专题05 二元一次方程组 4大高频考点（期末真题汇编，河南专用）八年级数学上学期新教材北师大版

专题05 二元一次方程组 4大高频考点概览 考点01 解二元一次方程组 考点02 二元一次方程组的应用 考点03 二元一次方程与一次函数 考点04 用二元一次方程组确定一次函数表达式 地 城 考点01 解二元一次方程组 1．(24-25八上·河南郑州新密、荥阳、登封·期末)已知关于x，y的方程组小华正确地解得小玲看错了t得到的解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】将和分别代入方程，得到关于m和n的二元一次方程组并求解；将代入，得到关于t的一元一次方程并求解；将m、n、t的值分别代入计算即可． 本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：将和分别代入方程， 得到关于m和n的二元一次方程组， 解得； 将代入， 得到关于t的一元一次方程， 解得， 故答案为： 2．(24-25八上·河南驻马店驿城区·期末)计算： (1)； (2)解方程组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解二元一次方程组，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的意义，二次根式的运算法则计算即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 3．(24-25八上·河南驻马店驿城区·期末)若和都是方程的解，则a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解和解二元一次方程组，解题的关键是掌握方程的解的意义；根据方程的解可得，再解方程组即可． 【详解】解：和都是方程的解， ， 解得：， 故选：． 4．(24-25八上·河南焦作·期末)计算： (1)； (2)解方程组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键： （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）原式 （2）， 得， 把，代入②得， ∴， ∴原方程组的解为 5．(24-25八上·河南郑州第四十七初级中学·期末)（1）解方程组：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组和二次根式的混合运算． （1）根据加减消元法解二元一次方程组； （2）根据二次根式的混合运算法则计算． 【详解】解：（1） 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解为； （2） ． 6．(24-25八上·河南郑州中牟县·期末)解方程组 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解： ，得 ，得             ，得， 解得 把代入①，得 解得 所以原方程组的解是． 7．(24-25八上·河南郑州中牟县·期末)写出二元一次方程的一组解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．将代入方程求解，即可解题． 【详解】解：当时，有，解得， 二元一次方程的一组解为， 故答案为：（答案不唯一）． 8．(24-25八上·河南平顶山鲁山县·期末)解答题 (1) (2)解方程组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算及二元一次方程组的解法，熟练掌握二次根式的运算及二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可求解； （2）根据加减消元法可以解答即可． 【详解】（1） ， ， （2）①+② ①+②得： 解得： ①－②得：， 解得：， 故方程组的解为： 9．(24-25八上·河南平顶山宝丰县·期末)（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握实数混合运算的法则、解二元一次方程组的方法是解题的关键； （1）先计算开方与去绝对值符号，再计算加减即可； （2）运用代入消元法求解即可． 【详解】解：（1）原式； （2）， 由①得③， ③代入②得：④， 解④得：， 把代入③得，， ∴原方程组的解为； 10．(24-25八上·河南驻马店泌阳县·期末)甲乙二人共同计算由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为；由于乙漏抄了2，得到的结果为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组等知识点．先按甲、乙错误的做法得出的系数的数值求出a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：依题意得， ∴，即， ， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 11．(24-25八上·河南郑州高新区·期末)若方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 设，则方程组可化为，根据题意得出，即可求出的值． 【详解】解：设，则方程组可化为， 方程组的解为， 方程组的解为， ， ， 方程组的解为， 故答案为： 12．(24-25八上·河南郑州金水区·期末)（1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则及二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）先化简二次根式，然后再进行二次根式的加减运算即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ，得：， 系数化为，得：， 把代入①，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， ∴原方程组的解为． 13．(24-25八上·河南郑州中原区·期末)（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及解二元一次方程组． （1）先利用二次根式的性质化简，求立方根，计算二次根式的乘法，最后再计算二次根式的加减运算． （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：（1）原式 （2）， 由②①，得 把代入①，得 所以原方程组的解为：． 14．(24-25八上·河南驻马店第二初级中学·期末)解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． （1）直接用加减消元法解答即可； （2）直接用加减消元法解答即可． 【详解】（1）解：， 可得：， 解得： 将代入②可得：，解得：， 所以该方程组的解为：． （2）解： 原方程可化为：， 可得：， 将代入②可得：，解得：， 所以该方程组的解为：． 15．(24-25八上·河南驻马店第二初级中学·期末)已知关于x、y的方程组的解x，y的和为6，则k的值为 。 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识点，两式相加得：，根据的和为6，整体代入即可得到k的值，熟练掌握二元一次方程组的解，解一元一次方程并知道将整体代入是解决此题的关键． 【详解】解：两式相加得：， ∴， ∵的和为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．(24-25八上·河南郑州金水区·期末)若关于的二元一次方程的一个解是，则这个方程可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键；因此此题可根据二元一次方程的解为来得出符合条件的二元一次方程即可． 【详解】解：由题可得这个方程可以是（答案不唯一）； 故答案为（答案不唯一）． 地 城 考点02 二元一次方程组的应用 17．(24-25八上·河南郑州中原区·期末)《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为、，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题步骤与解法，抓住等量关系是解题关键．设甲带了x钱，乙带了y钱，利用等量关系“甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．”列方程组即可． 【详解】解：解：设甲带钱x，乙带钱y，根据题意， 得， 故选：C． 18．(24-25八上·河南郑州金水区·期末)杨老师在“双十一”期间买了一件毛衣，通过研究缝在衣服内部标签上的内容，得到了以下结论： ①毛衣的总质量为； ②毛衣的成分：绵羊毛、腈纶、锦纶、聚酯纤维； ③绵羊毛和腈纶的含量占，锦纶的含量是绵羊毛含量的5倍，聚酯纤维的含量比腈纶含量的2倍少． 请你求出绵羊毛和腈纶的质量． 【答案】绵羊毛的质量为，腈纶的质量为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设绵羊毛的质量为，腈纶的质量为，根据题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设绵羊毛的质量为，腈纶的质量为，根据题意可得： ， 解得：； 答：绵羊毛的质量为，腈纶的质量为． 19．(24-25八上·河南郑州经开区外国语学校·期末)某蔬菜经营户花256元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共100kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元kg） 2.8 2.2 零售价/（元kg） 3.6 3.2 该蔬菜经营户当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少元？ 解：设该蔬菜经营户从蔬菜市场批发黄瓜xkg，批发茄子ykg． 请列方程组求出x，y，并求出该蔬菜经营户当天卖完这些黄瓜和茄子能赚的钱数． 【答案】88元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题的关键．先根据黄瓜和茄子的总重量以及总批发价列出方程组，求出黄瓜和茄子的重量，再分别计算黄瓜和茄子的利润，最后将两者利润相加得到总利润． 【详解】解：设该蔬菜经营户从蔬菜市场批发黄瓜，批发茄子， 请根据题意，可得，解得：， ∴可以赚元． 20．(24-25八上·河南郑州第四十七初级中学·期末)根据以下素材，完成任务． 素材一：春节，即农历新年，为了迎接春节，某商场出售春节限定水果礼盒和坚果礼盒．每个水果礼盒成本为120元，每个坚果礼盒成本为180元，每个坚果礼盒比每个水果礼盒售价贵90元，销售一个坚果礼盒的利润与销售两个水果礼盒的利润相同． 素材二：两种礼盒全部售完之后，商场决定第二次进货时同时购进两种礼盒共100个．坚果礼盒不超过40个，且这批礼盒全部按照原售价销售． (1)每个水果礼盒和坚果礼盒的售价各是多少？ (2)素材二中，若使销售完这批礼盒后商场获得最大的利润，请帮助商场设计进货方案． 【答案】(1)每个水果礼盒售价150元，每个坚果礼盒售价240元 (2)水果礼盒进货60个，坚果礼盒进货40个 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设每个水果礼盒售价x元，坚果礼盒售价y元，根据每个坚果礼盒比每个水果礼盒售价贵90元，销售一个坚果礼盒的利润与销售两个水果礼盒的利润相同，再建立方程组求解即可； （2）设坚果礼盒进货m个，商场获得的利润为w元，则水果礼盒进货个，再建立一次函数求解即可． 【详解】（1）解：设每个水果礼盒售价x元，坚果礼盒售价y元， 根据题意，得 解得 答：每个水果礼盒售价150元，每个坚果礼盒售价240元． （2）解：设坚果礼盒进货m个，商场获得的利润为w元，则水果礼盒进货个 根据题意，得， ∵，． ∴w随m的增大而增大 ∵， ∴当时，w有最大值． 此时． 答：商场第二次进货时，水果礼盒进货60个，坚果礼盒进货40个，可以获得最大利润. 21．(24-25八上·河南郑州二七区·期末)年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每件A型航模元，每件B型航模元 (2)张老师共有2种购买方案：方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B型航模 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元，根据“购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元．”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m件A型航模，n件B型航模，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每件A型航模x元，每件B型航模y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件A型航模元，每件B型航模元． （2）解：设购买m件A型航模，n件B型航模， 根据题意得：， ． 又∵m，n均为正整数， 或． ∴张老师共有2种购买方案， 方案1：购买4件A型航模，1件B型航模； 方案2：购买1件A型航模，3件B型航模． 22．(24-25八上·河南郑州高新区·期末)朱仙镇木版年画是中国古老的传统工艺品之一，某文创商店购进如图“马上鞭”和“对花枪”两种木板年画作品，其进价和销售价如表所示： 马上鞭 对花枪 进价（元/张） 23 34 售价（元/张） 25 35 (1)若文创商店购进两种木板年画作品共130张，正好用去3760元，计算两种木板年画作品分别购进多少张？ (2)该文创商店某次出售两种木板年画作品（两种作品出售张数不为0），正好盈利6元，列出所有的销售方案． 【答案】(1)购进“马上鞭”版画作品60张，“对花枪”版画作品70张． (2)销售方案有两种：“马上鞭”版画作品1张，“对花枪”版画作品4张；“马上鞭”版画作品2张，“对花枪”版画作品2张． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解二元一次方程，正确理解题意是解题的关键： （1）设购进“马上鞭”版画作品x张，“对花枪”版画作品y张，根据题意，得，求解即可得出答案； （2）设出售“马上鞭”版画作品a张，“对花枪”版画作品b张，根据题意，得，求出方程的正整数解，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设购进“马上鞭”版画作品x张，“对花枪”版画作品y张， 根据题意，得， 解得， 所以购进“马上鞭”版画作品60张，“对花枪”版画作品70张； （2）解：设出售“马上鞭”版画作品a张，“对花枪”版画作品b张， 根据题意，得 即， 这个方程的正整数解有，， 所以，销售方案有两种：①“马上鞭”版画作品1张，“对花枪”版画作品4张；②“马上鞭”版画作品2张，“对花枪”版画作品2张． 23．(24-25八上·河南郑州金水区·期末)学校计划采购一批白色和黄色乒乓球，若购买白色乒乓球3盒、黄色乒乓球2盒，共需34元；若购买白色乒乓球2盒、黄色乒乓球3盒，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（   ） A．每盒白色乒乓球比黄色乒乓球贵2元 B．白色乒乓球比黄色乒乓球多买了2盒 C．每盒白色乒乓球比黄色乒乓球便宜2元 D．白色乒乓球比黄色乒乓球少买了2盒 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接进行求解． 【详解】解：由题意可知设每盒白色乒乓球为元，每盒黄色乒乓球为元，则有“”表示每盒白色乒乓球比黄色乒乓球便宜2元； 故选：C． 24．(24-25八上·河南平顶山宝丰县·期末)我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目，大意是：个和尚分个馒头，刚好分完．大和尚人分个馒头，小和尚人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？（用两种不同的方法解决） 【答案】大和尚有人，小和尚有人 【分析】本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的应用，根据题意列方程是解题的关键； 根据题中的数量关系等式，找出对应量，列方程组解答即可． 【详解】（方法一） 解：设大和尚有人，小和尚有人， 根据题意得：， 解这个方程组，得． 答：大和尚有人，小和尚有人． （方法二）设大和尚有人， 根据题意得： 解得； ； 答：大和尚有人，小和尚有人； 25．(24-25八上·河南郑州中牟县·期末)中牟作为“中国主题乐园第一县”是中国主题公园布局最集中的文旅大县，2024年10月2日，某旅游团组织62人来到中牟．某酒店的三人间和双人间客房标价是：三人间每人每天100元，双人间每人每天150元，旅游团租住若干三人间和双人间客房． (1)若他们租住的客房正好住满，一天共花去7800元，求租住三人间、双人间客房各多少间？ (2)若三人间共住了人，旅游团一天的住宿费是元，请写出与的函数关系式． 【答案】(1)他们租住三人间客房间，双人间客房间 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组，以及一次函数的实际应用，解题的关键在于读懂题意找出等量关系． （1）设他们租住三人间客房间，双人间客房间，根据题意建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）根据“旅游团一天的住宿费三人间费用 二人间费用”列出关系式即可． 【详解】（1）解：设他们租住三人间客房间，双人间客房间， 根据题意，得 ， 解这个方程组，得， 所以他们租住三人间客房间，双人间客房间． （2）解：（，是整数）． 26．(24-25八上·河南平顶山·期末)用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺．这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设这根绳子有尺，环绕大树一周需要尺，根据题意列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，正确找到等量关系是解决应用题的关键．设这根绳子x尺，绕大树一周需要y尺．等量关系：①环绕大树3周，则绳子还多4尺；②环绕大树4周，则绳子少了3尺．根据等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这根绳子x尺，绕大树一周需要y尺．根据题意，得： ． 故选C． 地 城 考点03 二元一次方程与一次函数 27．(24-25八上·河南郑州中原区·期末)如图，一次函数与图象的交点为，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数之间的关系，根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可得． 【详解】解：∵两直线的交点， ∴关于的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 28．(24-25八上·河南开封祥符区·期末)已知二元一次方程组的解为，则函数和 的图象交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，两条直线的交点坐标是对应两个一次函数组成的方程组的解；反之，二元一次方程组的解是对应的两个一次函数图象的交点坐标；据此即可求解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为 ∴函数和的图象的交点坐标为． 故选：B． 29．(24-25八上·河南郑州新密、荥阳、登封·期末)如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象交点坐标可得方程组的解． 本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为方程组的解． 【详解】解：将点代入直线，得 所以点C的坐标为 所以关于x，y的方程组的解为 故选：A． 30．(24-25八上·河南焦作·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点． (1)求点A的坐标； (2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交和的图象于点B、C，连接． ①点C的纵坐标是______（用含m的代数式表示）； ②若，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②的面积为28 【分析】本题考查一次函数和勾股定理，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． （1）联立正比例函数与一次函数解析式组成方程组，求出方程组的解得到与的值，确定出坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长，求出的长，写出B，C的坐标，求出的值，从而求出三角形面积． 【详解】（1）由题意得， ∴ ∴点 （2）①当时，点C的纵坐标是， 故答案为； ②如图，过点A作轴于点D， 由（1）知，，，在中，． ∵   ∴ ∵，且轴    ∴， ∴， ∴， ∴ 由    ∴， ∴ ∴的面积为28 地 城 考点04 用二元一次方程组确定一次函数表达式 31．(24-25八上·河南郑州新密、荥阳、登封·期末)写出一个图象过点且y随x的增大而增大的一次函数解析式 ． 【答案】答案不唯一 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数性质，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：根据一次函数y随x的增大而增大，可设解析式为， 一次函数图象过点， ，解得， 一次函数解析式为：答案不唯一 故答案为：答案不唯一 32．(24-25八上·河南驻马店驿城区·期末)共享电动车是一种新理念下的交通工具．现有甲，乙两种品牌的共享电动车可供选择，手机扫码开锁，开始记时收费．若已开锁，则所收费用y（元）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题： (1)甲品牌每分钟收费________元，甲品牌收费的函数表达式为________________； (2)求乙品牌收费的函数表达式，并写出图中点P的实际意义； (3)若李叔叔准备去书店买书，预计时间为15分钟，请问他选择哪种品牌的共享电动车更省钱？说明理由． 【答案】(1)， (2)，点P表示的意义是当时间为20分钟时，甲、乙品牌收费都是4元 (3)选择甲种品牌的共享电动车更省钱，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的根据是读懂题意，能正确识图． （1）由20分钟收4元即可得甲品牌共享电动车每分钟收费，根据每分钟的费用乘以时间即可求出甲品牌收费的函数表达式； （2）分别求出当时，当时的函数表达式即可，点P的横坐标表示甲、乙费用相等的时间，纵坐标表示费用； （3）分别求出骑行15分钟时，甲、乙的费用，然后比较即可得答案． 【详解】（1）解：解：由图可得：甲品牌共享电动车每分钟收费（元）， 甲品牌收费的函数表达式为， 故答案为：，； （2）当时，， 当时，设函数解析式为， 则， 解得， ∴， ∴， 由图知，点P表示的意义是当时间为20分钟时，甲、乙品牌收费都是4元； （3）解：当时， 甲品牌的费用为（元）， 乙品牌的费用为（元）， ∵， ∴选择甲种品牌的共享电动车更省钱． 33．(24-25八上·河南郑州经开区外国语学校·期末)直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式等知识点，解题的关键是掌握求直线交点的方法． 先利用待定系数法求出两个函数的解析式，联立解析式即可得出交点坐标． 【详解】解：假设的解析式为，将代入得， ， 解得， ∴； 假设的解析式为，将点和点代入得， ， 解得， ∴， 联立， 解得， 所以，交点的坐标为， 故答案为：． 34．(24-25八下·河南商丘梁园区·期末)已知是的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求函数的值； (3)求当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)13 (3) 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定一次函数解析式、已知求函数值、已知的范围求自变量范围等知识，熟记一次函数图象与性质及相关问题解法是解决问题的关键． （1）由题意，令一次函数的解析式为，根据当时，；当时，，列方程组求解即可得到答案； （2）由（1）中所求解析式，将代入即可得到答案； （3）由（1）中所求解析式，结合一次函数图象与性质可知，一次函数中，随的增大而增大，从而将；代入解析式求出即可得到当时，自变量的取值范围． 【详解】（1）解：已知是的一次函数，令一次函数的解析式为， 当时，；当时，， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：将代入得， ， 当时，函数的值13； （3）解：由（1）知，一次函数的解析式为， ， 一次函数中，随的增大而增大， 将时，，解得； 当时，，解得； 当时，自变量的取值范围是：． 35．(24-25八上·河南平顶山汝州·期末)寒假将至，某健身俱乐部面向学生推出优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生寒假专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生寒假专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生寒假健身次数为（单位：次），按照方案一所需费用为（单位：元）；按照方案二所需费用为（单位：元），．其函数图象如图所示． (1)求和的值，并说明它们表示的实际意义； (2)求打折前的每次健身费用和的值； (3)小林计划寒假前往该俱乐部健身9次，选择哪种方案所需费用更少？请说明理由． 【答案】(1)k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b的实际意义是：每张学生寒期专享卡的价格为30元 (2)打折前的每次健身费用为25（元）， (3)选择方案一所需费用更少．理由见解析 【分析】（1）直接根据函数的图象结合实际意义进行解答； （2）根据方案一打折后每次健身费用是15元，因为是打六折，故可求打折前的费用；然后根据方案二再打八折即可求得k2 ； （3）根据（1）（2）即可得到，，当时，解得：．即可得到答案． 【详解】（1）解：的图象过点和点， ∴ ∴， ∴的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元； b的实际意义是：每张学生寒期专享卡的价格为30元； （2）打折前的每次健身费用为（元） ； （3）选择方案一所需费用更少．理由如下： 由（1）知，， ∴． 由（2）知， ∴． 当时，， 解得：． 结合函数图象可知，小华寒期前往该俱乐部健身9次，选择方案一所需费用更少． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，看懂图象，理解题意，理解两种优惠方案之间的关键是解题的关键． 36．(24-25八上·河南郑州二七区·期末)《九章算术》中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校探究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间x（小时） 0 1 2 3 4 箭尺读数y（厘米） 4 12 20 28 36 【探索发现】 (1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． (2)观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是 （填“正比例函数”或“一次函数”）；并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写）． 【结论应用】 (3)应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到9小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为92厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 【答案】(1)见解析 (2)一次函数； (3)①76厘米；②下午 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的图象特征和待定系数法求一次函数的表达式是解题的关键． （1）直接描点即可； （2）根据图象特征判断对应的函数类型，并用待定系数法求其函数表达式即可； （3）①将代入y关于x的函数表达式，求出对应y的值即可；②将代入y关于x的函数表达式，求出对应x的值，再根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为92厘米时是几点钟即可． 【详解】（1）解：描点如图所示： （2）解：∵这些点基本上分布在同一条直线上， ∴这个函数的类型最有可能是一次函数． 设该一次函数的表达式为， 将坐标和分别代入，得， 解得：， ∴该一次函数的表达式为． 故答案为：一次函数． （3）①当时，． 答：供水时间达到9小时时，箭尺的读数为76厘米． ②当时，得， 解得：． 本次实验记录的开始时间是上午， 当箭尺读数为92厘米时是下午． 答：当箭尺读数为92厘米时是下午． 37．(24-25八上·河南郑州中原区·期末)为加强劳动教育，落实五育并举，郑州市中原区某校在校园内建立了一处劳动教育基地．现学校选定基地中土壤水平及光照时长相同的一块地，来种植甲、乙两种菜苗．从种植开始，每隔两天记录一次数据．数据记录如下： 已种菜苗天数/天 0 2 4 6 8 … 甲种菜苗高度 3 6 9 12 15 … 乙种菜苗高度 8 10 12 14 16 … 通过分析数据，我们可以得到甲、乙两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗天数（单位：天）均为一次函数关系． (1)在平面直角坐标系中分别画出甲、乙两种菜苗的高度，关于已种菜苗天数的函数图象，并求出，关于的函数关系式； (2)根据实践经验可知：这两种菜苗均在高度达到时成熟，请问哪种菜苗先成熟，并说明理由． 【答案】(1)， (2)甲种菜苗先成熟，理由见解析 【分析】本题考查了，画一次函数图像，求一次函数解析式，从函数图像获取信息，解题的关键是：熟练掌握一次函数的性质． （1）根据数据，应用描点法，即可求解，再利用待定系数法即可求解出，关于的函数关系式； （2）分别令，，求出对应的值，比较即可． 【详解】（1）解：如图所示 设，将，代入得：，解得； ∴； 设，将，代入得：， 解得； ∴； （2）解：当时，，解得； 当时，，解得； ∵ ∴甲种菜苗先成熟． 38．(24-25八上·河南驻马店第二初级中学·期末)如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点， (1)求直线的表达式； (2)若点C是直线上的一个动点，当的面积为8时，求点C的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点， （1）利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）设,根据三角形面积公式得到，解方程即可； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设直线的解析式为, 点,点, , 解得, 直线的解析式为； （2）解：设, ， ， ， 当时，，当时，， 点的坐标为或. 39．(24-25八上·河南郑州金水区·期末)如图，直线与轴交于点，与直线交于点，方程组的解为，若点是轴上的动点，且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得点，然后可设点，进而根据三角形面积可建立方程进行求解． 【详解】解：由方程组的解为，可知：点， 设点，直线与x轴的交点为D，如图， 把点、代入得： ，解得：， ∴， 令，则有，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或10， ∴或； 故答案为或． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05二元一次方程组 ☆4大高频考点概览 考点01解二元一次方程组 考点02二元一次方程组的应用 考点03二元一次方程与一次函数 考点04用二元一次方程组确定一次函数表达式 目目 考点01 解二元一次方程组 mx+ny=2 1.(2425八上河南郑州新密、荥阳、登封期末)已知关于x,y的方程组x-7y=8 小华正确地解得 (X=3 X=-1 y=-2小玲看错了t得到的解为y=2，则m+t-号n的值为 2.(24-25八上河南驻马店驿城区·期末)计算： V5-2+(V6-)×2: （4x+y=10, ① (2)解方程组： 2x-3y=12 ② x=2(x=0 3.(2425八上河南驻马店驿城区期末若{y=-1和y=3都是方程ax+y=b的解，则a,b的值 为() A.a=-1,b=-3 B.a=-2,b=-3 C.a=2,b=3 D.a=1,b=3 4.(24-25八上河南焦作·期末)计算： (5+2)(5-)+V停-⑧： 2x-y=16 (2)解方程组： x-y=10 |x-y=-2 5.(24-25八上河南郑州第四十七初级中学期末)(1)解方程组： (x+2y=4; (2)计算： 匝-+(5+1)(5-1). 8 3x-2y=11① 6.(24-25八上河南郑州中牟县·期末)解方程组 2x+3y=16② 7.(24-25八上河南郑州中牟县期末)写出二元一次方程2x一y=4的一组解 1/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(24-25八上河南平顶山鲁山县期末)解答题 0w27÷号×25-65 (2x+3y=3 (2)解方程组： 2x-3y=9 9.(24-25八上河南平顶山宝丰县期末)(1)计算：一8+V(-2)2+1-2: 2x+y=3① (2)解方程： 5x+y=9② 10.(24-25八上河南驻马店泌阳县期末)甲乙二人共同计算2x+ax+b)由于甲抄错了第一个多项式中a 的符号，得到的结果为2x2+4x一30；由于乙漏抄了2，得到的结果为x2+8x+15,则 a+b=_ 2a-3b=16 ∫a=5 1山.(2425八上河南郑州高新区期末若方程组3a+5b=5的解为b=一2，则方程组 2(x+2)-3(y-1)=16 、3(x+2)+5(y-1)=5的解为 12.(2425八上河南郑州金水区期末)(1)计算：V27-6+V3 x+y=35 (2)解方程组： 2x+4y=94 13.(24-25八上河南郑州中原区期末)(1)计算：20+8-V×V5: x+y=1 (2)解方程组： x+2y=4· 14.(2425八上河南驻马店第二初级中学期末)解下列方程组 (3x-2y=11 (114x-5y=3 （0.5x+0.8y=4.7 (211.2y+0.6x=6.6 x+2y=k 15.(2425八上河南驻马店第二初级中学.期末)己知关于x、y的方程组 2x+y=k-2的解x,y的和 为6，则k的值为一。 （X=-1 16.24-25八上河南郑州金水区期末)若关于xy的二元一次方程的一个解是{y=1,则这个方程可以 (写一个即可) 目目 考点02 二元一次方程组的应用 17.(24-25八上河南郑州中原区期末)《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其 2/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带 了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50：如果乙得到甲所有钱的三，那么乙也共有钱50， 问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x、y,则可列方程组为() |x+y=50 x+y=50 A. x+号y=50 B. (x+号y=50 (x+y=50 |x+y=50 C. y+x=50 D y+x=50 18.(24-25八上·河南郑州金水区·期末)杨老师在“双十一”期间买了一件毛衣，通过研究缝在衣服内部标签上 的内容，得到了以下结论： ①毛衣的总质量为200g: ②毛衣的成分：绵羊毛、腈纶、锦纶、聚酯纤维 ③绵羊毛和腈纶的含量占20%，锦纶的含量是绵羊毛含量的5倍，聚酯纤维的含量比腈纶含量的2倍少1g 请你求出绵羊毛和腈纶的质量 19.(24-25八上·河南郑州经开区外国语学校·期末)某蔬菜经营户花256元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄 子共100kg,到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示： 黄 茄 品名 瓜 子 批发价/（元kg 2.8 2.2 零售价/（元kg 3.6 3.2 该蔬菜经营户当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少元？ 解：设该蔬菜经营户从蔬菜市场批发黄瓜xkg,批发茄子kg· 请列方程组求出x,y,并求出该蔬菜经营户当天卖完这些黄瓜和茄子能赚的钱数. 20.(2425八上河南郑州第四十七初级中学期末)根据以下素材，完成任务 素材一：春节，即农历新年，为了迎接春节，某商场出售春节限定水果礼盒和坚果礼盒.每个水果礼盒成 本为120元，每个坚果礼盒成本为180元，每个坚果礼盒比每个水果礼盒售价贵90元，销售一个坚果礼盒 的利润与销售两个水果礼盒的利润相同. 素材二：两种礼盒全部售完之后，商场决定第二次进货时同时购进两种礼盒共100个.坚果礼盒不超过40 3/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 个，且这批礼盒全部按照原售价销售， (①)每个水果礼盒和坚果礼盒的售价各是多少？ (2)素材二中，若使销售完这批礼盒后商场获得最大的利润，请帮助商场设计进货方案， 21.(24-25八上·河南郑州二七区·期末)2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被 送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章.二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝 天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模.据了解购买1件A型航模和2件B型航模需800元： 购买2件A型航模和3件B型航模需1300元. (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计 共花费990元，请问张老师有哪几种购买方案？ 22.(2425八上·河南郑州高新区·期末)朱仙镇木版年画是中国古老的传统工艺品之一，某文创商店购进如 图“马上鞭”和“对花枪”两种木板年画作品，其进价和销售价如表所示： 马上 对花 鞭 枪 进价（元/张） 23 34 售价（元/张） 25 35 马上鞭 对花枪 (1)若文创商店购进两种木板年画作品共130张，正好用去3760元，计算两种木板年画作品分别购进多少张？ (②)该文创商店某次出售两种木板年画作品（两种作品出售张数不为0），正好盈利6元，列出所有的销售 方案。 23.(24-25八上·河南郑州金水区·期末)学校计划采购一批白色和黄色乒乓球，若购买白色乒乓球3盒、黄 色乒乓球2盒，共需34元；若购买白色乒乓球2盒、黄色乒乓球3盒，共需36元，通过设适当的未知量 3x+2y=34① 可列出方程组气2x+3y=36②若用①-②可得x-y=-2,下列关于“x-y=-2”的意义解释正 确的是() 4/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.每盒白色乒乓球比黄色乒乓球贵2元B.白色乒乓球比黄色乒乓球多买了2盒 C.每盒白色乒乓球比黄色乒乓球便宜2元D.白色乒乓球比黄色乒乓球少买了2盒 24.(24-25八上·河南平顶山宝丰县·期末)我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目， 大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完.大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头.问大、小和 尚各有多少人？（用两种不同的方法解决） 25.(24-25八上·河南郑州中牟县期末)中牟作为“中国主题乐园第一县”是中国主题公园布局最集中的文旅大 县，2024年10月2日，某旅游团组织62人来到中牟.某酒店的三人间和双人间客房标价是：三人间每人 每天100元，双人间每人每天150元，旅游团租住若干三人间和双人间客房。 (1)若他们租住的客房正好住满，一天共花去7800元，求租住三人间、双人间客房各多少间？ (2)若三人间共住了m人，旅游团一天的住宿费是W元，请写出W与m的函数关系式。 26.(2425八上·河南平顶山期末)用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕 大树4周，则绳子又少了3尺.这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设这根绳子有x尺，环绕大树 一周需要y尺，根据题意列方程组为() 4y+3=x 3y-4=x A. 3y+4=x B. 4y-3=x 3y+4=x 4y+3=x C. (4y-3=x D. 、3y-4=x 目目 考点03 二元一次方程与一次函数 27.(24-25八上·河南郑州中原区期末)如图，一次函数y=kx-1与y=-x+b图象的交点为A(2,3), （kx-y=1 则关于x,y的二元一次方程组 x十y=b的解为 y=-1 A(2,3) =-x+b (ax-y+b=0 28.(24-25八上河南开封祥符区期末)已知二元一次方程组 |x=-3 kx-y=0 的解为y=1，则函数 y=ax+b和y=kx的图象交点的坐标为() A.(3,-1)B.(-3,1) C.(1,-3) D.(-13) 29.(24-25八上河南郑州新密、荥阳、登封期末)如图，直线AB:y=-专x+2与直线0C:y=kx相交 5/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (kx-y=0 于点C(1,a),则关于x,y的方程组x+y=2的解为(） A x=1 B. x= X=-1 =1 A.1 B. y=1 y= D.{y=月 30.(24-25八上河南焦作期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知正比例函数y=一x与一次函数 y=x+7的图象交于点A,x轴的负半轴上有一点P(m,0). y=x+7 (1)求点A的坐标； (2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交y=一x和y=x十7的图象于点B、C,连接 0C. ①点C的纵坐标是 (用含m的代数式表示)； ②若BC=号0A,求△0BC的面积. 目目 考点04 用二元一次方程组确定一次函数表达式 31.(24-25八上河南郑州新密、荥阳、登封期末)写出一个图象过点(2,6)且y随x的增大而增大的一次函 数解析式 32.(24-25八上河南驻马店驿城区·期末)共享电动车是一种新理念下的交通工具.现有甲，乙两种品牌的 共享电动车可供选择，手机扫码开锁，开始记时收费.若己开锁，则所收费用y（元)与时间x(分钟)之 间的函数关系如图所示.根据图象，解答下列问题： 6/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 以元 甲 P 3 1020 x/分钟 (1)甲品牌每分钟收费 元，甲品牌收费的函数表达式为 (2)求乙品牌收费的函数表达式，并写出图中点P的实际意义： (3)若李叔叔准备去书店买书，预计时间为15分钟，请问他选择哪种品牌的共享电动车更省钱？说明理由 33.(24-25八上河南郑州经开区外国语学校期末)直线1过原点0和点C4,4),直线12过点A0,3和点 B(6,0),则直线1和l2的交点P的坐标为 C B 34.(24-25八下·河南商丘梁园区期末)已知y是x的一次函数，且当x=1时，y=5;当x=2时，y=7. (1)求这个一次函数的解析式： (2)当x=5时，求函数y的值； (3)求当一2<y≤4时，自变量x的取值范围 35.(24-25八上河南平顶山汝州期末)寒假将至，某健身俱乐部面向学生推出优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生寒假专享卡，每次健身费用按六折优惠： 方案二：不购买学生寒假专享卡，每次健身费用按八折优惠. 设某学生寒假健身次数为x(单位：次)，按照方案一所需费用为y1(单位：元)y:=k1X+b;按照方 案二所需费用为y2(单位：元)，y2=kx.其函数图象如图所示. y/元 2 180---- 30 0 10x/次 7/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求k1和b的值，并说明它们表示的实际意义： (2)求打折前的每次健身费用和k的值： (3)小林计划寒假前往该俱乐部健身9次，选择哪种方案所需费用更少？请说明理由 36.(24-25八上河南郑州二七区·期末)《九章算术》中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水 壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮， 可通过读取箭尺读数计算时间.某学校探究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间x(小 2 3 时) 箭尺读数y(厘 4 12 20 28 36 米) 厘米) 36 32 浮箭漏示意图 28 24 箭尺 供水壶20 16 12 箭壶 8 接水壶 O123456x(小时) 图1 图2 【探索发现】 (1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示供水时间x,纵轴表示箭尺读数y,描出以表格中数据为坐标的 各点。 (②)观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是_（填 “正比例函数”或“一次函数”)；并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写)， 【结论应用】 (3)应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到9小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那当箭尺读数为92厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100 厘米). 8/10 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 37.(24-25八上河南郑州中原区期末)为加强劳动教育，落实五育并举，郑州市中原区某校在校园内建立 了一处劳动教育基地.现学校选定基地中土壤水平及光照时长相同的一块地，来种植甲、乙两种菜苗.从 种植开始，每隔两天记录一次数据.数据记录如下： 己种菜苗天数x 0 4 6 8 /天 甲种菜苗高度 6 9 12 15 为/cm 乙种菜苗高度 8 10 12 14 16 y2/cm 通过分析数据，我们可以得到甲、乙两种菜苗的高度y1,Y2(单位：cm)与已种菜苗天数x(单位：天) 均为一次函数关系 (1)在平面直角坐标系中分别画出甲、乙两种菜苗的高度y1,Y,关于已种菜苗天数x(x≥0)的函数图象， 并求出V1,Y2关于x的函数关系式； Ay/cm 24 21 18 15 12 9 6 3 02468101214x/天 (2)根据实践经验可知：这两种菜苗均在高度达到60cm时成熟，请问哪种菜苗先成熟，并说明理由. 38.(24-25八上河南驻马店第二初级中学期末)如图，直线AB与x轴交于点A(2,0),与y轴交于点 B(0,-4), 9/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -6 0 A B -6 (I)求直线AB的表达式： (2)若点C是直线AB上的一个动点，当△BOC的面积为8时，求点C的坐标. 39.(24-25八上河南郑州金水区期末)如图，直线y=kx+b与y轴交于点A(0,-2),与直线 (kx-y=-b （x=3 y=mx+4交于点B,方程组mx-y=-4的解为y=1,若点C是x轴上的动点，且S△ABc=12, 则点C的坐标为一 y=mx-4 v=kx+b B A 10/10