5.3 一次函数的图象与性质（第4课时 一次函数的性质）（教学设计）数学苏科版2024八年级上册

5.3 一次函数的图象与性质（第4课时 一次函数的性质） 教学设计 1.教学内容 本课为新教材苏科版八年级上册《第五章 一次函数》第5.3节“一次函数的图象与性质”第4课时，核心知识点包括一次函数 y = kx + b 的图象特征、变化趋势和经过的象限等。内容主要围绕 k、b 的符号对一次函数图象与性质的影响展开分析。 2.内容解析 学生在前面已掌握正比例函数的基础上，本节重点探讨一般一次函数的几何意义及性质，通过对比 k>0 与 k<0、b>0 与 b<0 等不同案例，理解直线与 y 轴交点位置、函数随 x 的增大而增减的趋势。教学中需引导学生结合数形结合思想，对图形、代数关系与变化趋势进行综合理解。 1.教学目标 •知道一次函数 y = kx + b， 的图象特征与性质。 •在探究一次函数图象和性质的过程中进一步渗透数形结合思想，发展几何直观及代数推理能力。 2.目标解析 • 通过绘制与观察不同符号的 k、b 对图线的影响，培养学生的几何直观与代数综合能力。 • 借助变式与交流，强化符号判断及象限分布的规律理解。 3.重点难点 • 重点：明确一次函数随 k 的符号而上升或下降，随 b 的符号而决定与 y 轴的交点位置及经过象限。 • 难点：灵活运用函数性质解题，分析不同参数对图象及变化趋势的影响。 初中生已具备一元一次方程及简单函数概念，对正比例函数较熟悉，但对一般一次函数中参数 b 的影响理解不足。需通过类比、作图与验证等方式，帮助他们清晰掌握一次函数的图象规律与性质，为后续函数应用与建模奠定基础。 创设情景，复习回顾 1. 复习回顾一次函数与正比例函数的关系： o 回顾正比例函数 （ 或 ）图象的形状及其经过的象限，强调“从左到右上升”或“从左到右下降”的区别。 o 分别讨论当 和 时，正比例函数随 的增大而增大或减小的现象。 2. 问题引出： o 当一次函数的形式变为 （）时，图象与正比例函数有何联系和区别？ o 的加入，是否会改变直线的变化趋势？又如何影响直线与坐标轴的位置关系？ 【设计意图】通过复习正比例函数的图象和性质，让学生回忆一次函数的基本表达形式，感受“增减性”与系数 的关联。自然过渡到“一次函数 的图象与性质”，既回顾旧知又激发学生探究新知的兴趣，为后续学习做好铺垫。 新知探究 探究点1：一次函数的变化趋势 问题引入 给出下列情境： 1. 一次函数 ，已知函数值 随自变量 的增大如何变化？ y随x 的增大而增大 2. 一次函数 ，已知函数值 随自变量 的增大又是如何变化？y随x 的增大而减小 要求学生结合图象（把 与 放在同一个坐标系，以及 与 放在同一个坐标系），观察并描述规律。 新知导出 当 时，直线从左到右逐渐上升， 随 的增大而增大。 当 时，直线从左到右逐渐下降， 随 的增大而减小。 因此，一次函数 的变化趋势由 的符号决定： o ： 随 的增大而增大； o ： 随 的增大而减小。 师生活动 【教师】演示一次函数图象的几何动态过程：将 固定，拖动 的数值，观察直线“倾斜方向”随 的符号变化。 【学生】小组讨论：为什么 必然对应函数值的“增”趋势， 对应函数值的“减”趋势？并用“当 时，对应的 与 的大小”加以验证。 【设计意图】从直观图象出发，帮助学生建立一次函数随 有不同增减规律的数形结合认识，培养数形结合和代数推理能力。 探究点2：一次函数与坐标轴的关系 问题引入 1. 一次函数y＝kx＋b中b的符号和其图象的特征有什么关系？ b的符号决定了图象与y轴的交点在正半轴还是负半轴. 2. 结合图象进一步判断：直线经过哪几个象限？ 新知导出 的符号决定了图象与 轴交点的位置： o ，交点在 轴正半轴； o ，交点在原点； o ，交点在 轴负半轴。 和 的符号共同决定了直线经过的象限组合。比如， 时，直线一定经过第一、二、三象限等。 k，b的符号⇔直线所经过的象限； k的符号⇔一次函数的变化趋势； b的符号⇔直线与y 轴交点的位置. 师生活动 【教师】提问：如果在坐标系中看到某条直线从（0，正数）开始上升，那么你能判断 和 的正负吗？ 【学生】分组讨论并列举不同的 符号组合（如 ； 等），尝试在坐标系按符号特征大致画出直线经过的象限，并小组互相纠正。 【设计意图】通过对 符号的观察，学生能更好地理解一次函数在 轴的截距位置以及随之显现出的象限分布规律，进一步巩固一次函数图象特征。 例题巩固 例4已知点 ，在一次函数 的图象上，且 .比较 与 的大小，并说明理由。 解：b＜c．理由如下： 根据一次函数y＝4x＋3的变化趋势，函数值y随自变量x的增大而增大， 所以当自变量a＜1时，对应的函数值b＜c． 解法2：∵点P(a，b)，Q(1，c)在一次函数y＝4x＋3的图象上． ∴b＝4a＋3，c＝4＋3＝7． ∴b－c＝4a＋3－7＝4a－4． ∵a＜1，∴4a＜4． ∴4a－4＜0． 即b－c＜0．∴b＜c． 【设计意图】通过典型例题，让学生在具体算例中把握 “系数 决定增减” 的本质，体会数形结合的两种思路：既能从直线的斜率特征分析，又能通过代数计算严谨证明，为后续解决综合题奠定基础。 1．下列一次函数中，函数值随着自变量的增大而增大的有 ______ ，随着自变量的增大而减小的有 ______ ；函数图象与 轴的交点在 轴正半轴上的有 _____，在 轴负半轴上的有 ________ ；函数图象一定经过第二、三象限的有 ______．(填序号) ① ；② ；③ ；④ ． 答案：②④；①③；①； ②③④；③ 2．画出一次函数 的图象，并写出当 时自变量 的取值范围． 解：列表如下： ··· 0 2 ··· ··· ··· 描点、连线，函数 的图象如图所示， 当 时，． 3．已知 ， 是一次函数 图象上的两点，且 ．比较 与 的大小，并说明理由． 解法1： ．理由如下： ∵， ∴ 一次函数 的函数值 随自变量 的增大而减小． ∵， ∴． 解法2：∵， 在一次函数 的图象上． ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴， 即 ，∴． 拓展延伸 已知点M(a，b)，N(c，d)在一次函数y＝－x＋2的图象上的两点，且a＜c．比较b与d的大小，并说明理由． 解：b＜d．理由如下： ∵k＝－1＜0 ， ∴一次函数y＝－x＋2的函数值y随自变量x的增大而减小． ∵a＜c，∴b＞d． 中考链接 1．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过y＝kx＋b第一、第二、第三象限，则k，b的取值范围是（   D   ） A．k<0，b<0 B．k<0，b>0 C．k>0，b<0 D．k>0，b>0 2．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（    D ） A．(−2，2) B．(2，1) C．(−1，3) D．(3，4) 3. （2024·通辽）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2（其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2为常数）的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是（　A　） A. b1＋b2＞0 B. b1b2＞0 C. k1＋k2＜0 D. k1k2＜0 1. 通过本节课的探究，学生明确了对于一次函数y=kx+b，系数k、b的符号对函数图象所经过的象限、与y轴交点的位置以及函数值随自变量增减的变化趋势等性质的决定作用。 2. 重点理解：k>0，图线随x增大而上升；k<0，图线随x增大而下降；b的正负决定直线与y轴的交点位置。 3. 能够初步运用这些性质去判断一次函数图象特征，解决简单的几何与函数综合问题，巩固“数形结合”的思想。 1. 课题：一次函数的图象与性质（第4课时） 2.关键内容： • k的符号 → 函数变化趋势； • b的符号 → 与y轴的交点； • k、b的符号 → 直线经过的象限。 3. 典例 1. 教材习题：完成本章节教材配套练习中相关题目。 2. 拓展探究：任选一个一次函数y=kx+b（k≠0），画出其图象并说明k、b符号对图象所经过象限及变化趋势的影响。 3. 自拟一 道与实际生活情境相关的简单问题，列出一次函数模型（y=kx+b）并分析函数值的变化趋势，锻炼数学建模与表达能力。 本节课的教学目标基本达成，学生能理解一次函数的性质，尤其对k、b的符号在函数图象和性质中的作用有了较好的掌握。通过典型例题，可以看出大部分学生能运用一次函数的分析方法解决简单的数形结合问题。但个别学生在列方程或根据坐标特征判断k、b符号时仍显迷茫，说明对函数与图象的关联理解还不够深刻。今后教学中，可适当增加小组合作的讨论时间，让学生自主探究k、b符号变化带来的图象差异，并强化在综合题目中的灵活运用，以进一步提升分析与建模的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $