精品解析：四川省成都市2025-2026学年高三一诊数学模拟试题

四川省成都市2025-2026高三一诊模拟试题 注意事项 1.开考前，请先将自己的个人信息填写在答题卡的相应位置. 2.请使用考试规定用笔进行作答，否则后果自负. 3.不得污染，折叠答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的％，则该遗址距今约（ ）年.（参考数据：） A. 3300 B. 3200 C. 3100 D. 3000 7. 设，，，则的大小关系为：（ ）. A. B. C. D. 8. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分数，有选错得0分） 9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 在上单调递增 D. 图像关于原点对称 10. 已知点，，点P在圆上运动，则（ ） A. 直线AB与圆C相离 B. 的面积的最小值为 C. 的最大值为6 D. 当最小时， 11. 在棱长为4的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，为线段（含端点）上一动点，平面交于，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. D. 平面将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前n项和为，若，，则_____. 13. 在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是____ 14. 在锐角中，若，则的最小值是________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，其内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，，为边上的中点，求的长． 16. 如图，在三棱台中，平面，且，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某电信部门推出办卡优惠活动，有A套餐和B套餐，经过顾客喜好数据分析：每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为. （1）假设顾客选择A、B套餐，领取优惠券的概率分别为0.7、0.2，求顾客领取优惠券的概率； （2）假设A套餐包含一张话费优惠券，B套餐包含两张话费优惠券，截至某一时刻，设该商场恰好发出了n张话费优惠券的概率为. （ⅰ）证明（）为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）求数列的最值. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若，求直线l的方程； （3）设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数的定义域为，导函数为，满足，. （1）讨论函数()在上的单调性，并证明：； （2）求函数的图象与函数的图象的交点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市2025-2026高三一诊模拟试题 注意事项 1.开考前，请先将自己的个人信息填写在答题卡的相应位置. 2.请使用考试规定用笔进行作答，否则后果自负. 3.不得污染，折叠答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式求解方法求出，利用指数函数的性质求出，再根据集合间的交集和补集计算即可. 【详解】由题意，即，解得， 可得，所以， 故， 故选：D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量的数乘和加法运算求出与的坐标，再利用向量数量积的坐标运算公式计算它们的数量积，最后通过化简得到与的关系式． 【详解】，即． 故选：A. 4. 函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用定义法证明为偶函数，根据，结合排除法即可求解. 【详解】的定义域为R， 则， 所以为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项； 又因为，故排除B选项. 故选：A． 5. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：D 6. 当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的％，则该遗址距今约（ ）年.（参考数据：） A. 3300 B. 3200 C. 3100 D. 3000 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数模型求解． 【详解】设碳14含量一年后为上年的倍，则，①， 设该遗址距今约年，则，②， ①②式分别取以2为底的对数得：，， 两式相除得，． 故选：C． 7. 设，，，则的大小关系为：（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别构造函数，，利用导数求导，得单调性求解即可． 【详解】令，求导得，，， 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增， 所以，所以，当且仅当，时等号成立，所以， 所以，设，则， 记，则，记， 则，所以在上单调递增， 故时，，即， 所以在上单调递增，故时，， 即，所以在上单调递增， 故时，，即，所以， 又，所以，即，所以． 故选：A 8. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用通过将原不等式转化为，令，利用导数可得该函数为增函数，从而得，再设，求出该函数的最大值后可得参数的取值范围. 【详解】依题意，，则， 令，则， 则，令，解得， 故当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 故， 故在上单调递增，故只需，即， 令，则， 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 故，则，即， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分数，有选错得0分） 9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 在上单调递增 D. 图像关于原点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换规律得出，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；计算的值可判断B选项；由，在的单调性可判断C选项；利用奇函数的定义可判断D选项. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象 . 对于A选项，函数的最小正周期为，A选项正确； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，则，，在上单调递增，C选项正确； 对于D选项，函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数，D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知点，，点P在圆上运动，则（ ） A. 直线AB与圆C相离 B. 的面积的最小值为 C. 的最大值为6 D. 当最小时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得直线AB的方程为，得到圆心C到直线AB的距离，可判定A正确；由，点P到直线AB的距离的最小值为，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据，可判定C正确；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动， 则圆心为，半径为2，直线AB的方程为， 则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为， 则面积的最小值为，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确. 故选：ACD． 11. 在棱长为4的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，为线段（含端点）上一动点，平面交于，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. D. 平面将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为 【答案】AC 【解析】 【分析】取中点，先判断四边形为平行四边形，然后利用线面平行的判定得平面，从而利用线面平行知点面距离为定值，进而三棱锥的体积不变判断A，连接，利用三角形知识知高线距离最短，利用余弦定理及勾股定理求解的高即可判断B，利用面面平行的性质得，作，利用求解，即可判断C，利用基本事实作出截面，利用体积分割法求出的体积，结合正方体的体积求出另外一部分的体积，即可判断D. 【详解】对于选项A：取中点，因为为侧面的中心， 所以，且，又，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，即平面，即平面， 则点到平面的距离恒为直线到平面的距离， 而，则三棱锥的体积不变，正确； 对于选项B：连接，则， , 作出平面三角形可知时，取得最小值， 此时由余弦定理得， 所以， 所以，不正确； 对于选项C：由平面平面， 而平面与两个平面分别交于，则. 作，则，则，所以， 所以，正确； 对于选项D：连接延长至与交于，连接， 由选项C知，则截面为，记几何体的体积为， 则， 则另一部分的体积，则，不正确. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前n项和为，若，，则_____. 【答案】21 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质列式求解. 【详解】依题意，成等差数列，而，， 因此，解得. 故答案为：21. 13. 在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是____ 【答案】 【解析】 【分析】灯亮即开关闭合，且，至少有一个闭合，结合对立事件和独立事件的概率可解得结果. 【详解】设“开关，，闭合”分别为事件，，，则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥， 所以， 故答案为：. 14. 在锐角中，若，则的最小值是________ 【答案】8 【解析】 【分析】由可得，在中，利用和角的正切公式化简推出，于是得到，再利用基本不等式即可推得，从而得到的最小值. 【详解】由，得， 因为为锐角三角形，所以均大于0， 所以， 又 ， 所以， 解得，当且仅当，即，即时取等号，解得或， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，其内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，，为边上的中点，求的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据，结合已知条件整理化简，求得，则得解； （2）根据面积公式，求得，再由余弦定理求得，利用余弦定理求得，再在△中，由余弦定理求得. 【小问1详解】 因为，即， 且， 即， 得，且，则， 可得，且，所以． 【小问2详解】 如图： 因为，， 由，所以，解得， 在中，由余弦定理得，则， 又D为BC边上的中点，所以， 在中，由余弦定理得，则， 在中，由余弦定理得， 所以． 16. 如图，在三棱台中，平面，且，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：连接，则四边形为矩形. 因为， 所以， 又，所以， 所以，故. 因为是的中点，所以. 因为平面平面，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可得，由是的中点，可得，据此可完成证明； （2）由平面，可如图建立空间直角坐标系，据此可得平面的法向量，据此可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面， 所以， 因为，所以， 又平面，所以平面. 由（1）知，故以为坐标原点， 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 因为，所以由棱台的性质得， 所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，取， 则，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 某电信部门推出办卡优惠活动，有A套餐和B套餐，经过顾客喜好数据分析：每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为. （1）假设顾客选择A、B套餐，领取优惠券的概率分别为0.7、0.2，求顾客领取优惠券的概率； （2）假设A套餐包含一张话费优惠券，B套餐包含两张话费优惠券，截至某一时刻，设该商场恰好发出了n张话费优惠券的概率为. （ⅰ）证明（）为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）求数列的最值. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）商场恰好发出了n张话费优惠券的事件，是发放张后选择A套餐的事件， 与发放张后选择B套餐的事件的和， 则，， ，而， 因此（）是以为首项，为公比的等比数列， 当2时，， ，而满足上式， 所以. （ⅱ）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式求解. （2）（ⅰ）根据给定条件可得，构造新数列推理得证，并借助累加法及等比数列前n项和公式求出通项公式；（ⅱ）由（ⅰ）中通项公式，按奇偶讨论并借助单调性求出最值. 【小问1详解】 记选择A套餐的事件为，顾客领取优惠券的事件为， 则， 因此. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）当（ⅰ）知，， 当为偶数时，，数列是递减数列，， 当为奇数时，，数列是递增数列，， 所以数列的最小值为，最大值为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若，求直线l的方程； （3）设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）椭圆C的标准方程为； （2）直线l的方程为； （3）点N不在定直线上 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质确定a、c的值，即可求出椭圆方程. （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，，结合韦达定理和共线向量坐标关系求解. （3）首先利用点差法求得直线的方程，然后分别取个不同的值，求解相应个点坐标，由向量不共线即可说明点N不在某条定直线上. 【小问1详解】 根据椭圆的性质，椭圆，离心率（c为半焦距）， 且椭圆上一点到左焦点距离的最大值为． 由离心率，可得， 因为椭圆上一点M到的距离的最大值为3，即， 将代入，可得，解得，那么， 根据，可得． 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 设，，，因为直线l过， 当直线l斜率不存在时，与方向相反，不满足， 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为． 联立直线与椭圆方程，消去y可得： ， 由韦达定理得，． 因为，所以， 即，也就是． 将代入，可得，即，． 再代入，可得， 解得， 所以直线l的方程为． 【小问3详解】 由（2）知直线AB过，由题意其斜率存在， 设直线AB方程，令，得，所以． 由过点，且，则是PQ中点； 当时，直线即为轴，与轴交于原点即，与椭圆交于长轴两点， 此时不妨取， 则过原点的直线与椭圆交于两点，恒有， 由对称性可知，即两直线无交点，不符合题意， 故， 结合椭圆对称性可知，设，， 则，． 由，两式相减得： 将，代入上式，可得， 因为，所以，即PQ垂直于y轴，直线方程为． 联立，可得，，， 不妨设，,其中， 由（2）知，设，，不妨设， 由，． 故当时，则，又由， 可解得， 则，且， 此时交点； 故当时，则，又由， 可解得， ， 且， 此时交点； 当时，，则，， ，， 此时交点； ，， 因为， 所以不共线，故动点不在定直线上； 同理由对称性可知，当时，也不在定直线上， 综上可得，动点不在定直线上. 19. 已知函数的定义域为，导函数为，满足，. （1）讨论函数()在上的单调性，并证明：； （2）求函数的图象与函数的图象的交点个数. 【答案】（1） 令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， ①当时，，在上单调递增； ②当时，对任意恒成立， 此时在恒成立，在上单调递减； ③当时，，所以对任意恒成立， 此时在恒成立，在上单调递增； ④当时，令得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增,在上单调递减； 因此，取得，，即； 取得，，即; 故. （2）2 【解析】 【分析】(1)利用导数思想，结合分段讨论，能得到函数的单调区间，并利用，可得，结合赋值可比较大小； (2)利用交点问题转化为方程解的个数问题，再构造函数转化为函数零点个数问题，从而利用求导来判断单调性，结合特殊点的取值正负，可确定零点所在的区间及个数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：题意等价于方程的不同解的个数， 令，又等价于函数的不同零点个数， 则. 令，则. 因此在上单调递增，由于为增函数，， 故， 因此存在，使得当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 而，， 故在，分别存在唯一零点 因此函数的图象与函数的图象的交点个数为. 法二：题意等价于方程的不同解的个数， 令，又等价于函数的不同零点个数， 则， 令，则，， 故在上单调递增，且，， 因此存在，使得当时，；当时，， 故在递减，在递增， 而，，， 故在，分别存在唯一零点， 因此函数的图象与函数的图象的交点个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $