精品解析：广东省深圳市龙岗区龙岭教育集团龙岭初级中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

龙岭初中2025-2026学年第一学期期中综合素质评价试题 九年级数学 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）下列各题的四个选项中，只有一项符合题意．请你选出正确选项并用2B铅笔在答题卡上将该题相对应的答案标号涂黑． 1. 某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，身高的小利（）站在距路灯杆的C点处，测得她在灯光下的影长为，则路灯的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的对角线相交于点，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 下列命题中，假命题是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 正方形的对角线相等且互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等 8. 如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则的值为________． 10. 如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为_______． 11. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 12. 已知一元二次方程（m为常数）的一个根是，则此方程的另外一个根的值为_______． 13. 如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是、上的点，将四边形沿对折，使B点和D点重合，则折痕_______． 三、解答题（7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2） 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，， （1）画出与关于y轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画一个，使它与的相似比为； （3）求的面积为_______． 16. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“食品安全”主题的概率为_______； （2）若我们学校现有九年级900人，请你估算出选择交通安全的同学有_______人； （3）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率（主题可用A、B、C、D表示）． 17. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC． （1）求证：四边形BECO是矩形； （2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝6，AB＝5，求BF的长． 18. 深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ （3）布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？ 19. 【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! （1）尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； （2）【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 20. 根据以下素材，完成倍角三角形的性质探索与应用． 定义： 在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．例：右图中，则为倍角三角形 任务1 概念明晰：以下几个特殊三角形是倍角三角形的有_______． ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含的直角三角形； ④顶角为的等腰三角形；⑤底角为的等腰三角形． 性质 性质：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．如右图：若，则． 任务2 性质证明：如图，在倍角三角形中，，求证：思路：二倍角问题的解题策略很多，主要方法是化倍角为等角．请从以下两种方法中选一个方法进行证明． 方法一：作平分，则 方法二：延长至点D，使，则 任务3 性质应用：如图，在中，，，，则_______． 任务4 拓展应用：如图，在中，，，，则_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岭初中2025-2026学年第一学期期中综合素质评价试题 九年级数学 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）下列各题的四个选项中，只有一项符合题意．请你选出正确选项并用2B铅笔在答题卡上将该题相对应的答案标号涂黑． 1. 某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式的计算，掌握其概率的计算是关键． 根据概率的基本公式，计算抽中戏剧类社团的概率． 【详解】解：共有5类社团活动（舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧），每类被抽中的可能性相等，抽中戏剧类社团属于其中1种可能结果， ∴概率为成功事件数除以总事件数，即：， 故选：D． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：D． 4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有实数根． 【详解】解：对于方程， 其判别式为： 因为方程有实数根，需满足，即： 解得： 因此，实数的取值范围是． 故选B． 5. 如图，身高的小利（）站在距路灯杆的C点处，测得她在灯光下的影长为，则路灯的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，证明，列出比例式计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选A． 6. 如图，矩形的对角线相交于点，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等，对角线互相平分求解即可． 【详解】解∶∵矩形的对角线相交于点， ∴，， ∴， 故选∶D． 7. 下列命题中，假命题是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 正方形的对角线相等且互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 8. 如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，，，，作于，延长交于，作于，证明四边形为矩形得出，证明四边形为正方形，得出，从而得出，证明，得出，再证明为等腰直角三角形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，，， 如图，作于，延长交于，作于， ， 则， ∴四边形、为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 10. 如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为_______． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，几何概率，理解题意是解题的关键．根据题意可知，黑色部分的面积占正方形二维码面积的，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的， ∴估计黑色部分的面积约为． 故答案为：75． 11. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 12. 已知一元二次方程（m为常数）的一个根是，则此方程的另外一个根的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设一元二次方程的两个根为，，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再结合题意可知，求出的值即可解答． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，， 则， ∵其中一个根是，不妨设， ∴， ∴， ∴方程的另外一个根的值为3． 故答案为：3． 13. 如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是、上的点，将四边形沿对折，使B点和D点重合，则折痕_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质、含30度直角三角形的性质及菱形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质、含30度直角三角形的性质及菱形的性质与判定是解题的关键；过点B作于点E，连接，与交于点O，由折叠的性质可知：，垂直平分，即，由题意易得，则有，，然后可得四边形是菱形，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点B作于点E，连接，与交于点O，如图所示： 由折叠的性质可知：，垂直平分，即， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴； 故答案为． 三、解答题（7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据因式分解法可进行求解； （2）根据因式分解法可进行求解． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，， （1）画出与关于y轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画一个，使它与的相似比为； （3）求的面积为_______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2） 如图所示，即为所求： （3）8 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称、位似变换，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点的坐标得到、、的坐标，然后描点连线即可得到； （2）把A、B、C的横纵坐标都乘以依次得到、、的坐标，然后描点连线即可得到； （3）利用割补法即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积， 故答案为：8． 16. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“食品安全”主题的概率为_______； （2）若我们学校现有九年级900人，请你估算出选择交通安全的同学有_______人； （3）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率（主题可用A、B、C、D表示）． 【答案】（1） （2）225 （3） 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率的公式计算即可； （2）先求出选择交通安全的概率，再乘以900即可求解； （3）根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【小问1详解】 解：共有4种等可能结果，甲选择“食品安全”主题的结果只有1种， ∴甲选择“食品安全”主题的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：选择交通安全的概率为， （人）， ∴估算出选择交通安全的同学有225人； 故答案为：225； 【小问3详解】 解：列表如下： 由表格可得，共有16种等可能的结果，甲和乙选择不同主题的情况有12种， ∴甲和乙选择不同主题的概率． 17. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC． （1）求证：四边形BECO是矩形； （2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝6，AB＝5，求BF的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC， ∵BE＝AC， ∴BE＝OC， ∵BE∥AC， ∴四边形BECO是平行四边形， ∵∠BOC＝90°， ∴平行四边形BECO是矩形； （2）BF＝． 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC=90°，，推出BE=OC，即可得出四边形BECO是平行四边形，又由∠BOC=90°，即可得出结论； （2）先利用勾股定理求出DE的长，然后证明△ODF≌△CEF，得到DF＝EF，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】解：（1）略 （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝5，OC＝AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：， ∴BD=2OB=8， 由（1）得：四边形BECO是矩形， ∴BE＝OC＝3，∠OBE＝∠ECO＝90°，OB＝CE，OB∥CE， ∴，∠ODF＝∠CEF，OD＝CE， ∵∠DOF＝∠ECF＝90°， ∴△ODF≌△CEF（ASA）， ∴DF＝EF， ∵∠DBE＝90°， ∴BF＝DE＝． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 18. 深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ （3）布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？ 【答案】（1） （2）5元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设该品牌头盔每个应涨价元，根据题意列出方程，再结合“尽可能让顾客得到实惠”确定的值，即可解答； （3）根据题意列出方程，求出的值即可解答； 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个应涨价元， 根据题意，得， 整理得：， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔每个应涨价5元； 【小问3详解】 解：由题意得，， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽x应为． 19. 【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! （1）尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； （2）【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程—配方法，数形结合是关键 （1）根据赵爽的解法变形一元二次方程，画出大正方形，构造新方程，求出方程的一个正解即可； （2）仿照赵爽的解法变形一元二次方程，构造新的关于x的方程，解出正数解即可． 【小问1详解】 解：第一步，将原方程变为，变形得：， 第二步，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形如图： 第三步，根据大正方形的面积可得新的方程：， 解得原方程的一个根为． 故答案为：；，； 【小问2详解】 解：方程变形为：， 根据赵爽的解法可造方程为：， ∵，， ∴（舍去负值）， ∴， ∴原方程的一个正数解为：． 20. 根据以下素材，完成倍角三角形的性质探索与应用． 定义： 在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．例：右图中，则为倍角三角形 任务1 概念明晰：以下几个特殊三角形是倍角三角形的有_______． ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含的直角三角形； ④顶角为的等腰三角形；⑤底角为的等腰三角形． 性质 性质：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．如右图：若，则． 任务2 性质证明：如图，在倍角三角形中，，求证：思路：二倍角问题的解题策略很多，主要方法是化倍角为等角．请从以下两种方法中选一个方法进行证明． 方法一：作平分，则 方法二：延长至点D，使，则 任务3 性质应用：如图，在中，，，，则_______． 任务4 拓展应用：如图，在中，，，，则_______． 【答案】任务1：②③④； 任务2：方法一：作平分，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ①，②， ， ，代入②式得，， ， 将①式代入得，． 方法二：延长至点D，使，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴，即， ∴． 任务3：4； 任务4： 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，倍角三角形的定义以及性质等知识，证明三角形相似是解题的关键． 任务1：根据等边三角形、等腰直角三角形及三角形内角和可依次排除选项； 任务2：方法一：作平分，则，易证，据此得证即可； 方法二：延长至点D，使，则，易证，据此即可得证； 任务3：利用相似三角形的性质，结合已知条件即可证明； 任务4：应用结论以及相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：任务1：①由等边三角形的性质可知：等边三角形的三个内角都为，所以不是倍角三角形； ②由等腰直角三角形的特征可知：其三个内角的度数分别为，因为，所以等腰直角三角形是倍角三角形； ③由含的直角三角形的特征可知：其三个内角的度数分别为，因为，所以含的直角三角形是倍角三角形； ④由顶角为的等腰三角形可知：底角为，因为，所以顶角为的等腰三角形是倍角三角形； ⑤由底角为的等腰三角形可知：顶角为，因为，所以底角为的等腰三角形不是倍角三角形； 故答案为②③④； 任务2：略 任务三：由题干结论可知：， ， ， 解得（负根舍去）． 故答案为：4； 任务四：如图，作，交于点， ∴， ∴是倍角三角形． ∴，即， 是的外角， ， ， 又， ， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 设， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴； 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $