江西省南昌市第二中学2025-2026学年高三上学期周测（七）数学试题

南昌二中2025-2026学年度上学期高三数学周练（七） 一、单选题： 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知两个不重合的平面，和直线l，若，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若，，则或，故充分性不成立； 若，，则或或直线l与平面相交，故必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D． 2．下列说法正确的是（    ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．若四棱柱有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 C．若四棱柱的四条对角线长度相等，则该四棱柱为直四棱柱 D．若四棱柱的四个侧面全等，则该四棱柱为直四棱柱 【解析】解：对于A，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，因为顶点在底面的投影不一定是底面的中心，因此A不正确（比如图1）； 对于B，若四棱柱有两个侧面垂直于底面，而其它两个侧面与底面不一定垂直，因此该四棱柱不一定为直四棱柱，因此B不正确（比如图2）； 对于C，四棱柱的四条对角线长度相等，则该四棱柱的两个对角面为矩形，因此此棱柱为直四棱柱，因此C正确； 对于D，若四棱柱的四个侧面全等，则该四棱柱为不一定为直棱柱，也可能为斜棱柱，因此D不正确（比如图3）；故选：C． 3．如果为各项都大于零且不相等的等差数列，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为如果为各项都大于零组不相等的等差数列， 所以， 对于A，B，， 因为，所以，所以，即，故错误，B正确； 对于C，D，， 因为，所以，大于0或者小于0不能确定， 所以和大小关系无法确定，故错误，故选：B. 4．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【解析】由可知中一个大于1，一个小于1，结合，可知，又，故，故公比，A错误，，故B错误，可知，故无最大值，的最大值为，C错误，D正确，故选：D 5．定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数列”．已知在“等差比数列”中，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由题知是首项为1，公差为2的等差数列，则， ．故选：A 6．已知正方体，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若则点的轨迹所围成的图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】如图所示，连接交平面于O，连接EO， 平面，平面，故， ，，平面，故平面， 平面，故， 同理可得，，平面，故平面，所以∠AEO是AE与平面所成的角，，所以， 在四面体中，，， 所以四面体为正三棱锥，O为的重心，如下图所示， 所以，， 因为，所以， 又E在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为OE的圆， 所以E在平面内的轨迹围成的图形面积． 故选：A 7．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，，，若对任意的，都有，则正整数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】设数列的公比为. 由得，所以，故. 因为，显然，所以，得，所以. 因为对任意的都成立，等比数列的各项均为正数， 所以对任意的都成立，所以. 记，则，，所以当时，，即； 当时，，即；当时，，即.所以当或时，取得最大值， 所以或，对任意的，都有，所以正整数的最大值为5.故选： 8．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（    ）    ①圆的面积为；②椭圆的长轴长为；③双曲线两渐近线的夹角正切值为；④抛物线的焦点到准线的距离为 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解析】对于①，M为母线的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为2，则圆的面积为，故①正确； 对于②，如图，在圆锥的轴截面中，作,垂足为C， 由题意可得M为母线的中点，则, 故椭圆的长轴长为,②正确； 对于③，如图，在与平面垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点P到底面距离相等， 则点M坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为D，其坐标为， 则设双曲线方程为， 则，将代入双曲线方程，得， 设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则， 故双曲线两渐近线的夹角正切值为，③错误； 对于④，如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线与底面圆的一个交点为H， 则，则, 设抛物线方程为，则， 即抛物线的焦点到准线的距离为，④错误， 故正确的命题有2个， 故选：C 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为E，且圆E是正方形ABCD的内切圆.F为圆E上一点，G为棱BB1上一点（不可与B，B1重合），H为棱A1B1的中点，则（    ） A．|HF|∈[2,] B．△B1EG面积的取值范围为(0,] C．EH和FG是异面直线 D．EG和FH可能是共面直线 【解析】A：当为中点时，最小为2，当为中点时，最大为，正确； B：由，错误； C：由图，当在圆上运动过程中，定直线EH和FG能相交，故不一定为异面直线，错误； D：由定直线EH和FG能相交，知EG和FH可能是共面直线，正确. 故选：AD 10．记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．存在常数A、B，使数列是等比数列 D．对任意常数A、B，数列都是等差数列 【解析】对于A，若，则，A正确； 对于B，若，则，B正确； 对于C，由得， 当时，， 所以，当时，数列是公比为1的等比数列，C正确； 对于D，由上知，当时，若，则， 此时，数列不是等差数列，D错误. 故选：ABC 11．已知圆台上、下底面半径分别为1，4，半径为的球内切于圆台，则（   ） A． B．圆台侧面展开图扇环的圆心角为 C．过的截面与底面所成角为60°时，到截面距离为 D．在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为 【解析】对A，圆台上、下底面半径分别为1，4，， 则半径为的球内切于圆台，所以，故A正确； 对B，由A母线长为5，设圆台侧面展开图扇环的圆心角为，则根据扇形弧长，所以，故B正确； 对C，过的截面与底面所成角为60°时，圆面， 所以，到截面距离为，故C错误； 对D，由题意A，圆台中能放下的最大球的半径为，直径为， 故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱与底面所成角为45°，则该正四棱台的体积为 . 【解析】如图，点分别为上下底面的中心，连接， 在正四棱台中，有平面，又平面，所以平面平面， 在平面内，过点作于点，又平面平面，所以平面， 所以是在平面上的射影，所以是直线与平面所成角的平面角， 又侧棱与底面所成角为45°，所以， 因为上底面边长为，下底面边长为，所以，， 则，，所以，则四棱台的高为， 所以该正四棱台的体积为. 故答案为：. 13．欧拉函数表示不大于正整数且与互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.知，其中，是的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如.若数列是首项为3，公比为2的等比数列，则 . 【解析】由题意可得， 则， 当时，， 则. 故答案为： 14．棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为 .  【解析】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，设，， 所以， ， 因为平面， 所以， 故， ，故， 其中， 故， 故当时，，此时满足要求， 所以线段PQ的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O（O为坐标原点）交于点A（x1，y1），将射线OA按逆时针方向旋转后与单位圆O交于点B（x2，y2），＝x1﹣x2． (1)若角为锐角，求的取值范围； (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，c＝3，△ABC的面积为3，求a的值． 【解析】（1）由三角函数的定义可知， 所以 ， 因为，所以，所以，所以， 所以的取值范围为 （2）由，得，所以， 因为， 所以，所以， 因为，，所以， 由余弦定理得，所以 16．（15分）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与夹角的余弦值． 【解析】（1）在三棱台中，设的中点为，连接，由为的中点， 得，又平面，平面，则平面， 由为梯形的中位线，得，又平面，平面， 则平面，而，平面，平面， 因此平面平面，又平面，所以平面.      （2）取的中点，的中点，连接、、、、， 由，是中点，得四边形是平行四边形， 则，又是中点，是中点，则， 即就是异面直线与夹角， 又底面，与都是等腰直角三角形，， 则，， ，因此， 所以异面直线与夹角的余弦值为. 17．（15分）已知等差数列的前项和为，，为整数，且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，且数列前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）设等差数列的公差为. 由，可知，，即 因为为整数，所以， 结合不等式组解得， 所以. （2）由（1）可知. 当为偶数时， . 又，即对任意偶数都成立，所以. 同理，当为奇数时， ， 又，即对任意奇数都成立， 易知当奇数时，函数取得最小值-15， 故. 综上，. 18．（17分）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点．． (1)求证：是直角三角形； (2)求四棱锥体积的最大值； (3)求平面与平面的夹角余弦值的范围． 【解析】（1）设平面平面PCD， 由于，平面ADC，平面ADC， 因此平面PDC，而平面APB，平面平面， 因此，而，因此． 而平面平面PCD，平面平面，平面， 因此平面PDC，而平面PDC，因此. 故△PEF是直角三角形．（5分） （2）由于，，因此P是以EF为直径的球面上的点． 而，，平面PEF， 因此平面PEF，而AB平面ABCD， 因此平面平面ABCD． 故P到平面ABCD的最大距离为， 四棱锥体积最大为．（10分） （3）设EF中点为O，作过O垂直EF的直线m． 设平面PEF与平面PBC夹角为． 以O为原点，OE，m，过O垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，并设． 平面PEF的一个法向量为， ，， 设平面PBC的法向量为，因此，可取 ，不妨设， ，，因此随增大而增大 因此． （17分） 19． （17分）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求，的值. (2)若正项数列的前项和为，且，，证明： （ⅰ）； （ⅱ）. 【解析】（1）， 由题意可得，则， 又，切点在切线上， 所以，则，所以，解得； （2）（ⅰ）因为，所以要证，即证 又，所以即证， 因为数列为正项数列，所以可设，不等式化为， 设，则恒成立， 故函数在上单调递增，则恒成立， 即在上恒成立，则原命题得证； （ii）先证明，即证， 设， 则， 又设函数，则，所以时，， 则函数在上单调递增，故， 即当时，恒成立，所以， 所以， 所以，则在上单调递增， 所以，则所证不等式成立， 因为，所以，所以， 又，所以， 所以当时，， 又当时，， 故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2025-2026学年度上学期高三数学周练（七） 一、单选题： 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知两个不重合的平面，和直线l，若，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列说法正确的是（    ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．若四棱柱有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 C．若四棱柱的四条对角线长度相等，则该四棱柱为直四棱柱 D．若四棱柱的四个侧面全等，则该四棱柱为直四棱柱 3．如果为各项都大于零且不相等的等差数列，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 5．定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数列”．已知在“等差比数列”中，则（    ） A． B． C． D． 6．已知正方体，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若则点的轨迹所围成的图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，，，若对任意的，都有，则正整数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（    ）    ①圆的面积为；②椭圆的长轴长为；③双曲线两渐近线的夹角正切值为；④抛物线的焦点到准线的距离为 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为E，且圆E是正方形ABCD的内切圆. F为圆E上一点，G为棱BB1上一点（不可与B，B1重合），H为棱A1B1的中点，则（    ） A．|HF|∈[2,] B．△B1EG面积的取值范围为(0,] C．EH和FG是异面直线 D．EG和FH可能是共面直线 10．记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．存在常数A、B，使数列是等比数列D．对任意常数A、B，数列都是等差数列 11．已知圆台上、下底面半径分别为1，4，半径为的球内切于圆台，则（   ） A． B．圆台侧面展开图扇环的圆心角为 C．过的截面与底面所成角为60°时，到截面距离为 D．在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱与底面所成角为45°，则该正四棱台的体积为 . 13．欧拉函数表示不大于正整数且与互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.知，其中，是的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如.若数列是首项为3，公比为2的等比数列，则 . 14．棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为 .  四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O（O为坐标原点）交于点A（x1，y1），将射线OA按逆时针方向旋转后与单位圆O交于点B（x2，y2），＝x1﹣x2． (1)若角为锐角，求的取值范围； (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，c＝3，△ABC的面积为3，求a的值． 16．（15分）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与夹角的余弦值． 17．（15分）已知等差数列的前项和为，，为整数，且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，且数列前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点．． (1)求证：是直角三角形； (2)求四棱锥体积的最大值； (3)求平面与平面的夹角余弦值的范围． 19． （17分）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求，的值. (2)若正项数列的前项和为，且，，证明： （ⅰ）；（ⅱ）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $