精品解析：天津市弘毅中学2025-2026学年高三上学期第一次过程性诊断数学试卷

天津市弘毅中学2025—2026学年度第一学期过程性诊断1 高三数学 命题人：何一磊 王玉磊 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题（每小题5分，共60分） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的并运算即可求解. 【详解】. 故选：A. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举两个反例分别说明充分性、必要性不成立即可. 【详解】若，则，这表明充分性不成立； 若，则，但是不满足，这表明必要性不成立； 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据为奇函数排除A，C，再根据即可得到答案. 【详解】，定义域为，， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A，C错误， 因为，，所以， 又因为，当且仅当，即时取等号， 所以， 又因为时，，所以， 由图知：D正确. 故选：D 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，即可判断出答案. 【详解】由题意得， ， 由于为上的单调增函数，故， 故， 故选：C 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故选：C. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】解：原不等式可以转化为：， 当时，可知，对应的方程的两根为1，， 根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：. 故选：A. 7. 函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到函数在上是增函数，，进而结合函数的单调性和对称性求得答案. 【详解】因为函数且在上是增函数，，所以函数在上是增函数，. 于是，时，；时，；时，；时，. 所以，的解集为. 故选：D. 8. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， ，， ， 又， 函数的零点所在区间是． 故选：B． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系结合已知条件计算得出，再结合两角和余弦公式计算求解. 【详解】因为，且， 所以，， 则. 故选：A. 10. 若实数a、b满足 则 （ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数式与对数式互化公式可把用对数表示出来，代入到中，再利用换底公式以及对数的运算法则可得答案. 【详解】由，得；由，得， 则：， 则， 则：， 故选：D 11. 已知函数 ()，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到的图象，则以下关于函数的结论正确的是（ ） A. 若，是的零点，则是的整数倍 B. 函数在区间上单调递增 C. 点是函数图象的对称中心 D. 是函数图象的对称轴 【答案】D 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简解析式，再根据三角函数平移变化可得函数的解析式：由正弦函数的周期性和零点定义可判断A，由正弦函数单调递增区间可判断B，由正弦函数的对称中心及对称轴可判断C、D. 【详解】函数，由辅助角公式化简可得， 将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到， 则， 对于A，函数的最小正周期为，若，是的零点，则是的倍数，所以A错误； 对于B，由正弦函数的图象与性质可知，函数的单调递增区间为，解得， 当时，，而，所以函数在区间上不为单调递增，故B错误； 对于C，由正弦函数的图象与性质可知，函数的对称中心为，解得，当时，解得，不合题意，所以C错误； 对于D，由正弦函数的图象与性质可知，函数的对称轴满足，解得，当时，，故D正确. 综上所述，正确的为D， 故选：D. 【点睛】本题考查了辅助角公式化简三角函数式，三角函数图象平移变换求解析式，正弦函数图象与性质的应用，属于基础题. 12. 对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”.设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用定义转化为求方程恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可. 【详解】依题意，， 由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根， ①当时，，方程可化为，解得， 这与不符，因此在内没有实数根； ②当时，，方程可化为， 该方程又可化为． 设，则， 因为当时，，所以在内单调递增， 又因为，所以当时，， 因此，当时，方程在内恰有一个实数根； 当时，方程在内没有实数根． ③当时，没有意义，所以不是的实数根． ④当时，，方程可化为， 化为，于是此方程在内恰有两个实数根， 则有，解得， 因此当时，方程在内恰有两个实数根， 当时，方程在内至多有一个实数根， 综上，的取值范围为． 故选：A 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 二、填空题 13. 已知复数（其中为虚数单位），则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用复数除法运算化简复数，再利用复数模的公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 14. 在的二项展开式中项的系数为__________． 【答案】560 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项，令，求出，即可得项的系数. 【详解】二项式展开式的通项为：， 令，则， 所以项的系数为， 故答案为：560 15. 函数，当时，则的值为______. 【答案】或0 【解析】 【分析】根据题设可得，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】由，则， 当时，，即； 当时，，即或（舍去）. 综上所述，或. 故答案为：或0. 16. 已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得出；再根据均值不等式求出即可得出结果. 【详解】因为，恒成立， 所以． 又因为， 所以， 根据均值不等式可得： ，当且仅当，即时取等号， 所以，即． 故答案为：. 17. 已知的数（），若的最小正周期为，的图象向左平移个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则____________；若在区间上有3个零点，则的一个取值为____________． 【答案】 ①. 或 ②. 6（答案不唯一） 【解析】 【分析】由的最小正周期为，可求出，再根据三角函数的平移和伸缩变化可求出；根据，求出，结合题意可得，解不等式即可得出答案. 【详解】因为的最小正周期为，所以，解得：， 所以，的图象向左平移个单位长度后， 可得：， 再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象， 所以； 因为，， 在区间上有3个零点， 所以，解得：， 则的一个取值可以为6. 故答案为：或；6（答案不唯一）. 18. 定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， 三、解答题 19. 已知的内角，，所对的边长分别为，，，且，，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到，即可求出结果； （2）由（1）及条件，利用正弦定理即可求出结果； （3）根据条件，求出，利用二倍角公式得到，，再利用正弦的差角公式即可求出结果. 【小问1详解】 因为，，， 由余弦定理得， 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，又，， 由正弦定理，可得. 【小问3详解】 因为，所以，又，所以， 所以，， 故. 20. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，，垂足为. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角. 【答案】（1） 如图，以A为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则解得， 令，得. 因为，所以. 又平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由直线的方向向量与平面的法向量垂直及线面平行的条件得证； （2）由空间向量法求线面角； （3）由空间向量法求二面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则. 因为，所以. 即，解得， 所以. 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设平面的一个法向量为， 则解得 令，得. 因为，所以. 所以平面与平面夹角为. 21. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 22. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值； （2）若函数存在唯一极值点，求的取值范围； （3）若函数存在极大值，记作，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明：由（1）可知函数的导数，令，则， 当时，易知方程存在两个根，设为，则， 当时，，即，当时，，当时，， 则函数在处取得极大值，由，则， 所以， 故， 由，则，故. 【解析】 【分析】（1）由函数解析式，求得切点坐标以及导数，由导数求得切线斜率，从而求得切线方程，根据轴上的截距，建立方程，可得答案； （2）由函数的导数，利用极值点的必要条件，可得导数的零点个数，由导数构建函数，利用导数可得新函数的单调性，由零点的等价条件，可得答案； （3）由（2）结合极大值的定义，可得参数的取值范围以及极大值点，从而求得极大值并化简，利用作差法，可得答案. 【小问1详解】 由，则，求导可得， 所以切线斜率，切线方程为， 整理可得，令，解得，则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知函数的导数， 由函数存在唯一极值点，则导数存在唯一变号零点， 即方程存在唯一根，整理可得， 令，即函数的图像与直线存在唯一交点， 求导可得，由当时，当时， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 由当时，，当时，，当时，，则， 当时，设方程的唯一根为， 当时，，即，当时，， 则函数存在唯一极值点， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市弘毅中学2025—2026学年度第一学期过程性诊断1 高三数学 命题人：何一磊 王玉磊 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题（每小题5分，共60分） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 若实数a、b满足 则 （ ） A. -1 B. 1 C. D. 11. 已知函数 ()，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到的图象，则以下关于函数的结论正确的是（ ） A. 若，是的零点，则是的整数倍 B. 函数在区间上单调递增 C. 点是函数图象的对称中心 D. 是函数图象的对称轴 12. 对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”.设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知复数（其中为虚数单位），则_________． 14. 在的二项展开式中项的系数为__________． 15. 函数，当时，则的值为______. 16. 已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是________． 17. 已知的数（），若的最小正周期为，的图象向左平移个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则____________；若在区间上有3个零点，则的一个取值为____________． 18. 定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 三、解答题 19. 已知的内角，，所对的边长分别为，，，且，，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 20. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，，垂足为. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角. 21. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 22. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值； （2）若函数存在唯一极值点，求的取值范围； （3）若函数存在极大值，记作，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $