精品解析：浙江省杭州市开元中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

杭州市开元中学2025学年第一学期八年级期中教学质量检测 数学学科问卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A. 9 B. 7 C. 2 D. 1 3. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 5. 一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知：如图，，，，则不正确的结论是（ ） A. 与互为余角 B. C. D. 7. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如下图，和均为等腰直角三角形，点在同一直线上，连接．若，求线段的长是（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. “x的2倍与3的差是负数．”用不等式表示为______． 11. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 12. 如图，在等腰中，，是的中点．若，则的长为_________． 13. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为___________． 14. 如图，在中，，是的角平分线，则____． 15. 如图，已知和均为等腰三角形，，若为线段上的一个动点，点为的中点，连接，则的最小值为_______． 三、简答题（第17、18 题各6分，第19、20题各8分，第21、22题各10分，第23、24题各12分） 16. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 17. 如图，与相交于点O，，，．说明成立的理由． 18. 如图,点B. F. C. E在一条直线上(点F,C之间不能直接测量),点A,D在直线l的异侧,测得AB=DE,AB∥DE,AC∥DF. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)若BE=13m，BF=4m，求FC的长度． 19. 如图，是等边三角形，为上两点，满足． （1）证明：； （2）若为外一点，连接，若垂直平分，请判断是否等边三角形，并说明理由． 20. 已知关于、的方程组中，为负数，为非正数． （1）求的取值范围； （2）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 21. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”． （1）如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”． （2）在中，，．若是“梦想三角形”，求的长． 22. 背景 【长城上可以点无人机送的外卖了】打开手机外卖软件下单，在长城上也可以点外卖了，最快5分钟收货！目前，美团无人机在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供了应急救援等商品货物配送服务，这也是北京市内首次开通常态化无人机配送服务.近年来，中国低空经济发展迅速，成为了经济增长的新动能． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5件商品，8件商品，共需要2400元；若买8件商品，5件商品，共需2280元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元? 任务2 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中商品购买件；①若使用无人机配送商品，共需要_____元； ②若不使用无人机配送商品，共需要______元．（结果均用含的代数式表示）； 任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买商品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？ 23. 在中，，为的角平分线． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若为线段上一点，，求证：； （3）如图3，若，垂足为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市开元中学2025学年第一学期八年级期中教学质量检测 数学学科问卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的定义即可求解． 【详解】根据轴对称的定义， 在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的字有“中、日、品”3个； 故选：B． 【点睛】此题主要考查轴对称图形的识别，解题的关键是熟知轴对称的定义． 2. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A. 9 B. 7 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围； 先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于2，小于8，符合题意的只有B选项， 故选：B 3. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 4. 图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由“”证明，可得，可证是的角平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴是角平分线， 故选：A． 5. 一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质． 根据三角形外角的性质，可得，即可． 【详解】解：如图，根据题意得：， ， 故选：C． 6. 已知：如图，，，，则不正确的结论是（ ） A. 与互为余角 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，先证明三角形全等是解决本题的突破口，也是难点所在． 先根据角角边证明与全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故B正确； ， 故C正确； 故A正确； 综上，A，B，C，均正确， D．，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 7. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 8. 学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 9. 如下图，和均为等腰直角三角形，点在同一直线上，连接．若，求线段的长是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理．过C作交于F，先根据已知条件和等腰直角三角形的性质证明，从而证明，可得，再求出，最后根据求解即可． 【详解】证明：如图， 过C作交于F， ． 和均为等腰直角三角形， ，，． ， 即． 在和中， ， ， ． ，， ，． ∴． ， ． ． ． ， ． ． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. “x的2倍与3的差是负数．”用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，理解题意，能根据题意列出不等式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故答案：． 11. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【解析】 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 12. 如图，在等腰中，，是的中点．若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．先根据等腰三角形的性质，求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴． 故答案为：． 13. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于基础题型． 分两种情况画出图形，根据等腰三角形的性质、外角的性质即可求出答案． 【详解】解：当是锐角三角形时，，如图，， ， ∴， 当是钝角三角形时，，交的延长线于点D， ∴， ∴， 故答案为：或． 14. 如图，在中，，是的角平分线，则____． 【答案】##3厘米 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等． 过点作于点，先由勾股定理求出，根据角平分线的性质定理得到，设，再由面积法得到，然后建立方程即可求解． 【详解】解：过点作于点 ∵， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， 设，则 ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知和均为等腰三角形，，若为线段上的一个动点，点为的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】取的中点为点，连接，先证得，得出 ，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据所对的直角边等于斜边的一半求得时的 的值，即可求得线段的最小值． 【详解】解：取的中点为点，连接， ， ， 即， ，P为中点， ， 在和中， ， ， ， 点在直线上运动， 当时，最小， 是等腰三角形， ， ， ， 线段的最小值为1． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、所对的直角边等于斜边的一半、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题． 三、简答题（第17、18 题各6分，第19、20题各8分，第21、22题各10分，第23、24题各12分） 16. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题主要考查求不等式组的解集，把解集表示在数轴上，熟练掌握解不等式组的步骤是关键． 根据不等式的性质，分别求出不等式的解集，再把解集表示在数轴上，结合数轴，公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：由，得， 由，得，解得． ∴不等式的解集为：． 17. 如图，与相交于点O，，，．说明成立的理由． 【答案】 证明：∵，（已知）， ∴（垂直定义）， 在和中， ∵， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴（等角对等边）．     【解析】 【分析】证明得到，根据等角对等边证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了直角三角形的全等和性质，等角对等边，熟练掌握直角三角形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键． 18. 如图,点B. F. C. E在一条直线上(点F,C之间不能直接测量),点A,D在直线l的异侧,测得AB=DE,AB∥DE,AC∥DF. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)若BE=13m，BF=4m，求FC的长度． 【答案】 （1）证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DEF， ∴AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE， 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF；（AAS） （2）5m． 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质得出∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，再根据AAS即可证明． （2）根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF， ∴BF+FC=EC+FC， ∴BF=EC， ∵BE=13m，BF=4m， ∴FC=BE-BF-EC=13-4-4=5m． 【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键熟练掌握全等三角形的判定和性质． 19. 如图，是等边三角形，为上两点，满足． （1）证明：； （2）若为外一点，连接，若垂直平分，请判断是否等边三角形，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2） 是等边三角形，理由如下： 为等边三角形， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 即， 又， 为等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）证明，得出； （2）利用线段垂直平分线的性质求得，利用证明推出，再证明，得到，，据此即可证明是等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知关于、的方程组中，为负数，为非正数． （1）求的取值范围； （2）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出方程组的解，再根据“为负数，为非正数”列不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质得到，进而求出的取值范围，再求整数解即可． 【小问1详解】 解：解方程组得 ∵为负数，为非正数， 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵的解集为 当为或时，不等式的解集为． 21. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”． （1）如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”． （2）在中，，．若是“梦想三角形”，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点， ，，， 是边上的中线，， 又∵， 由勾股定理得：， ， 是“梦想三角形”； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了“梦想三角形”的定义，等腰三角形三线合一，三角形中线的性质，勾股定理， （1）过点作于点，根据等腰三角形三线合一可知是边上的中线，且，再利用勾股定理求出的长度，可知，即可证明； （2）分两种情况：①当边上的中线时，，利用勾股定理即可求得答案；②当边上的中线时，，利用勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，若是“梦想三角形”， ∵直角三角形斜边中线等于斜边一半， ∴只能是直角边的中线等于对应的直角边， 有以下两种情况： ①当边上的中线时，， 此时，， ②当边上的中线时，， 此时，，即， 解得：（负数值舍去）， 综上所述，或． 22. 背景 【长城上可以点无人机送的外卖了】打开手机外卖软件下单，在长城上也可以点外卖了，最快5分钟收货！目前，美团无人机在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供了应急救援等商品货物配送服务，这也是北京市内首次开通常态化无人机配送服务.近年来，中国低空经济发展迅速，成为了经济增长的新动能． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5件商品，8件商品，共需要2400元；若买8件商品，5件商品，共需2280元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元? 任务2 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中商品购买件；①若使用无人机配送商品，共需要_____元； ②若不使用无人机配送商品，共需要______元．（结果均用含的代数式表示）； 任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买商品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？ 【答案】任务1：该商店在无促销活动时，商品的销售单价是160元，商品的销售单价是200元 任务2：①，② 任务3：当时，使用无人机配送商品更合算 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、代数式的应用及一元一次不等式的解法，涉及知识点包括方程组的建立与求解、代数式的化简与应用、不等式的性质及其应用；解题的关键在于准确建立数学模型，通过方程组求解商品单价，利用代数式表达不同促销方案下的总费用，并通过不等式确定最优选择，整个过程需注重逻辑推理与数学运算的准确性． 任务1：通过设未知数，利用无促销活动时两种购买组合的总价建立二元一次方程组，求解得到A、B商品的销售单价； 任务2：先确定购买B商品的数量为件，再根据两种促销方案的折扣规则，结合任务1求得的单价，分别计算使用无人机配送和不使用无人机配送时的总费用，用含a的代数式表示； 任务3：根据“使用无人机配送更合算”这一条件，建立一元一次不等式，求解不等式并结合的范围，确定购买A商品数量的范围． 【详解】解：任务１ 设A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元，依题意得 ，解得, 答：A，B商品的销售单价分别是160元，200元； 任务2 A商品打折后单价为元，B商品打折后单价为元， 总费用为服务卡费用加上A、B商品的打折后总价， ， A商品打折后单价为元，B商品打折后单价为元， 总费用为A、B商品的打折后总价，即： ． 故答案为：①，②； 任务3 依题意，， 解得， ， ， 当时，使用无人机配送商品更合算． 23. 在中，，为的角平分线． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若为线段上一点，，求证：； （3）如图3，若，垂足为，求证：． 【答案】（1）的度数为 （2） 证明：由题意得，且为的角平分线， ， ， 在和中， ， ， ； （3） 证明：如图，过点A作，交的延长线于点E， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）设，则可证，利用三角形内角和定理，构建方程求出即可解决问题； （2）先等角对等边得到，然后由可证明，即可得结论； （3）过点A作，交的延长线于点E，由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据等腰三角形的判定和性质进而即可求证． 【小问1详解】 解：设， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用所学知识并构建合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $