精品解析：四川省泸州市古蔺县石屏镇初级中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

石屏民族中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中除字母外的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 2. 一元二次方程的一次项系数为，二次项系数和常数项分别为（ ） A. 3，1 B. ， C. 3， D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将方程化为一般形式，根据给定的一次项系数，确定二次项系数和常数项，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，且一次项系数， ∴将方程移项得：， ∴二次项系数，常数项， 故选：A． 3. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，首先将方程常数项移到右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，即可求解． 【详解】解：，即， 方程两边同时加4，可得，即． 故选：D． 4. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”．根据二次函数的平移规律，即可解答． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为， 故选：B． 5. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解法，可得答案． 【详解】解： 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．注意此题中方程两边不能同时除以，因为可能为0． 6. 若是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可知，，将代数式变形后得到，由此即可求解．本题主要考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ， ， 故选：C． 7. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣6）2=﹣4+36 B. （x﹣6）2=4+36 C. （x﹣3）2=﹣4+9 D. （x﹣3）2=4+9 【答案】D 【解析】 【分析】配方时，首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，据此进行求解即可. 【详解】x2﹣6x﹣4=0， x2﹣6x=4， x2﹣6x+9=4+9， （x﹣3）2=4+9， 故选：D. 8. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+c=0的根为（ ） A. x=1 B. x1=1，x2=﹣1 C. x1=1，x2=﹣2 D. x1=1，x2=﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】直接观察图象，抛物线与x轴交于1，对称轴是x＝-1，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程的解． 【详解】观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为(1，0)，对称轴为x＝-1， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(-3，0)， ∴一元二次方程的解为， 故选：D． 【点睛】本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法，知道一元二次方程的解实质上是抛物线与x轴交点的横坐标的值是解决本题的关键． 9. 某校图书馆六月份借出图书200本，计划八月份借出图书500本，设七、八月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可直接列出方程． 【详解】解：由题意可列方程为； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的增长率问题，熟练掌握一元二次方程增长率问题是解题的关键． 10. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误． B、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意， D、对于直线y=bx+a来说，由图像可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图像开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误． 故选：C． 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. k＜1且k≠0 C. k≥﹣1且k≠0 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且△， 解得且． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 12. 已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（    ） A. ②③④ B. ①②⑤ C. ①②④ D. ②③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．根据图象，可知时，其函数值小于0，即可判断出①正确；根据抛物线与x轴的交点判断出②正确；根据抛物线的对称轴为直线即可判断③错误；根据图象，可知时，其函数值大于0，即可判断出④错误，根据与y轴的交点判断出，结合①和，可求得的范围，然后即可求出⑤正确． 【详解】解：由图可知，时，，故①正确； 抛物线与x轴有两个交点， ，故②正确； 抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ∴， ，故③错误； ∵当时，，函数对称轴为直线， ∴时，，故④错误； ，， ， ， ，故⑤正确； 综上所述，结论正确的是①②⑤． 故选：B． 二、填空题（12分） 13. 因式分解：_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法因式分解的综合运用，解题关键是熟练应用完全平方公式因式分解． 先提取公因式，再由完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则k的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．先利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，，顶点A的坐标为，P是上一动点，将点P绕点逆时针旋转，若点P的对应点恰好落在边上，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，垂足为，证明，可得的长度，进而求得点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为， 将点P绕点逆时针旋转，点P的对应点恰好落在边上， , , 顶点A的坐标为， 是等腰直角三角形 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，添加辅助选构造全等是解题的关键． 16. 如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作点F关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值，过点作的垂线段，交于点K，根据题意可知点落在上，设正方形的边长为，求得的边长，证明，可得，即可解答． 【详解】解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线段，交于点K， 由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值， 设正方形的边长为a，则， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当取得最小值时，的值是为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 三、解答题（72分） 17. 计算：． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，零指数幂、负指数幂的算法．首先计算零指数，负整数指数幂，二次根式的乘法，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据不同方程的特点选择合适的方法求解是解题的关键． （1）方程化为一般式后利用公式法求解可得； （2）由原方程移项后可得，再利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解： 这里， ， ， ； 【小问2详解】 解： 或， ，． 19. 先化简，再求值：，其中x=2． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：- = = = = 当x=2时，原式= 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的基本性质和减法法则． 20. 如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴. 又∵， ∴ 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】首先利用平行线的性质得，再利用得出，得出，根据平行线的判定即可得到结论. 【详解】略 【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键. 21. 某中学为了了解学生平均每天“诵读经典”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计，并将调查统计的结果分为四类，每天诵读时间t≤20分钟的学生记为A类，20分钟＜t≤40分钟的学生记为B类，40分钟＜t≤60分钟的学生记为C类，t＞60分钟的学生记为D类．将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次共抽查了　 　名学生进行调查统计，m＝　 　，n＝　 　； （2）请补全上面的条形图； （3）如果该校共有1600名学生，请你估计该校C类学生约有多少人． 【答案】（1）50；26%；14%；（2）；（3）估计该校C类学生约有320人. 【解析】 【分析】（1）用B类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；然后用A类和D类人数分别除以调查的总人数得到m、n的值； （2）先计算出C类人数，然后补全条形统计图； （3）利用样本估计总体，用1600乘以样本中C类的百分比即可． 【详解】（1）20÷40%＝50， 所以这次共抽查了50名学生进行调查统计； m＝×100%＝26%； n＝×100%＝14%； （2）如图，C类人数为50×20%＝10， （3）1600×20%＝320， 所以估计该校C类学生约有320人 【点睛】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图和样本估计总体． 22. 关于x的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据根的判别式 ，当时，方程有两个实数根，然后求取值范围即可； （2）根据根与系数的关系：若方程两根为、，则，结合，将其展开转化为含的式子，再代入根与系数的关系的表达式求解得，同时结合（1）中的取值范围对结果进行检验． 【小问1详解】 解：有两个实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程有两个实数根，， ，， ∵， ∴， 整理得， 解得或． 由（1）可知，， ∴． 23. 超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点C处，如图所示，直线l表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的A处向B处匀速行驶，用时5秒．经测量，点A在点C的北偏西方向上，点B在点C的北偏西方向上． （1）求A、B之间的路程精确到米； （2）请判断此车是否超过了成纪大道60千米/小时的限制速度？参考数据：， 【答案】（1）米 （2） 解：米千米，5秒小时， （千米/时）． ， 该小车没有超速． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值、锐角三角函数，是解题的关键． （1）过点C作直线l的垂线，垂足为D，据已知和特殊角的三角函数值求得，的长，从而得出的长； （2）根据测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒，求出小汽车的速度，即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点C作直线l的垂线，垂足为D，如图， 则， 由题意可知，，，米， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， 答：A、B之间的路程为米． 【小问2详解】 略 24. 某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ （2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）销售单价应定为30元或40元．（2）当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元． 【解析】 【分析】（1）设销售单价为x元，可列方程为（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，解方程即可解决问题． （2）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）设销售单价为x元，根据题意列方程得， （x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000， 解得x1＝30，x2＝40 答：销售单价应定为30元或40元． （2）设销售单价为x元，每天的销售利润w元，可列函数解析式为：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）] ＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250． ∵﹣10＜0， ∴函数图象开口向下，当x＝35时，w有最大值，最大值为2250元， 答：当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 25. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点M作轴，交直线于点N，求四边形的最大面积，并求出点M的坐标； （3）是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）四边形的最大面积为，此时 （3）存在，F点坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，中点坐标，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 利用两点式求函数的解析式即可； 求出直线的解析式为，设，，则四边形的面积的面积的面积，然后利用二次函数的性质，求得答案； 设，，根据对角线分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时，分别求出答案即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴不妨设， 将点代入，得， 解得， ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，代入，， ， ∴， ∴直线的解析式为， 设，， ∴， ∵，， ∴， 四边形的面积的面积的面积， ∵， 当时，四边形的最大面积为，此时； 【小问3详解】 解：存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴、的中点为， 不妨设， 设，， 当为平行四边形的对角线时，如下图所示： 连接, ∵四边形是平行四边形， ∴、的中点为， ∴， ∴， ； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： 连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： 连接，相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述：F点坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石屏民族中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中除字母外的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数为，二次项系数和常数项分别为（ ） A. 3，1 B. ， C. 3， D. 3. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 6. 若是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣6）2=﹣4+36 B. （x﹣6）2=4+36 C. （x﹣3）2=﹣4+9 D. （x﹣3）2=4+9 8. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+c=0的根为（ ） A. x=1 B. x1=1，x2=﹣1 C. x1=1，x2=﹣2 D. x1=1，x2=﹣3 9. 某校图书馆六月份借出图书200本，计划八月份借出图书500本，设七、八月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图像可能是（ ） A. B. C. D. 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. k＜1且k≠0 C. k≥﹣1且k≠0 D. 且 12. 已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（    ） A. ②③④ B. ①②⑤ C. ①②④ D. ②③⑤ 二、填空题（12分） 13. 因式分解：_________ 14. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则k的值为____． 15. 如图，在中，，顶点A的坐标为，P是上一动点，将点P绕点逆时针旋转，若点P的对应点恰好落在边上，则点的坐标为________． 16. 如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是___________． 三、解答题（72分） 17. 计算：． 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中x=2． 20. 如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 21. 某中学为了了解学生平均每天“诵读经典”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计，并将调查统计的结果分为四类，每天诵读时间t≤20分钟的学生记为A类，20分钟＜t≤40分钟的学生记为B类，40分钟＜t≤60分钟的学生记为C类，t＞60分钟的学生记为D类．将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次共抽查了　 　名学生进行调查统计，m＝　 　，n＝　 　； （2）请补全上面的条形图； （3）如果该校共有1600名学生，请你估计该校C类学生约有多少人． 22. 关于x的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，满足，求的值． 23. 超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点C处，如图所示，直线l表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的A处向B处匀速行驶，用时5秒．经测量，点A在点C的北偏西方向上，点B在点C的北偏西方向上． （1）求A、B之间的路程精确到米； （2）请判断此车是否超过了成纪大道60千米/小时的限制速度？参考数据：， 24. 某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ （2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 25. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点M作轴，交直线于点N，求四边形的最大面积，并求出点M的坐标； （3）是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $