅=0的 距离为d9所以三角形00N的面积为*9：号-45，由上途分折可面 2323 %=5g--28%=5g--295.所op4e呵ao-4号. 所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误故选：AC II.BC【详解】对于A:当点F在D点，E在B点时，EF取得最大值.盛大憔 为√2+2+Σ=25，故A错误：对于B:因为AB上平面BBCC.又6C平画 BB,C,C,所以AB⊥BE,又AE=5,AB=2,所以 BE=√AE2-AB=√(W5分-2=1，所以E在以8为图心，【为半径的四分之一画 上，所以CE的最小值为2√互-1，当且仅当点E在线段BC与圆的交点时取得，益 B正确：对于C:如图建立空间直角坐标系，则D(Qc:o叭，行22小，8220).因此厉-作22 丽=20，设平面Ds的法向量为=(k小.圆g令x=,可得--写引 D丽-+y0 易知正方体的外接球球心为O(1,1,1),则O而=(-1，-1，-)，因此0到平面8DB的距离为 历臣，可知外接球半径为R=+V,所以装面圆举径r=R-正-停。 2 所以所求裁面的面积S=r=3引元，可知C正确对于D:因为点E为侧面RCC内 11 一点（包括边界），设E(x,2,z(x,z∈[0,2)，则点E到直线BB的距高为2-x, 因为C,D⊥平面BB,C,C,CEc平面BBCC,所以CD⊥C,E,所以点E到直战CD 距离为F+-2可，所以2-x=2F+e-2乎，所以(+引+4c-2-号 所以点E的轨迹是椭圆的一部分，故D钳误故选：BC 12.18 “·13.2V巨【详解】设P(6%),则后=4，易知P=(名-3+(%-0=VG-6+9+万 =V兮-2x+9=(-1+8≥22，当且仅当6=1时取得0小值故答案为：22 14[5,45【详解】右焦点F(1,0)关于直线1的对称点P(:,).设切点为A,由棉圆的光学性质可得： P,AF三点共线，所以=F4+M=4+A=2a=4,即点P(y)的轨迹是以(-10)为图心. 半径为4的圆，圆心(-1,0)到直线3x+4y-22=0的距离为 3-2-25=5.则圈上 V9+165 的点到直线3x+4y-22=0的距离最小值为5-4=1，最大值为5+4=9，所以点 P(6,)到直线3x+4y-2=0的距离为+4-2过，所以S=:+4y-2叫表示 5 点P(,)到直线3x+4y-22=0的距离的5倍，则S=x+4y-221x59x引，即Se[545 15.【详解】(1)由 x+y-3=0 =1，即C2,.由题意圆c的半径为4G=2, x=2 -3y+1=0'得 故圆c的方程为(x-2)°+(-1)°=4. (2)当切线的斜宰不存在时，方程为x=4,与圆相切，符合愿意当切线的斜串存在 时，设斜串为k,则切线方程为：y-5=k(x-4),即女-y-4k+5=0,由题意 达-+-2，得-A=1,即k-2=P,两边分别平方得（k-2=+1, +1 V2+1 得k-子，故切线方程为y-5=(x-4),即3x-4y+8=0,综上过点8(4,5)的圆C的切线方程为x=4, 3x-4y+8=0. 16.【详解】(1)如图，以点A为坐标原点，以AB,AD,AA所在直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A(0,0,0),M0,2,V2),4(0.0,22,C(2,2,0), D(0,2,0),D(0,2,22,B(2,0,0),w=(0,22],4D=(0,2-22). CD=(-2,0,0).因为Am-4D=0+4-4=0,M.CD=0+0+0=0,所以AM14D M⊥CD.因为AD,CDc平面ACD,AD∩CD=D,所以AM⊥平面ACD. (2)由(1)得A是平面4CD的一个法向量，BD=（-22,2N2设直线BD,与平面4CD所成的角 为9，则(w.而》 圆哥9故血0=-（瓜m5 则直线BD,与平面4CD所成角的正弦值为5 17.【详解】(1)根据抛物线的定义可知，MF=x+号=5，即3+号=5，解得P=4, 所以抛物线的方程为y2=8x (2)由(1)知，抛物线焦点为F(2,0),若直线1的斜串不存在，则A(2,4),B(2,-4), 则4到=8，不满足题意，所以直线1的斜率存在且不为零，并设为k,则1：y=k(x-2), 设4，以B6以，联粒化肛-2蒲去y可得，以-+8x+0,所以 +8.4+是，因为h-h+=x+号++号=++p=4+是 +4=16 解得k=1,所以直线1的方程为y=(x-2). 18.【详解】（1)如图，取DF的中点H,连接AH,EH,AE.因为△ADF与DEF都是正三角形，所以 AH⊥DF,EH⊥DF,因为AH∩EH=H,AH,EHc平面AHE,所以DF⊥平面 AHE,又因为AEC平面AHE,所以DF⊥AE,因为四边形ACFD是菱形，AC /I DF 所以AC⊥AE,因为AB⊥平面ACFD,ACC平面ACFD,所以AC⊥AB, 因为AB∩AE=A,AB,AEC平面ABE,所以AC⊥平面ABE,又因为BEc平面ABE, 所以AC⊥BE. (2)由(1)知，AB,AC,AH两两互相垂直，以A为坐标原点，AB,AC,AH所在直线分别为x,yz轴 建立如图所示的空间直角坐标系，则4A(0,0,0),B(25,0,0,C0,2,0),EV5,0,5,F(0l,V5, 所以B=（25,0,0,BC=（-25,20,A正=(5,0,5)，F=（51,0. (i)设EG=2EF(0s2≤1)，则AG=正+G=正+2EF=(5-51,2,月) 丽=0， 25x=0. 设平面AGB的法向量为i=(x,y,,则 即 -ac=0,5-5r+y+5:=0, 取y-,得-瓜，小，所以点G到平面G的更离为骨部-臣。屏得A=宁 所以G-94o网2 0c-a20:由0知c-( 平面AGB的-个法向量为-i引设平面4GC 2b0. 的法向量为m=(a,b,c),则{ m·AC=0,n =0即9取c1,得京-20，设平面4G与异 面4GC的夹角为9，则9s。一克运 问同5x正 即平面AGB与平面4GC夹角的余弦值为 65 色.25 19.【详解K1)因为3,8)在双曲线上，联立 非g解得8则双曲线C的标准方冠为-二= aal [8.8-0 (2)因为B3,8),R(,y),F(-3,0),联立 -33+3 =8 @去则号》 己知E(3,0),则kn=k=5 8 (3)证明：当n为偶数时，·取连续3个反射点P(x,y),P（xy),P(y), {2,-3 则直线R片的方程为x=+3y-3,与双曲线交于点2k,以，联立”，消去x得 yacl 8 出--20，电韦达定是得 两式相除得 64 J.. -1 3×支+3 3x1+3 t3-4 1 +L=1,可得L=L-1 =y1 4y, 3x+5,故5+3 y。ya1 4 y。 4y 4ya 将头=代入直线25的方程x=+3 5+3x1 3,得x=3 y-3,所以双曲线与直线P,6的另 一个交点为P /-3-5x44y ,同理，双曲线与直线R6的另-个交点为只5-3xS-3x /3-5x.4yl 5+3x'5+3x1 4y- Aysl 爱爱旅尚老学骨 5+3x15-3x1 8 32 即kokn=- ，所以当”为偶数时，直线0R,与直线PR:的斜率之积为定值：