河北省石家庄市第十七中学2025-2026学年八年级上学期12月期中数学试题

2025-2026学年河北省石家庄十七中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.实数，，0，，…中，无理数的个数有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.下列说法正确的是(    ) A. 2的平方根是 B. 的平方根是 C. 1的立方根是 D. 没有算术平方根 4.如图，在中，，D是BC边上的一点，，，，则点D到AB的距离为(    ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 5.下列语句中正确的是(    ) A. 近似数精确到千分位 B. 近似数800精确到个位 C. 近似数万相确到千分位 D. 近似数精确到百分位 6.若分式的值为零，则x的值是(    ) A. B. C. D. 或0 7.如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是(    ) A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 8.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(    ) A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 9.某校八年级学生到距学校15km的延庆民俗博物馆参观.一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度. 设自行车的速度为根据题意，可列方程为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为(    ) A. B. C. D. 11.尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线； Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线． 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图： 则正确的配对是(    ) A. ①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅰ，④-Ⅲ B. ①-Ⅳ，②-Ⅲ，③-Ⅱ，④-Ⅰ C. ①-Ⅱ，②-Ⅳ，③-Ⅲ，④-Ⅰ D. ①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ 12.如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与射线OA，OB交于点M，N，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变；其中正确的为(    ) A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.比较大小：______填“>”“<”或“=” 14.二次根式有意义的条件是        . 15.如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在          处填写区域对应的序号 16.如图，点C在线段BD上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿AC向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段EC上往返运动即沿运动，当点P到达终点时，P、Q同时停止运动：过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N、设运动的时间为t s，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为        三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 解方程： ； 18.本小题4分 计算： 19.本小题4分 化简求值：，其中 20.本小题4分 如图，在中，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，，垂足为D，且求证： 21.本小题6分 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点即三角形的顶点都在格点上 在图中作出关于直线l对称的，的面积为______； 在直线l上找一点Q，使的值最小. 22.本小题8分 小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为和，，求妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度. 23.本小题8分 山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场.某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价格比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少 求今年A型车每辆售价多少元？ 该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，A，B两种型号车的进货和销售价格如表，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？ A型车 B型车 进货价格元 1100 1400 销售价格元 今年的销售价格 2000 24.本小题10分 如图，和都是等边三角形，直线AE，BD交于点 如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段 AE与BD的数量关系为______. 如图2，当绕点C顺时针旋转时，中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明. 若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：A、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意， 故选： 根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义即可作答． 本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，熟知平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：无理数有，，，共3个． 故选： 根据无理数的定义，判断所给实数中哪些是无理数，统计个数后选择答案． 本题主要考查无理数的定义，算术平方根，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：A、2的平方根是，故此选项不符合题意； B、，9的平方根是，故此选项不符合题意； C、1的立方根是1，故此选项不符合题意； D、没有算术平方根，故此选项符合题意； 故选： 根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项分析即可． 本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：，， ， ， 是的角平分线， 点到AC和AB的距离相等， 表示D点到AC的距离，， 到AB的距离为 故选： 根据题意易求，由角平分线的性质可知D点到AB的距离等于D点到AC的距离CD长度，则答案可解． 本题主要考查了角平分线的性质，题目简单易懂，观察出D点到AB的距离等于D点到AC的距离CD长度是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：近似数精确到百位，所以A选项不符合题意； B.近似数800精确到个位，所以B选项符合题意； C.近似数万精确到千位，所以C选项不符合题意； D.近似数精确到千分位，所以D选项不符合题意； 故答案为： 根据近似数的精确度对各选项进行判断． 本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式． 6.【答案】B  【解析】解：根据题意知，， 解得： 所以， 故选： 根据分式的值为零的条件即可求出答案． 本题考查分式的概念，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本题属于基础题型． 7.【答案】B  【解析】解：图乙中的三角形与有两角及其夹边相等，图乙的三角形与全等． ， 图丙的三角形与全等． 故选： 根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL依次对各选项分析即可判断． 本题考查了全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答． 8.【答案】B  【解析】解：凉亭到草坪三条边的距离相等， 凉亭选择三条角平分线的交点． 故选： 由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了角平分线上的点到角两边的距离相等． 9.【答案】D  【解析】解：已知汽车的速度是自行车速度的3倍， 设自行车的速度为，则汽车的速度为，， ； 故选： 根据一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，结合时间等于路程除以速度，列出方程即可． 本题考查根据实际问题列分式方程，正确进行计算是解题关键． 10.【答案】A  【解析】解：在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为8，  因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形．  因为两个小正方形的面积分别为45，32，重叠部分的面积为8，  所以两个小正方形及重叠部分的边长分别为：，，  由图知大正方形的边长为：，    故选： 先算出两个小正方形及重叠部分的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 本题主要考查了二次根式的应用，关键在于审清题意，看懂图形，找到各部分面积的关系． 11.【答案】D  【解析】解：根据题意正确的配对是：①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ 故选： 分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法得出符合题意的答案． 此题主要考查了尺规作图，掌握常见图形的尺规作图方法是解题的关键． 12.【答案】B  【解析】解：如图作于E，于 ， ， ， ， ， 平分，于E，于F， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，，故正确， ， 定值，故正确， 定值，故正确， ，N的位置变化， 的长度是变化的，故错误， 故选： 如图作于E，于只要证明，≌，即可一一判断． 本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 13.【答案】>  【解析】解：，， ， 故答案为： 首先分别求出两个数的平方的大小；然后根据：两个正实数，平方大的这个数也大，判断出两个数的大小关系即可． 此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 14.【答案】  【解析】解：由二次根式有意义的条件得：且 由于分子， 所以分母，解得 故答案为： 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，同时考虑分式中分母不能为零，据此进行解题即可． 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 15.【答案】②  【解析】解：把正方形添加在②处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形， 故答案为：②． 根据中心对称图形的概念解答． 本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合． 16.【答案】1或3  【解析】解：①当点P在AC上，点Q在CE上时， 以P，C，M为顶点的三角形与全等， ， ， ， ②当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时， 以P，C，M为顶点的三角形与全等， ， ， ， 综上所述：t的值为1或 故答案为：1或 分两种情况：①点P在AC上，点Q在CE上时；②点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键． 17.【答案】    【解析】解：方程两边同乘， 得， 解得， 检验：当时， 原分式方程的解是 方程两边同乘， 得， 解得， 检验：当时， 原分式方程的解是 先找出最简公分母，去分母后求出x的值，然后检验确定分式方程的解即可； 先找出最简公分母，去分母后求出x的值，然后检验确定分式方程的解即可． 本题考查了解分式方程，通过去分母把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根． 18.【答案】  【解析】解： 先根据有理数的乘方、算术平方根、零指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19.【答案】原式，  【解析】解：原式 ， 当时，原式 根据分式运算法则计算即可． 本题考查分式的混合运算，熟练运用计算法则是解决本题的关键． 20.【答案】垂直平分BC， ， ，， ，   【解析】证明：垂直平分BC， ， ，， ， 根据线段垂直平分线的性质，可得，，即可求证． 本题主要查了线段垂直平分线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 21.【答案】如图，即为所求，的面积；  如图，点Q即为所求  【解析】解：如图，即为所求，的面积 故答案为：4； 如图，点Q即为所求． 利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可，再利用分割法求出三角形面积； 连接交直线l于点Q，连接QC，点Q即为所求． 本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短问题，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 22.【答案】  【解析】解：由题意得，，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 爸爸在距地面高的C处接住她， 点E到地面的距离为， 点D到地面的距离为， 答：妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度为 可证明≌得到，，据此求出DE的长，进而求出点D与地面的距离即可得到答案． 本题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23.【答案】元  辆  【解析】解：设今年售价为x元，则去年售价为元，根据题意得， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， 今年A型车每辆售价为1600元； 设A型车进了y辆，则B型车进了辆，根据题意得， ， 解得， 型车至多进30辆． 设今年售价为x元，则去年售价为元，根据数量相等列出方程求解即可； 设A型车进了y辆，则B型车进了辆，根据利润列出不等式，然后求解即可． 本题主要考查了列分式方程和一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是找准等量关系和不等关系． 24.【答案】，； 中结论仍成立， 证明：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ；   【解析】解：是等边三角形，，，是等边三角形，，，， ， 即， 在和中， ， ≌， ，， 在中， ， ， 故答案为：，； 中结论仍成立， 证明：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ； 在中，，， 点D在BC的延长线上时，BD最大，最大为， 当点D在线段BC上时，BD最小，最小为， ， 即BD长的取值范围为 先判断出，进而判断出≌，得出，，再用三角形的内角和求出的度数； 同的方法，即可得出结论； 利用三角形的三边关系判断出，，即可得出结论 此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，判断出≌是解本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $