北京第十一中学校 2024-2025学年八年级上学期期中数学考试（4层）

北京第十一中学校2024-2025学年度八年级上学期期中考试 数学Ⅳ层 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分），每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 已知，且，则式子的值为（ ） A. B. C. D. 2 2. 如图，坐标平面上，，且．若A点的坐标为，B、C两点在直线上，D、E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 如图，直线、分别垂直平分线段、交于点，直线交于点，直线交于点．若，则的度数（ ） A. B. C. D. 4. 和均是等边三角形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如果一个三角形的三边、、，满足，那么这个三角形一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 不等边三角形 D. 直角三角形 6. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，…，按此规律进行下去，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两直线与相交于点，他们相交所形成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 10. 对于二次三项式（为常数），以下结论： ①当，且，则； ②当时，则； ③当的值恒为正数时，则； ④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能． 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的底角是_______________ 12. 已知，则________． 13. 已知关于的方程有三个互不相等的正整数解，则的值为______． 14. 如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为__，的值为__． 15. 如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是______（填写序号）． 三、解答题（共6个小题，满分85分）． 16. 计算和因式分解 计算： （1）． （2） （3） （4）； （5）； （6）． 分解因式： （7）； （8）． （9）； （10）． （11） （12） 17. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）______ ；若，则______ ； （2）已知，，，若，求的值； （3）若，，令． ①求的值； ②求的值． 18. （1）如图1，是一个边长为1的正六边形（正六边形有很多条对称轴）； ①的度数为______；连接，______； ②证明：； （2），是正六边形对角线上的两点，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，证明：； 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分；我选择的序号为：______． 19. 质数是指在大于1的自然数中，除了1与它本身以外，没有其他因数的数．例如：2，3，5，7，，等都是质数． （1）设为大于1的正整数，分解因式：，并证明一定不是一个质数； （2）利用因式分解，求能使为质数的所有整数的值； （3）已知，其中表示个位为，十位为的两位数，其他类似，求，，的值以及的值． 20. 小明同学在画对称轴的过程中，忘记带圆规，只带了一把无刻度的直尺，他选择仅使用直尺工具完成以下问题探究 （1）问题1：轴对称图形对应点连线互相______．（填“平行”或“垂直”） （2）问题2：如图1，画出线段AB与的对称轴．小明采用以下画法：连接与，两条线段交于点，延长BA与交于点，连接，，． ①根据小明的画法完成作图； ②证明：； ③证明：由②结论证明：是与的垂直平分线，也就是对称轴； （3）问题3：如图2，设计一种方法，只用直尺作出与的对称轴，用文字描述你的画法并证明这样画出的直线即为对称轴． 21. 按照一定次序排列的一列数称为数列，例如，，，，就是一个含有个数的数列，其中数字是该数列第一项，通常记作，所以就是它的第五项，表示它的第项，有的数列是有限项，有的数列是无限项，现有一个无限项的数列：每一项都是正整数，且满足： ，． 例如：时，；时， （1）若，请直接写出，，，； （2）若，写出这个无穷数列中所有可能出现的数，并说明理由； （3）若数列中第一项是的倍数，证明：数列中所有项都是的倍数； （4）若数列中第项是的倍数，证明：数列前项也都是的倍数； （5）设数列中所有出现的数（重复的数只计算一次）的总个数为，求的最大值． 北京第十一中学校2024-2025学年度八年级上学期期中考试 数学Ⅳ层 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分），每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】60°或30°． 【12题答案】 【答案】2026 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 6 ②. 0 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题（共6个小题，满分85分）． 【16题答案】 【答案】 （1） （2） （3） （4）3.98 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 【17题答案】 【答案】（1）4，64 （2） （3）①；② 【18题答案】 【答案】（1）①； ②证明：∵， ∴都是等边三角形， ； （2）选择① 【19题答案】 【答案】（1） ， 证明：∵为大于1的正整数， ∴、为大于1的正整数， ∴除了1与它本身以外，还有因数和， ∴一定不是一个质数； （2），，4，5 （3），，， 【20题答案】 【答案】（1）平行 （2） 图形如图所示： ②证明：∵线段，线段关于某条直线对称， ∴两条线段交点在对称轴上，且，， ； ③证明：在和中， ， ， ， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵点也在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分线段， 同法可证直线垂直平分线段， ∴直线是线段，的对称轴； （3） 如图，直线即为所求． 方法：连接，交于点，作直线即可． 理由：连接． 同法可证， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ∵， 点也在线段的垂直平分线上， 直线垂直平分线段， ∴直线是与的对称轴． 【21题答案】 【答案】（1）, , ， （2）所有可能出现的数是，， （3） 证明：是的倍数， 假设是的倍数， 若，则，是的倍数， 若，则，和都是的倍数，故是的倍数， 由数学归纳法可得，所有项都是的倍数； （4） 证明：设是的倍数， 考虑： 若，则，故是的倍数，是的倍数， 若，则，故是的倍数，是的倍数， 同理可推至是的倍数， 前项都是的倍数； （5） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $