专题07 证明 4大高频考点（期末真题汇编，河南专用）八年级数学上学期新教材北师大版

专题07 证明 4大高频考点概览 考点01 判断命题真假 考点02 根据平行线判定与性质证明 考点03 与角平分线有关的三角形内角和问题 考点04 三角形内角和定理的应用 地 城 考点01 判断命题真假 1．(24-25八上·河南平顶山汝州·期末)下列命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果两个角相等，那么它们是对顶角 C．如果，那么 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查判断命题的真假，等式的性质，全等三角形的判定，对顶角的定义等．根据等式的性质对AC进行判断；根据对顶角的定义对B进行判断；根据全等三角形的判定对D进行判断． 【详解】解：A、如果，那么，原命题是假命题，本选项不符合题意； B、如果两个角相等，那么它们不一定是对顶角，原命题是假命题，本选项不符合题意； C、如果，那么，是真命题，本选项符合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，本选项不符合题意； 故选：C． 2．(24-25八上·河南平顶山宝丰县·期末)下列命题是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等 C．如果，那么，两数同号 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了命题真假的判断，掌握对顶角的意义、平行线的性质、乘法法则及乘方的意义是关键； 根据对顶角的意义、平行线的性质、乘法法则及乘方的意义，逐项判断即可． 【详解】解： A、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题； B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题； C、如果，那么，两数异号，故原命题是假命题； D、如果，那么，故原命题是真命题； 故选：D 3．(24-25八上·河南新乡辉县·期末)下列命题：①实数与数轴上的点是一一对应的；②平方根和立方根相等的数有和；③带根号的数是无理数；④无限小数都是无理数；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑥内错角相等．其中真命题的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了命题真假判断，涉及实数的相关知识，垂线唯一性与平行公理等知识；根据实数与数轴上的点一一对应可判断①，根据平方根与立方根的定义可判断②，根据无理数定义可判断③④，根据垂线的性质可判断⑤，根据平行线的性质可判断⑥，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①实数与数轴上的点是一一对应的，说法正确，是真命题； ②平方根和立方根相等的数只有，说法错误，是假命题； ③带根号的数也可能是有理数，如是有理数，说法错误，是假命题； ④无限不循环小数都是无理数，说法错误，是假命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法错误，是假命题； ⑥两直线平行，内错角相等，说法错误，是假命题． ∴真命题的个数是1个， 故选：A． 4．(24-25八上·河南驻马店第二初级中学·期末)给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题的真假判断，绝对值的性质，实数的运算等知识点，根据绝对值的性质对①进行判断；根据实数的运算对②，③，④进行判断即可，熟练掌握其性质并能正解对命题进行判断是解决此题的关键． 【详解】解：①若，则，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ②若，则同时为0，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ③两个负数的差一定是负数，是假命题，如就不成立，不符合题意； ④如果，那么，是假命题，如，就不成立，不符合题意； 故选：A． 5．(24-25八上·河南驻马店泌阳县·期末)下列各命题的逆命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．对顶角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了逆命题，以及命题的真假．写出每个命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：A．若，则的逆命题是若，则，是假命题； B．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； C．两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题； D．若，则的逆命题是若，则，是假命题． 故选C． 6．(24-25八上·河南南阳方城县·期末)下列命题中，是假命题的是（    ） A．全等三角形的对应角相等 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，内错角相等 D．0的立方根是0 【答案】B 【分析】本题考查了命题、全等三角形的性质、对顶角相等、平行线的性质、立方根，熟练掌握这些性质是解题关键．根据全等三角形的性质、对顶角相等、平行线的性质、立方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、全等三角形的对应角相等，则此项是真命题，不符合题意； B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，则此项是假命题，符合题意； C、两直线平行，内错角相等，则此项是真命题，不符合题意； D、0的立方根是0，则此项是真命题，不符合题意； 故选：B． 7．(24-25八上·河南焦作·期末)下列命题中，真命题的个数是（   ） ①同位角相等；        ②所有的无理数都是无限小数； ③带根号的数都是无理数；    ④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据平行线的性质对①进行判断；根据无理数的定义对②③进行判断；根据三角形外角性质对④进行判断． 【详解】两直线平行，同位角相等，所以①错误； 所有的无理数都是无限小数，所以②正确； 带根号的数不一定是无理数，如，所以③错误； 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，所以④正确． 综上，②④正确，共2个正确． 故选：C． 8．(24-25八上·河南实验中学·期末)下列四个命题：①的算术平方根是；②实数与数轴上的点是一一对应的；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④平面内点与点关于轴对称．其中真命题是（    ） A．②④ B．①②④ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了命题，根据算术平方根、实数与数轴、三角形的外角性质、点的轴对称逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①因为，所以的算术平方根是，该选项命题是假命题； ②实数与数轴上的点是一一对应的，该选项命题是真命题； ③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，该选项命题是假命题； ④平面内点与点关于轴对称，该选项命题是真命题； ∴真命题是②④， 故选：． 9．(24-25八上·河南郑州航空港区·期末)下列命题中真命题是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．同角或等角的余角相等 C．已知点轴，且，则点的坐标一定是 D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． 【答案】B 【分析】本题考查了真假命题的判定，掌握平行线的性质，余角的性质，坐标与图形的特点是解题的关键． 根据平行线的性质，余角的性质，坐标与图形特点进行判定即可求解． 【详解】解：两条相互平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故A选项是假命题，不符合题意； 同角或等角的余角相等，B选项是真命题，符合题意； 已知点轴，且，则点的坐标是或，故C选项是假命题，不符合题意； 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故D选项是假命题，不符合题意． 故选：B ． 地 城 考点02 根据平行线判定与性质证明 10．(24-25八上·河南郑州中原区·期末)如图，线段与、分别交于点，如果，，求证：． 证明：∵（已知），（__________） （__________） （__________） …… 请在括号内填写所缺的依据，并完成本题的证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质的知识，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题根据，可得，从而得到，进而得到，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】证明：∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 11．(24-25八上·河南驻马店第二初级中学·期末)如图，已知，、分别平分、，且，求证 证明： （ ） 、分别平分、（ ） ，（ ） （ ） ∵， ∴， （ ） ，（ ） （ ） 【答案】已知；已知；角平分线的定义；角平分线的定义；两直线平行，错角相等，；两直线平行，同旁内角互补；等角的补角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及平行线的判定与性质，等角的补角相等．根据以上知识写出证明的理由，即可求解． 【详解】证明： （已知） 、分别平分、（已知） ，（角平分线的定义） （等量代换） ∵， ∴， （两直线平行，内错角相等） ，（两直线平行，同旁内角互补） （等角的补角相等） 12．(24-25八上·河南驻马店驿城区·期末)如图，已知，点D在上，交于点E，连接，若 ． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，结合已知可得出，然后根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据平行线的性质可求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 地 城 考点03 与角平分线有关的三角形内角和问题 13．(24-25八上·河南郑州新密、荥阳、登封·期末)如图，在中，已知的平分线与交于点D，，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得到，由三角形的外角性质推出，本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，关键是由三角形内角和定理求出的度数，由三角形的外角性质得到 【详解】解：，， ， 平分， ， 故答案为： 14．(24-25八上·河南实验中学·期末)【问题】 （1）如图①，在中，平分，平分，若，则的度数为______； 【探究】 （2）如图②，在中，，三等分，，三等分，若，则的度数为________；（用含的式子表示） （3）如图（3），是与外角的平分线和的交点，若，则的度数为_______； （4）如图（4），是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质． （1）利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，即可求出； （2）利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出； （3）由三角形外角性质可得，，再根据角平分线的定义可得，，代入即可求解； （4）根据角平分线的定义可得，，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）若，则， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵、三等分，、三等分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）由三角形的外角性质得，，， ∵O是与外角的平分线和的交点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （4）．理由如下： ∵是外角与外角的平分线和的交点， ，， 在中， ， ， ∵， ． 15．(24-25八上·河南郑州航空港区·期末)【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则___________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出的度数． ． 【答案】（1），；（2）；（3）或或或． 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，明确角之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求；根据计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，再整理即可解答； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，然后计算求解即可； （3）由题意知，、、，当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，分①，②，③，④四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴，整理得，． 故答案为：，． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，、， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ①当时，即，解得：， ∴； ②当时，即，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，． 综上所述，的度数为或或或． 16．(24-25八上·河南新乡获嘉县·期末)如图，在中，的平分线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点，则 ． 【答案】160 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和以及外角性质，先由三角形内角和得再结合角平分线的性质得，即，因为平分 平分，则，即可作答． 【详解】在中，， 平分平分， ， 则， 平分 平分， ， ， 故答案为：160． 17．(24-25八上·河南安阳安阳县·期末)如图，在中，是的平分线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、外角的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 根据是的平分线，求得，再根据外角的定义得，求得，再根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， ， ， ． 18．(24-25八上·河南信阳光山县·期末)如图，在中，平分交于点D，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形内角和定理和角平分线的相关计算，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义得到，根据角的和即可求出答案； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）解：，平分， ．    ． （2）   平分交于点D，平分交于点E． ． 19．(24-25八上·河南新乡长垣·期末)如图，中分别平分、，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【点睛】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理； 根据角平分线的定义得，，然后根据，利用三角形内角和可得，从而得到，再根据三角形内角和得到． 【详解】解：在中，． ． 平分，平分． ，． ． 在中，． 故选：C． 20．(24-25八上·河南信阳固始县·期末)如图，在直角中，，平分交于，且． (1)求的度数； (2)过点作交于，若，则是的平分线吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见详解 【分析】本题主要考查了角平分线的判定以及计算，三角形内角和定理以及三角形外角的定义和性质． （1）根据角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理即可得出． （2）根据三角形外角的定义和性质得出，再根据角的和差可得出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴ （2）解：是的平分线，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． 21．(24-25八上·河南平顶山汝州·期末)如图，在中，和分别平分和，的延长线和的平分线交于点．关于下列结论的选项正确的是（   ） ①；②；③；④ A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，，即可得出答案． 【详解】解：∵为外角的平分线，平分， ∴，， 又∵是的外角， ∴， 即，故①正确； ∵和分别平分，， ∴，， ∴ ，故③错误； ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴，故②错误，④正确； 综上，正确的有①④． 故选：B． 22．(24-25八上·河南驻马店平舆县·期末)在中，和的内角平分线交于点O．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质．先根据得出的度数，再根据、分别为及的平分线得出，，即，再由三角形内角和为即可得出的度数． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵、分别为及的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 23．(24-25八上·河南开封·期末)如图，在中，和的平分线，相交于点． (1)若，则的度数为_______． (2)若，求（用含的代数式表示）． 【答案】(1)110 (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和得出的值，再根据角平分线的定义易得出的值，然后再根据三角形内角和即可得出答案； （2）根据三角形内角和得出的值，再根据角平分线的定义易得出的值，然后再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ， 故答案为：； （2）解： ， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ． 24．(24-25八上·河南郑州高新区·期末)如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平分，平分，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故选：B． 地 城 考点04 三角形内角和定理的应用 25．(24-25八上·河南驻马店驿城区·期末)数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在的内部有一点，分别连接和．”所形成的图形展开研究． (1)如图1，若，，，求的度数； (2)如图2，和分别平分和． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，和分别平分和，将沿折叠，点恰好落在点处，若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键. （1）根据三角形内角和定理求出，得到， 从而得到； （2）①根据题意得到，得到，从而得到； ②根据题意得到，得到，从而得到； （3）根据题意得到，得到，从而得到，求出，根据折叠的性质得到 ，求出，即可求得. 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ； （2）解：①， ， 和分别平分和， ， ； ②， ， 和分别平分和， ， ； （3）解：， ， 和分别平分和， ， ， ， 沿折叠，点恰好落在点处， ， ， . 26．(24-25八上·河南淮阳中学·期末)如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，先利用证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，进而可得出． 【详解】解：在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C 27．(24-25八·河南信阳息县关店理想学校·期末)如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理，全等三角形的性质．根据全等三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理可求出的度数，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A 28．(24-25八上·河南信阳罗山县·期末)在中，平分，． (1)如图，若于点，，，则的度数为______； (2)如图，若于点，猜想并写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，设，，当点在射线上时不与点重合，且于点，直接写出的度数为： ______用含、的式子表示． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角性质，垂直的定义的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用三角形内角和求出，结合角平分线定义求出，再结合垂直定义、以及三角形内角和求出，最后根据求解，即可解题； （2）根据题意，结合图形，用、表示出，利用角平分线，表示出，仿照第（1）题，表示出，即可得到结果； （3）结合图形，用，表示出，利用角平分线，表示出，利用是的外角，表示出，同时也是的外角，即可得到结果． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：如图，，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即的度数为， 故答案为：． 29．(24-25八上·河南郑州经开区外国语学校·期末)将一副三角板的两块直角三角尺的直角顶点C重合，其中，，． (1)如图1，与的数量关系为______，与的数量关系为______； (2)如图2，三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当平行时，求的度数； (3)三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当与三角尺的一边平行时，请直接写出的所有可能的度数． 【答案】(1)， (2)或 (3) 或或或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，图形的旋转等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）由得出，，进一步得出结果即可； （2）当点和在点C异侧时，延长，交于F，可得出，从而得出，当和在点C同侧时，设交于G，可得出，从而得出∠； （3）分为，同理（2）可得是两种情形；当与时，也是分别两种情形，同理（2）得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图， 延长，交于F， ， ， ， 如图2-2， 设交于G， ， ， ， 综上所述：当时，或； （3）当时， 如图3-1， ， ， 如图3-2， ， ， 当时， 如图3-3， ， ， 如图3-4， ， 由（2）知， 当时，或， 综上所述： 或或或或或． 30．(24-25八上·河南郑州第四十七初级中学·期末)如图，，，则等于（    ） A．100° B．200° C．180° D．210° 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理综合．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角性质，是解题的关键． 根据，，，即可求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 故选：C． 31．(24-25八上·河南新乡获嘉县·期末)如图，在和中，，连接，且与的延长线交于点，连接．下列四个结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形、角平分线、三角形内角和的知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，作于点，于点，与交于点，通过证明，推导得、平分；根据三角形内角和性质，得，即可得到答案． 【详解】如图，作于点，于点，与交于点， ， ，即， ， 和中， ． ， ∴， ， ，①中的结论正确； ， ，②中的结论正确； ， ， ，③中的结论正确； ， ∴四边形为正方形． 平分，④中的结论正确． ∴正确的结论有4个． 故选：D． 32．(24-25八上·河南安阳安阳县·期末)已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 33．(24-25八上·河南安阳滑县·期末)如图，在中，，若将沿DE折叠到，则 度． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，由折叠得到则即可求出． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵将沿DE折叠到， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 34．(24-25八上·河南安阳滑县·期末)小玉利用一根长3.6m的竿子来测量路灯的高度．她的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算路灯的高度． 【答案】路灯的高度是 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定的条件是解题的关键． 根据三角形的内角和定理易得，进行得到和全等，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：由题意得，， ， ， ∵， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：路灯的高度是． 35．(24-25八上·河南平顶山汝州·期末)如图，在中，平分，平分，且，若，，则 ． 【答案】132 【分析】根据角平分线的定义得到，，然后得到，求出，得到，然后根据平行线的性质和邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：132． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 36．(24-25八上·河南驻马店平舆县·期末)如图，已知点A，B，D在同一条直线上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形内角和定理．先根据三角形全等的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 37．(24-25八上·河南开封·期末)如图，已知，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 先由三角形内角和定理得到 ，再由折叠的性质得到，．利用三角形外角的性质证明，进而求出．则． 【详解】解∶， ． 由折叠的性质可得 ，． ，， ． ． ． 故选∶D． 38．(24-25八上·河南洛阳·期末)中，，点、分别在、边上，将沿折叠，使点落在直线上的点处，当为直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识．由题意知，当为直角三角形时，分①，②，两种情况计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由折叠的性质可知，，， 当为直角三角形时，分①，②，两种情况求解； ①当时，， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 39．(24-25八上·河南郑州高新区·期末)如图，四边形中，，剪去后，得到一个五边形，则的度数为______°． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，熟练运用三角形外角的定义和性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质可得，，再根据三角形内角和为即可求解． 【详解】解： ， ， 由图可知，和是的两个外角， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 40．(24-25八上·河南郑州高新区·期末)受自行车尾灯设计的启发某班开展项目式学习，以下是某小组的活动记录． 探究“进入光线和离开光线夹角与镜子夹角的关系”项目活动记录 项目背景 如图1，两个互相垂直的平面镜（），根据光的反射定律，入射角等于反射角，即，， ∵，，，， ∴，，（① ）． ∵，（② ）， ∴． ∵， ∴． ∴． 实验探究 如图2，在同一平面内，两块平面镜的夹角为（）；用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角为；多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量记录，得到多组和的值，数据如下： 请你结合活动记录完成以下任务： (1)①的依据定理是 ，②的依据定理是 ； (2)③猜想与之间的关系为 ，并说明理由； (3)的度数为 ． 【答案】(1)等角的余角相等；三角形的内角和等于 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，四边形内角和，注意分类讨论，是解决本题的关键． （1）根据余角性质，三角形内角和性质回答即可； （2）结合光的反射，得，得得，，根据，得； （3）分三种情况画图讨论：①当时，可得，∴，，得，，得；②当时，根据， ，得．③当时,根据，解得，不成立． 【详解】（1）解：，， ∵，，，， ∴，，（等角的余角相等）． ∵，（三角形的内角和等于）， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：等角的余角相等；三角形的内角和等于 （2）解：如图，为法线， 则， ∴， 在中， , ∴， 在中， ， 在四边形中， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：； （3）解：或．理由如下： ①当时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由内角和， 得； ②当时， 如果在边反射后与平行， 则， 与题意不符； 则只能在边反射后与平行， ∵， ∴， 由， 可得， ∴， ∴； ③当时, ∵反射光线直接与平行，入射光线与平面镜的夹角， ∴， 解得， 此时与镜面垂直， 这与矛盾， 时不成立． 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 41．(24-25八上·河南洛阳洛宁县·期末)如图，在正方形中，，与交于点，求与的位置关系和数量关系．（提示：正方形的各边都相等，各角都是直角） 【答案】， 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用正方形性质得，，再结合，得出，则，，再利用，得，即，即可证明． 【详解】解：，．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 42．(24-25八上·河南郑州中原区·期末)如图是一副初中专用三角尺拼成的图案，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，三角板中的角度计算问题， 根据三角形内角和定理可得出，再根据平行线的性质可得出，最后根据角度的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，, ∴， ∴， 故选：B． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07证明 ☆4大高频考点概览 考点01判断命题真假 考点02根据平行线判定与性质证明 考点03与角平分线有关的三角形内角和问题 考点04三角形内角和定理的应用 目目 考点01 判断命题真假 1.(24-25八上河南平顶山汝州期末)下列命题是真命题的是() A.如果a2=b2,那么a=b B.如果两个角相等，那么它们是对顶角 C.如果a=b,那么a=|b D.面积相等的两个三角形全等 2.(24-25八上河南平顶山宝丰县期末)下列命题是真命题的是() A.相等的角是对顶角 B.两直线平行，同旁内角相等 C.如果ab<0,那么a,b两数同号D.如果a=b,那么a2=b2 3.(2425八上河南新乡辉县期末)下列命题：①实数与数轴上的点是一一对应的；②平方根和立方根相等 的数有1和0；③带根号的数是无理数；④无限小数都是无理数；⑤过一点有且只有一条直线与己知直线垂 直；⑥内错角相等.其中真命题的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(24-25八上河南驻马店第二初级中学期末)给出下列命题：①若|=|b|,则a=b;②若xy=0,则 x,y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果x2>0,那么x>0,其中真命题的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.(2425八上河南驻马店泌阳县·期末)下列各命题的逆命题为真命题的是() A.若a>0,b>0,则ab>0 B.对顶角相等 C.两直线平行，同旁内角互补 D.若a=b,则a2=b2 6.(24-25八上·河南南阳方城县·期末)下列命题中，是假命题的是() A.全等三角形的对应角相等 B.相等的角是对顶角 C.两直线平行，内错角相等 D.0的立方根是0 7.(24-25八上河南焦作期末)下列命题中，真命题的个数是（) 1/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①同位角相等； ②所有的无理数都是无限小数： ③带根号的数都是无理数； ④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8.(24-25八上河南实验中学期末)下列四个命题：①W81的算术平方根是9；②实数与数轴上的点是一一 对应的；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④平面内点A(一1,2)与点B(-1,一2)关于x轴对称. 其中真命题是() A.②④ B.①②④ C.②③ D.①②③④ 9.(24-25八上·河南郑州航空港区·期末)下列命题中真命题是() A.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B.同角或等角的余角相等 C.已知点A(2,-3),ABIy轴，且AB=5,则点B的坐标一定是(2,2) D,如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等. 目目 考点02 根据平行线判定与性质证明 10.(24-25八上河南郑州中原区期末)如图，线段AD与CE、BF分别交于点G、H,如果∠1=∠2， ∠A=∠D,求证：∠B=∠C E B 14 证明：∠1=∠2（已知），∠1=∠3( ∠2=∠3( CEBF 请在括号内填写所缺的依据，并完成本题的证明. 11.(24-25八上河南驻马店第二初级中学期末)如图，己知∠ABC=∠ADC,BF、DE分别平分∠ABC、 ∠ADC,且∠AED=∠ABF,求证∠A=∠C 2/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证明：：∠ABC=∠ADC(_) BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC(_) ·∠ABF=∠ABC,∠CDE=∠ADC(_) ·∠ABF=∠CDE(_) :∠AED=∠ABF, .∠AED=∠CDE, ·AB‖CD(_) :∠A+∠ADC=180°，∠C+∠ABC=180°(_) ·∠A=∠C(_) 12.(24-25八上河南驻马店驿城区·期末)如图，己知△ABC,点D在AB上，DF交AC于点E,连接CF, 若DFBC,∠B=∠F, E B (1)求证：AB引CF: (2)若∠B=50°，CA平分∠BCF,求∠A的度数. 目目 考点03 与角平分线有关的三角形内角和问题 13.(24-25八上·河南郑州新密、荥阳、登封期末)如图，在△ABC中，已知∠BAC的平分线与BC交于点 D,∠B=60°，∠C=40°，则∠ADB的度数为」 D 14.(24-25八上河南实验中学期末)【问题】 (1)如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,若∠A=82°，则∠BEC的度数为 0； 【探究】 (2)如图②，在△ABC中，BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB,若∠A=《°，则∠BEC 3/12 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 的度数为 ·;(用含a的式子表示) (3)如图(3)，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线B0和C0的交点，若∠A=62°，则∠B0C的度数 为 (4)如图(4)，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和C0的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量 关系？请说明理由 B B ① ② ④ 15.(24-25八上·河南郑州航空港区·期末)【初步认识】 (1)如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.若∠A=100°，则∠P= 如图②，BM平分∠ABC,CM平分外角∠ACD,则∠A与∠M的数量关系是 【继续探索】 (2)如图③，BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB.请探索∠A与∠N之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BPNC交 于点M,在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出∠A的度数. ① ② ③ ④ 16.(24-25八上河南新乡获嘉县·期末)如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ACB的平分线CE与∠ABC的 平分线交于点D,与△ABC的外角∠ABF的平分线交于点E,则∠BDC+∠E= 4/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.(24-25八上河南安阳安阳县期末)如图，在△ABC中，AN是∠BAC的平分线，∠BAN=30°， ∠ANC=80°，求∠C的度数. 18.(24-25八上河南信阳光山县期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,BE平分∠ABC 交AD于点E. D (1)若∠C=52°，∠BAC=68°，求∠ADB的度数； (2)若∠BED=56°，求∠C的度数. 19.(24-25八上河南新乡长垣·期末)如图，△ABC中BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,∠D=130°， 则∠A的度数为() D B A.60° B.70° C.80o D.90o 20.(24-25八上河南信阳固始县期末)如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于 D,且∠DBC=30°. (1)求∠A的度数： 5/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)过点C作CP交BD于P,若∠CPD=75°，则CP是∠ACB的平分线吗？请说明理由. 21.(24-25八上河南平顶山汝州期末)如图，在△ABC中，BP和CP分别平分∠ABC和∠ACB,BP的延 长线和∠ACD的平分线交于点E.关于下列结论的选项正确的是() ①∠1=2∠2；②∠BPC=3∠2；③∠BPC=90°+∠1；④∠BPC=90°+∠2 A B C A.①③ B.①④ C.①②④ D.①③④ 22.(24-25八上河南驻马店平與县·期末)在△ABC中，∠ABC和∠ACB的内角平分线交于点O.设 ∠BOC=B,则∠A=() A.180°-BB.900-号 C.23-180° D.180°-号 23.(2425八上河南开封期末)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交于点G. E G B (1)若∠A=40°，则∠BGC的度数为 (2)若∠A=a,求∠BGC(用含的代数式表示)· 24.(24-25八上河南郑州高新区·期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,若 ∠A=60·,则∠D的度数为() D B A.100° B.1200 C.130° D.150° 6/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 三角形内角和定理的应用 25.(24-25八上河南驻马店驿城区期末)数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在△ABC的内部 有一点D,分别连接BD和CD.”所形成的图形展开研究. D B p(a 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BDC=120°，∠ABD=30°，∠ACD=40°，求∠A的度数； (2)如图2，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB. ①若∠BDC=110°，求∠A的度数： ②若∠BDC=a,请直接写出∠A的度数（用含ax的式子表示)； (3)如图3，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB,将∠A沿EF折叠，点A恰好落在D点处，若 ∠BDC=115°，请直接写出∠1+∠2的度数. 26.(2425八上河南淮阳中学.期末)如图，AB=BD,AC=CD,∠BAC=105°，∠ACB=25°，则 ∠DBC的度数为() A B A.60° B.55 C.50° D.45° 27.(24-25八河南信阳息县关店理想学校期末)如图，△ABC兰△ADE,若∠D=80·, ∠CAB=70°，则∠E的度数为() A.30 B.35o C.70o D.80o 28.(2425八上河南信阳罗山县期末)在△ABC中，CE平分∠ACB,∠A>∠B. 7/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (1I)如图1，若CD⊥AB于点D,∠A=70·,∠B=40°，则∠DCE的度数为 (2)如图1，若CD⊥AB于点D,猜想并写出∠A、∠B、∠DCE之间的数量关系，并说明理由： (3)如图2，设∠A=《,∠B=B,当点F在射线EF上时（不与点E重合），且DF⊥AB于点D,直接写出 ∠DFE的度数为： (用含、的式子表示)， 29.(24-25八上·河南郑州经开区外国语学校·期末)将一副三角板的两块直角三角尺的直角顶点C重合，其 中∠A=∠B=45°，∠D=60°，∠E=30°. 图1 图2 (I)如图1，∠BCE与∠ACD的数量关系为，∠BCD与∠ACE的数量关系为 (2)如图2，三角尺ABC保持不动，绕点C转动三角尺DCE,当DE平行AB时，求∠BCD的度数； (3)三角尺ABC保持不动，绕点C转动三角尺DCE,当DE与三角尺ABC的一边平行时，请直接写出 ∠BCD的所有可能的度数. 30.(24-25八上河南郑州第四十七初级中学期末)如图，∠A=100°，∠D=80°，则∠1十∠2等于() A.1009 B.200° C.180° D.210° 31.(24-25八上·河南新乡获嘉县·期末)如图，在△ABC和△DCE中， ∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC,CD=CE,连接AE,BD,且AE与BD的延长线交于点G,连接CG ,下列四个结论： 8/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 B ①AE⊥BG: ②BG-AE=DG: ③∠GDC+∠CEA=180°； ④GC平分∠BGE, 其中正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 32.(24-25八上河南安阳安阳县·期末)已知△ABC兰△DEF,∠A=50°，∠B=40°，则∠F的度数为 () A.100 B.90o C.50o D.40° 33.(24-25八上河南安阳滑县期末)如图，在△ABC中，∠A=50°，若将∠A沿DE折叠到∠A,则 ∠1十∠2=度. E 34.(24-25八上河南安阳滑县·期末)小玉利用一根长3.6m的竿子来测量路灯AB的高度.她的方法如下： 如图，在路灯前选一点P,使BP=3.6m,并测得∠APB=66°，然后把竖直的竿子CD(CD=3.6m) 在BP的延长线上左右移动，使∠CPD=24°，此时测得BD=11.6m.请根据这些数据，计算路灯AB的 高度. A路灯 35.(2425八上河南平顶山汝州期末)如图，在△ABC中，BP平分∠CBA,AP平分∠CAB,且 9/12 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 DEAB,若∠BPA=124°，∠CBA:∠CAB=4:3,则∠DEA=—°. B 36.(24-25八上河南驻马店平舆县期末)如图，己知点A,B,D在同一条直线上，△ACD兰△EBD, 若∠A=30°，∠B=50°，则∠CDE=() B D A.150 B.20 C.25o D.40° 37.(2425八上河南开封期末)如图，己知∠ABC=81°，将△ABC沿BD折叠，使得点C落在边AB上 的点E处，若∠A=∠ADE,则∠BDC的度数为(） B A.740 B.74.5o C.73o D.73.5 38.(24-25八上河南洛阳期末)△ABC中，∠C=90°，∠B=34°，点M、N分别在AB、BC边上，将 △BMN沿MN折叠，使点B落在直线AC上的点B'处，当△ABM为直角三角形时，∠BNM的度数 为 M B =B 39.(2425八上河南郑州高新区·期末)如图，四边形ABCD中，∠A=40·,剪去∠A后，得到一个五边形， 则∠1十∠2的度数为°. 10/12