精品解析：四川省成都市玉林中学2025-2026学年高一上学期12月诊断性评价数学试题

成都市玉林中学高2025级12月诊断性评价试题 数学 命题人：周翔 审题人：史军军 （时间：120分钟；总分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，再求解与的交集. 【详解】根据题意可得，则. 故选：C 2. 设命题，，则为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题即： 故选 3. 已知幂函数，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先代入求出的值，即可得到函数解析式，再代入求值即可. 【详解】因为，且，即，解得， 所以，则. 故选：A 4. 函数的零点一定位于区间（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点的存在性定理即可得出答案. 【详解】解：， 又因为函数在区间上都是增函数， 所以在区间上为增函数，所以其零点一定位于区间. 故选：C. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得正确的选项. 【详解】，，，所以． 故选：A 6. 函数的零点为1，2，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由零点得出参数值，再解不等式即可得到结果. 【详解】由题意可得，解得， ∴代入不等式得：， 整理可得：，即， ∴或， 故选：D. 7. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可. 【详解】令， 由， 则，即. 故选：C. 8. 已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得图象关于对称，且在上单调递减，据此可得答案. 【详解】令，则，因， 则，则图象关于对称； 又对任意，都有， 则在上单调递减，又图象关于对称， 则在上单调递增，在上单调递减. . 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 对任意实数，均有 B. 若，则 C. 设，则“”是“”必要不充分条件 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用配方法变形，即可判断；对于B，C，D，都可以通过举反例来判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当，时，，，故B不正确； 对于C，当，时，，所以不充分，当时，可知且，所以必要，故C正确； 对于D，当时，，，此时，故D不正确； 故选：AC. 10. 已知且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式及其应用，逐项分析判断，对A，直接利用基本不等式即可判断； 对B， 由，再利用基本不等式即可；对C，由即可判断， 对D，即可判断. 【详解】对A，，所以，当且仅当时成立，故A正确； 对B，， 当且仅当即时成立； 对C，由，可得，当且仅当时成立，故C正确； 对D，，当且仅当时成立，故D正确. 故选：ABC 11. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列选项中成立的是（ ） A. B. C. 与的图象关于对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数与互为反函数，根据与垂直与反函数的性质结合对称性可得. 【详解】由，得，， 即可得，即有， ，而不在的图象上，故的图象与的图象不关于对称. 因为函数与互为反函数，关于对称， 又因与垂直， 在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，如图所示， 则，， 由反函数性质知关于对称， 则，， 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则用，表示________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算性质以及换底公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 函数的单调递增区间是________. 【答案】 【解析】 【分析】由是减函数，根据复合函数的单调性可得，要求函数的单调递增区间只需求二次函数的单调递减区间即可． 【详解】二次函数开口向下，且对称轴为直线， 所以二次函数的单调递减区间是， 又是减函数，所以二次函数的单调递减区间即为函数的单调递增区间， ∴函数的单调递增区间为. 故答案为： 14. 已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要________年（最终结果四舍五入，参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】根据条件列方程组求出参数，然后令解方程即可. 【详解】由题知，解得，所以， 由得， 因为，所以， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根式以及分数指数幂的运算，即可求得答案. （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知集合. （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 分析】 （1）由指数函数、对数函数的性质确定集合，然后由集合的运算法则计算． （2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围． 【详解】解：（1），，， . （2）当时，，即成立； 当时，成立. 综上所述，． 【点睛】易错点睛：本题考查集合运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在中，要注意的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点． 17. 已知函数·. (1)令，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围； (2)求该函数的值域. 【答案】（1）,（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数运算求得换元后关于的函数关系式，由的范围，求得. （2）利用配方法，结合的取值范围以及二次函数的性质，求得该函数的值域. 【详解】(1)，又， ，即. (2)由(1)得， 当时，；当时，，，即函数的值域为. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查二次函数在闭区间上的值域的求法，属于基础题. 18. 已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若方程在上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1）3； （2）在上单调递减，证明见解答； （3）． 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义即可求解的值； （2）利用定义即可证明单调性； （3）利用函数的单调性与奇偶性将等式脱去“”，利用换元法，结合二次函数的图象与性质即可求解的取值范围． 【小问1详解】 根据题意，因为是奇函数，其定义域为， 所以， 解得； 【小问2详解】 由（1）的结论，， 函数在上单调递减，证明如下： 任取， 所以， 由，可得， 所以， 所以，即， 所以在上单调递减． 【小问3详解】 方程等价于， 因为方程在上恰有两个不相等的实数根， 且在上单调递减， 所以在上恰有两个不相等的实数根， 令，则方程转化为在上恰有两个不相等的实数根， 由二次函数的图象与性质可得，解得， 所以的取值范围是． 19. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若在上单调递增，求的取值范围. （3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. 【小问2详解】 令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得， 当时，不等式成立， 当时， 参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，则， 即， 综上可知，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市玉林中学高2025级12月诊断性评价试题 数学 命题人：周翔 审题人：史军军 （时间：120分钟；总分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则为 A. B. C. D. 3. 已知幂函数，且，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 函数零点一定位于区间（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点为1，2，则不等式的解集为（ ） A B. 或 C. D. 或 7. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A 对任意实数，均有 B. 若，则 C. 设，则“”是“”的必要不充分条件 D. 若，则 10. 已知且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 最小值为8 D. 的最大值为 11. 已知函数零点为，函数的零点为，则下列选项中成立的是（ ） A. B. C. 与的图象关于对称 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则用，表示________. 13. 函数的单调递增区间是________. 14. 已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要________年（最终结果四舍五入，参考数据：，） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2）. 16. 已知集合. （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 17. 已知函数·. (1)令，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围； (2)求该函数的值域. 18. 已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若方程在上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若在上单调递增，求的取值范围. （3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $