精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期上学期 高一数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得. 【详解】由集合，得. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定定义即可求解. 【详解】命题“，”中含有全称量词， 故该命题的否定需要将全称量词改为存在量词，且只否定结论，不否定条件， 所以该命题的否定为：“，”. 故选：C. 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将条件式弦化切结合角范围求得，利用二倍角正切公式求解. 【详解】依题意得，解得或3. 因为，所以， 所以. 故选：D. 4. 命题“，”的否定是（    ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：A 5. 已知在上是减函数，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数、一次函数、对数函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数在上是减函数， 则函数在上为减函数，则，可得， 函数在上为减函数，则， 且有，解得. 综上所述，. 故选：D. 6. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】由集合，，得. 故选：D 7. 中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数. 【详解】对于A，和定义域均为R， ， 故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误； 对于B，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为，定义域为R， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误； 对于D，定义域为R，定义域为， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 8. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求否定是“”． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，则下列结论一定正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用举实例判断A选项，利用不等式的基本性质判断B选项，利用作差法比较大小判断C，D选项． 【详解】解：因为，所以 选项A，当，，时，则，故A错误； 选项B，由于，所以，则，故B正确； 选项C，因为，所以，则，则，故C正确； 选项D，，，，，故D正确. 故选：BCD． 10. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递减 C. 最大值2 D. 其图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用辅助角公式得到，利用函数奇偶性定义得到A正确；B选项，根据在上的单调性得到B正确；C选项，在A选项基础上得到最大值；D选项，代入得到，D正确. 【详解】A选项， ， 由于定义域为R，且， 故为偶函数，A正确； B选项，时，， 由于在上单调递减，故在上单调递减，B正确； C选项，的最大值为，C错误； D选项，当时，，故图象关于点对称，D正确. 故选：ABD 11. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象得到 再由得到，然后由的图象过点求得解析式后逐项判断. 【详解】由图象得，，而，则， 由的图象过点，得，解得， 而的周期有，即，解得， 因此，A正确； 函数的图象向左平移个单位长度后得到的新函数是： ，非奇非偶函数，B错误； ，C正确； 显然， 若方程在上有且只有6个根，则，D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知半径为3的扇形面积为，则这个扇形的圆心角为 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】 由扇形的面积公式直接求解. 【详解】由扇形面积公式， 可得圆心角， 故答案为：. 【点睛】(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． (2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值. 13. 已知函数在区间上有且仅有两个零点，则最大值是________ 【答案】## 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简题中函数，再结合的范围及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因， 则由，得， 因为函数在区间上恰有两个零点， 所以，解得， 所以的最大值是. 故答案为：. 14. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，则__________（用表示），由可以得出的关于的不等式为__________． 【答案】 ①. ②. （也可以写作） 【解析】 【分析】确定，根据线段间的关系计算，确定，根据得到不等式. 【详解】，， ， 由可得，即． 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期，对称中心坐标和的单调递减区间； （2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值. 【答案】（1），对称中心为，单调递减区间 （2）最小值为， 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式，余弦公式，辅助角公式化简函数解析式；利用周期公式求周期，利用整体思想，结合正弦函数的性质依次求对称中心坐标和单调递减区间即可； （2）由自变量的取值范围确定变量的取值范围，利用正弦函数的性质，即可求最小值和取得最小值时x的值. 【小问1详解】 ， 所以，函数的最小正周期为. 由，解得， 所以函数的对称中心为； 由，解得. 所以函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，， 当，即时，函数取得最小值，最小值为． 16. （1）已知，试比较与的大小． （2）已知命题，命题，其中．当时，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）利用作差法判断即可； （2）首先求出命题、所对应的不等式的解集，即可得到是的真子集，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】（1） ， ； （2）， ， ，解得， 命题对应不等式的解集为； 又， ， 当时，不等式的解集为， 命题对应不等式的解集为， 当时，若是的必要不充分条件， 即是的真子集， ，，即. 17. 已知集合，，回答下列问题： （1）设命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若不存在实数使且同时成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，即可求出，依题意真包含于，即可得到不等式组，解得即可； （2）依题意可得，分、两种情况讨论，分别求出参数的取值范围； （3）依题意，分、两种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【小问1详解】 由，即，解得或， 所以或， 所以， 即命题， 又命题，且是成立的充分不必要条件，即推得出，推不出， 所以真包含于，又，所以，解得， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 因为，所以， 若，即，解得，此时符合题意； 若，则或，解得或， 综上可得实数的取值范围或； 【小问3详解】 因为不存在实数使且同时成立， 所以， 若，即，解得，此时符合题意； 若，则，解得； 综上可得实数取值范围为或. 18. 已知函数的最大值为3． （1）若的定义域为，求的单调递增区间； （2）若，求的值． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式将化简并利用最值可得，再由三角函数单调性解不等式即可求得单调递增区间； （2）代入解析式可求得，再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式求，最后利用诱导公式可求． 【小问1详解】 将化简可得， 因为，所以．此时， 当时， 令．得；令，得， 所以的单调递增区间为和． 【小问2详解】 由（1）知． 由，得， 所以．又因为．所以， 所以． 所以， 所以． 19. 根据要求完成下列问题： （1）若、、． ①求证：； ②求证：； ③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． （2）设x、，求证：成立的充要条件是. 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；③能找到， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①根据的符号去绝对值即可证不等式成立； ②根据同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性质可证明不等式成立； ③在的两边同时乘以得，在的两边同时乘以得，即可证明. （2）证明充分性：如果，则有和两种情况，分别证明即可；证明必要性：若且，则，化简即可. 【小问1详解】 ①∵，且、， ∴，∴； ②∵，∴， 又，∴， ∴， ∴， ∵、， ∴，由①知， ∴， ∴； ③∵，， ∴或（只要写出其中一个即可）； 【小问2详解】 ①充分性：如果，则有和两种情况， 当时，当时，则、，等式成立， 当时，则、，等式成立， 当时，等式成立， 当时，即、或、， 当、时，、，等式成立， 当、时，、，等式成立， ∴当时，等式成立， ∴当时，成立， ②必要性：若且，则， 即，则，故， 综上所述，是等式成立的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期 高一数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，且，则（ ） A B. C. D. 4. 命题“，”的否定是（    ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知在上是减函数，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 7. 中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，则下列结论一定正确的有（ ） A. B. C D. 10. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递减 C. 最大值为2 D. 其图象关于点对称 11. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若方程上有且只有6个根，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知半径为3的扇形面积为，则这个扇形的圆心角为 ________ ． 13. 已知函数在区间上有且仅有两个零点，则的最大值是________ 14. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，则__________（用表示），由可以得出的关于的不等式为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期，对称中心坐标和的单调递减区间； （2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值. 16. （1）已知，试比较与的大小． （2）已知命题，命题，其中．当时，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 已知集合，，回答下列问题： （1）设命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若不存在实数使且同时成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数的最大值为3． （1）若定义域为，求的单调递增区间； （2）若，求的值． 19. 根据要求完成下列问题： （1）若、、． ①求证：； ②求证：； ③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． （2）设x、，求证：成立的充要条件是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $