精品解析：陕西省西安市碑林区翱翔中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试题

2025—2026学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程有一个根为的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列结论正确的是（ ） A. 任意给定一个正方形，一定存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍 B. 任意给定一个等边三角形，一定存在另一个等边三角形，它的周长和面积分别是已知等边三角形周长和面积的2倍 C. 任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍 D. 任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，．若四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 9. 如图，矩形中，，，点E，F分别在边和上（不与端点重合），且四边形为正方形．若，则的长度为（ ） A. 4.5 B. 4 C. D. 10. 关于x的方程，下列说法正确的是（ ） A. 若是该方程的根，则 B. 若是该方程的根，则 C. 若，则该方程有两个不相等的实数根 D. 无论a，b取何值，该方程至少有一个实数根 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 11. 已知，若，则______． 12. 已知线段．若点C将线段黄金分割，且，则_________． 13. 如图，中，，，．将平移得到，边和分别交于点G，H．若的面积为6，则阴影部分的周长为_________． 14. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，点和都在轴上，是等腰直角三角形，，则_____． 15. 如图，四边形中，，对角线平分，且，则四边形面积最大值为_____． 三、解答题（共11小题，计75分．解答应写出过程） 16. 计算： 17. 化简：． 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，在正方形中，E在边上，请用尺规作图，在线段上求作一点F，使．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，菱形的对角线与交于点O，点E和F都在上，．求证：． 21. 一只不透明的袋子中，装有分别标有数字1，2，3的三个小球，这些球除所标的数字外都相同，搅匀后从中摸出1个小球，记录下数字后放回袋中，记作随机摸球一次． （1）随机摸球1次，摸出标有数字2的小球的概率为_________． （2）随机摸球2次，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出的球上数字之和为奇数的概率． 22. 如图，线段表示公园内一棵直立于水平地面的大树，表示一面直立的墙，是一个支撑在墙上的梯子．大树在太阳光下的影子透过梯子恰好落在水平地面和墙面上．已知：虚线表示太阳光线，（，，，同一时刻，该公园内一棵高的小树在太阳光下落在水平地面上的影子长为．请根据已知条件求出大树的高度．（结果精确到，，） 23. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月营业额要达到3600万元． （1）设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，则11月份的营业额为_________万元，12月份的营业额为_________万元．（用含x的代数式表示） （2）求（1）中x的值． 24. 如图，中，，点D，E分别在边，的延长线上，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． （1）求b和k的值; （2）求点B的坐标，并直接写出不等式的解集； （3）将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C．当时，求点C的坐标． 26. 问题提出： （1）如图①，已知中，，，，点D为边上任意一点，连接．若与面积相等，则线段_________． 问题探究： （2）如图②，，点M和N分别是射线和上的动点，且．点P在内，为等边三角形．连接．求线段的最大值． 问题解决： （3）如图③，矩形为一块试验田示意图，，．点E是边的中点，点F在边上，点G在矩形内，且，的面积为．现计划修两条小路和（小路的宽度不计），预计在和中分别种植甲，乙两种经济作物．请问小路是否存在最小值？若存在，请求出的最小值，并求出此时的面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 2. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的概念，先明确左视图的定义，再分析几何体从左面观察所得图形的特征，最后匹配选项得出答案． 【详解】解：A项：该图形缺少了几何体内部结构在左视图中应呈现的虚线，不是从左视图观察该几何体得到的图形，所以A错误； B项：该图形几何体内部结构在左视图中应呈现的是虚线，不是实线，所以B错误； C项：该图形是从左面观察该几何体得到的图形，符合左视图的特征，所以C正确； D项：该图形是从俯视图观察该几何体得到的图形，不符合左视图的特征，所以D错误， 故选：C． 3. 下列方程有一个根为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入各方程，看左右的值是否相等即可判断，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以是方程的根，该选项符合题意； 故选：． 4. 如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键．根据平行线分线段成比例定理可得，代入数据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5. 下列结论正确的是（ ） A. 任意给定一个正方形，一定存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍 B. 任意给定一个等边三角形，一定存在另一个等边三角形，它的周长和面积分别是已知等边三角形周长和面积的2倍 C. 任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍 D. 任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形和矩形的性质，一元二次方程根的判别式，能够想到利用一元二次方程根的判别式判断是解题的关键．通过设原图形边长或长宽，计算新图形的周长和面积要求，利用一元二次方程判别式判断是否存在这样的图形即可得答案． 【详解】解：A．一个正方形周长是另一个正方形周长的2倍时，面积必为4倍，不等于2倍，故A错误； B．等边三角形周长是另一个等边三角形周长的2倍时，面积必为4倍，不等于2倍，故B错误； C．设原矩形长为，宽为，则周长为，面积为， ∴新矩形周长应为，面积应为， 设新矩形长为，宽为， ∴，， ∴以为根的一元二次方程为， 判别式， ∴方程有两个正实根，故存在这样的矩形，C正确； D．矩形周长和面积一半时，方程的判别式，无法判断判别式的正负，故不一定存在实数根，故D错误． 故选：C． 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，根据一次函数与反比例函数的图象与性质逐一排除即可，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，符合题意； 故选：． 7. 如图，，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，则有，根据角平分线的定义得到，设，利用三角形内角和定理列出方程，求出的值，再利用特殊角的三角函数值即可求出的正切值． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，．若四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的概念和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据位似的性质可得，四边形与四边形的位似比为，再结合即可求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍， ∴四边形与四边形的位似比为， 又∵， ∴点的坐标为或，即或． 故选：B． 9. 如图，矩形中，，，点E，F分别在边和上（不与端点重合），且四边形为正方形．若，则的长度为（ ） A. 4.5 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 延长交于点，根据矩形的性质得到，根据正方形的性质得到，，，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再通过证明四边形是矩形，得到，，最后利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴，， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 10. 关于x的方程，下列说法正确的是（ ） A. 若是该方程的根，则 B. 若是该方程的根，则 C. 若，则该方程有两个不相等的实数根 D. 无论a，b取何值，该方程至少有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，根据方程的解的定义可判断A、B；根据当时，满足可判断C；根据当时，原方程为可判断D． 【详解】解：A、∵是关于x的方程的根， ∴， ∴， ∴，原说法错误，不符合题意； B、∵是关于x的方程的根， ∴， ∴，原说法正确，符合题意； C、当时，满足，但是原方程为，即原方程只有一个实数根，原说法错误，不符合题意； D、当时，原方程为，即原方程无实数根，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 11. 已知，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，用表示、表示、表示，然后代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的基本变形是解本题的关键． 12. 已知线段．若点C将线段黄金分割，且，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点． 根据黄金分割的定义得到，进而根据线段和差关系即可得的长． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，中，，，．将平移得到，边和分别交于点G，H．若的面积为6，则阴影部分的周长为_________． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据勾股定理得到，根据三角形面积公式得到，根据平移的性质得到，，进而证出，设与的相似比为，根据相似三角形的性质得出，求出的值，得出的三边长，最后利用图形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平移得到， ∴，， ∴， ∴， 设与的相似比为， 则， ∴， ∴，，， ∴， ∴阴影部分的周长 ， 故答案为：26． 14. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，点和都在轴上，是等腰直角三角形，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合是解题关键．过点作轴于点，先根据等腰直角三角形的性质可得，再将代入正比例函数可得点的坐标，然后将点的坐标代入反比例函数的解析式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， 将代入正比例函数得：，解得， ∴， 将点代入反比例函数得：， 故答案为：4． 15. 如图，四边形中，，对角线平分，且，则四边形面积最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中线与面积关系，等腰三角形的判定与性质，如图，延长交的延长线于，过作于，证明，可得，证明，可得，进一步可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交的延长线于，过作于， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形面积最大值为， 故答案为： 三、解答题（共11小题，计75分．解答应写出过程） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题关键． 先把除法转化为乘法，然后利用平方差公式进行因式分解，再根据乘法分配律拆解括号，最后合并同类项即可． 【详解】 ， ， ， ， ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，熟知解一元二次方程和解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解： 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 19. 如图，在正方形中，E在边上，请用尺规作图，在线段上求作一点F，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—相似变换、正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、正方形的性质是解答本题的关键．结合相似三角形的判定与性质、正方形的性质，过点作于点，则点即为所求． 【详解】解：如图，过点作于点， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴ 20. 如图，菱形的对角线与交于点O，点E和F都在上，．求证：． 【答案】 ∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】略 21. 一只不透明的袋子中，装有分别标有数字1，2，3的三个小球，这些球除所标的数字外都相同，搅匀后从中摸出1个小球，记录下数字后放回袋中，记作随机摸球一次． （1）随机摸球1次，摸出标有数字2的小球的概率为_________． （2）随机摸球2次，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出的球上数字之和为奇数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸出的球上数字之和为奇数的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3个球，每个球被摸到的概率相同，且标有数字2的球有1个， ∴随机摸球1次，摸出标有数字2的小球的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次摸出的球上数字之和为奇数的结果数有4种， ∴两次摸出的球上数字之和为奇数的概率为． 22. 如图，线段表示公园内一棵直立于水平地面的大树，表示一面直立的墙，是一个支撑在墙上的梯子．大树在太阳光下的影子透过梯子恰好落在水平地面和墙面上．已知：虚线表示太阳光线，（，，，同一时刻，该公园内一棵高的小树在太阳光下落在水平地面上的影子长为．请根据已知条件求出大树的高度．（结果精确到，，） 【答案】大树的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，含30度的直角三角形，勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． 延长与交于点，根据直角三角形的性质得到，，由题意得，为的影子，则，再通过证明，得到，代入数据即可求出的高度． 【详解】解：如图，延长与交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得，为的影子， ∵同一时刻，该公园内一棵高的小树在太阳光下落在水平地面上的影子长为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 答：大树的高度约为． 23. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月营业额要达到3600万元． （1）设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，则11月份的营业额为_________万元，12月份的营业额为_________万元．（用含x的代数式表示） （2）求（1）中x的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程，求出x的值即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，11月份的营业额为万元，12月份的营业额为万元． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得，（舍去）， ∴x的值为． 24. 如图，中，，点D，E分别在边，的延长线上，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证； （2）过点C作于点F，由题意易得，设，则根据勾股定理可得：，然后可得，进而根据（1）中结论可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点C作于点F，如图所示： ∵， ∴， 设，则根据勾股定理可得：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． （1）求b和k的值; （2）求点B的坐标，并直接写出不等式的解集； （3）将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C．当时，求点C的坐标． 【答案】（1） （2），或 （3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，正确地理解题意是解题的关键． （1）把点代入求得，把代入得到的值即可； （2）解方程组得到，于是根据函数图象可得到不等式的解集； （3）设，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：把点代入得， ， ∴， 把代入得； 【小问2详解】 解：由（1）可知：一次函数解析式为，反比例函数解析式为， ∴联立得 解得或， ∴， ∴由函数图象可知不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：设， ∵，，， ， ， 解得， ∵将直线沿x轴向左平移后，与x轴交于点C． ∴， ∴． 26. 问题提出： （1）如图①，已知中，，，，点D为边上任意一点，连接．若与面积相等，则线段_________． 问题探究： （2）如图②，，点M和N分别是射线和上的动点，且．点P在内，为等边三角形．连接．求线段的最大值． 问题解决： （3）如图③，矩形为一块试验田示意图，，．点E是边的中点，点F在边上，点G在矩形内，且，的面积为．现计划修两条小路和（小路的宽度不计），预计在和中分别种植甲，乙两种经济作物．请问小路是否存在最小值？若存在，请求出的最小值，并求出此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，的最小值为，此时的面积为 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，根据与面积相等可知，再根据直角三角形斜边中线定理即可求解； （2）取的中点，连接、，根据直角三角形斜边中线定理求出，根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再根据两点之间线段最短的性质即可求解； （3）过点作交于点，取的中点，取的中点，连接、、、，根据矩形的性质与判定得到，则，得到，进而得到，根据直角三角形斜边中线定理求出，根据勾股定理求出，再根据两点之间线段最短的性质求出的最小值，再利用三角形之间的面积比例关系即可求出的面积． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵与面积相等， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）如图，取的中点，连接、， 则， ∵ ∴， ∵为等边三角形，点是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最大值为； （3）如图，过点作交于点，取的中点，取的中点，连接、、、， ∵点E是边的中点， ∴， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴当三点共线时，的最小值为； 当三点共线时，连接，如图， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴综上所述，的最小值为，此时的面积为． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、矩形的性质与判定、线段最值问题、勾股定理、二次根式的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要几何推理和较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $