精品解析：重庆市大渡口区第九十四中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试题

重庆九十四中2025-2026学年（上）半期学业评价 九年级数学学科试题 （全卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 邻边相等的四边形是菱形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 5. 若是关于x的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 6. 按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，搭2020个这样的小正方形需要小棒（ ）根． A. 8080 B. 6066 C. 6061 D. 6060 7. 如图所示，与位似，点是位似中心.已知，且的面积为16，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 新年将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长是6，点是线段上一动点，过点作于点，连接，若，则的面积是（ ） A. B. C. 6 D. 18 10. 已知整式，，其中，，…，为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①若，则； ②若，，…，互不相等，且与次数相同，则满足条件的整式只有1个； ③若为二次三项式，为二次式，满足恒大于0的整式共有2个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一元二次方程的根是______． 12. 如果，那么___________． 13. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《九章算术》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要著作．某中学拟从这4部数学著作中任选1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率是________． 14. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围为______． 15. 如图，在菱形中，，，点E是的中点，连接交于点G，若点F是的中点，则的长为______． 16. 若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“精善数”．设“精善数”，记，．若是15的整数倍，且是4的整数倍，则__________；所有满足条件的M的最大值和最小值的差为__________． 三、解答题：（本大题9个小题，17-18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小华通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此思路完成以下作图和证明过程： （1）如图，在中，，为底边的中点，于点．利用尺规作图，过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明：，， ___________① ，， ， 为底边的中点， ___________② 在和中 （___________④） ． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校从七、八年级学生中各随机抽取20名学生进行了问卷调查，调查结果以百分制呈现（结果均为整数）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：（；；；），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：100，97，97，95，92，92，92，89，88，87，85，85，83，83，80，75，73，72，64，61． 八年级20名学生的成绩在组中的数据是：80，81，82，85，87，88，89． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 86 八年级 95 八年级所抽取学生的成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对阅兵活动相关知识更加了解？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有学生2000人，如果七、八年级的学生全部参与问卷调查，请估计七、八年级共有多少名学生的问卷调查成绩不低于90分？ 21. 某水果批发商场以每千克40元的价格购进一种高档水果，如果按每千克50元销售，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克的定价应为多少元？ （2）在（1）的条件下，若商场购进该种水果5000千克，为了扩大销售，拿出一部分水果按定价的8折进行批发销售．商场在这批水果全部售出后，为了确保这批商品总的利润率不低于，则商场用于批发的水果最多为多少千克？ 22. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 23. 如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止运动，时间为于点，设的长为． （1）求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围． 24. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在x轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点（且点P在第一象限）． （1）求点D坐标； （2）若，请求出符合条件的在第一象限的点P的坐标； （3）点M为直线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 25. 在中，为上一点，连接． （1）如图1，若，作交于，交于，，求的度数； （2）如图2，若，作交于，交于，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，求证：； （3）如图3，若，，将绕点逆时针旋转得线段，连接为直线上一点，连接，当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，作交直线于点，当取最大值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆九十四中2025-2026学年（上）半期学业评价 九年级数学学科试题 （全卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断，即可解答． 【详解】解：A、，有2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、，等号左边不是整式，不是一元二次方程，故不符合题意； C、，是一元二次方程，故符合题意； D、，是一元一次方程，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率． 利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设袋子中黄球有个， 根据题意，得：， 解得：， 即布袋中黄球可能有个． 故选D． 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 邻边相等的四边形是菱形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形、正方形、菱形的判定定理，解题的关键是熟练掌握这些特殊四边形的判定条件．根据矩形、正方形、菱形的判定定理，对每个选项进行分析判断． 【详解】A、有一个角是直角的平行四边形才是矩形，仅一个角是直角的四边形不一定是矩形，该选项错误； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，该选项错误； C、邻边相等的平行四边形才是菱形，仅邻边相等的四边形不一定是菱形，该选项错误； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线再互相垂直的平行四边形是菱形，所以对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，该选项正确． 故选：D． 5. 若是关于x的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将代入方程，得到关于a和b的等式，简化后直接求解的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， 两边同时除以3：， ∴． 故选：B． 6. 按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，搭2020个这样的小正方形需要小棒（ ）根． A. 8080 B. 6066 C. 6061 D. 6060 【答案】C 【解析】 【分析】通过归纳与总结得出规律：每增加1个正方形，火柴棒的数量增加3根，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可． 【详解】解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒； 搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴棒； 搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒； ∴搭2020个这样的正方形需要3×2020+1＝6061根火柴棒； 故选C． 【点睛】本题考查了图形规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个图形的联系，找出其中的规律，有一定难度，要细心观察总结． 7. 如图所示，与位似，点是位似中心.已知，且的面积为16，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】∵与位似，点O为位似中心，且， ∴， ∵的面积为16， ∴的面积是1， 故选：A． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 8. 新年将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意，弄清楚每一名学生要赠送张贺卡，总共有名学生，是解题的关键．九年级一班共有名学生，每一名学生都需要给剩下的名学生赠贺卡，因此共赠贺卡张，由题意可知，共赠贺卡张，即可列方程． 【详解】解：根据题意得：每一名学生要赠送张贺卡，总共有名学生， 所以全班共赠贺卡：． 故答案选：C． 9. 如图，正方形的边长是6，点是线段上一动点，过点作于点，连接，若，则的面积是（ ） A. B. C. 6 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出的值．根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到和全等，然后即可得到和的关系，根据等腰三角形的性质可以得到和的关系，再根据勾股定理可以得到的值，然后即可计算出的面积． 【详解】解：作于点，如图所示， 四边形是正方形， ，， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 即， 解得， ∴， 故选：A． 10. 已知整式，，其中，，…，为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①若，则； ②若，，…，互不相等，且与次数相同，则满足条件的整式只有1个； ③若为二次三项式，为二次式，满足恒大于0的整式共有2个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的定义，系数条件限制下多项式构造，推理能力等，合理分析给定条件是解题的关键． ① 由的结构分析的系数，判断是否成立；② 根据到互不相等且次数相同，推导的唯一性；③ 枚举为二次三项式且为二次式时，恒正的情况，验证个数． 【详解】解：①当时，由和两个项组成，即． 只有对应的系数需满足（对应项）、（另一项）、（对应项）时．时，故①正确． ②若到互不相等且与次数相同，则的次数．由于是正整数且互不相等，唯一可能的结构是为的排列，此时，唯一确定．故②正确． ③为二次三项式，即且．为二次式要求．需恒正： 时，，； 时，，（恒正）； 时，，． 共3种情况，但题目称有2个，故③错误． 综上，①和②正确，但③错误． 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：方程， 提取公因式，得， 因此或， 即，． 故答案为：， 12. 如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质得到，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《九章算术》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要著作．某中学拟从这4部数学著作中任选1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵一共有4部数学著作，且每部数学著作被选择的概率相同， ∴从这4部数学著作中任选1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率是． 故答案为：． 14. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，求一元一次方程的解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分、两种情况讨论，分别求得的取值范围． 【详解】解：当时，原方程为，有实数根，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ∵关于x的方程有实数根， ∴，解得：， 综上所述，的取值范围是， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，点E是的中点，连接交于点G，若点F是的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质，连接，由菱形的性质得，，证明是等边三角形，求出，，，，证明，得到，由勾股定理可得出的长． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∵点E是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵点F为的中点，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： 16. 若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“精善数”．设“精善数”，记，．若是15的整数倍，且是4的整数倍，则__________；所有满足条件的M的最大值和最小值的差为__________． 【答案】 ①. 5 ②. 8442 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，新定义，解题的关键是正确理解新定义． 根据“精善数”的定义得到，则，且是15的整数倍，结合的取值范围为1到9，可得，进而，则，由是4的整数倍，结合，可得是4的倍数，从而确定a和d的取值，b和c满足，有6种可能，即可得到所有满足条件的M的最大值为9501，最小值为1059，则差值为8442． 【详解】解：， ， 为正整数， ∵，， ∴， 只能等于，则， ∴， ∵和20 均为4的倍数，是4的整数倍， ∴是4的倍数， ∵， ∴；或；或；或；或； ∵，b和c为数字（b从0到9，c从0到9）， ∴或或或或或 ∵ ∴，则为最大值； 取，则为最小值， ∴差值为 故答案为：5，8442． 三、解答题：（本大题9个小题，17-18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）使用因式分解法求解即可； （2）使用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 18. 在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小华通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此思路完成以下作图和证明过程： （1）如图，在中，，为底边的中点，于点．利用尺规作图，过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明：，， ___________① ，， ， 为底边的中点， ___________② 在和中 （___________④） ． 【答案】（1） 解：如图，， （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简得：；解得： 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值问题，解本题的关键在正确运用分式的混合运算进行化简．掌握分式的运算顺序：先乘方，再乘除，再加减（如果有括号先算括号里面的，再算括号外面的）利用分式的混合运算法则是解题的关键．首先对括号里面的分式先通分化为同分母分式再加减，同时将除式的分子因式分解，再利用分式除法要乘以除式的倒数化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后利用的值代入其，即可得出结果． 【详解】解：原式 ， ， ； 当时， 原式， ， ． 20. 2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校从七、八年级学生中各随机抽取20名学生进行了问卷调查，调查结果以百分制呈现（结果均为整数）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：（；；；），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：100，97，97，95，92，92，92，89，88，87，85，85，83，83，80，75，73，72，64，61． 八年级20名学生的成绩在组中的数据是：80，81，82，85，87，88，89． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 86 八年级 95 八年级所抽取学生的成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对阅兵活动相关知识更加了解？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有学生2000人，如果七、八年级的学生全部参与问卷调查，请估计七、八年级共有多少名学生的问卷调查成绩不低于90分？ 【答案】（1），92，40 （2） 解：八年级学生竞赛成绩较好，理由如下： 七、八年级的平均分均为分，八年级的中位数，众数均高于七年级的中位数，故整体上看八年级学生竞赛成绩较好． （3）750名 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平样本估计整体等知识点，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数的定义是解题的关键． （1）根据表格以及众数、中位数的定义可确定a、b的值，先求出C、D的人数，然后结果B组数据求得A组数据的个数，最后再求其所占的百分比即可； （2）根据平均分、中位数，众数进行分析即可解答； （3）用学生总数乘以卷调查成绩不低于90分的百分比即可解答． 【小问1详解】 解：由八年级C组占，人数为（人）， 八年级D组占，人数为（人）， ∴八年级中位数为C组的第5、6个同学竞赛成绩的平均数即； ∵七年级20名学生的竞赛成绩中92出现次数最多， ∴七年级的众数； 八年级A组人数为（人）， ∴，即． 故答案为：，92，40． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵七年级问卷调查成绩不低于90分的学生有7人，八年级问卷调查成绩不低于90分的学生有8人， ∴两个年级学生的问卷调查成绩不低于90分共人． 答：七、八年级共有750名学生的问卷调查成绩不低于90分． 21. 某水果批发商场以每千克40元的价格购进一种高档水果，如果按每千克50元销售，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克的定价应为多少元？ （2）在（1）的条件下，若商场购进该种水果5000千克，为了扩大销售，拿出一部分水果按定价的8折进行批发销售．商场在这批水果全部售出后，为了确保这批商品总的利润率不低于，则商场用于批发的水果最多为多少千克？ 【答案】（1）55元 （2）3000千克 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，列一元一次不等式解决实际最值问题，解题的关键是准确找出等量关系和不等关系． （1）设每千克定价为元，根据利润列出方程求解即可； （2）设商场用于批发的水果为a千克，根据利润列出不等式，并求解即可． 【小问1详解】 解：设每千克定价为元，根据题意得， ， 解得，，， ∵要顾客得到实惠， ∴， 答：每千克的定价为55元； 【小问2详解】 解：设商场用于批发的水果为a千克，根据题意得， ， 解得， 答：商场用于批发的水果最多为3000千克． 22. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 在中，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合即可； （2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法得列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， ∴． 23. 如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止运动，时间为于点，设的长为． （1）求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数图象如图所示： 由图可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、求函数解析式等知识，掌握数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）先求得，再分当时，P在上运动；当时，P在上运动，两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）根据（1）中解析式描点画图即可，再根据图象写出可性质即可； （3）根据（2）中图象即可解答． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， 如图，当时，P在上运动，则， ∵， ∴，即． 如图，当时，P在上运动，则， ∴，即． 综上， y关于t的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，该函数图象经过点，，，， 【小问3详解】 解：由必过， 如图：当过时，，解得：；当过时，，解得：， 所以如果与该函数图象有两个不同的交点，的取值范围． 24. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在x轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点（且点P在第一象限）． （1）求点D坐标； （2）若，请求出符合条件的在第一象限的点P的坐标； （3）点M为直线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质． （1）将点的坐标代入直线得出其解析式，点的坐标代入直线的解析式，然后联立两条直线的解析式即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，证明∽，进而得到，即可解题； （3）连接，求出，根据勾股定理得到，根据勾股定理逆定理得到，证明是等腰直角三角形，即，当M在下方时，连接，根据垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得到，即，可知此时M与E重合，求出，即可求出点M的坐标；当M在上方时，连接，证明，得到．根据勾股定理求出相关数据，得到，即，作轴，则，即，根据勾股定理求出相关数据，得到，，即可求出点M的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，将点的坐标代入得： ， 解得：， ∴， ∵点在轴上点的右边，， ∴，即， ∵经过点的直线与正比例函数的图象平行， 设直线的解析式为：， 代入，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 由直线与直线相交于点， 联立得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴∽， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， 当时，，即， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 即． 当M在下方时， 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴此时M与E重合， 当时，， ∴，即； 当M在上方时， 如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，，，， ∴， 同理可得，， ∴， 解得：， ∴， 作轴， 则， 即， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 即； 综上所述，或． 25. 在中，为上一点，连接． （1）如图1，若，作交于，交于，，求的度数； （2）如图2，若，作交于，交于，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，求证：； （3）如图3，若，，将绕点逆时针旋转得线段，连接为直线上一点，连接，当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，作交直线于点，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）； （2） 证明：设， ∴； ，， ， ， ； 又∵， ∴， ∴； ，， ， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ； 如图所示，过点A和点C分别作的垂线，垂足分别为M，H，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， 又∵， ， ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由三角形外角的性质可得的度数，再由垂线的定义和三角形内角和定理可得答案； （2）设，可证明，则；导角证明得到，则，进而证明，证明，得到；过点A和点C分别作的垂线，垂足分别为M，H，则都是等腰直角三角形，则；再证明，得到，再由线段的和差关系可证明结论； （3）如图3-1所示，过点A作于K，延长到R，使得，连接，设直线交于T，可证明，得到，则可证明，故点M在直线上运动，则当点M与点T重合时，有最小值；如图3-2所示，由勾股定理可得；由折叠的性质可得，则点Q在以点M为圆心，半径为2的圆上运动，故当点在线段上时，有最大值；证明，求出，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3-1所示，过点A作于K，延长到R，使得，连接，设直线交于T， ∵， ∴是等腰直角三角形，，， 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点M在直线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点M与点T重合时，有最小值； 在中，由勾股定理得， ∴； 如图3-2所示，在中，； 由折叠的性质可得， ∴点Q在以点M为圆心，半径为2的圆上运动， ∴当点在线段上时，有最大值； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，解（2）的关键在于作出辅助线构造全等三角形，解（3）的关键在于构造全等三角形确定点M的轨迹以及点Q的轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $