第二章 有理数及其运算（期末专项训练）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册（济南专用）

第二章 有理数及其运算（期末专项训练）-2025-2026学年数学北师大版七年级上学期（济南专用） 知识点1．正负数的定义 1．（23-24济南高新七上期中）我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向北走5步记作步，那么向南走7步记作（   ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】A 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：向北走5步记作步， 向南走7步记作步． 故选：A． 2．（23-24济南东南片区七上期中）若将顺时针旋转记为，则逆时针旋转可记为 ． 【答案】 【分析】根据正、负数的意义解答即可． 【详解】若将顺时针旋转记为，则逆时针旋转可记为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正、负数的意义，明确正、负数是两种相反意义的量是解题关键． 3．（25-26济南天桥七上期中）《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6~9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示，我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法． 如： “”表示+238，则“”表示． 那么，“”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了负数的定义，解题关键是通过阅读材料理解和掌握我国古代用算筹记数的规定．根据题中规定解答即可． 【详解】 解：根据题意得：“”表示的数是， 故答案为：． 知识点2．相反意义的量 4．（25-26济南历下七上期中）如果风车逆时针旋转记作，那么风车顺时针旋转记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反意义的量，根据题意，逆时针旋转记为正，顺时针旋转记为负，进行求解即可． 【详解】解：由题意，风车逆时针旋转记作，那么风车顺时针旋转记作． 故答案为：． 5．（24-25济南历下七上期末）某冰箱冷藏室的温度是零上，记作，冷冻室的温度是零下应记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：零上，记作，冷冻室的温度是零下应记作 故选：B． 6．（24-25济南历下七上期末模拟）大自然的鬼斧神工孕育了我国恢宏壮阔的地形，珠穆朗玛峰在海平面上，记为，吐鲁番盆地在海平面下155米，记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正负数的意义，根据正负数所表示的意义求解即可，海平面上记为，海平面下记为． 【详解】珠穆朗玛峰在海平面上，记为，吐鲁番盆地在海平面下155米，记为 故答案为：． 知识点3．正负数的实际应用 7．（25-26济南兴济中学10月七上第一次月考）某款手机销量同比去年减少，记作，另一款手机销量同比去年增加64%，记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查具有相反意义的量，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相反意义的量解答即可． 【详解】解：根据题意，另一款手机销量同比去年增加64%，记作． 故选：C． 8．（25-26济南高新10月七上联考）出租车司机小李新年这天从鼓楼出发，上午营运时是在南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接的六位乘客的行车里程（单位：）如下： ． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括3km），超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)鼓楼以北处 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法和正负数的意义，有理数的运算在实际问题中的应用，包括位置的确定、耗油量的计算以及车费的计算． ()先将这几个数相加，根据题干规定，若和为正，则在出发点的南方；若和为负，则在出发点的北方；； ()将这几个数的绝对值相加，再乘以耗油量，即可得出答案； ()分别计算六次行程的车费后求和，即可． 【详解】（1）解：． 答：将最后一位乘客送到目的地时，小李在鼓楼以北处． （2）， ， 答：出租车共耗油． （3）第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 总车费为(元)． 答：小李这天上午共得车费元． 知识点4．带“非”字的有理数 9．（24-25济南历下七上期中）在，，，，中，非负数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．非负数即和正数，据此进行判断即可． 【详解】解：在，，，，中，非负数是，，，共有个， 故选：A． 10．（23-24济南平阴七上期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，，，0，3.14，，． 正有理数集合：{           …}， 负整数集合：{             …}， 正分数集合：{            …}， 非负整数集合：{          …}． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了有理数的知识，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据有理数的分类填写即可． 【详解】解：正有理数集合：，0.0708，3.14，，， 负整数集合：，， 正分数集合：，3.14，，， 非负整数集合：，0，． 故答案为：1，0.0708，3.14，；；0.0708，3.14，；1，0． 知识点5．利用数轴比较有理数的大小 11．（25-26济南高新七上期中）把下列各数表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． ，，0，． 【答案】数轴见解析， 【分析】此题考查数轴、有理数大小比较，解题关键在于运用数轴进行有理数的大小比较． 先画出数轴并在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点从左到右用“＜”号将这些数连接起来． 【详解】解：如图所示： 用“”把它们连接起来为：． 12．（25-26济南槐荫七上期中）在数轴上画出表示、2、、这些数的点，并按从小到大的顺序，用“”把这些数连接起来． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数并比较大小． 先在数轴上表示各数，再比较大小即可． 【详解】解：数轴如下： 则． 知识点6．数轴上两点之间的距离 13．（25-26济南兴济中学10月七上第一次月考）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度，则数轴上点B所对应的数b为 ． 【答案】 【分析】由长度是厘米求出数轴的单位长度是厘米，再由的长度是，即可求解． 【详解】解：∵， ∴数轴的单位长度是厘米， ∵， ∴在数轴上的距离是3个单位长度， ∴点B所对应的数b为． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴的概念，关键是确定数轴上的单位长度是多少厘米． 14．（25-26济南高新逸家初中9月七上月考）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据圆的周长公式得到圆滚动的长度，结合数轴上两点间距离即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 点A滚动长度为：， ∴点表示的数是：， 故选B． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离及点坐标关系，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离是两数之差的绝对值． 知识点7．相反数的定义 15．（25-26济南历下七上期中）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：的相反数是 故选A． 16．（25-26济南槐荫七上期中）的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解： 的相反数是2025． 故选：B． 知识点8．绝对值的几何意义 17．（25-26济南历城六中10月七上第一次月考）如果|a|=－a，下列各式一定成立的是        （    ） A．a>0 B．a>0或a=0 C．a<0或a=0 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0可作答． 【详解】如果|a|=-a，即一个数的绝对值等于它的相反数，则a<0或a=0． 故选C． 【点睛】本题主要考查的类型是：|a|=-a时，a≤0．此类题型的易错点是漏掉0这种特殊情况．规律总结：|a|=-a时，a≤0；|a|=a时，a≥0． 18．（25-26济南外国语10月七上第一次月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)米 【分析】（）由可知式子表示到和到的距离之和，当在和之间时，距离之和最小，进而根据两点间距离公式即可求解； （）同理（）解答即可； （）以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，可得所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，分、、时，去绝对值，得出的取值范围，可知当时，即点与点重合时，该距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴式子表示到和到的距离之和， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当在和之间时，距离之和最小，最小值为，此时的取值范围， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴式子表示分别到、、的距离之和， 同（1）可知，时，到到、的距离之和最小， ∴当时，分别到、、的距离之和最小， 即时，分别到、、的距离之和最小，最小值为， 故答案为：，； （3）解：如图，以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 由（1）（2）可知点在、之间， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：当时，即点与点重合时，该距离之和最小，最小值为， 知识点9．求一个数的绝对值 19．（25-26济南历城七上期中）的绝对值是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的绝对值；绝对值表示数轴上点到原点的距离，恒为非负数． 【详解】解：∵ 绝对值的定义是数到原点的距离，且距离非负， ∴． 故选： B． 20．（22-23济南天桥七上期中）的绝对值是（    ） A． B．2022 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，利用绝对值的定义判断，解题的关键是掌握绝对值的定义． 【详解】解：． 故选：B． 知识点10．绝对值非负性 21．（22-23济南长清七上期中）若 ，则 ． 【答案】5 【分析】根据非负数的性质求解即可. 【详解】解： ∴m-2=0，n+3=0 ∴m=2，n=-3 ∴5 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握性质根据整式和等于为，则每项单项式都为零求解即可. 知识点11．有理数大小比较 22．（25-26济南高新七上期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”号） 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：，， ∵，， ， ∴ ， 即 ． 故答案为：． 23．（25-26济南泺口实验学校9月七上第一次月考）比较大小： （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较， 分别求出两个负数的绝对值，再比较可得答案. 【详解】解：因为，且， 所以. 故答案为：. 知识点12．有理数加法运算 24．（25-26济南历城七上期中）如图是一个正方体的表面展开图，将它折叠成一个正方体后，相对面上的数字和都相等，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，熟练掌握正方体表面展开图的特征判定相对的面是关键． 根据正方体表面展开图的特征判定相对的面，再根据相对面上的数字和都相等求解即可． 【详解】解：依题意可知，x与是相对面，y与8是相对面，与3是相对面， 相对面上的数字和都相等， ，， 解得，， 故答案为： 25．（25-26济南高新逸家初中9月七上月考）大于且小于的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】列出大于且小于的所有整数，有，0，1，2，相加可求出解． 【详解】解：大于且小于的所有整数，有，0，1，2， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查有理数大小比较以及整数的概念，，有理数的加法运算，解题的关键是熟练掌握比较有理数的大小的方法：（1）负数正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小． 知识点13．有理数加法在生活中的应用 26．（25-26济南高新逸家初中9月七上月考）杨梅开始采摘啦！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这4筐杨梅的总质量是（　     ） A．19.7千克 B．19.9千克 C．20.1千克 D．20.3千克 【答案】C 【分析】根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：（千克）， 故选：C． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则． 27．（25-26济南外国语10月七上第一次月考）某天一个巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶纪录如下（单位：千米）：，，，，，，， (1)在岗亭哪个方向？距岗亭多远？ (2)离开出发点最远时是多少千米？ (3)若摩托车行驶10千米耗油0.5升，巡逻完成从岗亭到处共耗油多少升？ 【答案】(1)在岗亭南边，距岗亭9千米 (2)11千米 (3)3.15升 【分析】（1）求出记录数据之和，即可作出判断； （2）找出各个位置离出发点的距离，比较即可； （3）求出各数据绝对值之和，乘以即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：， 答：在岗亭南边，距岗亭9千米； （2）解：，；，；，；，；，；，；，；，， 答：在行驶过程中，最远处离出发点11千米； （3）解：根据题意得：， （升， 答：这一天共耗油3.15升． 【点睛】此题考查了正数与负数应用，有理数加法的应用，熟练掌握正负数的意义有理数加法法则是解题的关键． 知识点14．有理数的加减混合运算 28．（25-26济南泉海学校10月七上第一次月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （4）根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 知识点15．有理数加减混合运算的应用 29．（25-26济南槐荫七上期中）小颖在超市买了一盒某种品牌的蛋糕（共计6个），她把6个蛋糕的质量称重后统计如下表（表一）： 表一 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 表二 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)为了简化运算，小颖选取了一个标准质量，依据标准质量把每个蛋糕质量超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（表二）．请把表格补充完整： (2)已知蛋糕包装盒标记的总质量为（420±2）克，小颖买的蛋糕在总质量方面是否合格？利用“表二”中的数据通过计算说明理由． 【答案】(1)，，， (2)合格；理由见解析 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加法的应用，理解“正”与“负”的相对性，能用正负数表示一对具有相反相成意义的量是解题的关键． （1）根据题意可知，标准质量为70克，据此求解即可； （2）求出6次记录的和，判断其是否在与之间（包括）即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）由题意可知，标准质量为70克， ∴， ， ， ， 故填表如下： 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量(克) （2）解：， ∵， ∴小颖买的蛋糕在总质量方面是合格的． 30．（25-26济南五中9月七上月考）某厂本周计划每天生产200辆自行车，由于工作人员轮休等原因，实际每天生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：辆） +7 -2 -5 +14 -11 +15 -8 (1)该厂星期三生产电动车 辆； (2)求出该厂在本周实际生产自行车的数量． (3)该厂实行“每日计件工资制”，每生产一辆自行车可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖15元；少生产一辆则倒扣20元，那么该厂工人这一周的前三天工资总额是多少元？ (4)若将（3）问中的实行“每日计件工资制”改为实行“每周计件工资制”，其他条件不变，在此计算方式下这一周工人的工资又是多少？ 【答案】(1)195 (2)1410辆 (3)35965元 (4)84750元 【分析】（1）星期三增减量为-5，是比计划少5辆的意思，所以200-5=195； （2）计划量加上所有的增减量，就是本周的实际量； （3）求得计划的工资，奖励的工资以及倒扣的工资，即可求解； （4）求得按照“每周计件工资制”下的工人的工资即可． 【详解】（1）解：200+（-5）=195（辆）； 故答案为：195． （2）解：200×7+36+（-26）=1410（辆）； 所以该厂在本周实际生产自行车的数量1410辆． （3）解：1410×60+36×15+26×（-20）=84620（元）； 所以该厂工人这一周的前三天工资总额是84620元． （4）解：1410×60+10×15=84750（元）， 所以此计算方式下这一周工人的工资是84750元， 【点睛】本题考查有理数的加减法，解题的关键是了解增减量的意义，比计划增加的量为正数，比计划减少的量为负数． 知识点16．根据点在数轴的位置判断式子的正负 31．（25-26济南高新实验七上第一次月考模拟）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和绝对值，有理数的减法． 利用数轴知识可得a，b，c的大小，再根据绝对值，相反数，有理数的减法逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得：，，， ∴，，，， ∴只有B选项正确，符合题意． 故选：B 32．（25-26济南历城六中10月七上第一次月考）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据数轴，判断b为负，a为正，而且b到原点距离较远．用这些信息进行判断． 【详解】根据数轴，判断b为负，a为正，而且b到原点距离较远, 故，，， 因此①正确；②错误；③错误；④错误 本题正确的个数有1个 故选：A 【点睛】本题考查利用数轴比较大小，有理数的减法，绝对值的意义，关键在于在数轴上获取有价值的信息，才是解题的关键． 知识点17．两个有理数的乘法运算 33．（23-24济南天桥七上期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，正确判断出，并得到，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， ∴，， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选C． 34．（24-25济南商河七上期中）下列说法正确的是（　　） A．相反数等于本身的数只有0 B．几个有理数相乘，如果负因数有奇数个，那么积为负数 C．如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，则它们的和可能是0 D．绝对值等于本身的数是正数 【答案】A 【分析】根据相反数、绝对值、有理数的乘法法则逐个判断即可． 【详解】解：A、相反数等于本身的数只有0，故该选项正确； B、若其中的有理数有0，则积既不是正数也不是负数，故该选项错误； C、只有互为相反数的两个数的和是0，而相反数的绝对值相等，故该选项错误； D、绝对值等于本身的数是正数和0，故该选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数、绝对值、有理数的乘法法则等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 知识点18．有理数乘除混合运算 35．（25-26济南外国语10月七上第一次月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可求出值； （2）根据有理数加减混合运算法则计算即可求出值； （3）根据有理数乘除混合运算法则计算即可求出值； （4）原式利用乘法分配律计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 36．（25-26济南商河七上期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的乘除法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点19．有理数四则混合运算的实际应用 37．（25-26济南高新七上期中）某冷库一天的冷冻食品进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用是500元，运出每吨冷冻食品费用是800元； 方案二：不管是运进还是运出，每吨冷冻食品费用都是600元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适？ 【答案】(1)这天冷库的冷冻食品比原来减少了，减少了9吨 (2)从节约运费的角度考虑，选用方案二比较合适，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用： （1）根据计算这天冷库冷冻食品进出的总和的符号可确定此题结果． （2）分别求出两种方案总费用，可比较出哪种方案更好． 【详解】（1）解：．   故这天冷库的冷冻食品比原来减少了，减少了9吨． （2）解：方案一：费用为（元），   方案二：费用为（元）， 由于， 所以从节约运费的角度考虑，选用方案二比较合适． 38．（25-26济南历城七上期中）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如表所示，以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这7天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶100需用汽油7升，汽油的价格为8元/升，而新能源汽车每行驶100耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】(1)48； (2)小明家的新能源汽车这7天平均每天行驶了； (3)小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义，用最大的数减去最小的数即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）结合（2）中所求结果列式计算即可． 【详解】（1）解： ， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走， 故答案为：48； （2） ， 即小明家的新能源汽车这7天平均每天行驶了； （3） 元， 即小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 知识点20．有理数的乘方运算 39．（25-26济南历下七上期中）下列说法中，正确的是（   ） A．任何一个有理数都有倒数 B．有理数的相反数一定是负数 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．一个有理数的平方一定是正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数、绝对值和平方的性质．据此相关性质内容进行逐一判断各选项的正误，即可作答． 【详解】解：A、0是有理数，但0没有倒数，则任何一个有理数都有倒数是错误的，故该选项不符合题意； B、正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0，则有理数的相反数一定是负数是错误的，故该选项不符合题意； C、互为相反数的两个数绝对值相等是正确的，故该选项符合题意； D、0的平方是0，0不是正数，则一个有理数的平方一定是正数是错误的，故该选项不符合题意； 故选：C 40．（22-23济南天桥宝华中学七上期中）若，则为（    ） A．－1 B．1 C．－1或1 D．0 【答案】A 【分析】先根据非负数的性质求出的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，有理数的乘方运算，正确求出a、b的值是解题的关键． 知识点21．用科学记数法表示绝对值大于1的数 41．（25-26济南高新七上期中）2025年九三阅兵东风—射程超过11000公里，11000用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：11000用科学记数法表示为， 故选：B． 42．（25-26济南历城七上期中）2025年10月19日，济南马拉松在大明湖风景区鸣枪开跑，报名人数为105127人，其中，全程马拉松报名人数为16000人．将数据16000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的标准形式为，其中，为整数．据此将数据16000转换为该形式即可． 【详解】解：∵ 16000可写为，且， ∴． 故选：A． 知识点22．含乘方的有理数混合运算 43．（25-26济南历城七上期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)； (2)； (3)23； (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用加法的交换律与结合律进行简便运算即可； （3）将除法化为乘法，然后利用乘法分配律计算即可； （4）先算乘方并把除法转化为乘法，再算乘法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 44．（25-26济南济阳七上期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序，相关运算法则是解题的关键． （）利用有理数加减运算法则即可求解； （）先算除法，再算有理数减法即可； （）运用乘法分配律进行简便运算即可； （）先算乘方，再算括号内减法，然后算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 知识点23．程序流程图与有理数计算 45．（25-26济南高新七上期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．先根据题意把代入求出代数式的值，再判断出结果的符号，进而可得出结论． 【详解】解：当时， ， 当时， ， ． 故选：C． 46．（25-26济南高新实验七上第一次月考）如图所示是计算机程序计算，当输入的数为4时，则输出的结果 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加、减运算，相反数，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 故答案为：． 试卷第 1 页，共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌优题库 昌优题库 第二章 有理数及其运算（期末专项训练）-2025-2026学年数学北师大版七年级上学期（济南专用） 知识点1．正负数的定义 1．（23-24济南高新七上期中）我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向北走5步记作步，那么向南走7步记作（   ） A．步 B．步 C．步 D．步 2．（23-24济南东南片区七上期中）若将顺时针旋转记为，则逆时针旋转可记为 ． 3．（25-26济南天桥七上期中）《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6~9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示，我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法． 如： “”表示+238，则“”表示． 那么，“”表示的数是 ． 知识点2．相反意义的量 4．（25-26济南历下七上期中）如果风车逆时针旋转记作，那么风车顺时针旋转记作 ． 5．（24-25济南历下七上期末）某冰箱冷藏室的温度是零上，记作，冷冻室的温度是零下应记作（   ） A． B． C． D． 6．（24-25济南历下七上期末模拟）大自然的鬼斧神工孕育了我国恢宏壮阔的地形，珠穆朗玛峰在海平面上，记为，吐鲁番盆地在海平面下155米，记为 ． 知识点3．正负数的实际应用 7．（25-26济南兴济中学10月七上第一次月考）某款手机销量同比去年减少，记作，另一款手机销量同比去年增加64%，记作（    ） A． B． C． D． 8．（25-26济南高新10月七上联考）出租车司机小李新年这天从鼓楼出发，上午营运时是在南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接的六位乘客的行车里程（单位：）如下： ． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括3km），超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 知识点4．带“非”字的有理数 9．（24-25济南历下七上期中）在，，，，中，非负数的个数是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24济南平阴七上期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，，，0，3.14，，． 正有理数集合：{           …}， 负整数集合：{             …}， 正分数集合：{            …}， 非负整数集合：{          …}． 知识点5．利用数轴比较有理数的大小 11．（25-26济南高新七上期中）把下列各数表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． ，，0，． 12．（25-26济南槐荫七上期中）在数轴上画出表示、2、、这些数的点，并按从小到大的顺序，用“”把这些数连接起来． 知识点6．数轴上两点之间的距离 13．（25-26济南兴济中学10月七上第一次月考）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度，则数轴上点B所对应的数b为 ． 14．（25-26济南高新逸家初中9月七上月考）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是（    ）    A． B． C． D．或 知识点7．相反数的定义 15．（25-26济南历下七上期中）的相反数是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26济南槐荫七上期中）的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 知识点8．绝对值的几何意义 17．（25-26济南历城六中10月七上第一次月考）如果|a|=－a，下列各式一定成立的是        （    ） A．a>0 B．a>0或a=0 C．a<0或a=0 D．无法确定 18．（25-26济南外国语10月七上第一次月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 知识点9．求一个数的绝对值 19．（25-26济南历城七上期中）的绝对值是（    ） A． B．5 C． D． 20．（22-23济南天桥七上期中）的绝对值是（    ） A． B．2022 C． D． 知识点10．绝对值非负性 21．（22-23济南长清七上期中）若 ，则 ． 知识点11．有理数大小比较 22．（25-26济南高新七上期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”号） 23．（25-26济南泺口实验学校9月七上第一次月考）比较大小： （填“”或“”或“”）． 知识点12．有理数加法运算 24．（25-26济南历城七上期中）如图是一个正方体的表面展开图，将它折叠成一个正方体后，相对面上的数字和都相等，那么的值是 ． 25．（25-26济南高新逸家初中9月七上月考）大于且小于的所有整数的和是 ． 知识点13．有理数加法在生活中的应用 26．（25-26济南高新逸家初中9月七上月考）杨梅开始采摘啦！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这4筐杨梅的总质量是（　     ） A．19.7千克 B．19.9千克 C．20.1千克 D．20.3千克 27．（25-26济南外国语10月七上第一次月考）某天一个巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶纪录如下（单位：千米）：，，，，，，， (1)在岗亭哪个方向？距岗亭多远？ (2)离开出发点最远时是多少千米？ (3)若摩托车行驶10千米耗油0.5升，巡逻完成从岗亭到处共耗油多少升？ 知识点14．有理数的加减混合运算 28．（25-26济南泉海学校10月七上第一次月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点15．有理数加减混合运算的应用 29．（25-26济南槐荫七上期中）小颖在超市买了一盒某种品牌的蛋糕（共计6个），她把6个蛋糕的质量称重后统计如下表（表一）： 表一 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 表二 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)为了简化运算，小颖选取了一个标准质量，依据标准质量把每个蛋糕质量超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（表二）．请把表格补充完整： (2)已知蛋糕包装盒标记的总质量为（420±2）克，小颖买的蛋糕在总质量方面是否合格？利用“表二”中的数据通过计算说明理由． 30．（25-26济南五中9月七上月考）某厂本周计划每天生产200辆自行车，由于工作人员轮休等原因，实际每天生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：辆） +7 -2 -5 +14 -11 +15 -8 (1)该厂星期三生产电动车 辆； (2)求出该厂在本周实际生产自行车的数量． (3)该厂实行“每日计件工资制”，每生产一辆自行车可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖15元；少生产一辆则倒扣20元，那么该厂工人这一周的前三天工资总额是多少元？ (4)若将（3）问中的实行“每日计件工资制”改为实行“每周计件工资制”，其他条件不变，在此计算方式下这一周工人的工资又是多少？ 知识点16．根据点在数轴的位置判断式子的正负 31．（25-26济南高新实验七上第一次月考模拟）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（  ） A． B． C． D． 32．（25-26济南历城六中10月七上第一次月考）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 知识点17．两个有理数的乘法运算 33．（23-24济南天桥七上期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25济南商河七上期中）下列说法正确的是（　　） A．相反数等于本身的数只有0 B．几个有理数相乘，如果负因数有奇数个，那么积为负数 C．如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，则它们的和可能是0 D．绝对值等于本身的数是正数 知识点18．有理数乘除混合运算 35．（25-26济南外国语10月七上第一次月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 36．（25-26济南商河七上期中）计算： (1)； (2)． 知识点19．有理数四则混合运算的实际应用 37．（25-26济南高新七上期中）某冷库一天的冷冻食品进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用是500元，运出每吨冷冻食品费用是800元； 方案二：不管是运进还是运出，每吨冷冻食品费用都是600元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适？ 38．（25-26济南历城七上期中）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如表所示，以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这7天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶100需用汽油7升，汽油的价格为8元/升，而新能源汽车每行驶100耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少元？ 知识点20．有理数的乘方运算 39．（25-26济南历下七上期中）下列说法中，正确的是（   ） A．任何一个有理数都有倒数 B．有理数的相反数一定是负数 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．一个有理数的平方一定是正数 40．（22-23济南天桥宝华中学七上期中）若，则为（    ） A．－1 B．1 C．－1或1 D．0 知识点21．用科学记数法表示绝对值大于1的数 41．（25-26济南高新七上期中）2025年九三阅兵东风—射程超过11000公里，11000用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 42．（25-26济南历城七上期中）2025年10月19日，济南马拉松在大明湖风景区鸣枪开跑，报名人数为105127人，其中，全程马拉松报名人数为16000人．将数据16000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 知识点22．含乘方的有理数混合运算 43．（25-26济南历城七上期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 44．（25-26济南济阳七上期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点23．程序流程图与有理数计算 45．（25-26济南高新七上期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为( ) A． B． C． D． 46．（25-26济南高新实验七上第一次月考）如图所示是计算机程序计算，当输入的数为4时，则输出的结果 ． 24 24 学科网（北京）股份有限公司 $