精品解析：湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期数学周考测试（11）

襄阳四中2024级高二上学期数学测试（11） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系，点关于平面的对称点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 或1 4. 已知随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为.记这20名学生此次物理测验成绩的第70百分位数为，这20名学生中此次物理测验成绩不低于分的学生有人，现从这人中随机抽取2人，则这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 在正三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线l：，圆C：，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆C：上存在关于直线：对称的点，则实数m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知椭圆的两个顶点之间的距离为3，则该椭圆的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，P，E分别为线段，AB上的动点，M为线段的中点，下列结论正确是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点E，使得与所成的角为 C. 的最小值为 D. 面积的取值范围为 11. 京剧《唱脸谱》的歌词描绘了外国人眼中京戏的美丽和多样性.其中，“四击头”一亮相，美极啦，妙极啦，简直，顶呱呱!紫色的天王托宝塔，绿色的魔鬼斗夜叉，金色的猴王，银色的妖怪，灰色的精灵笑哈哈!一幅幅鲜明的鸳鸯瓦，一群群生动的活菩萨，一笔笔勾描，一点点夸大，一张张“脸谱”美佳佳!如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线.半圆的方程为，半椭圆的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 点在半圆上，点在半椭圆上，为坐标原点，，则面积的最大值为10 B. 曲线上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为8 C. 若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 D. 画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：糕圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆.那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点作圆的切线，则切线长为__________. 13. 点在曲线上运动，则的最大值为______ 14. 如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为__________米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点. （1）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的负半轴于点为坐标原点，的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 16. 已知圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 17. 已知椭圆方程短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 18. 如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点. （1）求二面角的余弦值： （2）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 19. 如图1，圆C：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程； （2）过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点，记直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； （3）过点作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点，，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2024级高二上学期数学测试（11） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系，点关于平面的对称点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于平面对称点的知识确定正确答案. 【详解】点关于平面的对称点是， 所以点关于平面的对称点B的坐标为. 故选：C 2. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：D 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】由直线平行得到，求解并验证即可. 【详解】由直线与直线平行， 可得：， 解得或， 当时，两直线重合，舍去， 当时，经检验符合题意， 故选：C 4. 已知随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的加法公式求得. 【详解】由题意可得，. 故选：A 5. 某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为.记这20名学生此次物理测验成绩的第70百分位数为，这20名学生中此次物理测验成绩不低于分的学生有人，现从这人中随机抽取2人，则这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求，再确定6人中的成绩分布，应用列举法求古典概率即可. 【详解】因为，所以分， 所以这20名学生中物理测验成绩不低于分的学生有6人， 其中有3人此次物理测验的成绩不高于90分，记为， 有3人此次物理测验的成绩高于90分，记为， 现从这6人中随机抽取2人的情况有，共15种， 其中这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的情况有，共9种， 故所求概率. 故选：D 6. 在正三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，连接，建立空间直角坐标系，利用向量法可求直线与所成角的余弦值. 【详解】因为正三棱柱中，，所以为正三角形， 则取中点，连接，所以，在平面内作， 以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则有，，，， 则，， 记直线所成角为，． 故选：B． 7. 已知直线l：，圆C：，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与l垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设l：即， 令得，所以直线过定点， 而圆C：，圆心为，半径为3， 所以，即定点在圆C内， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心的连线与垂直，此时. 故选：D 8. 已知椭圆C：上存在关于直线：对称的点，则实数m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设对称两点，则，由与椭圆相交得范围， 由中点在直线上又在直线上得之间的关系，利用的范围求范围. 【详解】设椭圆上关于直线对称的两点为，中点为， 则得，且， 设，则由，得， 则，解得， 且，所以，所以， 又，所以，得， 又，所以， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知椭圆的两个顶点之间的距离为3，则该椭圆的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的性质得出及离心率与的关系，结合两顶点间的距离为3计算求解． 【详解】 椭圆的方程为，则， ， 离心率， 两个顶点之间的距离为3，可能为长轴两顶点，短轴两顶点或长轴和短轴的各一个顶点， 或或， 若，则，解得，此时，故C正确； 若，则，得，此时，故D正确； 若，则，解得，此时，故A正确． 故选：． 10. 如图，在棱长为1的正方体中，P，E分别为线段，AB上的动点，M为线段的中点，下列结论正确是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点E，使得与所成的角为 C. 的最小值为 D. 面积的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据高和底面均为定值可判断；对B，建系，利用夹角公式进行判断；对C，转化到同一个平面，利用余弦定理计算；对D，表示出点P到直线的距离，然后用面积公式计算判断． 【详解】对A，点E到平面的距离是定值，为定值， 所以三棱锥的体积为定值，A正确； 对B，建立空间直角坐标系： ，，，设， 所以，， 若与所成的角为， 则， 则，即舍去， 所以存在点E，使得与所成的角为，B错误； 对C，将平面沿着旋转到平面，如图： 的最小值等于CM的长， 因为，，，，，则， 所以，， 所以， ，C正确； 对D，设，， ，所以，，， 点P到直线的距离为， 由，当 时，有 ；当时，有， 所以面积的最小值为，最大值为， 所以面积的取值范围为，D正确． 故选：ACD. 11. 京剧《唱脸谱》的歌词描绘了外国人眼中京戏的美丽和多样性.其中，“四击头”一亮相，美极啦，妙极啦，简直，顶呱呱!紫色的天王托宝塔，绿色的魔鬼斗夜叉，金色的猴王，银色的妖怪，灰色的精灵笑哈哈!一幅幅鲜明的鸳鸯瓦，一群群生动的活菩萨，一笔笔勾描，一点点夸大，一张张“脸谱”美佳佳!如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线.半圆的方程为，半椭圆的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 点在半圆上，点在半椭圆上，为坐标原点，，则面积的最大值为10 B. 曲线上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为8 C. 若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 D. 画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：糕圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆.那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，易得，，从而判断；选项B借助三角换元求解椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到，由基本不等式可以得到的最大值，结合余弦定理即可求出的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程. 【详解】对于A，因为点在半圆上，点在半椭圆上，O为坐标原点，， 则，，则， 当位于椭圆的下顶点时取等号，所以面积的最大值为10，正确； 对于B：曲线C中，当时，，此时与原点距离为4， 当时，，设半椭圆上动点P坐标为，， 则， 所以曲线上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为，错误； 对于C：因为，恰为椭圆的两个焦点. 那么，所以，当且仅当， 即P在x轴上时，等号成立，在中，， 由余弦定理知： ，正确； 对于D：由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点， 在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为， 该点在蒙日圆上，半径为，此时蒙日圆方程为：，正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点作圆的切线，则切线长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即可. 【详解】方程可化为，圆心，半径， 所以切线长为. 故答案为： 13. 点在曲线上运动，则的最大值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】结合已知消元得，再由得，最后利用二次函数性质求解最值. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以当时，最大值为. 故答案为： 14. 如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为__________米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 【答案】或2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律，结合异面直线夹角的意义求解. 【详解】依题意，，而，， 由AB，CD所在直线所成角为60°，得或， 所以 ， 当时，；当时，. 故答案为：或2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点. （1）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的负半轴于点为坐标原点，的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1）或 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意，分直线的截距为0和截距不为0时，分别设出直线方程，将代入直线的方程，即可求解； （2）根据题意，设直线的方程为，其中，分别求得和，得到的面积为，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：当在坐标轴上的截距为0时，符合题意，直线过坐标原点，设直线的方程为. 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； 当在坐标轴上的截距不为0时，设直线的方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为. 综上可得，直线的方程为或. 【小问2详解】 解：如图所示，可得直线的截距不为0，斜率存在且斜率， 设直线的方程为， 令，解得，则，所以； 令，解得，则，所以， 则的面积为 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为12，此时直线的方程为，即. 16. 已知圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由和的坐标，确定的斜率，进而得到垂直平分线的方程，解得圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可. （2）设出和的坐标，由向量坐标运算公式用的坐标表示的坐标，然后代入圆的方程即可求解． 【小问1详解】 因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为， 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为，所以圆的半径， 则圆的方程为：； 【小问2详解】 设，，， 则有，，． 由，可得，解之得， 由点在圆上，得，所以， 即， 故点的轨迹方程为. 17. 已知椭圆方程短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率为，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得和，结合（为坐标原点）的面积为，列出方程求得的值，即可求解. 【小问1详解】 题意可知，椭圆的短轴长为， ∴，．又因为离心率为，可得， 解得，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由椭圆，可得，则右焦点为， 由题意知，直线的斜率不为零，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 可得， 设，，则，， 所以 ， 又由点到直线的距离， 故的面积， 解得或（舍），所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 18. 如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点. （1）求二面角的余弦值： （2）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法计算可得结果；方法二：根据二面角定义作出二面角的平面角，即可求出二面角的余弦值. （2）方法一：设，利用线面角的向量表示计算可得当时，满足题意；方法二：根据题意作出直线与平面所成角的平面角，计算可知当时，满足题意. 【小问1详解】 方法一：依题意，，而平面， 则平面，在平面内过点作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 因此，所以二面角的余弦值为． 方法二：依题意，，而平面， 则平面，在平面内过作于，则， 而平面，则平面，而平面，则， 在平面内过作于，连接，如图， 而平面，则平面，又平面， 因此，为二面角的平面角， 在中，，则，， 在中，，则，， 于是，所以二面角的余弦值为. 【小问2详解】 假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 方法一：，设， 则，而平面的一个法向量为． 依题意，得，解得， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 方法二：作于，如图所示： 由（1）得平面，又平面，则平面平面， 又平面平面，平面，则平面， 因此为与平面所成的角， 在中，由余弦定理得，， 设，则，， 于是，解得， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 19. 如图1，圆C：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程； （2）过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点，记直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； （3）过点作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点，，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上. 【答案】（1） （2） （3） 设直线l的方程为，，， 将椭圆方程与直线方程联立可得， 时，， ，， 所以， ∴：，：， ∴，整理得， 所以动点T在定直线上. 【解析】 【分析】（1）由几何关系得出点Q的轨迹符合椭圆定义，求解即可； （2）设直线MN的方程为，与椭圆方程联立，写出表达式，代入韦达定理化简即可得定值； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出直线GS与HR的方程，利用韦达定理化简得定值，即可求得定直线. 【小问1详解】 连接QA，由已知得.所以. 又因为点A在圆内，所以，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C，A为焦点，2为长轴长的椭圆. 【小问2详解】 由，，设直线MN的方程为，，， 联立方程得， ， 由韦达定理得，， 则 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $