精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2025-2026学年高一上学期第二次阶段检测数学试题

延边第二中学2025—2026学年度第一学期第二次阶段检测 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，利用二分法求零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为 A. B. C. D. 7. 已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数 ，都有，记，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中既是偶函数又在区间上单调递增的有（　　） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第一象限角，则是锐角 B. C. 若，则为第三或第四象限角 D. 若第二象限角，则为第一象限或第三象限角 11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值为9 C. 最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象恒过定点______. 13. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有36齿，小轮有24齿，当大轮转动2周时小轮转动的角度为_______；若小轮的转速为min，大轮圆周上一点每1s转过的弧长为，则大轮的半径为_______cm． 14. 已知函数为偶函数，且，若方程有六个不同的实根，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数在上单调递增． （1）求的解析式； （2）若，求的取值范围． 16. （1）已知，求． （2）化简：； （3）已知，，试用，表示． 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． （1）若点B的横坐标为－，求tan α的值； （2）若△AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合； （3）若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式． 18. 已知定义在上的函数． （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图象关于点成中心对称图形，点是函数图象的对称中心.已知函数. （1）证明：的图象关于点成中心对称图形. （2）求图象的对称中心. （3）设函数，将区间分成等份，记等分点的横坐标按从小到大的顺序依次为，若不等式对任意恒成立，求整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2025—2026学年度第一学期第二次阶段检测 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合,再根据交集的定义求解即可. 【详解】因，， 故. 故选：D. 2. 不等式“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式后即可判断. 【详解】由，可得，充分性不成立；由，可得，可得，必要性成立． 故选：B 3. 已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，计算出，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求解. 【详解】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以， 故选：C. 4. 已知不等式解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得且和为方程的两个根，由韦达定理求出，再求解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以且和为方程的两个根， 所以，解得， 所以即为，解得, 故不等式的解集是. 故选:A. 5. 若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数知道底数，故内层函数为减函数，由复合函数的单调性和对数函数的定义域列出不等式，求得的取值范围. 【详解】∵对数函数中， ∴中，即函数在区间上为减函数，， 令，则在区间上为增函数，即， 解得. 故选：C. 6. 在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 可列出S与t的函数关系式，再根据解析式判定函数图像. 【详解】因为，所以其对应图象为B, 故选：B 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属基础题. 7. 已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 8. 已知是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数 ，都有，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨假设，都有，而，故可判断函数在上是增函数，再根据的值，可判断的大小关系,即得答案． 【详解】是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数， 不妨假设，都有， 即 ，即 令，∴函数在上是增函数． ∵，故， 而， =，， 则， ∴， 故选：D. 【点睛】方法点睛：此类根据函数性质比较大小的题目，解答时要能根据条件，构造恰当的函数，并判断其单调性，根据构造的函数的单调性即可解决问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中既是偶函数又在区间上单调递增的有（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， ，即为奇函数， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上单调递增，A不满足要求； 对于B选项，函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 且该函数在上单调递增，B满足要求； 对于C选项，函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 当时，，故函数在上单调递减，C不满足要求； 对于D选项，函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 当时，，故函数在上单调递增，D满足要求. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第一象限角，则是锐角 B. C. 若，则为第三或第四象限角 D. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 【答案】BD 【解析】 【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案. 【详解】对于A，当时，是第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，若，则为第三或第四象限角或在轴的负半轴，故C错误； 对于D，为第二象限角，则， 所以为第一或第三象限角，故D正确. 故选：BD. 11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】解：对于A，，，由 ，可得 ，当且仅当，时，取得最大值 ，故A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，选项B错误； 对于C，由，得，且，所以， 当，时，等号成立，选项C正确； 对于D，，当且仅当，时，等号成立，选项D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象恒过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】令的指数为，求出的值，再代入原函数解析式，可得出定点坐标. 【详解】对于函数，令可得，此时， 故函数的图象恒过定点. 故答案为：. 13. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有36齿，小轮有24齿，当大轮转动2周时小轮转动的角度为_______；若小轮的转速为min，大轮圆周上一点每1s转过的弧长为，则大轮的半径为_______cm． 【答案】 ①. ## ②. 20 【解析】 【分析】根据角的定义即可求解空1，根据弧长公式即可求解空2. 【详解】当大轮转动2周时，大轮转过的齿数为，则小轮转动的周数为周， 则小轮转动的角度为． 当小轮的转速为时，大轮的转速为，则大轮每秒转动的角度为， 由大轮周上一点每1s转过的弧长为可知大轮的半径为． 故答案为：，20 14. 已知函数为偶函数，且，若方程有六个不同的实根，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】做出分段函数的图象，利用数形结合的方法，可求的取值范围. 【详解】做出函数的草图如下： 由方程有六个不同的实根，可得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数在上单调递增． （1）求的解析式； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的概念及单调性可得，即可得函数解析式； （2）根据幂函数的单调性解不等式即可. 小问1详解】 由函数为幂函数， 所以，解得或， 又函数在上单调递增， 所以， 即， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 16. （1）已知，求． （2）化简：； （3）已知，，试用，表示． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求值. （2）利用对数的运算法则求值. （3）先利用指数与对数的关系，把指数式化成代数式，再结合换底公式和对数的运算法则求值. 【详解】（1）由. 所以. （2） . （3）由；由. 所以. 因为， 所以． 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． （1）若点B的横坐标为－，求tan α的值； （2）若△AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合； （3）若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义得到，即可求解； （2）若为等边三角形，得到，结合终边相同角的表示，即可求解； （3）根据扇形的面积公式和三角形的面积公式，求得扇形和三角形的面积，进而求得弓形的面积. 【小问1详解】 解：由题意可得，根据三角函数的定义得. 【小问2详解】 解：若为等边三角形，则， 故与角终边相同的角β的集合为. 【小问3详解】 解：若，则扇形的面积为， 由， 所以弓形的面积为 18. 已知定义在上的函数． （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 19. 已知函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图象关于点成中心对称图形，点是函数图象的对称中心.已知函数. （1）证明：的图象关于点成中心对称图形. （2）求图象的对称中心. （3）设函数，将区间分成等份，记等分点的横坐标按从小到大的顺序依次为，若不等式对任意恒成立，求整数的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）图象的对称中心为. （3）8 【解析】 【分析】（1）根据题意化简即可证明. （2）化简，求出的值，即可得到该图象的对称中心. （3）先求出函数的图象关于点成中心对称图形，然后可得到，进而列出不等式，最后根据的 范围求出的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以的图象关于点成中心对称图形. 【小问2详解】 设图象的对称中心为，则 所以，解得. 所以图象的对称中心为. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，的图象都关于点成中心对称图形， 易得函数的图象关于点成中心对称图形. 因为区间关于直线对称，所以 . 所以 因为不等式对任意恒成立， 所以恒成立，因为，所以. 所以，即整数的最小值是8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $