江苏省南京市建邺区2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试卷

2025-2026学年江苏省南京市建邺区九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题：本题共7小题，共14分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.方程的解是(    ) A. ， B. ， C. D. ， 2.某班准备从甲、乙两名同学中选一名发挥比较稳定的参加禁毒知识比赛，通过次选拔测试，甲、乙两名同学的平均分都是分，且，，应该选择(    ) A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙都行 D. 不确定 3.某篮球兴趣小组名学生参加投篮比赛，每人投个，投中的个数分别为，，，，，，，，，则这组数据众数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，是的直径，弦于点，，，则(    ) A. B. C. D. 第5题 第4题 5.如图，交于点，切于点，点在上若，则为(    ) A. B. C. D. 6.一个不透明的盒子中装有个黑球，个白球，这些球除颜色外没有其他差别随机从盒子中摸出个球，下列事件属于必然事件的是(    ) A. 摸出的个球中有黑球 B. 摸出的个球中有白球 C. 摸出的个球都是黑球 D. 摸出的个球都是白球 7.如图，，分别是的内接正六边形和正四边形的边，，交于点，连接，设半径为，若，，则的长的最小值最接近(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共11小题，共22分。 8.若，则的值为______． 9.的半径，圆心到直线的距离，直线与的位置关系为        ． 10.若两个相似三角形面积之比为：，则它们的对应中线之比为        ． 11.用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为        ． 12.方程，则      ． 13.如图，，是的两条弦，，，的弧度为，的弧度为，则的半径长为      ． 第15题 第13题 第14题 14.如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是          ． 15.如图，，，，四边形是的内接矩形，若的长为，矩形的面积为，则与的函数解析式为        ． 16.如图，正的边长为，为坐标原点，在轴上，在第二象限沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得，则翻滚次后中点经过的路径长为        ． 第17题 第16题 17.已知点、是半径为的上两点，且，点是上一个动点，点是的中点，连接，则的最小值是______． 18.如图，中，，，，是上方一动点，射线，连接交的外接圆于点，则的最小值为__          __． 三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 解下列方程： ； ． 20.本小题分 已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，． 求证：∽； 如果，，求的长． 21.本小题分 如图，、是的直径，弦求证：是弧的中点． 22.本小题分 已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 若方程的两根分别为，，且，求的值． 23.本小题分 如图，▱的顶点，，在上，． 求证▱菱形； 求的度数． 24.本小题分 如图，有长为米的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽为米，面积为． 的长为______用含的代数式表示 求与的函数关系式，并写出的取值范围； 如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 25.本小题分 月日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选名同学参加比赛，成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为分，分，分，分，学校将一班和二班的成绩整理并绘制成以下两个统计图不完整的． 请将一班的统计图补充完整； 以下是学习委员根据上述统计图制作的数据分析，请你协助学习委完善该表； 项目 班别 平均数分 中位数分 众数分 优秀人数分 一班 二班 通过平均分能否比较两个班的成绩哪个好？若能，请指出哪个班的成绩更好；若不能，请再从中位数、众、优秀人数中任取一个角度对这两个班在本次竞赛中的成绩进行评价． 26.本小题分 如图，矩形，，，点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时点以的速度从顶点出发向点运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． 问两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的； 问两动点经过多长时间使得点与点之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 27.本小题分 为的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图，图中画出一条弦，使这条弦将分成面积相等的两部分保留作图痕迹，不写作法． 如图，； 如图，直线与相切于点，且． 28.本小题分 【问题情境】 如图，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转如图，这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的          倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 如图，图是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图请你结合整个变化过程，直接写出图中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 如图，在图中“”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 如图，在中，，点、分别在边和上，连接、、若，，求的最小值． 1.【答案】  【解析】解：， ， ， 或， 所以，． 故选：． 先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程化为或，然后解两个一次方程． 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 2.【答案】  【解析】解：，， ， 乙同学的稳定性更好， 故选：． 方差越大，数据波动越大，稳定性越差；方差越小，数据波动越小，稳定性越好． 本题考查了利用方差判断稳定性，解题关键是理解方差越大，数据波动越大，稳定性越差；方差越小，数据波动越小，稳定性越好． 3.【答案】  【解析】解：，，，，，，，，， 最多，因此，这组数据的众数为． 故选：． 利用众数的定义找到出现次数最多的数可求得结果． 本题主要考查了众数的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 4.【答案】  【解析】解：， ， 在中，． 故选：． 先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5.【答案】  【解析】解：切于点， ， ， ， ，， ． 故选：． 根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结合图形认真推导即可得解． 6.【答案】  【解析】解：、摸出的个球中有黑球，是随机事件，不符合题意； B、摸出的个球中有白球，是必然事件，符合题意； C、摸出的个球都是黑球，是不可能事件，不符合题意； D、摸出的个球都是白球，是随机事件，不符合题意； 故选：． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 7.【答案】  【解析】解：如图，连接，，，，与交于点， ，是内接正六边形的边，是内接正四边形的边， ，，， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 在中， ． 故选：． 连接，，，，与交于点，可证得四边形是菱形，得出，，进而可得，再利用勾股定理即可求得答案． 本题考查了正多边形与圆，菱形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是读懂题意，掌握正多边形的定义． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了比列的合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键． 【解答】 解：， 故答案为． 9.【答案】相交  【解析】解：的半径为，直线到圆心的距离为，， 直线与圆相交． 故答案为：相交． 因为直线与圆心的距离小于半径，所以直线与圆相交． 本题考查直线与圆位置关系的定义，当直线与圆心的距离小于半径，直线与圆相交；当直线与圆心的距离大于半径，直线与圆相离，当直线与圆心的距离等于半径，直线与圆相切． 10.【答案】：  【解析】解：两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方， 两个相似三角形的面积之比为：， 它们对应边上的中线之比为：． 故答案为：：． 根据两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方求解即可． 本题主要考查了相似三角形的性质，掌握两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方以及开平方是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：扇形的弧长， 圆锥的底面圆的周长， 圆锥的底面圆半径， 故答案为：． 根据弧长公式求出扇形弧长，根据圆的周长公式计算，得到答案． 本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 12.【答案】  【解析】解：由题知， 令， 则原方程可化为， 解得或， 当时， ， 则， 故此情况不符合题意； 当时， ， 则， 故此情况符合题意． 故答案为：． 利用换元法对所给方程进行求解即可． 本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：如图，先将弦移到点与重合的位置，连接，，，过点作于点，在优弧上取点，连接，， 的弧度为，的弧度为， 与的度数之和为， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 设的半径长为， ， 负值舍； 则的半径长为． 故答案为：． 根据题意得出与的度数之和为，可将弦移到点与点重合的位置，据此构造出直角三角形，最后根据勾股定理进行计算即可． 本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，掌握圆内接四边形的性质是正确解答的关键． 14.【答案】  【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故答案为：． 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分线”． 15.【答案】  【解析】解：，， ， 四边形是的内接矩形， ， ， ， ． 故答案为：． 根据等腰三角形的性质和矩形的性质推出，从而可推出矩形一边长，从而根据矩形的面积公式求解即可． 本题考查相似三角形的判定与性质、函数关系式及等腰三角形的性质的综合运用，解题的关键是根据等腰三角形的性质和矩形的性质推出矩形的一边长，此类题要注意充分的数形结合． 16.【答案】  【解析】解：如图作轴于，可知，， ，，， 观察图象可知：三次一个循环，一个循环点的运动路径为： ， ， 翻滚次后中点经过的路径长为， 故答案为：． 由圆弧的弧长公式及正翻滚的周期性可得出答案． 本题主要考查圆弧的弧长公式及三角形翻滚的周期性，熟悉并灵活运用各知识是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：， 当取最大值时，有最小值， 是的中点， ， 的最大值为圆的直径， 的半径为， 的最大值为， 的最大值是， 与重合， 的最小值为， 故答案为． 根据三角形三边性质，因为是定值，所以当取最大值是最小，由的最大值为，即可得到与重合，所以的最小值为． 本题考查了点和圆的位置关系，三角形三边关系，确定是直径时，有最小值是解题的关键． 18.【答案】  【解析】连接，取中点，连接，，中，根据，，可得，即可得是直角三角形，且，再根据，可得，进而得，即有点在以为直径的圆上，即点为该圆圆心，结合图形有，当且仅当、、三点共线时取等号，即当、、三点共线时，有最小值，最小值为：，问题随之得解． 【详解】解：连接，取中点，连接，，如图， 中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上，即点为该圆圆心， 如图，，当且仅当、、三点共线时取等号， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为：， 中，，， ， ， ， 即有最小值，最小值为：， 故答案为：． 19.【答案】解：，，， ． ． ，． 移项，得：． ． ． ．  【解析】利用公式法进行解方程即可； 利用因式分解法解方程即可． 本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 20.【答案】证明：是等边三角形， ， ，， ∽； 由证得∽， ， 设，则， ， ，， 或．  【解析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质有关知识． 是等边三角形，得到，，推出，得到∽； 由∽，得到，然后代入数值求得结果． 21.【答案】证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 即， ， 是弧的中点．  【解析】连接，根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，进而得出，再根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，即可得出结论． 本题考查了平行线的性质、圆周角定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理． 22.【答案】  【解析】解法一：， ， ， ， 的取值范围是； 解法二：关于的一元二次方程有实数根， 关于的一元二次方程有实数根， ， 的取值范围是 根据题意，得，， ， ， ． 方法一：根据非负数得到，解不等式即可； 方法二：根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 根据根与系数的关系求出，，，代入得到一元一次方程，解方程即可． 本题考查了根与系数的关系，关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：，． 23.【答案】如图，过点作，，垂足分别为、，，，，，，又，，，在和中，，，≌，，，即，四边形是平行四边形，四边形是菱形；    【解析】证明：如图，过点作，，垂足分别为、， ， ，，， ， 又，， ， 在和中， ，， ≌， ， ， 即， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； 解：连接、、、，由垂径定理以及圆的对称性可知， ， 设，则，， ， 在中，，，由三角形内角和定理得， ， 解得， ． 根据圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理以及角平分线上的点的特征得出，，再根据全等三角形的判定和性质得出，进而得到，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论； 根据垂径定理，圆的对称性以及全等三角形的性质可得，设，得到，，，由三角形内角和定理列方程求出的值即可．，由三角形内角和定理列方程求出的值即可． 本题考查菱形的判定和性质，圆周角定理以及平行四边形的性质，掌握圆心角、弦、弧之间的关系以及菱形的判定和性质是正确解答的关键． 24.【答案】米；  ；   要围成面积为的花圃，的长为米．  【解析】解：长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，依题意得： 米； 故答案为：米； 依题意得，， 墙的最大可用长度为米， ，即， 解得：， ； 当时，， 解得：，， ， ，即， 要围成面积为的花圃，的长为米． 根据题意可用篱笆的长表示出的长； 根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式； 根据的函数关系式，将代入其中，求出的值即可． 本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． 25.【答案】解：一班等级的人数为人， 统计图为： 一班的平均数分， 众数为分； 二班等级的人数为人，等级的人数为人，等级的人数为人，等级的人数为人， 中位数是从小到大排列的第个是分； 优秀人数为人； 项目 班别 平均数分 中位数分 众数分 优秀人数分 一班 二班 从平均数看，两班的成绩一样，但从中位数看，一班的中位数为分，二班的中位数为分，则一班比二班成绩好．  【解析】用样本容量分别减去一班中、、等级的人数得到等级的人数，然后补全一班竞赛成绩统计图； 先利用扇形统计图计算出二班中各等级的人数，然后利用众数、中位数、优秀率和平均数的定义计算并填表； 利用平均数和中位数的意义求解． 本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数、平均数和统计图． 26.【答案】解：设两动点运动秒，使四边形的面积是矩形面积的． 根据题意，得，，矩形的面积是． 则有， 解得； 设两动点经过秒使得点与点之间的距离为． 当时，则有， 解得或； 当时，则有， 得方程， 此时，此方程无解． 综上所述，当或时，点与点之间的距离为．  【解析】此题考查的是一元二次方程的知识和勾股定理有关知识． 要使四边形的面积是矩形面积的，此时点应在上，才是四边形．根据路程速度时间，分别用表示，的长，再根据梯形的面积公式列方程求解； 根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑． 27.【答案】解：如图， 直径为所求； 如图， 弦为所求．  【解析】过点作直径，由于，，根据垂径定理的推理得垂直平分，所以将分成面积相等的两部分； 连结并延长交于，过点、作弦，由于直线与相切于点，根据切线的性质得，而，则，根据垂径定理得，所以弦将分成面积相等的两部分． 本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质． 28.【答案】【小题】 【小题】 如图，， ，， ，， ， 如图， 结合图形变换可得：； 【小题】 如图，将绕点逆时针旋转， 在以为圆心，为半径的圆上运动， 为圆外一个定点， 当与相切时，最大， ， ， 由可得：， ，， ， ； 【小题】 如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接， ，， 再将沿方向平移，使与重合，如图，得， 由可得：， 当三点共线时，最短， ，， ，， ； 的最小值为；   【解析】  利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； 解：如图， 正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， 设，， ，， ，， 大正方形面积是小正方形面积的倍．   如图，由，证明，再结合图形变换可得答案；   如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可；   如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $