精品解析：北京第十一中学校 2024-2025学年八年级上学期期中数学考试（4层）

北京第十一中学校2024-2025学年度八年级上学期期中考试 数学Ⅳ层 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分），每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 已知，且，则式子的值为（ ） A. B. C. D. 2 2. 如图，坐标平面上，，且．若A点的坐标为，B、C两点在直线上，D、E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 如图，直线、分别垂直平分线段、交于点，直线交于点，直线交于点．若，则的度数（ ） A. B. C. D. 4. 和均是等边三角形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如果一个三角形的三边、、，满足，那么这个三角形一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 不等边三角形 D. 直角三角形 6. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，…，按此规律进行下去，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两直线与相交于点，他们相交所形成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 10. 对于二次三项式（为常数），以下结论： ①当，且，则； ②当时，则； ③当的值恒为正数时，则； ④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能． 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的底角是_______________ 12. 已知，则________． 13. 已知关于的方程有三个互不相等的正整数解，则的值为______． 14. 如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为__，的值为__． 15. 如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是______（填写序号）． 三、解答题（共6个小题，满分85分）． 16. 计算和因式分解 计算： （1）． （2） （3） （4）； （5）； （6）． 分解因式： （7）； （8）． （9）； （10）． （11） （12） 17. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）______ ；若，则______ ； （2）已知，，，若，求的值； （3）若，，令． ①求的值； ②求的值． 18. （1）如图1，是一个边长为1的正六边形（正六边形有很多条对称轴）； ①的度数为______；连接，______； ②证明：； （2），是正六边形对角线上的两点，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，证明：； 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分；我选择的序号为：______． 19. 质数是指在大于1的自然数中，除了1与它本身以外，没有其他因数的数．例如：2，3，5，7，，等都是质数． （1）设为大于1的正整数，分解因式：，并证明一定不是一个质数； （2）利用因式分解，求能使为质数的所有整数的值； （3）已知，其中表示个位为，十位为的两位数，其他类似，求，，的值以及的值． 20. 小明同学在画对称轴的过程中，忘记带圆规，只带了一把无刻度的直尺，他选择仅使用直尺工具完成以下问题探究 （1）问题1：轴对称图形对应点连线互相______．（填“平行”或“垂直”） （2）问题2：如图1，画出线段AB与的对称轴．小明采用以下画法：连接与，两条线段交于点，延长BA与交于点，连接，，． ①根据小明的画法完成作图； ②证明：； ③证明：由②结论证明：是与的垂直平分线，也就是对称轴； （3）问题3：如图2，设计一种方法，只用直尺作出与的对称轴，用文字描述你的画法并证明这样画出的直线即为对称轴． 21. 按照一定次序排列的一列数称为数列，例如，，，，就是一个含有个数的数列，其中数字是该数列第一项，通常记作，所以就是它的第五项，表示它的第项，有的数列是有限项，有的数列是无限项，现有一个无限项的数列：每一项都是正整数，且满足： ，． 例如：时，；时， （1）若，请直接写出，，，； （2）若，写出这个无穷数列中所有可能出现的数，并说明理由； （3）若数列中第一项是的倍数，证明：数列中所有项都是的倍数； （4）若数列中第项是的倍数，证明：数列前项也都是的倍数； （5）设数列中所有出现的数（重复的数只计算一次）的总个数为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京第十一中学校2024-2025学年度八年级上学期期中考试 数学Ⅳ层 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分），每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 已知，且，则式子的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整体代入法是解题关键．先根据多项式除以单项式以及合并同类项法则，得出，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 2. 如图，坐标平面上，，且．若A点的坐标为，B、C两点在直线上，D、E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图象的性质、垂直的性质的运用、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图，作分别垂直于H、K、P，由，易证，进而证明可得即可解答． 【详解】解：如图，作分别垂直于H、K、P， ， ， ， 在和中， ， ， ， 、C两点在直线的图形上，且A点的坐标为， ， ， ∵， ，， 在和中， ， ， ． 故选：B． 3. 如图，直线、分别垂直平分线段、交于点，直线交于点，直线交于点．若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接，利用线段的垂直平分线的性质得出相等的边，根据等边对等角得出相等的角，利用三角形的内角和定理和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵直线、分别垂直平分线段、， ∴， ∴，， ∴， ∵直线垂直平分线段， ∴， ∴， 故选：C． 4. 和均是等边三角形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握运用以上知识是解决本题的关键．首先根据边角边定理证明，再根据三角形全等的性质可得到，最后根据三角形的内角和定理，角之间的关系可得最终结果． 【详解】解：和均是等边三角形， ，，， ， ， 又， ， ， ， 则 解得， 故选：B． 5. 如果一个三角形的三边、、，满足，那么这个三角形一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 不等边三角形 D. 直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由已知推出=0即（a-b）（b-c）=0，即可判定三角形边的关系. 【详解】解： =0 （a-b）（b-c）=0 即：a=b或b=c，则三角形一定为等腰三角形； 故答案为B. 【点睛】本题考查了三角形形状的判定，其关键在于对等式的变形，推导出a、b、c的关系. 6. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】解：设的长度为a， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 同理可得，和是等边三角形，设的边长为m， ∴，， ∴； 如图所示，延长与，交于点I（如图）， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 综上所述，． 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，…，按此规律进行下去，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求得的坐标，进而求得的坐标，发现规律，即可求得的坐标． 【详解】解：∵是等边三角形，，将等边绕点A旋转180°，得到， ∴ ， 则 同理可得， ……， 即 故选C 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，找到规律是解题的关键． 8. 如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求几何图形面积；设扩大后的广场的长为米，宽，可得，，进而可得，再由圆面积公式计算即可． 【详解】解：设扩大后的广场的长为米，宽米，依题意得：， ， ∴ ∵花圃的总面积， 故选：B． 9. 如图，两直线与相交于点，他们相交所形成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短、含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是牢记并灵活运用相关概念．先利用轴对称作出点关于直线的对称点，再利用垂线段最短得到它的最小值等于线段的长，最后利用直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，作直线， ∴，，， ∴ 过点作，垂足为点， 则当点、、，共线，与重合时，的值最小，等于， ∴， ∴的最小值为3 故选：A． 10. 对于二次三项式（为常数），以下结论： ①当，且，则； ②当时，则； ③当的值恒为正数时，则； ④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能． 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，因式分解等知识点，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解本题的关键．根据完全平方公式、因式分解以及多项式乘以多项式的运算法则进而判断得出答案即可． 【详解】解：①当，， 则， 则， 故①正确，符合题意； ②当， 则， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③， ∵ 则当的值恒为正数时，即可， ∴， 故③正确，符合题意； ④当，且， 则， ∴，， ∵p、q为整数， ∴p、q的值可为或或或或或 ∴或或8或或7或， 故④正确， ∴正确的有①②③④， 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的底角是_______________ 【答案】60°或30°． 【解析】 【详解】试题解析：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1， 由已知可知，∠ABD=30°， 又BD⊥AC， ∴∠ADB=90°， ∴∠A=60°， ∴∠ABC=∠C=60°． 当等腰三角形为钝角三角形时，如图2， 由已知可知，∠ABD=30°， 又BD⊥AC， ∴∠DAB=60°， ∴∠C=∠ABC=30°． 考点：等腰三角形的性质． 12. 已知，则________． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由，得． 则． 所以． 故答案为：2026 13. 已知关于的方程有三个互不相等的正整数解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程的解，多项式与多项式相乘，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键；根据方程有三个互不相等的正整数解，利用根与系数的关系，由常数项确定三个根的值，再代入求系数． 【详解】解：∵ ∴ 设方程的三个互不相等的正整数解为 、、， 则方程可因式分解为 ， 展开得： 与原方程 比较系数， 得：， 即：由于 、、 是互不相等的正整数， 因此 、、 分别为 1、2、3； 代入得： 所以： 故答案为：． 14. 如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为__，的值为__． 【答案】 ①. 6 ②. 0 【解析】 【分析】根据的三边为边作三个正方形得，，，，，，即可得，，利证明，即可得，利用证明，得，即可得，，设，，根据四边形，四边形，四边形都是正方形，得，，,，则，可得，即可得． 【详解】解：∵的三边为边作三个正方形， ∴，，，， ，，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵四边形，四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ∵， ∴ ∴， 故答案为：6，0． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 15. 如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，，则，，，由，可得，，则，由，可得，则，进而可判断①的正误；由题意知，无法判断与的关系，进而可判断②的正误；由，则，，可得，即，进而可判断③的正误；根据，可得，整理得，即，则，进而可判断④的正误； 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∵，无法判断与的关系，②错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 三、解答题（共6个小题，满分85分）． 16. 计算和因式分解 计算： （1）． （2） （3） （4）； （5）； （6）． 分解因式： （7）； （8）． （9）； （10）． （11） （12） 【答案】 （1） （2） （3） （4）3.98 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，以及因式分解，熟练掌握基本运算是解题关键； （1）根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）把看成一个整体，然后利用同底数幂的乘除法进行计算即可； （3）先利用积的乘方、幂的乘方运算进行化简，再合并同类项即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可； （5）先把变成，然后利用乘法分配律进行计算即可； （6）利用平方差公式进行计算即可； （7）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行分解即可； （8）利用完全平方公式因式分解即可； （9）先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解即可； （10）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行分解即可； （11）利用十字交叉法进行因式分解即可； （12）先分组，然后提取公因式进行因式分解即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式； （6）原式 ； （7）原式； （8）原式； （9）原式； （10）原式； （11）原式； （12）原式． 17. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）______ ；若，则______ ； （2）已知，，，若，求的值； （3）若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）4，64 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【小问1详解】 解：， ； ，且， ． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，，，若， ，，． ， ，即， ； 【小问3详解】 解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 18. （1）如图1，是一个边长为1的正六边形（正六边形有很多条对称轴）； ①的度数为______；连接，______； ②证明：； （2），是正六边形对角线上的两点，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，证明：； 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分；我选择的序号为：______． 【答案】（1）①； ②证明：∵， ∴都是等边三角形， ； （2）选择① 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的性质以及平行线的判定，解题的关键是利用正六边形的内角、对称性及等边三角形的性质进行推理． （1）①利用正六边形内角和公式求，结合等边三角形性质求， ②证明都是等边三角形，根据等边三角形性质证内错角相等，从而得平行； （2）选择条件①，利用三角形外角性质证，由内错角相等，从而得平行． 【详解】解：（1）①∵是正六边形， 如图中，连接交于点， ， ∴，，都是等边三角形， ， 故答案为：； ②略 （2）证明：选择条件①， ， 又∵， ， ． 19. 质数是指在大于1的自然数中，除了1与它本身以外，没有其他因数的数．例如：2，3，5，7，，等都是质数． （1）设为大于1的正整数，分解因式：，并证明一定不是一个质数； （2）利用因式分解，求能使为质数的所有整数的值； （3）已知，其中表示个位为，十位为的两位数，其他类似，求，，的值以及的值． 【答案】（1） ， 证明：∵为大于1的正整数， ∴、为大于1的正整数， ∴除了1与它本身以外，还有因数和， ∴一定不是一个质数； （2），，4，5 （3），，， 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）利用添项法对原式添加，再分组因式分解，即可求解证明； （2）利用十字相乘法对进行因式分解，根据质数的定义可知分解所得的因式一个为1，一个为质数，分别对因式讨论即可求解； （3）根据题意可对因式分解，进而得到，得出a，b，c的值后代入求值即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵为质数， ∴，一个为1，一个为质数， 当时， ，解得或， 当时，为质数， 当时，为质数， 当时， ，解得或， 当时，为质数， 当时，为质数， ∴整数的值为，，4，5； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即，而7，，都是质数． 因为为非零数字，所以为的倍数，可得或， 当时，，无整数解， 当时，，因为为数字，所以，故，，解得， 所以，， ∴． 20. 小明同学在画对称轴的过程中，忘记带圆规，只带了一把无刻度的直尺，他选择仅使用直尺工具完成以下问题探究 （1）问题1：轴对称图形对应点连线互相______．（填“平行”或“垂直”） （2）问题2：如图1，画出线段AB与的对称轴．小明采用以下画法：连接与，两条线段交于点，延长BA与交于点，连接，，． ①根据小明的画法完成作图； ②证明：； ③证明：由②结论证明：是与的垂直平分线，也就是对称轴； （3）问题3：如图2，设计一种方法，只用直尺作出与的对称轴，用文字描述你的画法并证明这样画出的直线即为对称轴． 【答案】（1）平行 （2） 图形如图所示： ②证明：∵线段，线段关于某条直线对称， ∴两条线段交点在对称轴上，且，， ； ③证明：在和中， ， ， ， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵点也在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分线段， 同法可证直线垂直平分线段， ∴直线是线段，的对称轴； （3） 如图，直线即为所求． 方法：连接，交于点，作直线即可． 理由：连接． 同法可证， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ∵， 点也在线段的垂直平分线上， 直线垂直平分线段， ∴直线是与的对称轴． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称图形的性质判断即可； （2）①根据要求画出图形； ②证明1可得结论； ③证明，推出1，推出1，可得结论； （3）连接交于点，作直线即可．证明点，点在线段的垂直平分线上即可． 【小问1详解】 解：轴对称图形对应点连线互相平行． 故答案为：平行； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21. 按照一定次序排列的一列数称为数列，例如，，，，就是一个含有个数的数列，其中数字是该数列第一项，通常记作，所以就是它的第五项，表示它的第项，有的数列是有限项，有的数列是无限项，现有一个无限项的数列：每一项都是正整数，且满足： ，． 例如：时，；时， （1）若，请直接写出，，，； （2）若，写出这个无穷数列中所有可能出现的数，并说明理由； （3）若数列中第一项是的倍数，证明：数列中所有项都是的倍数； （4）若数列中第项是的倍数，证明：数列前项也都是的倍数； （5）设数列中所有出现的数（重复的数只计算一次）的总个数为，求的最大值． 【答案】（1）, , ， （2）所有可能出现的数是，， （3） 证明：是的倍数， 假设是的倍数， 若，则，是的倍数， 若，则，和都是的倍数，故是的倍数， 由数学归纳法可得，所有项都是的倍数； （4） 证明：设是的倍数， 考虑： 若，则，故是的倍数，是的倍数， 若，则，故是的倍数，是的倍数， 同理可推至是的倍数， 前项都是的倍数； （5） 【解析】 【分析】本题考查数列的递推关系及性质． （1）直接代入计算； （2）通过计算发现循环规律，从之后，循环出现，； （3）使用数学归纳法证明； （4）通过逆向推导证明； （5）枚举所有可能序列，找出不同数字个数的最大值． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 故, , ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 此后循环出现，， 所有可能出现的数为，，； 【小问3详解】 略； 【小问4详解】 略； 【小问5详解】 解：枚举至，序列中不同数字个数最多为， 如时出现数字，，，，，，，， 的最大值为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $