陕西省汉中市南郑区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年陕西省汉中市南郑区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为(    ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2.已知如图是下列四个几何体中某个几何体的俯视图，则这个几何体是(    ) A. B. C. D. 3.如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E在BD上，过点E作交CD边于点F，如果，那么的度数为(    ) A. B. C. D. 4.已知是一元二次方程的一个根，则(    ) A. 9 B. C. 3 D. 5.如图，锐角中，BE，CD是高，它们相交于O，则图中与相似的三角形有(    ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6.10月16日是世界粮食日.某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是(    ) A. B. C. D. 7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在OC上，连接BE，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC延长线上的点，连接DE、EF、BD，，DE与BC交于点G，若，，则GF的长为(    ) A. 30 B. 25 C. 20 D. 18 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.写出一个二次项系数与常数项之积为6的一元二次方程，你写出的是        写出一个即可 10.已知四边形ABCD∽四边形，且AB：：7，若四边形ABCD的周长为4，则四边形的周长为        . 11.近些年某市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益.已知农户甲2023年纯收入为2万元，经“助农计划”帮扶，到2025年农户甲的纯收入增长到万元，设农户甲2023年到2025年纯收入的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为        . 12.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作于点E，连接OE，若，，则菱形ABCD的面积为        . 13.如图，小明家的客厅有一张高米即米的圆桌，圆桌的直径BC为1米，点A处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为D，E，以DE所在直线为x轴，过点A且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，，轴，米，点D的坐标为，则点E的坐标是        . 14.如图，矩形ABCD中，，，AE为的平分线，点F为AE上一动点，点P为DF的中点，连接PB，则PB的最小值是      . 三、解答题：本题共12小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题5分 解方程： 16.本小题5分 小李有蓝色和绿色的弹珠共100个，这些弹珠除颜色外均相同，现将所有弹珠放入不透明的箱子中，混匀后任意取出一个，记下颜色后放回，不断重复这一过程，一共取了20次，其中有5次取到蓝色的弹珠，请你估计小李有多少个绿色的弹珠. 17.本小题5分 某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图. 18.本小题5分 如图，已知，过点A作射线AF，点E在射线AF上，连接BE，请你用尺规作图法在射线AF上作一点D，连接BD，使得∽不写作法，保留作图痕迹 19.本小题5分 如图，四边形ABCD是菱形，延长AB至点E，使得，连接DE交BC边于点求证： 20.本小题5分 明明和文文周末相约到某植物园晨练，这个植物园有A，B，C，D四个入口，他们分别随机选择其中一个入口进入植物园假设选择每个入口的可能性相同，且两人选择的入口相互不受影响 明明选择从B入口处进入的概率为______； 用树状图或列表法求他们两人选择相同入口进入植物园的概率. 21.本小题6分 已知：如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，AB在阳光下的投影 请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； 在测量AB的投影长时，同时测出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长． 22.本小题7分 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， 以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形点A，B，C的对应点分别是点，，，且与的相似比为2：1，并写出点、的坐标； 在的条件下，与的面积比为______. 23.本小题7分 小明和小亮决定利用所学知识测量出旗杆的高度如图，小亮在点C处放置一面平面镜，随后沿AC方向移动2米到达点D处即米，此时小亮恰好在平面镜中看到旗杆顶端B的像；小明站在点F处时，地面上的点H，小明的头顶G，旗杆顶端B恰好在同一条直线上.经测量得知，小亮眼睛到地面的距离DE为米，小明的身高米，米，米，已知，，，点A、C、D、F、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小明和小亮求出旗杆的高度平面镜的大小忽略不计 24.本小题8分 如图，在▱ABCD中，交DA的延长线于点E， 求证：四边形AEBC是矩形； 为CD的中点，连接AF，已知，，求BF的长. 25.本小题8分 汉中产茶始于商周，兴于秦汉，盛于唐宋，繁荣于明清，自古就是贡茶名优茶的知名产地.某茶叶店销售成本价为每盒360元的汉中仙毫，经市场调查发现如下信息： 信息一 当售价为每盒430元时，每天可售出20盒 信息二 每盒的售价每降低5元，每天可多售出10盒 若该茶叶店计划进行降价销售，且要保证每天销售这种汉中仙毫获利3000元，那么每盒汉中仙毫的售价应降低多少元？ 若该茶叶店销售这种汉中仙毫想要每天获利3500元，请问可以达到吗？若能达到，则计算出每盒汉中仙毫的售价应降低多少元；若不能达到，请说明理由. 26.本小题12分 [问题探究] 已知正方形ABCD，点E在边AB上，点H在射线BC上，连接 ①如图1，当点H在BC边上时，过点H作交DE于点O，交AD边于点G，则线段DE ______ GH；填“>”“<”或“=” ②如图2，平移图1中的线段GH，使点G与点D重合，点H在BC的延长线上，连接EH，取EH的中点P，连接PC，点N在BC上，且，连接求证：； [问题解决] 如图3，某市区有一块正方形广场ABCD，现计划对其进行改造，在广场内设计一条特色步道.规划详情如下：点E、F分别是正方形ABCD的边AD、DC的中点，沿BE、AF修建两条景观廊道，这两条廊道交汇于广场内的一个重要景观G处，DG为人行步道，同时修建一条穿过G点的特色步道点M、N分别在边AD、BC上，且，将点E规划为一个人口，需要确定点E到点M的长度与整条步道MN长度的比例关系，即EM：MN的值，以便合理布置服务设施和景观节点，请你帮助工作人员求出EM：MN的值廊道宽度忽略不计 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：，b，c，d是成比例线段， ， ，，， ， 解得：， 故选： 根据定义得，将a，b及c的值代入即可求得 本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的性质求解即可．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 2.【答案】D  【解析】解：A、选项中的几何体的俯视图是： ， B、选项中的几何体的俯视图是： ， C、选项中的几何体的俯视图是： ， D、选项中的几何体的俯视图是： . 故选： 分别作出选项中几何体的俯视图再进行判断即可． 本题主要考查几何体的俯视图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3.【答案】A  【解析】解：四边形ABCD是菱形， ， ， ， ， 故选： 根据菱形的性质得，由可得 本题主要考查菱形的性质，平行线的性质，关键是根据菱形的性质得解答． 4.【答案】B  【解析】解：是一元二次方程的解， ，即， 故选： 由是一元二次方程的一个解，将代入原方程可得，即 本题主要考查了一元二次方程解的定义、代数式求值等知识点．熟练掌握以上知识点是关键． 5.【答案】B  【解析】解：①， ∽ ②， ∽ ③， ∽ 有3个 故选： 根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可． 此题考查学生对相似三角形判断依据的掌握，同时还考查学生对图形的观察分辨能力． 6.【答案】B  【解析】解：将“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中她们恰好选到同一类岗位的结果有3种， 她们恰好选到同一类岗位的概率为 故选： 列表可得出所有等可能的结果数以及她们恰好选到同一类岗位的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选： 利用矩形的性质得到，，结合等腰三角形的性质的度数，由三角形内角和定理得，从而可求出的度数． 本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质． 8.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD是正方形，，BD是四边形ABCD的对角线， ，，， ， ， 解得：， ， 在中，， ， ∽， ，即， 解得：经检验，是分式方程的解，且符合题意， ，， ， 又， ∽， ，即， 解得， 故选： 由正方形的性质可得，，，由可求出，，由勾股定理得出，证明∽，根据相似三角形的性质得出，再证明∽，可求出 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 9.【答案】答案不唯一  【解析】解：设一元二次方程为， ， 选择，则，再选择， 得到方程 故答案为：答案不唯一 根据题意，需要构造一个一元二次方程，使得二次项系数与常数项的乘积为二次项系数和常数项可任意选择，只要满足乘积为6即可，一次项系数可任意取值． 该题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，熟知以上知识是解题的关键． 10.【答案】14  【解析】解：四边形ABCD∽四边形，且AB：：7， 四边形ABCD与四边形周长比为2：7， 四边形ABCD的周长为4， 四边形的周长 故答案为： 根据相似多边形的性质，周长比等于相似比即可求解． 本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形周长的比等于相似比是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：设年平均增长率为 x，根据题意可以列方程为， 故答案为： 根据年平均增长率的定义，初始收入经过连续两年以相同增长率增长后得到最终收入，由此建立方程． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12.【答案】24  【解析】解：四边形ABCD是菱形，， ，，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为： 菱形的性质得，，，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出结论． 本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：由题意得，轴，， ∽，∽， ：：AO，BC：：AD， ，，， ：：：：5， ：：5， ：：：5， ， ， ，即， 故答案为： 由题意可推出∽，∽；得出BD：：：5，进而得到 AB：：5，结合BC：：：5即可求解． 本题考查了中心投影，相似三角形的应用，坐标与图形性质，熟知以上知识是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：矩形ABCD中，AE平分， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 点F是AE上的动点，P是DF的中点， 当F在直线AE上运动时，P的轨迹是一条平行于AE的线段l， 取AE的两个特殊点：当F运动到点A时，P是AD的中点，记为M； 当F运动到点E时，P是DE的中点，记为N，连接M、N， 则线段MN即为P的轨迹，且，， ， 要使PB最小，需，即， 的最小值是即为BM的长度， ，即PB的最小值为， 故答案为： 通过矩形性质以及角平分线推导为等腰直角三角形，再根据中位线定理分析动点轨迹，根据动点运动到特殊点最终结合垂线段最短求出最小值． 本题考查了矩形的性质，垂线段最短，角平分线的性质，三角形中位线定理，分析出垂线段最短原理是解决本题的关键． 15.【答案】，  【解析】解：原方程整理为， 配方得， ， ， 方程整理后运用配方法求解即可． 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 16.【答案】75个．  【解析】解：设小李有x个绿色的弹珠，一共取了20次，其中有5次取到蓝色的弹珠， ， ， 小李有75个绿色的弹珠． 设小李有x个绿色的弹珠，根据概率的求法列方程求解即可 本题考查利用频率估计概率，正确进行计算是解题关键． 17.【答案】.  【解析】解：该几何体的三视图如图所示． 根据主视图是从几何体的正面看到的图形，左视图是从几何体的左面看到的图形，俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行逐个作图，即可作答． 本题考查了画几何体的三视图，掌握几何体的三视图是解题的关键． 18.【答案】如图所示，点D即为所求．   【解析】解：尺规作即可，如图所示，点D即为所求． 尺规作即可． 本题考查了相似三角形的判定，作一个角等于已知角的尺规作图法，熟记相似三角形的判定是解题的关键． 19.【答案】四边形ABCD是菱形，， ，， ， 在和中， ， ≌，   【解析】证明：四边形ABCD是菱形，， ，， ， 在和中， ， ≌， 由菱形的性质可得出，，再证明≌即可． 本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 20.【答案】    【解析】解：明明选择从B入口处进入的概率为， 故答案为：； 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中明明和文文两人选择相同入口进入植物园的结果有4种， 他们两人选择相同入口进入植物园的概率为 直接根据概率公式求解即可； 画树状图，共有16种等可能的结果，其中明明和文文两人选择相同入口进入植物园的结果有4种，再由概率公式求解即可． 本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21.【答案】解：作法：连接AC，过点D作，交直线BE于F， 如图所示，EF就是DE的投影． 太阳光线是平行的， 又， ∽ ， ，，， ，   【解析】此题主要考查了平行投影的画法以及相似三角形的应用，根据已知得出∽是解题关键．要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 根据已知连接AC，过点D作，即可得出EF就是DE的投影； 利用∽得出比例式，求出DE即可． 22.【答案】的位似图形，如图即为所求； ，  1：4  【解析】解：的位似图形，如图即为所求； 由图可知，，； 与的相似比为2：1， 面积比为1：4， 故答案为：1： 根据位似的性质作图即可； 根据相似三角形的性质可得答案． 本题考查作图-位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 23.【答案】旗杆的高度AB为6米．  【解析】解：，， ， 由题意得， ∽， ，即， ， ，， ， ， ∽， ，即， 解得， 答：旗杆的高度AB为6米． 根据相似三角形的判定定理得到∽，利用相似三角形的对应边成比例求得答案． 本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力． 利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 24.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， 且， 已知， ， 又，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形AEBC是平行四边形， 又， ， 有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形AEBC是矩形； 解：由得四边形AEBC是矩形， ， 为CD的中点，， ， ， 由勾股定理得   【解析】先由四边形ABCD是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形AEBC是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答； 因为四边形AEBC是矩形，则，因为F为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25.【答案】每盒汉中仙毫的售价应降低20元或40元  不能达到，理由如下： 设每盒汉中仙毫的售价应降低y元， 由题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 不能达到  【解析】解：设每盒汉中仙毫的售价应降低x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每盒汉中仙毫的售价应降低20元或40元； 不能达到，理由如下： 设每盒汉中仙毫的售价应降低y元， 由题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 不能达到． 设每盒汉中仙毫的售价应降低x元，根据“要保证每天销售这种汉中仙毫获利3000元”列出方程并解答； 若每天的利润达到3500元，列出关于x的一元二次方程，由根的判别式判断该方程是否存在实数解：若存在，则说明每天的利润能达到3500元，否则，则说明每天的利润不能达到3500元． 本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程． 26.【答案】①=；②易知是等腰直角三角形，， 四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ， ≌， ， ，， ， 点P为EH的中点， 是的中位线， ， ， 即    【解析】①解：如图1，四边形ABCD是正方形，过点C作，交AD于点F， ，，， ， 四边形GHCF是平行四边形， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ≌， ， ， 故答案为：=； ②证明：易知是等腰直角三角形，， 四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ， ≌， ， ，， ， 点P为EH的中点， 是的中位线， ， ， 即 解：设AB的长为单位“1”， 点E、F分别是正方形ABCD的边AD、DC的中点， ，，， ≌， ， ， ， ∽， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， ，， 如图，作于点Q，交BE的延长线于点P，则， ，，， ≌， ， 四边形PGQD是正方形， ，， 在中，由勾股定理得：， 如图，作于点L，于点K，则， ， 四边形CDKN是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∽， ，， ， ， ，， ∽， ， ， ， ：MN的值是 ①过点C作，证明四边形GHCF是平行四边形，得出，证明≌，得，从而可证； ②证明≌，得出，PC是的中位线，得出，则可得出结论； 证明≌，得出，证明∽，得出，则，证明∽，得出，求出MN，则可得出答案． 本题属于四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $