4.2图形变换与坐标变化（（基础提升练习） 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 4.2图形变换与坐标变化 （基础提升练习） 【题型一】坐标的平移 【例1】在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，所得点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知平面直角坐标系中的点，将它沿轴方向向下平移2个单位所得点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【例3】已知点在第一象限内，连接PQ，将线段PQ平移，使平移后的点P，Q分别在x，y轴上，则点Q平移后的对应点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【例4】按要求作图：已知如图平面直角坐标系中， A点在第二象限，到两坐标轴的距离都为4，点位于第一象限且到轴的距离为3，到轴的距离为1，过A点作轴于点，解答下列各题： (1) 直接写出A、、三点的坐标并在图中作出； (2)计算的面积； (3)画出先向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度的． 【题型二】坐标的对称 【例1】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【例2】若点关于y轴的对称点是，则m＋n的值是（       ） A．4 B．－4 C．－2 D．2 【例3】风景秀丽的永嘉境内分布着许多国家级旅游景点，北斗卫星拍摄到永嘉小若岩风景区与埭头古村以及两条相互垂直的乡间公路的位置如图所示，A点的坐标为，B点的坐标为．现要在两条乡间公路上各建一个便民服务点C，D，形成一条便民服务通道．试求四边形ABCD的最小周长______． 【例4】如图，用表示A点的位置，用表示B点的位置． (1)画出符合要求的直角坐标系，并写出点E的坐标为 ． (2)作出关于y轴对称的，并写出的面积为 ． 【题型三】坐标的找规律 【例1】如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，……，根据这个规律探索可得，第2025个点的坐标为 ． 【例3】在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标： A1（　　 ，　　 ）， A3（　　 ，　　 ）， A12（　　 ，　　 ）； （2）写出点A4n的坐标（n是正整数）； （3）指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向． 【例4】长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为 ： （2）经过2025次操作后，点的坐标为 ， 【题型四】图形的变换 【例1】如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： (1)画出关于轴的对称图形； (2)的面积为 ． 【例2】如图，三角形在平面直角坐标系中． (1) 请写出三角形各点的坐标； (2)将三角形平移，得到三角形，其中三角形中任意一点平移后的对应点为．请画出平移后三角形，并写出的坐标． 【例3】如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； (3)若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是______． 【例4】如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点A，B，C的坐标分别为，，，按要求画图，并回答下列问题： (1)画出三角形； (2)将线段平移至，使点B的对应点为点A，并写出点F的坐标； (3)仅用无刻度的直尺，在x轴上画一点D，使． 1.若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2.第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D．或 3.如图在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．把绕点逆时针旋转使与轴重合得到，则点的坐标为 ． 4. 已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ． 5.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，点的对应点分别是点． (1) 请画出平移后的，并写出点的坐标_________； (2) 点是内的一点，当平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为__________． (3)求出三角形的面积． 6.法国数学家、哲学家笛卡尔发明了平面直角坐标系平面直角坐标系的意义在于它提供了一种统一、精确的方法把几何与代数紧密的结合在一起来分析和解决问题，同时为实际问题的解决提供了强大的工具，推动了数学和相关学科的发展． 如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，且平移后点的对应点的坐标为． (1) 点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在四边形中，点从点出发，沿“”运动若点的运动速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题： 当时，设，，，试问三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由；当时，存在点运动到某一位置时，直线将把四边形的面积分成：的两部分，请求出此时点的坐标． 1.定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为的点的个数有（       ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（       ） A． B． C． D． 3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 ． 4.如图，点沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则 ． 5.在平面直角坐标系中，已知点，，且a和b满足． (1)请直接写出B点坐标：B______； (2)请在x轴上找点C，使得，求出点C的坐标； (3)点，，连接，交于点M，在线段上存在点P，使，求出点P的坐标． 6.在中，动点A在x轴的负半轴上，动点B在y轴的正半轴上，已知与y轴交于点P． (1)如图①，若，，且，请求出点C的坐标； (2)如图②，交x轴于点E，若将沿折叠，点P恰好落在x轴的点处，求证：P是的中点；(3)如图③，恰好平分，若点C的横坐标为，请求出点P的坐标． 答案解析 【题型一】坐标的平移 【例1】在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，所得点的坐标是（    ） B． B． C． D． 【答案】D 【例2】已知平面直角坐标系中的点，将它沿轴方向向下平移2个单位所得点的坐标是（       ） B． B． C． D． 【答案】A 【例3】已知点在第一象限内，连接PQ，将线段PQ平移，使平移后的点P，Q分别在x，y轴上，则点Q平移后的对应点的坐标是（       ） B． B． C． D． 【答案】D 【例4】按要求作图：已知如图平面直角坐标系中， A点在第二象限，到两坐标轴的距离都为4，点位于第一象限且到轴的距离为3，到轴的距离为1，过A点作轴于点，解答下列各题： (1)直接写出A、、三点的坐标并在图中作出；(2)计算的面积； (3)画出先向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度的． 【答案】（1）解：∵A点在第二象限，到两坐标轴的距离都为4，∴， ∵点位于第一象限且到轴的距离为3，到轴的距离为1，∴， ∵过A点作轴于点，∴，如下图所示： （2）解：设AB边上的高为，； （3）解：∵先向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度的， ∴，，，如下图所示： 【题型二】坐标的对称 【例1】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【例2】若点关于y轴的对称点是，则m＋n的值是（       ） A．4 B．－4 C．－2 D．2 【答案】B 【例3】风景秀丽的永嘉境内分布着许多国家级旅游景点，北斗卫星拍摄到永嘉小若岩风景区与埭头古村以及两条相互垂直的乡间公路的位置如图所示，A点的坐标为，B点的坐标为．现要在两条乡间公路上各建一个便民服务点C，D，形成一条便民服务通道．试求四边形ABCD的最小周长______． 【答案】5+ 【例4】如图，用表示A点的位置，用表示B点的位置． (1)画出符合要求的直角坐标系，并写出点E的坐标为 ． (2)作出关于y轴对称的，并写出的面积为 ． 【答案】（1）如图，直角坐标系即为所求 点的坐标为． 故答案为：． （2）如图，即为所求． 的面积为． 故答案为：． 【题型三】坐标的找规律 【例1】如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） B． B． C． D． 【答案】A 【例2】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，……，根据这个规律探索可得，第2025个点的坐标为 ． 【答案】 【例3】在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标： A1（　　 ，　　 ）， A3（　　 ，　　 ）， A12（　　 ，　　 ）； （2）写出点A4n的坐标（n是正整数）； （3）指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向． 【答案】解：（1）A1（0，1），A3（1，0），A12（6，0）； （2）当n＝1时，A4（2，0）， 当n＝2时，A8（4，0）， 当n＝3时，A12（6，0）， 所以A4n（2n，0）； （3）点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50，0），A101（50，1），所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上． 【例4】长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为 ： （2）经过2025次操作后，点的坐标为 ， 【答案】（1）解：点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，， 故答案为：． （2）解：按题意描点可知，当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，当时，， ． 【题型四】图形的变换 【例1】如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： (1)画出关于轴的对称图形； (2)的面积为 ． 【答案】（1）解： 如图，即为所求； （2）解：的面积． 故答案为：． 【例2】如图，三角形在平面直角坐标系中． (2) 请写出三角形各点的坐标； (2)将三角形平移，得到三角形，其中三角形中任意一点平移后的对应点为．请画出平移后三角形，并写出的坐标． 【答案】（1）解：由图可得，，； （2）解：∵三角形中任意一点平移后的对应点为． ∴将三角形向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到三角形， 故平移后三角形如图所示，由图知，，． 【例3】如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； (3)若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是______． 【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）如图，即为所求作的三角形； （3）经过第一次变换后的坐标为：， 再经过第二次变换后的坐标为：， ∴线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是． 【例4】如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点A，B，C的坐标分别为，，，按要求画图，并回答下列问题： (1)画出三角形； (2)将线段平移至，使点B的对应点为点A，并写出点F的坐标； (3)仅用无刻度的直尺，在x轴上画一点D，使． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， ∴； （3）解：如图，点D即为所求， 根据平移的性质得， ∴． 1.若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2.第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（   ） B． B． C． D．或 【答案】D 3.如图在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．把绕点逆时针旋转使与轴重合得到，则点的坐标为 ． 【答案】 5. 已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ． 【答案】 5.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点与点重合，点的对应点分别是点． (3) 请画出平移后的，并写出点的坐标_________； (4) 点是内的一点，当平移到后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为__________． (3)求出三角形的面积． 【答案】（1）解：由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到， 平移后的，如图所示：点的坐标是； （2）解：由题意得：先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到， ∵点的对应点的坐标为，∴点的坐标为； （3）解： 6.法国数学家、哲学家笛卡尔发明了平面直角坐标系平面直角坐标系的意义在于它提供了一种统一、精确的方法把几何与代数紧密的结合在一起来分析和解决问题，同时为实际问题的解决提供了强大的工具，推动了数学和相关学科的发展． 如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，且平移后点的对应点的坐标为． (2) 点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在四边形中，点从点出发，沿“”运动若点的运动速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题： 当时，设，，，试问三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由；当时，存在点运动到某一位置时，直线将把四边形的面积分成：的两部分，请求出此时点的坐标． 【答案】（1）解：由图可知，从平移到，纵坐标没有变化， ，，向右平移了个单位长度， ，，，；故答案为：，； （2）解：①正确，理由如下：，，， 当时，，在上，过作，如图： ，，，， ，，，即； ②当时，在上，设，，， ，， ：：或：，解得：或，或． 1.定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为的点的个数有（       ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 2.阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（       ） B． B． C． D． 【答案】A 3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】7 4.如图，点沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则 ． 【答案】 5.在平面直角坐标系中，已知点，，且a和b满足． (1)请直接写出B点坐标：B______； (2)请在x轴上找点C，使得，求出点C的坐标； (3)点，，连接，交于点M，在线段上存在点P，使，求出点P的坐标． 【答案】（1）解：， ，， 解得：，， ； 故答案为：； （2）解：过作轴交于，过作轴交于， ； 设， ①当时， 如图，过作轴，过作轴交于，交的延长线于， ， ， ， ， 解得：， ； ②当时， 如图，过作轴，过作轴交于，交的延长线于， ， ， ， ， 解得：（不符合题意）， 故此种情况不存在； ③当时，过作轴，过作轴交于，交的延长线于， ， ， ， ， 解得：； ； 综上所述：的坐标为或； （3）解：过作轴，过作轴交于，过作轴交于， ， ， 解得：， ， ， ， ， 解得：， ． 6.在中，动点A在x轴的负半轴上，动点B在y轴的正半轴上，已知与y轴交于点P． (1)如图①，若，，且，请求出点C的坐标； (2)如图②，交x轴于点E，若将沿折叠，点P恰好落在x轴的点处，求证：P是的中点；(3)如图③，恰好平分，若点C的横坐标为，请求出点P的坐标． 【答案】（1）解：如图，过点C作轴， ，，， 在和中，，， ，，， ，∵点C在第四象限，； （2）证明：是等腰直角三角形，， ∵将沿着折叠，， ，，， 在和中，，，，是的中点； （3）解：如图，过点C作轴交的延长线于点M，交y轴于点N，，， ，，，， 在和中，，，， 平分，，，， 在和中，，，， ∵点C的横坐标为m，，，， ，，，故点P的坐标为． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $