专题05 因式分解 6大高频考点（期末真题汇编，河南专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题05 因式分解 6大高频考点概览 考点01 提公因式法分解因式 考点02 公式法分解因式 考点03 综合提公因式法和公式法分解因式 考点04 十字相乘法 考点05 分组分解法 考点06 因式分解的应用 地 城 考点01 提公因式法分解因式 1．(24-25八上·河南商丘·期末)下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，不属于因式分解，不符合题意； 、，不属于因式分解，不符合题意； 、，属于因式分解，符合题意； 故选：． 2．(24-25八下·河南平顶山鲁山县·期末)利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查提公因式法分解因式，直接提公因式即可，注意分解因式要彻底． 【详解】解： ． 故选：D． 3．(24-25八下·河南平顶山宝丰县·期末)将用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，要确定多项式的公因式，需找出各项的系数最大公约数和公共因式，系数3和的最大公约数为3，公共因式为，因此公因式为． 【详解】确定系数公因式：第一项系数为3，第二项系数为，最大公约数为3； 确定公共因式：两项均含有因式； 组合公因式：将系数公因式3与公共因式相乘，得到公因式， 故选：C． 4．(24-25八下·河南平顶山·期末)已知，则 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解题的关键，然后整体代值计算．只要把所求代数式因式分解，然后把已知代入即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 5．(24-25八下·河南·期末)从左到右的变形中，因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的判断，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，结果不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，等式右侧含有分式，结果不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、，分解因式错误，不符合题意； D、，符合因式分解的定义，符合题意； 故选：D． 6．(24-25八上·河南开封兰考县·期末)，，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行计算，因式分解的应用，此题较简单，解题时要熟练掌握公式结构是求解的关键．根据，，得出，然后利用完全平方公式把进行变形，然后代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案是：． 7．(24-25八上·河南南阳方城县·期末)把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，直接提取公因式即可得解，熟练掌握提公因式法分解因式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8．(24-25八·河南开封通许县·期末)下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义即可判断，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，不是因式分解，故选项不符合题意； B、，不是因式分解，因式分解的左边是多项式，故选项不符合题意； C、，不是因式分解，故选项不符合题意； D、，是因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 9．(24-25八上·河南周口项城三店乡二中等校·期末)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．熟练掌握定义是关键．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A、是单项式乘多项式的运算，不属于因式分解，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 10．(24-25八上·河南周口川汇区·期末)下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，理解并掌握因式分解的定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式），根据定义进行判定即可求解． 【详解】解：A、不是因式分解，不符合题意； B、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意； 故选：D ． 11．(24-25八上·河南安阳内黄县·期末)当互为相反数时，代数式的值为（  ） A．2 B．3 C． D．3或 【答案】C 【分析】本题主要考查了提取公因式的应用以及相反数的定义，首先利用相反数的定义得出，再利用提取公因式法将原式变形求出答案． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， ∴ ． 故选：C． 12．(24-25八下·河南郑州惠济区·期末)阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式为，k的值为 【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确假设出另一个因式是解题关键． (1)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案； (2)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【详解】（1）解：(1)设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，p的值为6； （2）设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，k的值为． 地 城 考点02 公式法分解因式 13．(24-25八上·河南许昌·期末)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了运用平方差公式分解因式．两次运用平方差公式进行因式分解即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．(24-25八上·河南洛阳·期末)解答下列各题： (1)计算：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，乘法公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据乘法公式，单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，即可作答． （2）运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．(24-25八上·河南商丘夏邑县·期末)分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 16．(24-25八上·河南南阳桐柏县·期末)把下列多项式分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用提取公因式法直接求解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得到结果； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式即可得到结果； （4）用两次提取公因式法直接求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解：． （4）解：． 17．(24-25八上·河南安阳文峰区·期末)分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的分解因式，掌握因式分解的方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式，根据多项式的特点选用恰当的因式分解的方法是解题的关键． （1）用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．(24-25八上·河南信阳平桥区·期末)分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据公式法把一个式子化成几个因式相乘的形式即可解决； 【详解】解： ， ， 19．(24-25八上·河南濮阳·期末)阅读理解：因式分解中的换元法是指将多项式中的相同部分换成另一个未知数，然后再因式分解，最后再将其换回来．下面是小明对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式        （第一步）                   （第二步）                      （第三步）                 （第四步） 回答下列问题． (1)小明第二步到第三步运用了因式分解的 ； A．提公因式法        B．公式法        C．换元法 (2)老师说，小明因式分解的结果不彻底，请你写出因式分解的最后结果： ； (3)请你模仿小明的方法，对多项式进行因式分解． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握换元法和公式法分解因式是解题关键． （1）根据完全平方公式求解即可得； （2）根据，利用公式法分解因式即可得； （3）设，再利用换元法和完全平方公式分解因式即可得． 【详解】（1）解：因为运用的是完全平方公式， 所以小明第二步到第三步运用了因式分解的公式法， 故选：B． （2）解：设， 原式 ， 故答案为：． （3）解：设， 原式 ． 地 城 考点03 综合提公因式法和公式法分解因式 20．(24-25八上·河南商丘睢县县城中学联考·期末)因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）先提取公因式2，然后利用平方差公式继续进行因式分解； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式继续进行因式分解． 【详解】（1）解： = =； （2）解： ． 21．(24-25八上·河南开封兰考县·期末)下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可得解． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，不是因式分解，故此选项错误，不符合题意； D、，无法分解因式，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 22．(24-25八·河南开封通许县·期末)观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学的因式分解： 甲： （分成两组） （分别提公因式） ．（再提公因式） 乙： （分成两组） （运用完全平方公式） ．（再用平方差公式） 请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先分组，然后根据提公因式法因式分解，即可求解； （2）根据完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 23．(24-25八上·河南周口川汇区·期末)分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 24．(24-25八上·河南濮阳·期末)因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解本题的关键； （1）提取公因式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 25．(24-25八上·河南洛阳洛宁县·期末)分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解；首先提取公因式，再用“”进行分解因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 26．(24-25八上·河南安阳内黄县·期末)分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 27．(24-25八上·河南三门峡·期末)在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，则括号内的单项式可以是 ．（填一种即可） 【答案】 【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法，根据题意，多项式，当括号内的单项式为时，因式分解为：，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， 当括号内的单项式为时， ∴． 故答案为：． 28．(24-25八上·河南漯河实验中学·期末)下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．根据因式分解的方法，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不正确，不符合题意； B、，故此选项不正确，不符合题意； C、，故此选项正确，符合题意； D、不能因式分解，故此选项不正确，不符合题意． 故选：C． 地 城 考点04 十字相乘法 29．(24-25八上·河南新乡·期末)【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： （1）； （2）； （3）． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）根据结合题意分解因式即可； （2）把分解成两个整数的乘积形式，再根据题意可得的结果等于分解成的两个整数的和，据此建立方程求解即可； （3）把看做一个整体，再仿照题意因式分解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴或或或， 解得（舍去）或或或（舍去）； （3） ． 30．(24-25八·河南漯河临颍县·期末)下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)整数a的所有可能的值是， 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为， 则； （2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 31．(24-25八上·河南信阳淮滨县·调研)下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解方法是解题关键．利用提公因式法和公式法逐项分解因式即可． 【详解】解：A、，因式分解正确，选项正确； B、，因式分解错误，不符合题意； C、，因式分解错误，不符合题意； D、，因式分解错误，不符合题意； 故选：A． 32．(24-25八上·河南南阳方城县·期末)仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为的值为20 【分析】本题主要考查整式的运算，因式分解的计算，掌握以上知识是解题的关键． 根据材料解法一提示设另一个因式为，根据因式分解的方法展开，再根据同类项的知识即可求解； 根据材料解法二提示当时，解出的值代入二次三项式求出的值，再进行因式分解即可． 【详解】解：解法一：设另一个因式为， 由题意得：， 则， 解得：， 另一个因式为的值为20． 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，， 把代入， 得， 而． 另一个因式是的值为20． 地 城 考点05 分组分解法 33．(24-25八上·河南南阳内乡县·期末)分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）直接提取公因式x即可； （2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； （3）原式先化简，然后根据根据完全平方公式进行因式分解即可； （4）第一个括号先提取公因式a，然后两个括号间提取公因式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 34．(24-25八下·河南郑州登封·期末)“弘毅”数学小组在对多项式进行因式分解时发现，其前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了．具体过程为： ． 通过查阅相关资料得知，这种因式分解的方法叫作“分组分解法”，受此启发，请你尝试解决以下问题． (1)分解因式：； (2)已知：，．求的值； (3)若的三边a，b，c满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为等边三角形．理由见解析 【分析】本题考查了分组分解法分解因式，平方差公式，完全平方公式，等边三角形的判定，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键． （1）将前两项组合和后两项组合提取公因式，再提取公因式即可． （2）将前两项组合利用公式法分解因式，将后两项组合提取公因式，再利用提公因式法分解因式，再将其值代入即可． （3）根据，推导出，进而可得，则，由此可判断． 【详解】（1）解： ． （2）解：， 当，时， 原式． （3）解：为等边三角形． 理由如下： ， ， ． ，b，c是的三边， ∴ ， 是等边三角形． 地 城 考点06 因式分解的应用 35．(24-25八上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)等腰三角形的边长分别为a，b，且满足．则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，三角形三边关系，非负数性质，求得的值是解题的关键． 根据完全平方公式因式分解，根据平方的非负性，求得的值，根据等腰的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得，， ∵等腰三角形的边长分别为a，b， ∴当是腰时，,不能构成三角形； 当是腰时，三边长为、、，能构成三角形， ∴的周长为； 综上，的周长为． 故答案为：． 36．(24-25八上·河南南阳镇平县·期末)在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 根据或或或或或，把代入即可得到答案． 【详解】解：或或或或或， 当时，，， 六位数密码为或或或或或， 故答案为：（或或或或或）． 37．(24-25八上·河南商丘柘城县·期末)已知a， b， c分别是的三边长，若，，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的应用，将式子变形为，再分解因式可得，结合题意即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴，即的周长是， 故答案为：． 38．(24-25八上·河南周口商水县大武乡二中等校·期末)已知，则的值等于 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法成为解题的关键． 先提取公因式，然后再运用完全平方公式分解，最后将已知条件代入求值即可． 【详解】解： ． 故答案为：50． 39．(24-25八上·河南信阳淮滨县·期末)我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫 做分组分解法．例如， ②十字相乘法：教科书的“阅读与思考”栏目中有介绍． (1)根据以上方法，按照要求分解因式： ①运用分组分解法_____； ②运用十字相乘法_____；_____； _____；_____； (2)已知a，b，c为三边长，，求的周长． 【答案】(1)①；②；；； (2)7 【分析】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）①将原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可； ②将原式利用十字相乘法分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ②， 找两数乘积为，和为 7，即 9和， 分解为：； ， 将拆分为 和，满足乘积为’，和为， 分解为：； ， 令，转化为， 分解为：； ， 令，转化为， 分解为：； 故答案为：；；；； （2）解：， ， ， ，，， ， 的周长为7． 40．(24-25八上·河南南阳邓州·期末)若为整数，则代数式的值一定可以（   ） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算、因式分解的应用等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键． 先运用整式的四则混合运算化简，再因式分解，然后判断即可． 【详解】解：因为 ， 所以该代数式的值一定可以被3整除． 故选：C． 41．(24-25八上·河南洛阳伊川县·期末)已知a、b、c是的三条边，且满足 则一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，根据已知等式因式分解得，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴一定是等腰三角形． 故选A． 42．(24-25八上·河南洛阳新安县·期末)已知，，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键． 根据配方法把的结果写出平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解： ，， ， 故答案为： ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05 因式分解 ☆6大高频考点概览 考点01提公因式法分解因试 考点02公式法分解因式 考点03综合提公因式法和公式法分解因式 考点04十字相乘法 考点05分组分解法 考点06因式分解的应用 目目 考点01 提公因式法分解因式 1.(24-25八上河南商丘·期末)下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是() A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4 C.x2-16+3x=(x+4)(x-4)+3xD.10x2-5x=5x(2x-1) 2.(24-25八下河南平顶山鲁山县期末)利用“提公因式法”对多项式2y3一6y2进行因式分解，正确的是() A.y2(2y-6)B.2(y3-3y2)C.2y(y2-3y)D.2y2(y-3) 3.(2425八下·河南平顶山宝丰县期末)将3a(x-y)一9b(x-y)用提公因式法进行因式分解，应提的 公因式是() A.a-3b B.x-y C.3(x-y) D.3x-y 4.(24-25八下河南平顶山期末)已知mn=5,m-n=-3,则m2n-mn2+5= 5.(24-25八下·河南·期末)从左到右的变形中，因式分解正确的是() A.2(x+3y)=2x+6y B.x2+1=x(x+贵) C.3x2y-2xy2+xy=xy (3x-2y) D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2 6.(24-25八上河南开封兰考县期末)x2y十y2=8,x+y=4,则x2+3xy+y2= 7.(24-25八上河南南阳方城县·期末)把多项式x2-25x分解因式的结果是一 8.(24-25八河南开封通许县期末)下列等式从左到右的变形是因式分解的是() A.4x2+8x-1=4x(x+2)-1B.京a2b2=(3b)2 1/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.a(a+1)=a2+a D.9x2-25y2=(3x-5y)(3x+5y) 9.(24-25八上河南周口项城三店乡二中等校期末)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是() A.a(x-y)=ax-ay B.x2+2x+1=x(x+2)+1 C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3 D.x2y-y3=y(x+y)(x-y) 10.(24-25八上·河南周口川汇区·期末)下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是() A.8a263=2ab2.4ab B.(a+4)(a-4)=a2-16 C.a2-4a+4=a(a-4)+4 D.a2-4a+4=(a-2)2 11.(2425八上河南安阳内黄县期末)当a,b互为相反数时，代数式a2+ab-3的值为() A.2 B.3 C.-3 D.3或-3 12.(24-25八下·河南郑州惠济区·期末)阅读下面的材料，解答提出的问题： 己知：二次三项式x2一4x十m有一个因式是(x+3),求另一个因式及m的值. 解：设另一个因式为(x+n),由题意，得： x2-4x+m=(x+3)(x+n) 则x2-4x+m1=x2+(n+3)x+3n 了n+3=-4 “{m=3n，解得：m=-21,n=-7: :另一个因式为(x-7),m的值为-21 提出问题： (1)已知：二次三项式x2-x一p有一个因式是(x-3),求p的值. (2)已知：二次三项式3x2一14x+k有一个因式是(x-5),求另一个因式及k的值. 目目 考点02 公式法分解因式 13.(2425八上河南许昌期末)因式分解：x4-立= 14.(24-25八上河南洛阳期末)解答下列各题： (①)计算：2a(a-2b)-(2a-b)2; (2)因式分解：(2m+n)2-m2 15.(24-25八上·河南商丘夏邑县期末)分解因式： (1)a2-4b2 (2)16x2+24x+9 2/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.(24-25八上河南南阳桐柏县期末)把下列多项式分解因式 (1)x2y+y2: (2)9x2(m-2)+y2(2-m): (3)x3-4x2+4x; (4)xy+x+y+1. 17.(24-25八上河南安阳文峰区期末)分解因式： (1)-4n2+m2 (2)-a3+2a2b-ab2 18.(24-25八上·河南信阳平桥区期末)分解因式：(a-4)(a-6)+1=一 19.(24-25八上·河南濮阳·期末)阅读理解：因式分解中的换元法是指将多项式中的相同部分换成另一个未 知数，然后再因式分解，最后再将其换回来.下面是小明对多项式(x2-2x一1)(x2-2x+3)+4进行 因式分解的过程 解：设x2-2x=y, 原式=(y-1)(y+3)+4 (第一步) =y2+2y+1 (第二步) =(y+1)2 (第三步) =(x2-2x+1)2 (第四步) 回答下列问题， (1)小明第二步到第三步运用了因式分解的_； A.提公因式法 B.公式法C.换元法 (2)老师说，小明因式分解的结果不彻底，请你写出因式分解的最后结果：一： (3)请你模仿小明的方法，对多项式(2-4x)(x2-4x+8)+16进行因式分解. 目目 考点03 综合提公因式法和公式法分解因式 20.(24-25八上河南商丘雕县县城中学联考期末)因式分解： (1)2x2-32 (2)4x3y-4x2y2+xy3 21.(24-25八上·河南开封兰考县·期末)下列因式分解正确的是() 3/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-x2+y2=(x+y)(x-y) B.a3+2a2b+ab2=a(a+b)2 C.x2-2x+4=(x-1)2+3 D.ax2-9=a(x+3)(x-3) 22.(24-25八河南开封通许县·期末)观察探究性学习”小组的甲、乙两名同学的因式分解： 甲：x2-xy+4x-4y =(x2-y)+(4x-4y)(分成两组) =x(x-y)+4(x-y)(分别提公因式) =(x-y)(x+4).(再提公因式) 乙：a2-b2-c2+2bc =a2-（b2+c2-2bc)(分成两组) =a2-(b-c)2(运用完全平方公式) =(a+b-c)(a-b+c).(再用平方差公式) 请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)m2-mn+mx-nx: (2)x2-2xy+y2-9. 23.(24-25八上·河南周口川汇区期末)分解因式： (1)4x2+8xy+4y2; (2)4x2(a-b)+(b-a) 24.(24-25八上·河南濮阳·期末)因式分解： (1)3mx-6my+m (2)x2y-4y 25.(24-25八上河南洛阳洛宁县-期末)分解因式：2a3-12a26+18ab2=一 26.(24-25八上河南安阳内黄县期末)分解因式：-a3-4ab2+4a26= 27.(24-25八上河南三门峡期末)在括号内填入适当的单项式，使多项式x2-y2+x+()能因式分解， 则括号内的单项式可以是_一·（填一种即可） 28.(24-25八上河南漯河实验中学.期末)下列因式分解正确的是() A.9a3-a=a(9a+1)(9a-1)B.-x2+xy+x=-x(x-y+1) c.m3-2m2+m=m(m-1)2D.a2+5a+25=(a+5)(a-5) 4/8 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 十字相乘法 29.(24-25八上河南新乡期末)【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： (1)(x+1)(x+5)=x2+6x+5: (2)(x-3)(x-2)=x2-5x+6; (3)(y+4)(y-2)=y2+2y-8. 我们发现，形如(x+p)(x+9)的两个多项式相乘，其结果一定为x2+(p十9)x+Pg(p,9为整数)· 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有2+(p+9)x+pq=(x+p)(x+q),即可将形如 x2+(p+q)x+pq的多项式因式分解成(x+p)(x+q)(p,q为整数)· 【初步应用】 (1)用上面的方法分解因式：a2+2a一3= 【类比应用】 (2)规律应用：若a2+(2m-4)a-8可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值； 【拓展应用】 (3)分解因式：(a+b)2+3(a+b)-10. 30.(2425八河南漯河临颍县·期末)下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务. 2024年12月12日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考” 的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式x2+(p十q)x十pq的分解因 式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为 x2+(p+q)x+Pg=(x+P)(x+9).例如：将二次三项式x2+7x+10因式分 解，这个式子的二次项系数是1，常数项10=2×5，一次项系数7=2+5，则 x2+7x+10=(x+2)(x+5),如图所示. -2 1--1 、5 1×5+1×2=7 任务： (1)因式分解：x2-8x十15=- (2)若二次三项式x2+ax一8可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值. 31.(24-25八上·河南信阳淮滨县·调研下列因式分解正确的是() A.2-8a2=2(1+2a)(1-2a)B.4x2-4xy+1=(2x+1)2 5/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.x2+x-2=(x+1)-2 D.x2-4y2=(x+4y)(x-4y) 32.(2425八上河南南阳方城县期末)仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2一4x+m有一个因式是(x十3)，求另一个因式以及m的值 解：设另一个因式为(x+n),得x2-4x+m=(x+3)(x+n), 则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n. t的4 解得：n=-7,m=-21. ÷另一个因式为(x-7),m的值为-21， 解法二：二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3), :当x+3=0,即x=-3时，x2-4x+m=0. 把x=-3代入x2-4x十m=0, 得m=-21, 而x2-4x-21=(x+3)(x-7): 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5),求另一个 因式以及k的值. 目目 考点05 分组分解法 33.(24-25八上·河南南阳内乡县期末)分解因式： (1)x2-25x (2)4x4+4x3+x2 (3)(x-1)(x-3)+1 (4)(ab+a)+(b+1) 34.(24-25八下·河南郑州登封期末)“弘毅”数学小组在对多项式m2-mn+2m-2n进行因式分解时发现， 其前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然 后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了.具体过程为： m2-mn+2m-2n=(m2-mn)+(2m-2n)=m(m-n)+2(m-n)=(m-n)(m+2). 通过查阅相关资料得知，这种因式分解的方法叫作“分组分解法”，受此启发，请你尝试解决以下问题. (1)分解因式：m2-9n2-3n+m: (2)己知：m-n=2,m+n=7.求m2-3m-n2-3n的值： 6/8 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=2ab+2ac-2a2,请判断△ABC的形状并说明理由. 目目 考点06 因式分解的应用 35.(24-25八上河南驻马店平舆县完全中学期末)等腰三角形ABC的边长分别为α，b,且满足 5a2+b2-6a=4ab-9.则△ABC的周长为一 36.(2425八上·河南南阳镇平县·期末)在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法” 产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4-y4,因式分解的结果是(x十y(x一y)(x2+y2),若取 x=9,y=9,则各个因式的值是：x+y=18,x-y=0,x2+y2=162,于是就可以把180162”作为 一个六位数的密码.那么对于多项式4x3-y2,取x=10,y=5时，用上述方法产生的密码是 (写 出一个即可)· 37.(24-25八上河南商丘柘城县·期末)己知a,b,分别是△ABC的三边长，若 a2+2ab十b2=c2+24,a+b-c=3,则△ABC的周长是 38.(24-25八上河南周口商水县大武乡二中等校期末)已知x+y=5Xy=2,则x3y+2x2y2+xy3的值 等于 39.(24-25八上·河南信阳淮滨县·期末)我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法， 其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等， ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫 做分组分解法.例如， x2-2xy+y2-4=(x2-2xy+y2)-4=(x-y)2-22=(x-y-2)(x-y+2) ②十字相乘法：教科书P121的“阅读与思考”栏目中有介绍。 (1)根据以上方法，按照要求分解因式： ①运用分组分解法4x2+4x-y2+1=, ②运用十字相乘法y2+7y-18=；x2-y-12y2=; (a+b)2+4(a+b)-5=;x-3x2-4=; (2)已知a,b,c为△ABC三边长，a2+b2+c2-4a-4b-6c+17=0,求△ABC的周长. 40.(24-25八上河南南阳邓州期末)若n为整数，则代数式(3n+3)(n+3)-6的值一定可以() A.被9整除B.被6整除 C.被3整除 D.被2整除 41.(24-25八上河南洛阳伊川县期末)已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+aC,则 △ABC一定是() A.等腰三角形B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 7/8 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 42.(24-25八上河南洛阳新安县期末)已知P=2m2+4n+13,Q=m2-n2+6m-1,则P与Q的大小 关系是PQ. 8/8