精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市和林格尔县第一中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

和林一中2025—2026学年第一学期期中质量监测初三年级 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 3. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 与x轴没有交点 D. 对称轴是直线 4. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 队员在罚球线上投篮一次未投中 B. 掷一次骰子，向上一面的点数是6 C. 经过某十字路口遇到红灯 D. 抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为 5. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径，截面圆圆心为，当水面宽时，水位高为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”(　　) A. 3步 B. 5步 C. 6步 D. 8步 7. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为____________． 10. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 11. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为______________． 12. 有下列命题： ①已知的半径为，点P在圆外，则线段的长度取值范围是； ②不在上的点P到上的点的最小距离是4，最大距离是9，则的半径是； ③已知是的两条平行弦，，，的半径为5，则弦与的距离为1或7． 其中真命题的是______（填序号）． 三、解答题：本题共6小题，共64分． 13. 解方程． （1） （2） 14. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点成中心对称的； （3）可由绕点旋转得到，则点M的坐标为________． 15. 如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为1时，甲获胜；数字之和为2时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止． （1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率； （2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？对谁有利？请判断并说明理由． 16. 如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线 （2）若，的半径为5，求的长． 17. 综合与实践：设计隧道的限高方案 素材1：如图是一个横断面近似抛物线形状的公路隧道示意图，经测量，其高度为米，宽度为米． 素材2：车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道行驶方向的中心线右侧、距离路边缘米（米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于米． 解决问题： （1）确定隧道形状：以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式 （2）探究隧道限高方案：为使车辆按要求安全通过，求该隧道限高多少米 18. 【综合与实践】为了更好推广高明特色美食，让我们一起制定销售方案吧： 主题：高明特色美食销售方案制定问题 高明美食历史悠久，尤其是“高明角仔”和“高明濑粉”，是以晒干的粘米粉为原料，辅以各种各样的馅料制成的民间小吃，其粉质细腻光滑，口感爽滑柔韧，稻香味十足．为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某美食店推出“高明角仔”，“高明猪杂濑粉”两个镇店招牌美食． 素材 高明角仔 高明猪杂濑粉 素材2 经统计，该美食店5月份“高明角仔”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“高明濑粉”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“高明猪杂濑粉”作降价促销，已知每份“高明猪杂濑粉”的成本为9元．经试验，发现该款濑粉每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 任务1 求该美食店“高明角仔”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“高明猪杂濑粉”的总利润达到6300元，求该款濑粉应该降价多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 和林一中2025—2026学年第一学期期中质量监测初三年级 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，A选项错误，所以A选项不符合题意； B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，B选项错误，所以B选项不符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，C选项错误，所以C选项不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，D选项正确，所以D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的概念． 2. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：当时，， ∴， 当时，原方程是一元一次方程，有实数根， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 3. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 与x轴没有交点 D. 对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、性质、解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二次函数的解析式为顶点式形式，通过分析开口方向、顶点坐标、判别式及对称轴判断各选项正误． 【详解】解：∵二次函数， ，开口向上，故A正确； 顶点坐标为，故B正确； 令，得，即，无实数解， ∴ 与x轴没有交点，故C正确； 对称轴为直线，故D错误， 故选：D． 4. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 队员在罚球线上投篮一次未投中 B. 掷一次骰子，向上一面的点数是6 C. 经过某十字路口遇到红灯 D. 抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类．必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，即概率为1的事件．选项A、B、C描述的都是随机事件，其概率均小于1，不一定发生；选项D描述的是概率为的事实，对于质地均匀的硬币，这一概率值是必然成立的，因此属于必然事件，即可作答． 【详解】解：A、队员罚球投篮一次未投中，可能投中也可能未投中，概率小于1，不是必然事件； B、掷一次骰子向上一面的点数是6，有6种可能结果，概率为，不是必然事件； C、经过某十字路口遇到红灯，交通灯的状态是随机的，概率小于1，不是必然事件； D、抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为，这一概率值是客观必然的，始终成立，因此属于必然事件； 故选：D． 5. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径，截面圆圆心为，当水面宽时，水位高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是掌握垂径定理．由垂径定理可得，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 水位高为， 故选：B． 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”(　　) A. 3步 B. 5步 C. 6步 D. 8步 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据勾股定理得：斜边为 则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径 (步)，即直径为6步， 故选C 7. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，得；但二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，则，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，而图中对称轴是y轴,故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 8. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，充分利用数形结合思想是解本题的关键．根据题意，结合二次函数的图象与性质，解答即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，，对称轴为直线， ，即， ，故①正确； 由对称轴可知， ，故②错误； 由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ，故③正确； 由图象可知时，此时只有一个解， 方程有两个相同的实数根，故④错误， 综上所述，正确的结论有个， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式直接代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵一个扇形的面积是，弧长是， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积公式，解题的关键是熟练掌握． 10. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程—传播问题解应用题，正确的列出方程是解题的关键．设每轮平均一人分享给x人，根据“经过两轮分享后，共225人掌握此技巧”列方程求出x的值即可． 【详解】解：设每轮平均一人分享给x人，根据题意得 ， ，（舍去）， ∴每轮平均一人分享给14个人． 故答案为：14． 11. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为______________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴交点问题；二次函数中，当时，，即所求解为二次函数中时所对应的的解． 【详解】观察图象可知，对称轴为直线，一个交点为， 则另一个交点坐标为 ∴一元二次方程的解是， 故答案为：，． 12. 有下列命题： ①已知的半径为，点P在圆外，则线段的长度取值范围是； ②不在上的点P到上的点的最小距离是4，最大距离是9，则的半径是； ③已知是的两条平行弦，，，的半径为5，则弦与的距离为1或7． 其中真命题的是______（填序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，垂径定理，勾股定理．根据点与圆的位置关系，圆外点到圆心的距离大于半径；点与圆上点的最小和最大距离需考虑点在圆内或圆外两种情况；平行弦的距离需通过弦心距计算，并分同侧和异侧讨论，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：对于命题①：点P在外，则半径，故命题①正确； 对于命题②：点P不在上，可能位于圆外或圆内， 若点P在圆外，设，则，解得； 若点P在圆内，则解得； 命题仅给出，忽略另一种情况，故命题②错误； 对于命题③：当弦和在圆心同侧时，如图， 过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴由勾股定理得： ， ∴； ②当弦和在圆心异侧时，如图②， 过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 则， ∴与之间的距离是1或7． 故答案为：①③ 三、解答题：本题共6小题，共64分． 13. 解方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 或 ，． 14. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点成中心对称的； （3）可由绕点旋转得到，则点M的坐标为________． 【答案】（1） 解：如图所示即为所求； （2） 解：如图所示即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，找旋转中心，坐标与图形； （1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）根据旋转变换的定义与性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，点M的坐标为； 故答案为：． 15. 如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为1时，甲获胜；数字之和为2时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止． （1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率； （2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？对谁有利？请判断并说明理由． 【答案】（1）； （2） 不公平．对甲有利，理由如下： ∵数字之和为1的有3种情况， ∴P（甲胜）==，∴P（甲胜）>P（乙胜）， ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平，对甲有利． 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之和为0情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）分别求得甲胜、乙胜的概率，比较大小，即可得这个游戏规则对甲、乙双方是否公平． 【小问1详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，数字之和为2即乙胜的有2种情况； ∴乙胜的概率为：=； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是用树状图法或表格法求概率，以及游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 16. 如图，为的直径，为的弦，平分，交于点D，，交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线 （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图1所示： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点在上， 直线是的切线； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先连接，结合角平分线的定义以及等边对等角，得出，再根据，即可作答． （2）先作，垂足为，运用证明，再运用勾股定理算出，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作，垂足为，如图2所示： ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 17. 综合与实践：设计隧道的限高方案 素材1：如图是一个横断面近似抛物线形状的公路隧道示意图，经测量，其高度为米，宽度为米． 素材2：车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道行驶方向的中心线右侧、距离路边缘米（米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于米． 解决问题： （1）确定隧道形状：以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式 （2）探究隧道限高方案：为使车辆按要求安全通过，求该隧道限高多少米 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）求出抛物线的顶点坐标，设抛物线的解析式为顶点式，代入即可求解； （2）求出时的值，再根据车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于米即可求出限高． 【小问1详解】 解：由题意可知顶点， 故可设该抛物线为， 把代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：，， ， 当时，， ∵车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于米， ∴隧道限高为（米）． 18. 【综合与实践】为了更好推广高明特色美食，让我们一起制定销售方案吧： 主题：高明特色美食销售方案制定问题 高明美食历史悠久，尤其是“高明角仔”和“高明濑粉”，是以晒干的粘米粉为原料，辅以各种各样的馅料制成的民间小吃，其粉质细腻光滑，口感爽滑柔韧，稻香味十足．为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某美食店推出“高明角仔”，“高明猪杂濑粉”两个镇店招牌美食． 素材 高明角仔 高明猪杂濑粉 素材2 经统计，该美食店5月份“高明角仔”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“高明濑粉”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“高明猪杂濑粉”作降价促销，已知每份“高明猪杂濑粉”的成本为9元．经试验，发现该款濑粉每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 任务1 求该美食店“高明角仔”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“高明猪杂濑粉”的总利润达到6300元，求该款濑粉应该降价多少元？ 【答案】任务1：该美食店“高明角仔”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2：该款濑粉应该降价3元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： 任务1：设该美食店“高明角仔”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据店5月份“高明角仔”销售量为480份，7月份销售量为750份，列出方程进行计算即可； 任务2：设该款濑粉应该降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：任务1：设该美食店“高明角仔”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：该美食店“高明角仔”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2：设该款濑粉应该降价元，由题意，得： ， 解得：或； ∵要尽快减少库存， ∴； 答：该款濑粉应该降价3元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $