专题03 圆锥曲线的方程13考点（期末真题汇编，广东专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题03 圆锥曲线的方程 13大高频考点概览 考点 01 圆锥曲线的定义 考点 02 圆锥曲线的标准方程 考点 03 圆锥曲线的几何性质 考点 04 圆锥曲线的离心率问题 考点 05 直线与圆锥曲线的位置关系 考点 06 圆锥曲线中的弦长问题 考点 07 圆锥曲线中的中点弦问题 考点 08 圆锥曲线中的面积问题 考点 09 圆锥曲线中的最值问题 考点 10 圆锥曲线中的向量问题 考点 11 圆锥曲线中的定点问题 考点 12 圆锥曲线中的定值问题 考点 13 圆锥曲线中的探索性问题 地 城 考点01 圆锥曲线的定义 1．（2024秋•深圳校级期末）已知是椭圆上的一点，，分别是椭圆的左，右焦点，则　　 A．6 B．4 C．3 D．2 2．（2022秋•台山市校级期末）动点与点与点满足，则点的轨迹方程为　　． 3．（2023秋•濠江区校级期末）命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分必要条件是　　 A． B． C． D． 4．（2022秋•南山区期末）已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 5．（多选）（2024秋•东莞市期末）已知方程：（其中为参数），下列正确的有　　 A．若，则方程表示轴 B．若，则方程表示圆 C．若，则方程表示椭圆 D．若，则方程表示双曲线 6．（多选）（2023秋•深圳期末）方程，则下列说法正确的是 A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，方程表示圆 D．当或时，方程表示双曲线 地 城 考点02 圆锥曲线的标准方程 7．（2024秋•东莞市期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•潮阳区期末）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 　　． 9．（2024秋•深圳校级期末）椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是　　 A． B．或 C． D．或 10．（2024秋•白云区校级期末）已知双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•龙岗区校级期末）经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 　　． 12．（2024秋•广东期末）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为　　 A． B． C． D． 13．（2024秋•佛山期末）已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为　　 A． B． C． D． 14．（2022秋•龙岗区校级期末）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为　　 A． B． C． D． 15．（2024秋•阳江期末）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，点在的渐近线上，过点作，垂足为，，则的方程为　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•中山市校级期末）若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的3倍，则抛物线的标准方程为　　 A． B． C． D． 17．（2021秋•揭西县期末）若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为　　． 地 城 考点03 圆锥曲线的几何性质 18．（2024秋•佛山期末）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是　　 A． B． C． D． 19．（2024秋•龙岗区校级期末）已知双曲线，则下列选项中不正确的是　　 A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 20．（2024春•惠州期末）双曲线的一个焦点是，则　　． 21．（2024秋•广州期末）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为　　 A． B． C．2 D．4 22．（2024秋•深圳校级期末）已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为　　． 23．（2024秋•潮阳区期末）在平面直角坐标系中，双曲线的两条渐近线的夹角大小为　　 A． B． C． D． 24．（2025春•广东期末）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是　　 A．4 B． C．2 D． 25．（2023秋•三水区期末）已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为　　 A． B． C． D． 地 城 考点04 圆锥曲线的离心率问题 26．（2024秋•潮州期末）若椭圆的离心率为，则　　 A． B．4 C． D．2 27．（2025春•汕尾期末）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，点，在椭圆上，，点关于原点的对称点为．若，则的离心率为　　 A． B． C． D． 28．（2024秋•广州期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为　　 A． B． C． D． 29．（2024秋•广东校级期末）已知椭圆的左焦点为，左顶点为，直线过点，且与轴垂直，交于，两点，已知△的周长为，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 30．（2024秋•潮州期末）椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且最小值为，则椭圆的离心率是 　　． 31．（2024秋•龙岗区期末）已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为 　　． 32．（2021秋•汕尾期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为　　 A． B． C． D．2 33．（2024秋•深圳校级期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 34．（2025春•广东校级期末）已知是双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若以为直径的圆经过点，则的离心率为　　 A．2 B． C．3 D． 35．（2022秋•龙岗区校级期末），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 地 城 考点05 直线与圆锥曲线的位置关系 36．（2022秋•罗湖区校级期末）直线与椭圆的位置关系是　　 A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判断 37．（2024秋•广州期末）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 38．（2024秋•广州期末）已知椭圆． （1）若，求椭圆的离心率； （2）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围． 39．（多选）（2023秋•广东期末）已知直线，双曲线，则　　 A．当时，与只有一个交点 B．当时，与只有一个交点 C．当时，与的左支有两个交点 D．当时，与的左支有两个交点 40．（多选）（2023秋•荔湾区校级期末）已知直线的方程为，，则下列说法正确的是　　 A．与直线有唯一的交点 B．与椭圆一定有两个交点 C．与圆一定有两个交点 D．满足与双曲线有且只有一个公共点的直线有2条 地 城 考点06 圆锥曲线中的弦长问题 41．（2023秋•龙华区校级期末）已知椭圆离心率，短轴长为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线过椭圆的右焦点，并与椭圆相交于，两点，截得的弦长为，求直线的方程． 42．（2024秋•潮州期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，则弦的长度为　　 A． B． C．2 D．1 43．（2023秋•龙岗区校级期末）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明是什么曲线； （2）若直线和曲线相交于，两点，求． 44．（2022秋•信宜市期末）已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为． （1）求的标准方程； （2）若直线与双曲线交于，两点，求． 45．（2020秋•越秀区期末）已知焦点在轴上的双曲线的离心率为，且过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线交于，两点，求弦长． 46．（2024秋•清新区期末）已知直线与抛物线相交于、两点，则的长为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 47．（2024秋•潮阳区期末）已知抛物线，焦点为，点为曲线的准线与对称轴的交点，过的直线与抛物线交于，两点． （1）证明：当时，、与抛物线相切； （2）当时，求． 地 城 考点07 圆锥曲线中的中点弦问题 48．（2022秋•盐田区校级期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为　　 A． B． C． D． 49．（2023秋•电白区期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于、两点．若线段的中点横坐标为2，则　　 A．3 B．4 C．5 D．6 50．（2024秋•广东校级期末）已知直线与抛物线交于，两点，，为坐标原点． （1）求； （2）过点作直线交抛物线于，两点，且点是线段的中点，求三角形的面积． 51．（2024秋•信宜市期末）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于、两点，为中点，求直线斜率． 地 城 考点08 圆锥曲线中的面积问题 52．（2024秋•深圳校级期末）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若使得成立的点的横坐标为3，则四边形的面积为　　 A． B． C． D． 53．（2025春•龙岗区校级期末）已知、分别是双曲线的左、右焦点，若是双曲线左支上的点，且．则△的面积为　　 A．8 B．16 C．24 D． 54．（多选）（2024秋•潮州期末）设为坐标原点，抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，则　　 A． B．以为直径的圆与轴相切 C． D．三角形的面积为 55．（2025春•汕尾期末）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的斜率存在． （1）若线段的中点的横坐标为，求椭圆的方程并计算点到轴的距离与点到轴的距离之和； （2）为椭圆的右焦点，若△面积为，求直线的方程． 56．（2024秋•白云区校级期末）在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，． ①求证：为定值，并求出该定值； ②设直线与轴交于点，求的面积的最大值． 57．（2025春•深圳校级期末）已知椭圆过点，右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，过点，作轴，垂足为点，直线交椭圆于另一点． 证明：． 求△面积的最大值． 58．（2025春•深圳期末）已知椭圆的长轴长与短轴长的比值为． （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点． 若直线的斜率为，求椭圆的焦距的取值范围； 若△面积的最大值为，求椭圆的标准方程． 59．（2025春•罗湖区期末）已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且． （1）求的渐近线方程； （2）求△面积的最小值； （3）证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程． 地 城 考点09 圆锥曲线中的最值问题 60．（2024秋•龙岗区校级期末）已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，△的面积的最大值为2，则的值为 　　 ；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为 　　 ． 61．（2024秋•深圳期末）已知，是双曲线的左、右顶点，，是双曲线上第二象限内的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为 　　；当取得最大值时，则点的纵坐标为 　　． 62．（多选）（2024秋•新会区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则　　 A．椭圆的离心率为 B．△的周长为4 C．若，则△的面积为3 D．若，则 63．（多选）（2025春•深圳期末）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则　　 A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 64．（多选）（2024秋•深圳期末）已知椭圆，点，，以为直径的圆与交于，两点，则　　 A． B．直线与有且只有一个公共点 C．四边形为平行四边形 D．若为上的动点，则的最大值为10 65．（2024秋•宝安区期末）已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为　　 A． B． C． D． 66．（多选）（2024秋•汕尾期末）已知双曲线方程为，和分别为双曲线的左焦点和右焦点．设直线和直线相交于点，且恒有，，则下列说法正确的是　　 A．的最大值为 B．平面上存在定点，使得为定值 C．的最大值为64 D．点到直线距离的最大值为4 67．（2024秋•深圳期末）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，直线（不过点与相交于，两点，且，求点到直线的距离的最大值． 68．（2023秋•广州期末）已知抛物线过点． （1）求抛物线的方程； （2）过点的射线交抛物线于另一点，交准线于点，求的最大值． 地 城 考点10 圆锥曲线中的向量问题 69．（2021秋•中山市期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线被椭圆截得的弦长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上一点，是坐标原点，过点与直线平行的直线与椭圆的两个交点为，，且，求的最大值． 70．（2024春•阳江期末）如图，抛物线，是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，，设与抛物线相交于点，，与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，． （1）求抛物线的方程； （2）求的最小值． 71．（2024秋•梅州期末）在平面直角坐标系中，圆的方程为，点的坐标为，点为圆上的动点，线段的中垂线与直线相交于点． （1）求交点的轨迹的方程． （2）若过点的直线与轨迹相交于、两点，求的取值范围． （3）若，点为轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 地 城 考点11 圆锥曲线中的定点问题 72．（2024秋•深圳期末）已知椭圆的离心率为，，，过定点，的直线与交于，两点，直线的斜率不为0． （1）求的长轴长． （2）若，，证明：直线，的斜率之和为定值． （3）若，，设直线，分别交于，（都异于，两点，且的斜率存在，证明直线过定点，并求出定点坐标． 73．（2025春•清远期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标． 74．（2025春•广州期末）已知椭圆的离心率为，且过点．设点处的切线为． （1）求的方程； （2）求直线的方程； （3）直线过点，且，点，在上，且，问：直线与的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 75．（2025春•越秀区期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，，且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 76．（2021秋•濠江区校级期末）在平面直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，．是椭圆的右焦点，，． （1）求椭圆的方程； （2）不过点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，．若，证明直线过定点，并求出定点的坐标． 77．（2024秋•深圳校级期末）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，、分别是椭圆的左右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）动点、为椭圆上异于、的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点． 78．（2024秋•潮州期末）椭圆的一个焦点为，且椭圆经过点． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右顶点为，点，是椭圆上异于点的不同两点． 若点，，不共线，求三角形的面积的最大值； 若直线与的斜率分别记为，，且，判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由． 79．（2024秋•电白区期末）如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于，与，，当时，为的中点． （1）求抛物线的方程； （2）若，证明：； （3）若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标． 80．（2024秋•揭阳期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，离心率，、是椭圆上的动点，且当时，． （1）求椭圆的方程； （2）若的平分线经过点． ①证明：直线恒过定点； ②求△面积的最大值． 81．（2024秋•广州期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，左焦点为，左、右顶点分别为，，上顶点为，且△外接圆的半径为． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率存在的直线交椭圆于，两点，位于轴的两侧），记直线，，，的斜率分别为，，，，且． 试问直线是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由； 求△的面积的取值范围． 地 城 考点12 圆锥曲线中的定值问题 82．（2024秋•白云区校级期末）在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，． ①求证：为定值，并求出该定值； ②设直线与轴交于点，求的面积的最大值． 83．（2025春•湛江期末）已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）若斜率为2的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 84．（2024秋•兴宁市期末）已知在曲线上任意一点，处的切线为．若过右焦点的直线交椭圆于，两点，已知在点，处切线相交于． （1）求点的轨迹方程； （2）若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明为定值． （3）在（2）的条件下，四边形的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若无说明理由． 85．（2024秋•阳江期末）已知和为椭圆上两点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，，是椭圆的两焦点，且，求△的面积； （3）过点的直线与椭圆交于，两点，证明：为定值． 86．（2025春•广州校级期末）已知椭圆经过点，两个焦点为和． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过点且与椭圆相交于，、，两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为． 求证：为定值，并求出这个定值； 若，求直线的方程． 87．（2024秋•汕尾期末）已知动点到定点的距离是它到定直线的距离的，动点的轨迹与轴的交点为，△的面积为． （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与点的轨迹方程交于，两点，为坐标原点．试求当为何值时，恒为定值？并求此时△面积的最大值． 88．（2024秋•天河区期末）设椭圆的离心率为，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于点，两点． （1）求椭圆的方程； （2）若，求的值； （3）若圆心在椭圆上，半径为的圆，我们称是椭圆的“卫星圆”，过原点作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 89．（2024秋•湛江期末）已知和为椭圆上两点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，，是椭圆的两焦点，且，求△的面积； （3）过点的直线与椭圆交于，两点，证明：为定值． 90．（2024秋•澄海区期末）已知双曲线过点，一条渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若点为双曲线左支上一点，，，求的最小值； （3）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值． 91．（2024秋•深圳期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且点到点，的距离之和为． （1）求的方程； （2）直线与交于，两点，记直线、的斜率分别为、． ①当时，求的值； ②当变化时，试探究是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 地 城 考点13 圆锥曲线中的探索性问题 92．（2025春•深圳期末）已知椭圆，，为该椭圆的左、右两个焦点，为该椭圆上的动点，椭圆的离心率，△面积的最大值为． （1）求椭圆的方程． （2）已知，为该椭圆的上顶点和下顶点，，在直线上是否存在一点，使直线和直线的交点在该椭圆上，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 93．（2024秋•广东校级期末）已知双曲线过点，离心率为，左、右焦点分别为，，点为直线上且不在轴上的一点，直线和与双曲线的交点分别为，和，，为坐标原点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，． 证明：为定值； 直线上是否存在点，使得，，，满足？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 94．（2024秋•龙岗区校级期末）已知椭圆的右焦点，且经过点． （1）求椭圆的标准方程． （2）过右焦点作直线，与椭圆交于，两点，为坐标原点． 若△的面积为，求直线的方程； 是否存在椭圆上一点及轴上一点，，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由． 95．（2024秋•深圳校级期末）已知椭圆，若椭圆焦距为4，点在椭圆上，焦点，且△面积最大值为4，过点的直线交椭圆于，两点． （1）求椭圆标准方程． （2）若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 96．（2024秋•深圳期末）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在圆上运动，是线段的中点．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合） （1）求点的轨迹方程； （2）设直线与点的轨迹相交于不同的两点、，若，问是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 97．（2023秋•龙岗区校级期末）如图，椭圆离心率为，椭圆的左右顶点分别为、，上顶点为．点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆上有一动点，，连接和分别交轴于和，请问是否存在实数，使得．若存在，求出值，若不存在，说明理由． 98．（2023秋•天河区期末）已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上且与两焦点围成的三角形面积的最大值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆内一点的直线交于，两点，是否存在定值，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 99．（2023秋•龙岗区期末）已知椭圆过点，左焦点为，过点的直线与椭圆交于、两点，动点在直线上，直线、、的斜率分别为、、． （1）求椭圆的标准方程； （2）问是否存在实数，使得恒成立，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 100．（2023秋•中山市期末）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探究：在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程 13大高频考点概览 考点 01 圆锥曲线的定义 考点 02 圆锥曲线的标准方程 考点 03 圆锥曲线的几何性质 考点 04 圆锥曲线的离心率问题 考点 05 直线与圆锥曲线的位置关系 考点 06 圆锥曲线中的弦长问题 考点 07 圆锥曲线中的中点弦问题 考点 08 圆锥曲线中的面积问题 考点 09 圆锥曲线中的最值问题 考点 10 圆锥曲线中的向量问题 考点 11 圆锥曲线中的定点问题 考点 12 圆锥曲线中的定值问题 考点 13 圆锥曲线中的探索性问题 地 城 考点01 圆锥曲线的定义 1．（2024秋•深圳校级期末）已知是椭圆上的一点，，分别是椭圆的左，右焦点，则　　 A．6 B．4 C．3 D．2 【解答】解：由椭圆的定义知，． 故选：． 2．（2022秋•台山市校级期末）动点与点与点满足，则点的轨迹方程为　　． 【解答】解：由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线下支， 得，， ， ， 故动点的轨迹方程是． 故答案为：． 3．（2023秋•濠江区校级期末）命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分必要条件是　　 A． B． C． D． 【解答】解：若命题为真命题，则方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，，解得， 因此，使命题成立的充分必要条件是． 故选：． 4．（2022秋•南山区期末）已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为椭圆的焦点在轴上， 所以， 解得， 故选：． 5．（多选）（2024秋•东莞市期末）已知方程：（其中为参数），下列正确的有　　 A．若，则方程表示轴 B．若，则方程表示圆 C．若，则方程表示椭圆 D．若，则方程表示双曲线 【解答】解：已知方程：（其中为参数）， 当时，方程为，即，表示轴，故错误； 当时，方程为，即，表示圆，故正确； 当且时，方程为， 若，且时，即且时，方程表示椭圆，故错误； 若，即或时，方程表示双曲线，故正确． 故选：． 6．（多选）（2023秋•深圳期末）方程，则下列说法正确的是 A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，方程表示圆 D．当或时，方程表示双曲线 【解答】解：当时，由，，且即时，此方程表示圆，故不正确； 当时，，，由方程可知表示焦点在轴上的双曲线，故正确； 由可知，当时，方程表示圆，故正确； 当时，，，故方程表示焦点在轴上的双曲线，当时，由可知，方程表示双曲线，故正确． 故选：． 地 城 考点02 圆锥曲线的标准方程 7．（2024秋•东莞市期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点， 则，且焦点在轴上， 则， 则椭圆的标准方程为． 故选：． 8．（2024秋•潮阳区期末）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 　　． 【解答】解：由题意可设椭圆的标准方程为， 因为与椭圆有相同的焦点，则①， 又椭圆过点，所以②， 联立①②可得：，， 所以椭圆方程为， 故答案为：． 9．（2024秋•深圳校级期末）椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是　　 A． B．或 C． D．或 【解答】解：由题意可知：焦距为，则，，， ， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程：， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程：， 故椭圆的标准方程为：或， 故选：． 10．（2024秋•白云区校级期末）已知双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是　　 A． B． C． D． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为，即， 所以设双曲线方程为， 将点代入得，， 该双曲线标准方程为，即． 故选：． 11．（2023秋•龙岗区校级期末）经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 　　． 【解答】解：根据题意，设要求双曲线的方程为， 要求双曲线经过点，则有，即， 要求双曲线的方程为，其标准方程为． 故答案为：． 12．（2024秋•广东期末）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为，， 将代入，可得，则， 所求双曲线的标准方程是． 故选：． 13．（2024秋•佛山期末）已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由双曲线的虚轴的一个端点坐标为，可得， 则一条渐近线方程为，即，可得， 双曲线的标准方程为：． 故选：． 14．（2022秋•龙岗区校级期末）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为椭圆的焦点坐标为，即，所以， 记，，所以， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为． 故选：． 15．（2024秋•阳江期末）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，点在的渐近线上，过点作，垂足为，，则的方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为点可得，由，可得． 在△中，，， 所以的方程为． 故选：． 16．（2023秋•中山市校级期末）若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的3倍，则抛物线的标准方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意，结合抛物线定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为． 故选：． 17．（2021秋•揭西县期末）若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为　　． 【解答】解：抛物线上一点到其准线的距离为4， ，解得， 抛物线的标准方程为． 故答案为：． 地 城 考点03 圆锥曲线的几何性质 18．（2024秋•佛山期末）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设椭圆方程为，， 由椭圆的几何性质可得：越大， 则椭圆形状最接近于圆， 对于，， 对于，， 对于，，． 对于，， 又， 则选项对应的椭圆最接近于圆． 故选：． 19．（2024秋•龙岗区校级期末）已知双曲线，则下列选项中不正确的是　　 A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 【解答】解：双曲线， 则，， 故，解得，，， 故的焦点坐标为，故错误； 的顶点坐标为，故正确； 的离心率为，故正确； 的虚轴长为，故正确． 故选：． 20．（2024春•惠州期末）双曲线的一个焦点是，则　　． 【解答】解：易知双曲线的方程为， 因为该双曲线的一个焦点是， 所以， 解得． 故答案为：． 21．（2024秋•广州期末）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为　　 A． B． C．2 D．4 【解答】解：由已知可得，，所以，， 因为长轴长是短轴长的两倍，所以，所以． 故选：． 22．（2024秋•深圳校级期末）已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为　　． 【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线为， 则有，解可得， 则双曲线的方程为，则， 其焦距； 故答案为：4． 23．（2024秋•潮阳区期末）在平面直角坐标系中，双曲线的两条渐近线的夹角大小为　　 A． B． C． D． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为， 显然直线与的斜率之积为， 所以所求夹角大小为． 故选：． 24．（2025春•广东期末）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是　　 A．4 B． C．2 D． 【解答】解：由抛物线可得， 所以，， 故抛物线的焦点到准线的距离是． 故选：． 25．（2023秋•三水区期末）已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由，可得，所以， 所以，故抛物线的焦点坐标为． 故选：． 地 城 考点04 圆锥曲线的离心率问题 26．（2024秋•潮州期末）若椭圆的离心率为，则　　 A． B．4 C． D．2 【解答】解：依题意，，解得． 故选：． 27．（2025春•汕尾期末）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，点，在椭圆上，，点关于原点的对称点为．若，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【解答】解：椭圆的参数方程为， 如图，设，，， 则，， ，，， 解得，，故， 点关于原点的对称点为，， 则，， ，， 故， 化简得， 则， 将代入椭圆方程， 得到，化简得， 把代入中， 得到，同除可得，解得或（舍去）． 故选：． 28．（2024秋•广州期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设，，，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且， 可得，，，可得， 所以，所以椭圆的离心率为：． 故选：． 29．（2024秋•广东校级期末）已知椭圆的左焦点为，左顶点为，直线过点，且与轴垂直，交于，两点，已知△的周长为，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图， 由题意可得，，， 将代入椭圆方程，得，解得， 可得，， △的周长为，， 移向后两边平方，整理得，则， 即，， 解得（舍去）或． 故椭圆的离心率为． 故选：． 30．（2024秋•潮州期末）椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且最小值为，则椭圆的离心率是 　　． 【解答】解：由椭圆的定义及基本不等式可知， 所以，当且仅当， 由题意知，解得， 所以，所以． 故答案为：． 31．（2024秋•龙岗区期末）已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为 　　． 【解答】解：如图，假设在第一象限，由题意，， 因为为等边三角形，， 所以，， 即，代入椭圆方程得，， 即， 又因为， 所以， 即， 所以， 即， 解得，，或， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以离心率为． 故答案为：． 32．（2021秋•汕尾期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为　　 A． B． C． D．2 【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线为：， 所以由题意可得：， 所以离心率， 故选：． 33．（2024秋•深圳校级期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，双曲线的焦点在轴上， 而双曲线的一条渐近线方程为， 所以， 所以． 故选：． 34．（2025春•广东校级期末）已知是双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若以为直径的圆经过点，则的离心率为　　 A．2 B． C．3 D． 【解答】解：设，，由双曲线与直线的对称性，，， 因为以为直径的圆过，则， 即， 又在双曲线和直线上，将代入，得， 再代入双曲线方程：， 由，设，化简得：， 令，解得舍去，因，故． 故选：． 35．（2022秋•龙岗区校级期末），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：设，，则， 再根据余弦定理得，即，①， 又由双曲线的定义可得：，即，② 又，即，③ ②③得，将①代入得：， 化简得：，，． 故选：． 地 城 考点05 直线与圆锥曲线的位置关系 36．（2022秋•罗湖区校级期末）直线与椭圆的位置关系是　　 A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判断 【解答】解：直线，所以直线恒过点， ， 在椭圆的内部， 直线与椭圆的位置关系是相交， 故选：． 37．（2024秋•广州期末）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：由方程组，消去得：， 当，即时，方程组仅有一解，满足题意； 当时，要使直线与双曲线有且仅有一个公共点，则方程组仅有一解， 即△，解得， 综上，或， 故是直线与双曲线只有一个公共点的充分不必要条件． 故选：． 38．（2024秋•广州期末）已知椭圆． （1）若，求椭圆的离心率； （2）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）若， 此时椭圆， 可得，， 则椭圆的离心率； （2）设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时， 解得， 联立，消去并整理得， 若， 即， 由椭圆方程可知， 两者相矛盾，假设不成立， 所以； 此时△， 整理得， 即， 解得， 因为， 所以． 综上所述：实数的取值范围． 39．（多选）（2023秋•广东期末）已知直线，双曲线，则　　 A．当时，与只有一个交点 B．当时，与只有一个交点 C．当时，与的左支有两个交点 D．当时，与的左支有两个交点 【解答】解：由双曲线的方程可知渐近线的斜率为，直线过， 所以当时，直线与的渐近线平行，与只有左支上一个交点， 当时，直线与的左支和右支各有一个交点， 当时，直线与的左支有两个交点． 故选：． 40．（多选）（2023秋•荔湾区校级期末）已知直线的方程为，，则下列说法正确的是　　 A．与直线有唯一的交点 B．与椭圆一定有两个交点 C．与圆一定有两个交点 D．满足与双曲线有且只有一个公共点的直线有2条 【解答】解：直线过定点， 对于，，法向量为，法向量为， 因为，，所以两条直线垂直，有唯一交点，故正确； 对于，为椭圆的上顶点，则直线与椭圆相交或相切，有一个或两个交点，故错误； 对于，因为，所以在圆内，与圆一定有两个交点，故正确； 对于，如图，满足题意的直线有4条，两条与双曲线相切，两条与渐近线平行，故错误． 故选：． 地 城 考点06 圆锥曲线中的弦长问题 41．（2023秋•龙华区校级期末）已知椭圆离心率，短轴长为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线过椭圆的右焦点，并与椭圆相交于，两点，截得的弦长为，求直线的方程． 【解答】解：（1）已知椭圆离心率，短轴长为2， 则， 得，，， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知椭圆的右焦点为， 当直线的斜率存在时，设直线方程：， 由， 可得， 设，，，， 则，， 则， 所以， 当直线的斜率不存在时，，不符合题意， 所以直线方程为和． 42．（2024秋•潮州期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，则弦的长度为　　 A． B． C．2 D．1 【解答】解：由双曲线的一条渐近线为， 化简得，即， 同时平方得， 又双曲线中，，故，解得，或（舍去）， 所以双曲线， 所以双曲线的右焦点为， 右焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点， 则， 故弦的长度为． 故选：． 43．（2023秋•龙岗区校级期末）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明是什么曲线； （2）若直线和曲线相交于，两点，求． 【解答】解：（1）设， 则， 化简得， 所以的方程为，曲线是双曲线，除去左右顶点； （2）设，，，， 联立，消得， △， 则，， 所以． 44．（2022秋•信宜市期末）已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为． （1）求的标准方程； （2）若直线与双曲线交于，两点，求． 【解答】解：（1）因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由题意得， 所以，① 又双曲线的一条渐近线为， 所以，② 又，③ 联立上述式子解得，， 故所求方程为； （2）设，，，， 联立，整理得， 由， 所以，， 即． 45．（2020秋•越秀区期末）已知焦点在轴上的双曲线的离心率为，且过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线交于，两点，求弦长． 【解答】解：（1）中心在原点，焦点在轴上的双曲线， 过点且离心率为， ， 解得，， 双曲线的标准方程为． （2）联立直线和双曲线的方程， 可得， 设，的横坐标分别为，， 可得，， 则． 46．（2024秋•清新区期末）已知直线与抛物线相交于、两点，则的长为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：由抛物线，可得其焦点坐标为，准线方程为， 又由直线，可得直线过抛物线的焦点， 联立， 整理得， 设，，，， 根据抛物线的定义可得，， 所以， 则， 所以． 故选：． 47．（2024秋•潮阳区期末）已知抛物线，焦点为，点为曲线的准线与对称轴的交点，过的直线与抛物线交于，两点． （1）证明：当时，、与抛物线相切； （2）当时，求． 【解答】解：（1）证明：抛物线，焦点为，准线方程为，即有， 设直线的方程为，，，，， 联立，可得， 则△，，， 由，可得， 化为 即为，解得， 即直线，设，， 直线的方程为，与抛物线方程联立，可得，△，可得直线与抛物线相切； 同理可得直线与抛物线也相切； （2），， 当时，可得， 化为， 代入，， 可得，即有， 即，解得， 则． 地 城 考点07 圆锥曲线中的中点弦问题 48．（2022秋•盐田区校级期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设，，，， 代入椭圆方程可得：，两式作差可得： ， 又的中点坐标为，所以，， 则，又直线的斜率为， 所以，而， 所以，，所以椭圆的方程为：， 故选：． 49．（2023秋•电白区期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于、两点．若线段的中点横坐标为2，则　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：由题意， 所以． 故选：． 50．（2024秋•广东校级期末）已知直线与抛物线交于，两点，，为坐标原点． （1）求； （2）过点作直线交抛物线于，两点，且点是线段的中点，求三角形的面积． 【解答】解：（1）设，，，， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， 所以， 解得或（舍去）， 所以； （2）设，，，， 易知，， 两式作差得， 因为中点坐标为， 所以，， 所以， 即， 可得直线的方程为， 即， 所以直线过抛物线的焦点， 弦长， 又点到直线的距离为． 则． 51．（2024秋•信宜市期末）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于、两点，为中点，求直线斜率． 【解答】解：（1）因为椭圆的焦点在轴上， 设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，， 所以， 因为椭圆经过点， 所以， 解得， 则， 故所求椭圆标准方程为； （2）设，，，，的中点，， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， 所以，， 则． 故直线斜率为． 地 城 考点08 圆锥曲线中的面积问题 52．（2024秋•深圳校级期末）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若使得成立的点的横坐标为3，则四边形的面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点， 则， 又使得成立的点的横坐标为3， 则直线的斜率显然存在， 不妨设直线的方程为，， 联立， 消可得：， 则， 又成立的点的横坐标为3， 则， 即， 即， 则， 则， 则四边形的面积为． 故选：． 53．（2025春•龙岗区校级期末）已知、分别是双曲线的左、右焦点，若是双曲线左支上的点，且．则△的面积为　　 A．8 B．16 C．24 D． 【解答】解：是双曲线左支上的点，，， 在△中，由余弦定理得， ，即， △的面积为， 故选：． 54．（多选）（2024秋•潮州期末）设为坐标原点，抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，则　　 A． B．以为直径的圆与轴相切 C． D．三角形的面积为 【解答】解：对于，因为抛物线的焦点为，所以，所以，故正确； 对于，由选项得物线的方程为．设，，，． 所以的中点为，所以点到轴的距离为， 因为直径，所以半径，所以， 所以以为直径的圆与轴相切，故正确； 对于，联立，消去并化简得，所以， 因为直线过抛物线的焦点， 所以，故正确； 对于，直线，即， 点到直线的距离为， 所以三角形的面积为，故错误． 故选：． 55．（2025春•汕尾期末）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的斜率存在． （1）若线段的中点的横坐标为，求椭圆的方程并计算点到轴的距离与点到轴的距离之和； （2）为椭圆的右焦点，若△面积为，求直线的方程． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，且点在椭圆上， 所以，， 又， 解得，， 则椭圆的方程为， 设，，，， 可得直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得，， 因为线段的中点的横坐标为， 所以， 解得， 所以， 点到轴的距离与点到轴的距离之和为， 因为，， 所以与异号， 所以， 则点到轴的距离与点到轴的距离之和为； （2）由（1）知，直线的方程为， 所以点到直线的距离， ， 则， 解得． 则直线的方程为． 56．（2024秋•白云区校级期末）在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，． ①求证：为定值，并求出该定值； ②设直线与轴交于点，求的面积的最大值． 【解答】解：（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆的离心率为， 所以， 由，得，即， 所以直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离为， 所以， 解得，， 所以椭圆的标准方程为． （2）设直线的方程为，其中，且，即， 设直线与椭圆交于点，，，， 联立，得， 则，， ①证明： ，为定值，得证． ②直线的方程为， 令，得，故，， 设直线与轴交于点， 直线的方程为， 令，得，故，， 联立，得， 解得或（舍去）， 则， 所以的面积， 由①可知，， 所以，代入上式得， 因为点在轴下方且不在轴上， 所以或，即， 所以， 当时，， 当时，， 所以只需考虑，令，则， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以面积的最大值为． 57．（2025春•深圳校级期末）已知椭圆过点，右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，过点，作轴，垂足为点，直线交椭圆于另一点． 证明：． 求△面积的最大值． 【解答】解：（1）由题意椭圆右焦点可得， 因为椭圆过点，所以， 联立，解得， 所以椭圆的方程为． （2）证明：因为直线与椭圆交于，两点，不妨设为第一象限点， 又，，轴，如图，所以点的坐标为，点的坐标为，， 设，则有， 两式相减得：， 又，所以， 又，所以， 又，所以，所以． 由对称性不妨设，，在第一象限， 联立，消去得， 所以，则， 设直线与倾斜角分别为，，则， 所以， 由可得，， 令，则， 令，则，且当时，当时， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以，即△面积的最大值为． 58．（2025春•深圳期末）已知椭圆的长轴长与短轴长的比值为． （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点． 若直线的斜率为，求椭圆的焦距的取值范围； 若△面积的最大值为，求椭圆的标准方程． 【解答】解：（1）由题意可知，，即，又由， 可解得，故椭圆的离心率为； （2）由（1）可知，可以将椭圆的方程表示为，直线的的方程为， 联立直线和椭圆的方程，得因为与有两个公共点， 所以△，解得， 则，故椭圆的焦距的取值范围是； （ⅱ）当直线斜率不存在时，，，三点共线，不构成三角形． 当直线的斜率存在时，设，，，，， 联立直线和椭圆的方程，得， 因为与有两个公共点，所以△，化简得， 由韦达定理知，，， 故， 原点到直线的距离， ，令， 得，故①， 当时，． 当且仅当，即，时有最大值， 故，即，所以椭圆的方程为． ②当时，，此时函数在定义域内单调递增，故当， 即取最小值时，有最大值， 所以，解得不符合条件， 综上，椭圆的方程为． 59．（2025春•罗湖区期末）已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且． （1）求的渐近线方程； （2）求△面积的最小值； （3）证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程． 【解答】解：（1）由题意，双曲线的焦点在轴上，不可能经过点， 将，代入， 得：，解得， ，的渐近线方程为； （2）设，，，则， 由于，则， 显然，可得，且，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为16； （3）证明：显然，直线， 即， 其中，即，， 故点到直线的距离为： ， 存在定圆与直线相切． 地 城 考点09 圆锥曲线中的最值问题 60．（2024秋•龙岗区校级期末）已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，△的面积的最大值为2，则的值为 　　 ；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为 　　 ． 【解答】解：已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为， 则、， 又点为椭圆上一点， 设， 所以，，， 所以△的面积，当且仅当时取等号， 又△的面积的最大值为2， 所以当的坐标为或时△的面积取最大值，最大值为， 则， 所以椭圆方程为， 所以、分别为椭圆的左、右焦点， 所以， 所以， 所以， 故， 所以， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：2；． 61．（2024秋•深圳期末）已知，是双曲线的左、右顶点，，是双曲线上第二象限内的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为 　　；当取得最大值时，则点的纵坐标为 　　． 【解答】解：，是双曲线的左、右顶点，， 则，，，双曲线， 设，，，，则， 根据斜率公式可得，则有：， 所以双曲线的离心率； 显然，，则， 当且仅当时取等号， 由，解得，而，则， 所以点的纵坐标为． 故答案为：2；． 62．（多选）（2024秋•新会区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则　　 A．椭圆的离心率为 B．△的周长为4 C．若，则△的面积为3 D．若，则 【解答】解：对，由题意，，故，，离心率为，故正确； 对，△的周长为，故错误； 对，由知，，则张角的最大值为，故错误； 对，由余弦定理 ，即， 解得，故，故正确． 故选：． 63．（多选）（2025春•深圳期末）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则　　 A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 【解答】解：设双曲线半焦距为，则由已知可得，因为双曲线经过点，所以， 则联立，解得，所以双曲线的方程为． 对于，因为，，所以的渐近线方程为，即，故正确； 依题意不妨设，则，设，动点满足， 所以，化简得， 则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 联立，消去得，△， 所以动点的轨迹与无公共点，故正确； 对于，点到圆心的距离，所以的最大值为，故错； 对于，设，为双曲线上任一点，则， 到圆心的距离为， 当时，最小，最小值为，故的最小值为，故正确． 故选：． 64．（多选）（2024秋•深圳期末）已知椭圆，点，，以为直径的圆与交于，两点，则　　 A． B．直线与有且只有一个公共点 C．四边形为平行四边形 D．若为上的动点，则的最大值为10 【解答】解：易知以为直径的圆的方程为， 对于选项：联立， 解得，， 所以，故选项正确； 对于选项：直线方程为， 即， 联立，消去并整理得， 此时△， 所以直线与只有一个交点，故选项正确； 对于选项选项：设直线与轴交点为， 因为，， 所以， 则四边形不是平行四边形，故选项错误； 对于选项：设， 因为点在椭圆上， 所以， 又，， 所以， 即， 因为，， 所以当时，取到最大值，最大值为，故选项错误． 故选：． 65．（2024秋•宝安区期末）已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知：，解得， 又，， 由直线与轴的交点的坐标为，可得， 在△中，由余弦定理可得： ． 可得，整理得，解得或（舍去）， 且，， 由椭圆性质可知：当为椭圆短轴顶点时，取到最大值， 此时， 且，则，，即． 故选：． 66．（多选）（2024秋•汕尾期末）已知双曲线方程为，和分别为双曲线的左焦点和右焦点．设直线和直线相交于点，且恒有，，则下列说法正确的是　　 A．的最大值为 B．平面上存在定点，使得为定值 C．的最大值为64 D．点到直线距离的最大值为4 【解答】解：根据题意，双曲线方程，则，， 因为恒有，，则有，， 解得，，所以，， 又，所以， 所以点的轨迹为以为直径的圆，方程为， 设点，， 则 ， 当时，上式取最大值为128，所以的最大值为，正确； 平面上存在定点（原点，使得为定值4，正确； 又因为，所以， 当且仅当点为圆与轴的交点时成立，错误； 点到直线距离的最大值为圆的半径4，正确． 故选：． 67．（2024秋•深圳期末）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，直线（不过点与相交于，两点，且，求点到直线的距离的最大值． 【解答】解：（1）设双曲线的标准方程为， 因为椭圆的共轭双曲线为， 所以，， 所以双曲线的标准方程为； （2）当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 此时且△， 解得且， 由韦达定理得，， ， 易知，， 因为， 所以 ， 解得或， 当时，直线的方程为， 此时直线恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为， 此时直线恒过点， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 此时，， 因为， 所以， 解得或， 直线不经过点， 所以， 则直线恒过点． 故当直线时，点到直线的距离最大，距离的最大值为． 68．（2023秋•广州期末）已知抛物线过点． （1）求抛物线的方程； （2）过点的射线交抛物线于另一点，交准线于点，求的最大值． 【解答】解：（1）抛物线过点， 可得，解得， 即抛物线的方程为； （2）设射线的方程为，， 由抛物线的准线方程为， 可得，， 联立，可得， △，即有， 由韦达定理可得，即， 由，可得， 则， 由，可得时，取得最大值． 地 城 考点10 圆锥曲线中的向量问题 69．（2021秋•中山市期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线被椭圆截得的弦长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上一点，是坐标原点，过点与直线平行的直线与椭圆的两个交点为，，且，求的最大值． 【解答】解：（1）由题可知，则，①， 联立，解得，所以， 则弦长②， 解得，，， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）知，则直线的方程为， 联立，整理得， 设，，，， 则有，，同时，， 设，由， 得，，，，， 所以，又因为点在椭圆上， 所以 ， 又因为， 代入上式得， 即， 则， 所以，当且仅当时取“”，则的最大值为． 70．（2024春•阳江期末）如图，抛物线，是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，，设与抛物线相交于点，，与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，． （1）求抛物线的方程； （2）求的最小值． 【解答】解：（1）由题意，设直线，，，，， 联立，得， 所以，， 又因为是线段中点，所以， 故， 代入化简得，解得， 故抛物线的方程为； （2）由题意， ， 因为 ， 同理可得， 所以， 当且仅当 时，等号成立， 即的最小值为12． 71．（2024秋•梅州期末）在平面直角坐标系中，圆的方程为，点的坐标为，点为圆上的动点，线段的中垂线与直线相交于点． （1）求交点的轨迹的方程． （2）若过点的直线与轨迹相交于、两点，求的取值范围． （3）若，点为轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）易知， 因为， 所以动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线， 所以，， 则， 故轨迹的方程为； （2）设直线的方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 此时且△， 解得且， 由韦达定理得，， 此时， 令，，，， 可得， 所以， 则； （3）设，， 因为点在轨迹上， 所以， 当时， 可得， 此时且， 易知△为等腰直角三角形，，， 所以， 假设， 当时， 可得，， 则 ． 故． 地 城 考点11 圆锥曲线中的定点问题 72．（2024秋•深圳期末）已知椭圆的离心率为，，，过定点，的直线与交于，两点，直线的斜率不为0． （1）求的长轴长． （2）若，，证明：直线，的斜率之和为定值． （3）若，，设直线，分别交于，（都异于，两点，且的斜率存在，证明直线过定点，并求出定点坐标． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为， 所以， 解得， 所以椭圆的长轴长为． （2）证明：设直线的方程为，，，，， 联立，得， 则△，解得， ，， 设直线，的斜率分别为，， 则， 所以直线，的斜率之和为定值0． （3）证明：设，，，，，，，，，，且，且， 则，且， 得， 将，代入得，与联立， 解得，同理可得， 又直线过点，，则， 代入，，化简得， 设直线过定点，，则， 代入数据化简可得， 对比系数可得， 解得，， 则直线过定点，． 73．（2025春•清远期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【解答】解：（1）因为双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为 所以，化简得． 解得， 所以双曲线的方程为． （2）证明：设，，，，则，， 联立 消去整理得， 所以， 所以， 又直线的斜率， 所以直线的方程为， 由对称性易知，若直线过定点，则该定点在轴上， 令，得， 所以直线过定点，且该定点的坐标为． 74．（2025春•广州期末）已知椭圆的离心率为，且过点．设点处的切线为． （1）求的方程； （2）求直线的方程； （3）直线过点，且，点，在上，且，问：直线与的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，且过点， 所以，解得， 故椭圆． （2）由题意可得，直线的切线斜率一定存在． 令直线， 联立， 整理得， 所以△， 即，所以， 故直线， 即直线． （3）因为直线过点，且，所以直线， ①当直线的斜率不存在时， 设其方程为，，，且， 因为， 所以， 解得或2（舍， 则直线与直线的交点坐标为； ②当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立， 得， 由△，知， 设，，，， 则，， 因为， 所以， 即， 所以， 化简整理得，， 所以或， 当时，，过定点，不符合题意，舍去； 当时，，过定点，点在直线上， 即直线与的交点是为定点； 综上所述，直线与的交点是为定点，定点坐标为． 75．（2025春•越秀区期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，，且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 【解答】解：（1）因为椭圆的短轴长为2，所以，则， 因为椭圆的离心率为，所以又，所以， 故椭圆的方程为； （2）证明：由（1）得，， 设直线的方程为， 由得， 其中△，即， 设，，，，则，， 由已知得，从而， 所以， 化简得， 所以， 化简得， 因为直线不经过点，所以，因此，即． 所以宣线的方程为，故直线经过定点． 76．（2021秋•濠江区校级期末）在平面直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，．是椭圆的右焦点，，． （1）求椭圆的方程； （2）不过点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，．若，证明直线过定点，并求出定点的坐标． 【解答】解：（1）由题意可得，，，， 所以， 因为，， 则，解得，， 所以， 则椭圆的标准方程为； （2）设直线的方程为，，，，， 联立方程组，可得， 则，， 则 ， 因为， 所以，则， 所以直线的方程为， 故直线过定点． 77．（2024秋•深圳校级期末）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，、分别是椭圆的左右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）动点、为椭圆上异于、的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点． 【解答】解：（1）易知抛物线的焦点， 因为， 所以， 因为椭圆的离心率为， 所以， 又， 解得， 则椭圆的方程为； （2）证明：由（1）知，， 易知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 因为直线过点， 所以， 解得， 因为点在直线上， 解得， 即， 设直线的方程为， 同理得，， 若， 即， 解得， 此时， 所以直线的方程为， 令， 解得， 所以直线过定点； 若， 解得， 此时， 则直线也过点． 综上所述：直线过定点． 78．（2024秋•潮州期末）椭圆的一个焦点为，且椭圆经过点． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右顶点为，点，是椭圆上异于点的不同两点． 若点，，不共线，求三角形的面积的最大值； 若直线与的斜率分别记为，，且，判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由． 【解答】解：（1）易知椭圆的一个焦点为， 则另一个焦点坐标为， 因为椭圆经过点． 所以， 解得， 则， 故椭圆的方程为； （2）易知， 设，，，． 因为， 又， 所以， 则△的面积的最大值为； 当直线的斜率不存在时，，不符合题意； 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得，， 因为， 所以， 即， 整理得， 因为，， 所以， 整理得， 解得或， 易知当时，，此时直线过右顶点，不符合题意， 当时，直线的方程为， 此时直线过定点，与右顶点重合，不符合题意； ②当时， 因为△， 解得， 直线方程为， 此时直线过定点． 综上所述：直线过定点． 79．（2024秋•电白区期末）如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于，与，，当时，为的中点． （1）求抛物线的方程； （2）若，证明：； （3）若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标． 【解答】解：（1）当时，直线的方程为， 设，，，， 联立，消去并整理得， 因为的中点， 所以， 解得， 则抛物线方程为； （2）证明：因为，， 设的方程为，直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， 所以 ， 因为，， 所以， 同理得， 因为， 所以， 因为， 所以， 则； （3）证明：设直线的方程为， 因为直线过点， 所以，① 设，，，， 直线的方程为， 因为直线过点， 所以，② 直线的方程为， 联立①②，可得， 所以， 此时直线的方程为， 即． 则直线恒过点． 80．（2024秋•揭阳期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，离心率，、是椭圆上的动点，且当时，． （1）求椭圆的方程； （2）若的平分线经过点． ①证明：直线恒过定点； ②求△面积的最大值． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率，、是椭圆上的动点，且当时，， 所以， 解得，， 则椭圆的方程为； （2）①证明：因为的平分线经过点， 所以直线、的斜率都存在且不相等， 易知， 设直线的方程为，直线的方程为， 因为， 所以， 整理得， 易知直线的不平行于轴， 设直线的方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得，， 因为， 所以， 即， 可得， 因为，， 所以， 整理得， 解得或， 因为当时，直线经过点，不符合题意； 所以， 此时直线经过定点； ②将代入方程中， 可得， 此时△， 解得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故△面积的最大值为． 81．（2024秋•广州期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，左焦点为，左、右顶点分别为，，上顶点为，且△外接圆的半径为． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率存在的直线交椭圆于，两点，位于轴的两侧），记直线，，，的斜率分别为，，，，且． 试问直线是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由； 求△的面积的取值范围． 【解答】解：（1）因为长轴长是短轴长的倍， 所以，即， 又， 所以， 所以在△中，可得， 由正弦定理可得， 解得， 所以， 所以椭圆的方程为． （2）由条件可知，直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，，，， 联立，得， 由△，得， 所以，， 因为，，，在椭圆上， 所以， 所以， 同理， 所以，， 因为， 所以， 即， 又直线的斜率存在， 所以，于是， 所以，即， 又，， 所以， 所以， 所以， 所以， 又，位于轴的两侧， 所以， 解得， 所以， 此时直线与椭圆有两个不同的交点， 所以直线恒过定点，． 当时，，， 所以△的面积 ， 令， 因为直线的斜率存在，则，， 所以， 又函数在，上单调递减， 又当时，， 所以△面积的取值范围为． 地 城 考点12 圆锥曲线中的定值问题 82．（2024秋•白云区校级期末）在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，． ①求证：为定值，并求出该定值； ②设直线与轴交于点，求的面积的最大值． 【解答】解：（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆的离心率为， 所以， 由，得，即， 所以直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离为， 所以， 解得，， 所以椭圆的标准方程为． （2）设直线的方程为，其中，且，即， 设直线与椭圆交于点，，，， 联立，得， 则，， ①证明： ，为定值，得证． ②直线的方程为， 令，得，故，， 设直线与轴交于点， 直线的方程为， 令，得，故，， 联立，得， 解得或（舍去）， 则， 所以的面积， 由①可知，， 所以，代入上式得， 因为点在轴下方且不在轴上， 所以或，即， 所以， 当时，， 当时，， 所以只需考虑，令，则， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以面积的最大值为． 83．（2025春•湛江期末）已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）若斜率为2的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，且过点， 所以， 解得， 故的方程为； （2）设，，，，，则直线的方程为， 与联立， 得， 则△， 且， 所以 ， 故为定值． 84．（2024秋•兴宁市期末）已知在曲线上任意一点，处的切线为．若过右焦点的直线交椭圆于，两点，已知在点，处切线相交于． （1）求点的轨迹方程； （2）若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明为定值． （3）在（2）的条件下，四边形的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若无说明理由． 【解答】解：（1）易知，，， 当直线的斜率不存在， 此时直线的方程为， 可得， 所以过点的切线为， 即，① 过点的切线方程为， 即，②， 联立①②， 解得； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，，，，，， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 所以， 过点，的切线方程为， 即，③ 过点，的切线方程为， 即，④ ③④得， 所以， 整理得，⑤ ③④得， 即， 又， 所以， 整理得， 因为， 所以， 解得， 综上所述，点的轨迹方程为； （2）证明：由（1）得，， 所以， 同理得， 所以， 则为定值，定值为； （3）因为四边形的面积 ， 令，， 此时， 当，即，时，四边形的面积存在最小值． 故四边形的面积存在最小值，最小值为． 85．（2024秋•阳江期末）已知和为椭圆上两点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，，是椭圆的两焦点，且，求△的面积； （3）过点的直线与椭圆交于，两点，证明：为定值． 【解答】解：（1）因为和为椭圆上两点， 所以， 解得，， 则椭圆的方程为； （2）易知，， 在△中，由余弦定理得， 所以， 解得， 则； （3）证明：当直线的斜率为0时，； 当直线的斜率不为0时， 设直线的方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得，， 所以． 综上所述，为定值． 86．（2025春•广州校级期末）已知椭圆经过点，两个焦点为和． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过点且与椭圆相交于，、，两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为． 求证：为定值，并求出这个定值； 若，求直线的方程． 【解答】解：（1）因为椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为． 则，解得， 椭圆的标准方程为：． （2）证明：显然直线与轴不重合，设，， 由，得， ， 设，，，，则，，，， 且，， ， ， 为定值． （ⅱ）由（ⅰ）得， ， 由得： ， 或（舍， 故满足△， ． 87．（2024秋•汕尾期末）已知动点到定点的距离是它到定直线的距离的，动点的轨迹与轴的交点为，△的面积为． （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与点的轨迹方程交于，两点，为坐标原点．试求当为何值时，恒为定值？并求此时△面积的最大值． 【解答】解：（1）因为△的面积为，， 所以， 解得， 因为到定直线的距离为， 易知， 因为， 所以， 则定直线为， 因为， 所以， 整理得， 则动点的轨迹方程为； （2）设，，，， 联立，消去并整理得， 此时△， 解得， 由韦达定理得，， 所以 ， 当为定值时， 此时与无关， 所以， 解得， 此时 ， 因为点到直线的距离， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 经检验，此时△成立． 则△面积的最大值为1． 88．（2024秋•天河区期末）设椭圆的离心率为，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于点，两点． （1）求椭圆的方程； （2）若，求的值； （3）若圆心在椭圆上，半径为的圆，我们称是椭圆的“卫星圆”，过原点作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）因为椭圆的方程为， 所以， 因为椭圆的离心率为， 又， 解得， 则椭圆方程为； （2）设直线方程为， 令， 解得， 即， 设，，，， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 若， 此时， 即， 所以， 解得； （3）由（1）知， 所以“卫星圆”半径， 设“卫星圆”方程为， 因为圆心在椭圆上， 所以， 即， 设切线方程为， 可得， 整理得， 设切线，的斜率分别为，， 可得，， 联立，消去并整理得， 可得，， 所以， 同理得， 因为，，， 所以 ． 故是定值，定值为16． 89．（2024秋•湛江期末）已知和为椭圆上两点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，，是椭圆的两焦点，且，求△的面积； （3）过点的直线与椭圆交于，两点，证明：为定值． 【解答】（1）解：由和为椭圆上两点， 可得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）解：由题可知，， 在△中，由余弦定理得 ， 即，解得， 所以△的面积． （3）证明：当的斜率为0时，． 当的斜率不为0时，设直线的方程为． 联立方程组，消去整理得， 此时． ， 综上，为定值． 90．（2024秋•澄海区期末）已知双曲线过点，一条渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若点为双曲线左支上一点，，，求的最小值； （3）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值． 【解答】解：（1）因为双曲线过点，一条渐近线方程为， 所以， 解得， 则双曲线的标准方程为； （2）因为点为双曲线左支上一点， 设，，， 因为，， 所以 ， 因为，， 则最小值为； （3）证明：当过点的直线斜率不存在时， 直线方程为， 取，， 此时； 当过点的直线斜率存在时， 设直线方程为，，，，，，， 联立，消去并整理得， 因为直线过双曲线的右焦点， 所以△， 解得或， 由韦达定理得， 所以 ． 综上所述，为定值． 91．（2024秋•深圳期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且点到点，的距离之和为． （1）求的方程； （2）直线与交于，两点，记直线、的斜率分别为、． ①当时，求的值； ②当变化时，试探究是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）因为是上一点，且点到点，的距离之和为， 所以， 解得， 则的方程为； （2）①当时，直线的方程为， 联立， 解得， 即，， 所以； ②设，，，， 联立，消去并整理得， 此时△， 解得且， 由韦达定理得，， 所以 ． 则为定值，定值为0． 地 城 考点13 圆锥曲线中的探索性问题 92．（2025春•深圳期末）已知椭圆，，为该椭圆的左、右两个焦点，为该椭圆上的动点，椭圆的离心率，△面积的最大值为． （1）求椭圆的方程． （2）已知，为该椭圆的上顶点和下顶点，，在直线上是否存在一点，使直线和直线的交点在该椭圆上，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）已知椭圆， 又，为该椭圆的左、右两个焦点，为该椭圆上的动点，椭圆的离心率，△面积的最大值为， 则， 解得， 所以椭圆的方程为． （2）由题意可作图如下： 由（1）可得，， 则由得直线的方程为， 联立， 化简可得， 解得，， 将代入，可得， 由题意可得在直线上， 直线的斜率， 则直线的方程为， 将代入，可得， 则． 93．（2024秋•广东校级期末）已知双曲线过点，离心率为，左、右焦点分别为，，点为直线上且不在轴上的一点，直线和与双曲线的交点分别为，和，，为坐标原点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，． 证明：为定值； 直线上是否存在点，使得，，，满足？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）因为双曲线过点，离心率为， 所以，所以， 因此． （2）证明：因为，，，的斜率分别是，，且点不在轴上． 因此，，． 又因为、的方程分别为，， 联立方程解得，因此， 因为在上，因此， 所以，因此为定值． 设，，，，，，，， 联立和双曲线得， 可得，根据根的判别式， 所以根据韦达定理可得，， 因此 ，同理可得：， 所以由得或， ①当时，由的结论可得或（舍去）， 此时直线的方程为与联立得，， 所以； ②当时，由的结论可得，解得点的坐标为． 经检验，两种情况均符合要求． 综上所述，满足条件的点的坐标分别为，． 94．（2024秋•龙岗区校级期末）已知椭圆的右焦点，且经过点． （1）求椭圆的标准方程． （2）过右焦点作直线，与椭圆交于，两点，为坐标原点． 若△的面积为，求直线的方程； 是否存在椭圆上一点及轴上一点，，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）根据题目可知椭圆的右焦点，且经过点． ，， ，， 故椭圆的标准方程为； （2）由题：△的面积为， 设斜率不存在时，，不符题意， 设方程为，，，，，， 由， ，， ， 原点到直线的距离， ， 解得：，直线方程为：或； 设的中点为，则为的垂直平分线， 而，， 故，故， 故的直线方程为：， 令，则，故，， 而在椭圆上，故， 整理得，该方程无解，所以不存在满足条件的点，． 95．（2024秋•深圳校级期末）已知椭圆，若椭圆焦距为4，点在椭圆上，焦点，且△面积最大值为4，过点的直线交椭圆于，两点． （1）求椭圆标准方程． （2）若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）由题意，得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）假设存在点满足条件，设直线的方程为，设，，，， 联立，得， 易知△，则，， 由，得， 则，即， 即， 整理得， 则， 整理得，解得， 所以存在点，使得． 96．（2024秋•深圳期末）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在圆上运动，是线段的中点．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合） （1）求点的轨迹方程； （2）设直线与点的轨迹相交于不同的两点、，若，问是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）设，，， 此时，， 因为点是线段的中点， 所以，， 当时，点与点重合， 此时也满足，， 因为，在圆上， 所以， 可得， 即， 则点的轨迹方程为； （2）联立，消去并整理得， 此时△， 解得， 设，，，， 由韦达定理得，， 设的中点为，， 可得，， 因为， 所以， 所以， 因为，， 所以， 解得， 此时满足． 故存在实数，使得． 97．（2023秋•龙岗区校级期末）如图，椭圆离心率为，椭圆的左右顶点分别为、，上顶点为．点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆上有一动点，，连接和分别交轴于和，请问是否存在实数，使得．若存在，求出值，若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为， 所以， 即， 因为， 所以，① 因为点在椭圆上， 所以，② 联立①②，解得，， 则椭圆的方程为； （2）由（1）知，，，， 当，时，点与原点重合， 此时直线的方程为， 即， 令， 解得， 即， 所以，，， 则； 当，时，轴，， 此时直线， 即， 令， 解得， 即， 所以，，， 则； 当且时， 直线的方程为，即， 令， 解得， 即， 此时直线， 令， 解得， 即，， 则，， ， 则， 因为点在椭圆上， 所以， 即， 则， 综上，存在实数，使得． 98．（2023秋•天河区期末）已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上且与两焦点围成的三角形面积的最大值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆内一点的直线交于，两点，是否存在定值，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）当点位于椭圆的上或下顶点时，点与椭圆的两焦点围成的三角形面积， 由题意知，，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． （2）当直线的斜率为0时，不妨取，分别为椭圆的左，右顶点， 则，，， 若，则，解得； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，，， 联立，消去得，， 所以，，△，即， 所以， ， 同理可得， 若，则， 化简得，， 整理得，，即对任意的恒成立， 所以，即， 综上所述，存在定值，使得恒成立，此时． 99．（2023秋•龙岗区期末）已知椭圆过点，左焦点为，过点的直线与椭圆交于、两点，动点在直线上，直线、、的斜率分别为、、． （1）求椭圆的标准方程； （2）问是否存在实数，使得恒成立，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意知，，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由题意知，直线的斜率不可能为0，设其方程为，，，，， 则，，， 联立，得， 所以，， 所以 ， 故存在实数，使得恒成立，此时． 100．（2023秋•中山市期末）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探究：在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）由题意椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率， 过的直线交椭圆于、两点，且的周长为8． 可得，， 因为，所以， 而，所以， 故椭圆的方程为：． （2）由，消元可得， 动直线与椭圆有且只有一个公共点，△，， 此时，，， 由得， 假设在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点， 设，，则，， ，， 整理得，对任意实数，恒成立， 所以， 故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $