专题03 轴对称 8大高频考点（期末真题汇编，河南专用）八年级数学上学期新教材人教版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03轴对称 ☆8大高频考点概览 考点01轴对称图形的识别 考点02利用线段垂直平分线的性质求解 考点03画轴对称图形 考点04坐标与图形变化一一轴对称 考点05等腰三角形的定义 考点06等腰三角形的性质和判定 考点07等边三角形的判定和性质 考点08含30度角的直角三角形 考点01 轴对称图形的识别 1.(24-25八上·河南安阳林州期末)下列图形中，是轴对称图形的是() A B C. D 2.(24-25八上·河南周口鹿邑县马铺镇中心学校·期末)中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类 非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不 是轴对称图形的是() B D 1/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25八上·河南新乡·期末)2025年2月7日，将在哈尔滨举办第九届亚洲冬季运动会.下面关于冬季运 动会的标志中，是轴对称图形的是() D 4.(24-25八上·河南驻马店确山县部分初中期末)下列图形中是轴对称图形的是() D 5.(24-25八上·河南商丘·期末)2024年中国电商行业市场模块持续扩大，下列是部分电商的图标，其文字 上方的图案是轴对称图形的是（) 淘 京东 A.淘宝 B 京东 C. 天猫 D. 快手 6.(24-25八上·河南漯河实验中学·期末)“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思 想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光.下列大 学的校徽图案是轴对称图形的是() 2/17 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1912 河南大学 郑州大学 河南农业大学 河南工业大学 A.河南大学 B.郑州大学 C.河南农业大学 D.河南工业学校 7.(24-25八河南信阳息县关店理想学校·期末)下列四个选项中，是轴对称图形的是() D 目目 考点02 利用线段垂直平分线的性质求解 8.(24-25八上·河南漯河实验中学·期末)如图，在△ABC中，EF垂直平分AC,AF=3,△ABC周长为 17,则△BCE的周长是() A B E A.14 B.13 C.12 D.11 9.(24-25八河南漯河临颍县·期末)如图，在△ABC中，ED垂直平分BC,CD=5,△BCE的周长为 22,则BE=(一· 10.(24-25八上·河南南阳新野县·期末)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D, 连接BD,若△ABC的周长为28cm,△BCD的周长为24cm,则AE的长为() 3/17 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.2cm B.4cm C.9cm D.10cm 11.(24-25八上·河南新乡原阳县路寨乡贾村实验学校·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AC的垂直平 分线交AC于点F,交AB于点E,连接EC,AB=I0,△BEC的周长为18.若点P在直线EF上，连接PA、 PB,则BC=U,PA-PB的最大值为一· 12.(24-25八上河南周口川汇区·期末)已知在△ABC中，AB=AC=10,BC=16. B (1)利用尺规作图，作AC的垂直平分线交BC于点E(标上相应的字母，保留作图痕迹，不写作法)； (2)连接AE,求△ABE的周长. 目目 考点03 画轴对称图形 13.(24-25八上·河南驻马店驿城区·期末)正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知点B的坐标为 -4,-1,点C的坐标为-1,1. 4/17 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 B (1)请在图中根据B,C两点的坐标确定直角坐标系，并描出点A-2,4: (2)画出△ABC,并作△ABC关于y轴对称的△，点A,B,C的对应点分别是点D,E,F: (3)请直接写出点D和点E的坐标，连接AD,BE,求四边形ABED的面积. 14.(24-25八上·河南新乡·期末)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A2,1,B4,2,C1,4. 2 A -5-4-3-2-10 12345 5 (1)画出△ABC关于y轴对称的△A,B,C1,点C的对称点C1的坐标是： (2)△A1BC1的面积为 (3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小. 15.(24-25八上·河南商丘·期末)在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是-4,3， 点B的坐标为3,0，点C的坐标为-2,5. B (1)作△ABC关于y轴对称的图形△A1BC1: (2)△A1BC1的面积是 5/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (3)将△A1B1C1向右平移4个单位长度，得到△A2B2C2,其中点A2,B2,C2分别为点A1,B1,C1的对 应点，直接写出点A2的坐标 16.(24-25八上·河南漯河实验中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为 A-2,-1,B-4,-2,C0,-3. A B (1)将△ABC向上平移5个单位长度得到△A1BC1,画出△A1B,C1,并写出A1的坐标： (2)画出△A1B,C1关于y轴对称的△A2B2C2,并写出A2的坐标： (3)求出△ABC的面积. 17.(24-25八河南信阳息县关店理想学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A-3,2,B-4,-3, C-1,-1. 5 3 2 -3 2 B 5 (1)作出△ABC关于y轴对称的△ABC,其中点B的坐标为； (2)在y轴上找一点P,使得△APC的周长最小（保留作图痕迹）· 6/17 命学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目目 考点04 坐标与图形变化一一轴对称 18.(24-25八上·河南郑州高新区·期末)点3,7关于x轴的对称点的坐标为() A.-3,-7 B.3,-7 C.-3,7 D.7,3 19.(24-25八上·河南郑州中原区期末)如图，春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、 挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.如图，在平面直角坐标系中，A,B两处灯笼的位置关于y轴对称， 若点B的坐标为1,3，则点A的坐标为 B 20.(24-25八上·河南驻马店第二初级中学期末)在平面直角坐标系中，点A3,4关于y轴对称的点的坐标 为() A.4,-3 B.-3,-4 C.-3,4 D.3,-4 21.(24-25八上河南开封祥符区·期末)已知点P1a-1,5和P22,b-1关于x轴对称，则a+b的值为（) A.0 B.-1 C.1 D.5 22.(24-25八上·河南信阳息县·期末)在平面直角坐标系中，P3,-1关于x轴的对称点坐标是() A.1,1 B.3,1 C.3,-1 D.1,-1 23.(24-25八上河南周口川汇区·期末)已知点A2,m关于x轴的对称点为点Bn,-4,则m+n的值为 () A.8 B.7 C.6 D.5 考点05 等腰三角形的定义 24.(24-25八上河南淮阳中学·期末)已知x,y是等腰三角形的两边长，且x,y满足x-3+y-4?=0, 则此等腰三角形的周长为() A.10 B.11 C.10或12 D.10或11 25.(24-25八上·河南安阳安阳县·期末)等腰三角形的周长为11，其中一边长为5，则另外两边长为( 7/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.5和1 B.5和3 C.5和1或3和3D.5和1或5和3 26.(24-25八河南周口郸城县名校联考·期末)将一台带有保护套的平板电脑按图1的方式放置在水平桌面 上，其侧面示意图如图2所示.经测量AB=12cm,BC=14cm若移动支点C的位置，使△ABC是一个等 腰三角形，则△ABC的周长为() 图① 图② A.38cm B.40cm C.38cm或40cmD.36cm 27.(24-25八上河南安阳内黄县期末)若a-22+b-4=0,则以a、b为边的等腰三角形的周长为 28.(24-25八上·河南洛阳洛宁县·期末)己知等腰三角形的两条边长分别为3和8，则该等腰三角形的周长 为() A.14 B.19 C.14或19 D.17 目目 考点06 等腰三角形的性质和判定 29.(24-25八上·河南南阳方城县·期末)如图，AB=AE,BC=ED,∠B=∠E (1)求证：AC=AD: (2)作∠CAD的角平分线AF,交CD于点F;(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (3)AF与CD的关系是 ·（直接写出结论) 30.(24-25八上·河南南阳方城县·期末)数学兴趣小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形： 有角平分线时，常过角平分线上一点作平行线构造等腰三角形.如图(1)，P为∠AOB的平分线OC上 一点，过点P作PD‖OB交OA于点D,易证△POD为等腰三角形. 8/17 60学科网 www. xk.com 让教与学更高效 B A D A D C C E E P B A B B C 图(1) 图(2) 图(3) (1)基本运用：如图(2)，把长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点B落在点B处，重合部分的 △ACE 是等腰三角形吗?为什么? (2)解决问题：如图(3)，在四边形 ABCD 中， AD∥BC，E 为 CD 的中点，且AE平分 ∠BAD， ，连接BE. 求证： AE⊥BE 31.(24-25八上河南南阳西峡县期末)综合与实践 在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”. E 4 A C E M E N D D B C B C A B 图1 图2 图3 (1)操作判断 如图 1，△ABC 和 △ADE 互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点.请直接写出线段 BD 与 CE 之间 的数量关系：. (2)性质探究 如图 2，△ABC 和 △ADE 互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D， E E均在 △ABC 外，连结 BD，CE交于点M，连结AM. 则 ∠AMB ∠AME 是否相等?若相等，请证明；若不相等，请说明理由. (3)拓展应用 如图 3，△ABC 和 △CDE 互为“兄弟三角形”，点C为重合的顶角顶点， $$\angle A C B = \angle D C E = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，点 4，D， E 在同一条直线上，C N 为 △DCE 的高，连结 BE， ，请直接写出线段 CN，AE，BE 之间的数量关 系. 32.(24-25八上河南新乡长垣·期末)如图 1，△ABC 和 △DCE 均为等腰直角三角形， $$\angle A C B = \angle D C E = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，点A、D、E在同一直线上，连接BE. 9/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 M D 图1 图2 (I)①求证：AD=BE: ②求∠AEB的度数： (2)如图2，若CM为△DCE中DE边上的高，BE=4,CM=3,请直接写出四边形ABEC的面积. 33.(24-25八上·河南安阳滑县·期末)如图1，已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形， ∠ABC=∠ADE=90°，点D在线段AB上，连接EC,点O为EC的中点.连接BO,DO,并延长DO 交BC于点P. B C E 图1 图2 (I)如图1，写出线段CP与AD的数量关系：一； (2)如图1，写出直线BO与DO的位置关系：-； (3)将△ADE绕点A逆时针旋转，使点E在线段CA的延长线上（如图2所示位置），此时，点O仍为EC 的中点.那么(2)中的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由. 34.(24-25八上·河南南阳新野县·期末)如图，△ABC的两条角平分线交于点I,过I点作BC的平行线分别 交边AB、AC于点D、E,已知AB=13,AC=11,BC=12,则△ADE的周长为一 35.(24-25八上·河南焦作武陟县·期末)某校数学社团在研究轴对称图形时发现，轴对称图形一定可以分成 两个全等图形，但是两个全等图形不一定能组合成轴对称图形 ()下列图形是轴对称图形的有·（填写序号）（备注：下图中所有三角形都全等，所有正方形也都 全等) 10/17 专题03 轴对称 8大高频考点概览 考点01 轴对称图形的识别 考点02 利用线段垂直平分线的性质求解 考点03 画轴对称图形 考点04 坐标与图形变化——轴对称 考点05 等腰三角形的定义 考点06 等腰三角形的性质和判定 考点07 等边三角形的判定和性质 考点08 含30度角的直角三角形 地 城 考点01 轴对称图形的识别 1．(24-25八上·河南安阳林州·期末)下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项B中的图形，能够找到一条直线，图形沿着这条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，是轴对称图形；其它选项中的图形，不能够找到一条直线，图形沿着这条直线对折后，直线两旁的部分无法重合，故都不是轴对称图形； 故选：B． 2．(24-25八上·河南周口鹿邑县马铺镇中心学校·期末)中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 3．(24-25八上·河南新乡·期末)2025年2月7日，将在哈尔滨举办第九届亚洲冬季运动会．下面关于冬季运动会的标志中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 4．(24-25八上·河南驻马店确山县部分初中·期末)下列图形中是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选B． 5．(24-25八上·河南商丘·期末)年中国电商行业市场模块持续扩大，下列是部分电商的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、文字上方的图案不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、文字上方的图案不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、文字上方的图案是轴对称图形，故本选项符合题意； 、文字上方的图案不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．(24-25八上·河南漯河实验中学·期末)“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A．河南大学 B．郑州大学 C．河南农业大学 D．河南工业学校 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A中，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C中，是轴对称图形，故本选项符合题意； D中，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．(24-25八·河南信阳息县关店理想学校·期末)下列四个选项中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．轴对称图形是指把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐一进行辨别，即可解答． 【详解】解：A、B、C选项均无法找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它们都不是轴对称图形； D选项，能找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它是轴对称图形． 故选：D 地 城 考点02 利用线段垂直平分线的性质求解 8．(24-25八上·河南漯河实验中学·期末)如图，在中，垂直平分，，周长为17，则的周长是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由垂直平分，可得和，再利用周长为17得出，最后利用的周长公式即可求解． 【详解】解：垂直平分， ，， ， 周长为17， ， ， 的周长． 故选：D． 9．(24-25八·河南漯河临颍县·期末)如图，在中，垂直平分，，的周长为22，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．根据线段垂直平分线的性质可得：，，再利用周长公式即可求解． 【详解】解： 的垂直平分线交，， ，， 的周长为22， ，即， ， 故答案为：． 10．(24-25八上·河南南阳新野县·期末)如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长， ， 的周长， ， ， ， 故选：A． 11．(24-25八上·河南新乡原阳县路寨乡贾村实验学校·期末)如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 【答案】 8 8 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故答案为：8，8． 12．(24-25八上·河南周口川汇区·期末)已知在中，，． (1)利用尺规作图，作的垂直平分线交于点E（标上相应的字母，保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图作线段的垂直平分线以及垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题关键． （1）利用尺规即可作的垂直平分线交于点D，交于点E； （2）连接，根据垂直平分线的性质即可求的周长． 【详解】（1）解：垂直平分线即为所求： （2）解：连接 ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴， ∴的周长等于26． 地 城 考点03 画轴对称图形 13．(24-25八上·河南驻马店驿城区·期末)正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知点B的坐标为，点C的坐标为． (1)请在图中根据B，C两点的坐标确定直角坐标系，并描出点； (2)画出，并作关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F； (3)请直接写出点D和点E的坐标，连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； (3)，，． 【分析】本题考查了画轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于y轴对称的点坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数： （1）根据B，C两点的坐标确定即可得到答案； （2）连接，，，根据关于y轴对称的点坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数直接作图即可得到答案； （3）根据图形求出坐标，再用割补法求面积即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴点在点C右侧及下方1格，如图所示， ； （2）解：由题意可得， 连接，，如图所示， ， ∵关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F， ∴对称的点坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∴如图所示； （3）解：由（2）得， ，， ， ∴． 14．(24-25八上·河南新乡·期末)如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的，点C的对称点的坐标是______； (2)的面积为______； (3)在x轴上找一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，轴对称最短路径问题： （1）关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）作点A关于x轴的对称点E，连接交x轴于P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∵与关于y轴对称，， ∴； （2）解：； （3）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点E，连接交x轴于P，点P即为所求． 15．(24-25八上·河南商丘·期末)在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点A的坐标是，点B的坐标为，点Ｃ的坐标为． (1)作关于y轴对称的图形； (2)的面积是_______； (3)将向右平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点，，的对应点，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析，． 【分析】此题考查坐标系中的平移和轴对称作图，网格中求三角形的面积等知识． （1）分别找到关于y轴对称的对应点，顺次连接即可； （2）利用长方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到答案； （3）分别找到点，，向右平移4个单位长度的对应点，，，顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）的面积是， （3）如图，即为所求，点的坐标为． 16．(24-25八上·河南漯河实验中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将向上平移个单位长度得到，画出，并写出的坐标； (2)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (3)求出的面积． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系，坐标系中的平移和轴对称，熟练掌握坐标系中的平移和轴对称的规律，并会用割补法求坐标系中的三角形面积是解题的关键． （1）利用平移作图即可，再根据图象即可得出的坐标； （2）利用轴对称作图即可，再根据图象即可得出的坐标； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 其中； （2）解：如图，即为所求， 其中； （3）解：． 17．(24-25八·河南信阳息县关店理想学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)作出关于轴对称的，其中点的坐标为______； (2)在轴上找一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析． 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）连接交轴于点，连接，点即为所求．． 【详解】（1）解：如图所示；即为所求， 点的坐标， 故答案为：； （2）解：如图，点即为所求． 地 城 考点04 坐标与图形变化——轴对称 18．(24-25八上·河南郑州高新区·期末)点关于x轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为， 故选：B． 19．(24-25八上·河南郑州中原区·期末)如图，春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可求解，解题的关键是正确理解关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴关于轴对称的的坐标是， 故答案为：． 【点睛】 20．(24-25八上·河南驻马店第二初级中学·期末)在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标为 故选：C． 21．(24-25八上·河南开封祥符区·期末)已知点和关于轴对称，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标特征，求代数式的值，根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数得出，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 22．(24-25八上·河南信阳息县·期末)在平面直角坐标系中，关于轴的对称点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的变化，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，关于轴的对称点坐标是． 故选：B． 23．(24-25八上·河南周口川汇区·期末)已知点关于x轴的对称点为点，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点为点， ∴， ∴． 故选C． 地 城 考点05 等腰三角形的定义 24．(24-25八上·河南淮阳中学·期末)已知x，y是等腰三角形的两边长，且x，y满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．11 C．10或12 D．10或11 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质，等腰三角形的定义以及三角形三边关系，根据绝对值以及平方的非负性质可得出，，然后分类讨论利用等腰三角形的定义以及三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵已知x，y是等腰三角形的两边长， ∴当腰长为时，满足三角形三边关系，则等腰三角形的周长为∶， 当腰长为时，满足三角形三边关系，则等腰三角形的周长为∶， 故选：D． 25．(24-25八上·河南安阳安阳县·期末)等腰三角形的周长为11，其中一边长为5，则另外两边长为（　　） A．5和1 B．5和3 C．5和1或3和3 D．5和1或5和3 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边数量关系，掌握等腰三角形的定义是关键． 根据等腰三角形的定义得到三角形的两腰相等，再根据三角形三边数量关系判定即可求解． 【详解】解：等腰三角形的周长为11，其中一边长为5， ∴当另一边长为5时，第三边长为， ∵， ∴另外两边长分别为5，1，符合题意； 当一边长为5是底边时，两腰长为， ∵， ∴另外两边长分别为3，3，符合题意； 综上所述，另外两边长为5和1或3和3， 故选：C ． 26．(24-25八·河南周口郸城县名校联考·期末)将一台带有保护套的平板电脑按图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示．经测量若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形定义，根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 【详解】解： 是一个等腰三角形，， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 的周长为或． 故选C． 27．(24-25八上·河南安阳内黄县·期末)若，则以为边的等腰三角形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由平方和绝对值的非负性，得到，，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系确定三边长，即可求出周长． 【详解】解：， ，， ，， 当腰为，底为时，，不能组成三角形， 当腰为，底为时，，能组成三角形， 此时周长为， 故答案为：． 28．(24-25八上·河南洛阳洛宁县·期末)已知等腰三角形的两条边长分别为3和8，则该等腰三角形的周长为（    ） A．14 B．19 C．14或19 D．17 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系；由等腰三角形定义进行分类讨论：当是腰时，三边为、、，由三角形的三边关系判断，即可求解； 当是腰时，即可求解；理解等腰三角形的定义，三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：当是腰时， 三边为、、， ， 此种情况不存在； 当是腰时， 三边为、、， 周长为； 故选：B． 地 城 考点06 等腰三角形的性质和判定 29．(24-25八上·河南南阳方城县·期末)如图， (1)求证：； (2)作的角平分线，交于点F；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)与的关系是______．（直接写出结论） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据，得，即得； （2）根据，，可得，得； （3）根据，，即得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：如图，分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点G， 作射线交于点F， 即为所求作； （3）解：∵，， ∴． 故答案为：． 30．(24-25八上·河南南阳方城县·期末)数学兴趣小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形；有角平分线时，常过角平分线上一点作平行线构造等腰三角形．如图（1），P为的平分线上一点，过点P作交于点D，易证为等腰三角形．    (1)基本运用：如图（2），把长方形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，重合部分的是等腰三角形吗？为什么？ (2)解决问题：如图（3），在四边形中，，E为的中点，且平分，连接．求证：． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，得到，由折叠的性质可知，则， 可以得到，由此即可得到答案； （2）延长交延长线于点F，同（1）可证，然后证明得到，即可得到． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）如图所示，延长交延长线于点F， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴（三线合一定理）．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于添加辅助线，能够熟练掌握等腰三角形的性质与判定条件． 31．(24-25八上·河南南阳西峡县·期末)综合与实践 在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究． 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断 如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：__________． (2)性质探究 如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D，E均在外，连结，交于点M，连结．则与是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． (3)拓展应用 如图3，和互为“兄弟三角形”，点C为重合的顶角顶点，，点A，D，E在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)相等 (3) 【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到，进而得到，再证明即可得到答案； （2）过点A作于G，于H，证明，根据全等三角形的对应高相等得到，根据角平分线的判定定理证明结论． （3）证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可知，最后依据可得到、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵和互为“兄弟三角形”， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为； （2）解：，理由如下： 如图，过点A作于G，于H， ∵和互为“兄弟三角形”， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴平分，即； （3）解：， 同理得，， ∴， 在等腰中，， ∴N为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义是解题的关键． 32．(24-25八上·河南新乡长垣·期末)如图1，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接． (1)①求证：； ②求的度数； (2)如图2，若为中边上的高，，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)35 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）①利用证明，即可证明结论；②由全等三角形的性质得到，由等腰直角三角形的性质得到，则由平角的定义得到，利用角的和差求出答案； （2）由得出，然后判定出，再得出，再根据四边形的面积的面积的面积，通过计算即可解答． 【详解】（1）①证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵均为等腰直角三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴； （2） ， ，， 在中，，， ， ， ， ∵，， ∴； 由（1）得， ∴四边形的面积的面积的面积 ． 33．(24-25八上·河南安阳滑县·期末)如图1，已知和均为等腰直角三角形，，点D在线段上，连接，点O为的中点．连接，并延长交于点P． (1)如图1，写出线段与的数量关系： ； (2)如图1，写出直线与的位置关系： ； (3)将绕点A逆时针旋转，使点E在线段的延长线上（如图2所示位置），此时，点O仍为的中点．那么（2）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立，证明见解析 【分析】本题综合考查了等腰直角三角形、等腰三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、全等三角形的性质和判定；此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用． （1）由可得，再根据平行线的性质，推出，根据推出，证出，因为，即可得到； （2）由（1）可知，，再由，可得，从而可得是等腰直角三角形，且是底边上的中线，即可得到； （3）作交的延长线于，连接，连接，根据平行线的性质求出，根据证，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出为等腰直角三角形． 【详解】（1）解：，理由如下：如图1， ，，， 和为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由（1）得：， ，， ， ， 是等腰直角三角形，且是底边的中线， ； 故答案为：； （3）解：仍成立，理由如下： 如图2，作交的延长线于，连接，连接， ， 在与中， ， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形，且是底边的中线， ． 34．(24-25八上·河南南阳新野县·期末)如图，的两条角平分线交于点，过点作的平行线分别交边、于点、，已知，，，则的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边判定等腰三角形，掌握角平分线的定义，等角对等边的性质是解题的关键． 根据角平分线的定义，平行线的性质可得，，则周长为，由此即可求解． 【详解】解：的两个角平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， 的周长为， ∵，， ∴的周长为， 故答案为：24． 35．(24-25八上·河南焦作武陟县·期末)某校数学社团在研究轴对称图形时发现，轴对称图形一定可以分成两个全等图形，但是两个全等图形不一定能组合成轴对称图形． (1)下列图形是轴对称图形的有______．（填写序号）（备注：下图中所有三角形都全等，所有正方形也都全等） (2)大家继续研究，碰到了下面的问题，请就图1的情况进行证明．如图1，，与的延长线相交于点P，作射线．求证：平分． (3)大家在研究上面问题的过程中受到启发，设计了一个如图2的“测平器”，这个测平器是由一个四边形木框构成，其中．同学们利用这个工具检测教室门框是否水平，在仪器上的点A处栓一条一端挂铅锤的细绳（细绳始终垂直于地面），仪器上的点B，D紧贴门框上方，观察发现______时，即可判断门框是水平的． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3)细绳经过点C时 【分析】本题考查轴对称图形的识别，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）根据轴对称图形的定义，进行判断即可； （2）证明，即可得证； （3）根据题意，得到细线垂直于门框时，门框是水平的，根据中垂线的判定和性质，得到，进而得到细线和重合时，符合题意，即可． 【详解】（1）解：观察可知①③两个图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠后能够完全重合，是轴对称图形，②④两个图形不能找到这样一条直线，不是轴对称图形； 故答案为：①③． （2）证明：连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴平分． （3）解：∵， ∴点都在线段的中垂线上， ∴， ∵过点的细绳垂直于水平面， ∴当点的细绳垂直于时，门框是水平的， ∴点在点的细绳上时，门框是水平的； 故答案为：细绳经过点C时． 36．(24-25八上·河南漯河郾城区·期末)如图，在中，，是内一点，点，，分别是点关于直线，，的对称点，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据对称得到垂直平分线进而得到等腰三角形，结合三角形的内角和逐一分析判断即可． 【详解】解：连接、、，如图， ∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴垂直平分，垂直平分，垂直平分， ∴，，，，，， ∴，故①正确， ∵， ∴，， ∵， ∴，即，故②正确； ∵，， ∴，， ∴， 同理，， ∴，故③正确； 故选：D． 37．(24-25八上·河南漯河召陵区·期末)如图，三角形中，于，于，且，与相交于点，下列结论中：①；②；③；④若平分，则，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由角边角证明，其性质得，结论①，③正确；由垂直的定义和四边形的内角和等于求出，证明结论②正确；由角平分线概念，线段等量代换综合证明，结论④正确，进而即可得解． 【详解】解：，， ，， ，， 在和中， ， ， 结论①，③正确； ，， ， 结论②正确， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， 结论正确； 综合所述，正确的结论有4个， 故选：． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分等相关知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决此题的关键． 地 城 考点07 等边三角形的判定和性质 38．(24-25八上·河南商丘民权县双塔镇初级中学·期末)如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定与性质．作点Q关于的对称点，连接，则，则，可得当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，从而得到的最小值为的长，再证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵等边中，D为中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则，则， 当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 即的最小值为11． 故答案为：11 39．(24-25八上·河南商丘·期末)如图，在中，，为边上的中线，，将沿所在直线翻折，点翻折到点的位置，连，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等边三角形的判定及其性质，折叠的性质，由折叠可知，，则，然后证明为等边三角形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：． 40．(24-25八上·河南信阳羊山中学·期末)在中，，，，以为边，作等边，过点D作于E，则的长为 ． 【答案】7或 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 分两种情况讨论，一是顶点D与顶点C在直线同侧，在上截取，连接，因为，所以是等边三角形，则，，所以，由是等边三角形，得，，可证明≌，得，，求得，因为，所以，则，求得；二是顶点D与顶点C在直线异侧，在BC上截取，连接，可证明≌，得，，推导出，因为，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，顶点D与顶点C在直线同侧，在上截取，连接、， ，， 是等边三角形，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 于E， ， ， ， ； 如图2，顶点D与顶点C在直线异侧，在上截取，连接， 和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 于E， ， ， ， ， 综上所述，的长为7或， 故答案为：7或． 41．(24-25八上·河南商丘夏邑县·期末)模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 【答案】（1），（2）见解析，（3） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 42．(24-25八上·河南商丘虞城县·期末)如图，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的逆定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 因为，，得到是等边三角形，得出， 根据题意得到垂直平分，得到，即可得到答案． 【详解】解； ，， 是等边三角形， ， ，， 垂直平分， ， 故选：A． 43．(24-25八上·河南信阳平桥区·期末)如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，直角三角形中所对的边是斜边的一半等知识点，解决此题的关键是熟练运用以上知识点． （1）根据等边三角形的性质可知，再证明，即可得出结论； （2）由可得出，故可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）证明：等边三角形，是中线； ∴，平分 ∴ ∵ ∵， ∴ 即 ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）解∵， ∴ ∴， ∴周长：． 44．(24-25八上·河南周口川汇区·期末)如图，点是内部一点，点关于、的对称点是，直线交、于点，若，且，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识得到是等边三角形是解题的关键． 根据轴对称的性质的得到，，则，由，得到，则是等边三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点关于、的对称点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长是， 故选：D ． 45．(24-25八上·河南开封·期末)如图，已知是等腰三角形，，． 问题初探    （1）如图①，分别以，为边作等边和等边，与相交于点，则和的数量关系为_______，和的数量关系为_______． 引导发现 （2）如图②，连接并延长，交于点，求证：． 拓展延伸 （3）如图③，作射线交的延长线于点，请直接写出的度数． 【答案】【小问1】， 【小问2】见解析 【小问3】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，等式性质解答即可． （2）根据线段垂直平分线的判定和性质证明即可． （3）利用等腰三角形的三线合一性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解答即可． 【详解】（1）解：依题得：等边和等边， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：；． （2）证明：由（1）得，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∵点在的延长线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴． （3）解：如图，设，，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ．    【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 46．(24-25八上·河南商丘第六中学·期末)如图，在等边中，P为边上的一点，若，D为边上的一点，连接交的延长线于点Q，当时，，则的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【详解】解：过作交于． ，是等边三角形， ，是等边三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． ， 的周长为6， 故选：A． 地 城 考点08 含30度角的直角三角形 47．(24-25八上·河南周口西华县·期末)如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查求线段长，涉及等腰三角形性质、含的直角三角形性质等知识，过点作，如图所示，先由等腰三角形三线合一的性质可知，，，再由含的直角三角形性质求出，数形结合表示出求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质、含的直角三角形性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，如图所示： ，， 由等腰三角形三线合一的性质可知，，， 在中，，则， ， ， ， 故选：B． 48．(24-25八上·河南信阳淮滨县·调研)如图，是平面镜，光线从点A出发经上的点O反射后照射到点B，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），于点C，于点D，且，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了直角三角形的性质以及光的反射原理，解题的关键是利用反射角等于入射角得出的度数． 先根据反射角等于入射角求出的度数，再在中，利用含角的直角三角形的性质求出的长度． 【详解】因为入射角，且反射角等于入射角， 所以， 因为，在中，， 所以． 故答案为：5． 49．(24-25八上·河南新乡·期末)如图，在等边三角形中，于点于点，若，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，先由等边三角形的性质得到，再证明，则可得到，再由三线合一定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 50．(24-25八上·河南漯河实验中学·期末)如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确地做出辅助线是解题的关键．过作于，根据等腰三角形的性质得，利用含角的直角三角形的性质得，求出，即可求解． 【详解】解：过作于， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：B． 51．(24-25八上·河南信阳羊山中学·期末)如图，，平分，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题重点考查了平行线的性质、角平分线的定义及含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据，可得；根据平分，可得，于是得到，由同一三角形中等角对等边可得 （2）证出是直角三角形，利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：， 平分， ； （2）解：，， ， 即， ， 又， 是直角三角形， 又， 52．(24-25八上·河南许昌长葛·期末)如图，中，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定以及用含直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质和角度关系进行推理计算。 （1）利用得到，结合直角三角形两锐角互余，通过角的等量代换证明角相等，进而得出线段相等； （2）根据已知，求出，再利用含直角三角形的性质求出线段长度，从而得出的长. 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ， ， . 53．(24-25八上·河南安阳文峰区·期末)如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，，两点停止运动，设点的运动时间为．当 时，是直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，30度所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握该知识点并进行分类讨论是解题的关键．分当 和两种情况，然后根据30度所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：点，分别从顶点，同时出发沿线段，运动，且它们的速度都为 ， 是边长为10cm的等边三角形 ， 当时， 当时， 故答案为：或． 54．(24-25八·河南漯河临颍县·期末)如图，在中，平分，交于点D，M，N分别是和上的动点，，，当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称－最短路径，直角三角形的特征，垂线段最短；作关于的对称点，过点作交于，连接， ，此时的值最小，由直角三角形的特征即可求解；能找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：作关于的对称点，过点作交于，连接， ， 平分， 在上， 、关于对称， ，且平分， ， 是等边三角形 ， 此时的值最小， 在中， ， ； 故选：C． 55．(24-25八上·河南焦作武陟县·期末)如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，分别延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定以及余角的性质和含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解决本题的关键． （1）根据得到，结合垂直以及等角的余角相等即可证明； （2）结合方程思想以及含角的直角三角形的性质，然后根据已知条件计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ∵， ∴， ，即是等腰三角形； （2）在中，， ， 设，则， ， ， ，即． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $