专题04 相似图形与相似三角形 8大高频考点（期末真题汇编，河南专用）九年级数学上学期北师大版

专题04 相似图形与相似三角形 8大高频考点概览 考点01 成比例线段 考点02 平行线分线段成比例 考点03 相似多边形 考点04 三角形相似的条件 考点05 利用相似三角形的性质求解 考点06 相似三角形的判定与性质综合 考点07 相似三角形的实际应用 考点08 图形的位似 地 城 考点01 成比例线段 1．(24-25九上·河南周口商水县·期末)2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割中线段的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割的定义，已知点为线段上靠近点的黄金分割点，即为长段，利用黄金分割比例关系求出的长度． 【详解】解：∵点是线段上靠近点的黄金分割点， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 2．(24-25九上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期末)人体美学中的黄金分割有很多种，其中肚脐是头顶到足底的黄金分割点（从头顶到足底画一条线段，肚脐是该线段的黄金分割点）．小明同学从足底到肚脐的距离是，小明同学的最佳身高是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段的比、比例的性质，能根据题意列出比例式是解答的关键． 根据题意列出比例式，根据比例性质求解即可． 【详解】解：设头顶至肚脐的长度为，根据题意， 得：=， ∴， 则此人身高大约为， 故选：B． 3．(24-25九上·河南驻马店西平县·期末)已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， 故答案为：． 4．(24-25九上·河南驻马店驿城区部分初中·期末)是成比例线段，其中，，，的长是（   ） A．1 B．2 C．4 D．9 【答案】C 【分析】根据成比例线段列式计算即可．本题考查了比例的性质，成比例线段，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，，， 故． 故选：C． 5．(24-25九上·河南通许县发展联盟·期中)黄金分割比广泛存在于艺术、自然、建筑等领域．例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，枫叶的叶脉长为，B为线段上一点，且满足，则称点B为线段的黄金分割点，若的长度为，则符合题意的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：根据黄金分割的性质可得：， ∴， ∴， 故选：A． 6．(24-25九上·河南南阳·期中)黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段的黄金分割点，，若，则的长约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割的有关计算，根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：B． 地 城 考点02 平行线分线段成比例 7．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)如图，点D在的边上，交于点E．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据得代入解答即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 8．(24-25九上·河南周口淮阳区·期末)如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， ∴，， ∵是的中点，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：D． 9．(24-25九上·河南安阳内黄县·期末)如图，，，若，则的长为（   ） A．15 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例定理，是解决问题的关键．运用平行线分线段成比例得出，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴． ∴． 故选：A． 10．(24-25九上·河南许昌长葛·期末)如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（   ） A．1 B．1.5 C．1.8 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，先作辅助线，再根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可得解． 【详解】解：如图，过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E， ， 五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， ， ， ， 故选B． 11．如图，直线，直线分别交直线，，于点A，B，C，直线分别交直线，，于点D，E，F直线，交于点，则下列结论错误的是（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可． 【详解】解：， ，A选项成立，故不符合题意； ，B选项成立，故不符合题意； ，C选项不成立，故符合题意； ，D选项成立，故不符合题意； 故选C． 12．(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学，新乡第十中学·期末)如图，与相交于点G，若，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理内容是解答本题的关键，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：A．，则，正确，故本选项不符合题意； B．，则，错误，故本选项不符合题意； C．，则，正确，故本选项符合题意； D．，则，正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 13．(24-25九上·河南安阳林州·期末)如图，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例，解此题的关键是利用线段间的比例关系结合已知条件求出的长．根据平行线分线段成比例解答本题即可． 【详解】解： ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 地 城 考点03 相似多边形 14．(24-25九上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期末)一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例． 由裁出的矩形的宽与长的比与矩形的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，． 由，得， 即． ∴． 开平方，得（舍去）， 故选：A． 15．(24-25九上·河南郑州中原区·期末)人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义，解题关键是熟练掌握相似图形的定义． 结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，选项正确． 故选：． 16．(24-25九上·河南新乡获嘉县10校·期末)如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的概念，对应角相等，对应边成比例是解题关键．根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； C、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； D、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； 故选：A． 17．(24-25九上·河南安阳林州·期末)下面几对图形中，相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的识别，形状完全相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案． 【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有C选项中的两个图形相似， 故选：C． 地 城 考点04 三角形相似的条件 18．(24-25九上·河南漯河郾城区·期末)如图，在中，点D是的中点，点P为边上一个动点，在下列条件中，不能使与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，准确掌握和熟练的应用相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据图形可得，结合相似三角形的判定依据，只需从两个三角形中再找另一组角相等或者是这组相等角的夹边成比例，可得三角形相似来解决问题． 【详解】解：A、∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴，故不符合题意； B、∵，， ∴，故不符合题意； C、∵，， ∴，故不符合题意； D、两边对应成比例，但是夹角不相等，故不能证明相似，符合题意， 故选：D． 19．(24-25九上·河南洛阳·期末)如图，不能判定和相似的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定：①有两个角对应相等的三角形相似；②两边成比例且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理判断求解即可． 【详解】解：由图可知：， 若或，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定和相似，故C、D不符合题意； 若，则，根据“若两边成比例且其夹角相等，则这两个三角形相似”可判定和相似，故B不符合题意； 若，不能判定和相似，故A符合题意； 故选：A． 20．(24-25九上·河南周口太康县·期末)如图，能使成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】由题意得，， 若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似， 可判断，故C选项符合题意； A，  B，  D选项均不能判定，故不符合题意； 故选：C． 21．(24-25九上·河南洛阳·期末)如图，不能判定和相似的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． 【详解】解：由图可知：， 若或，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定和相似，故C、D不符合题意； 若，则，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定和相似，故B不符合题意； 若，不能判定和相似，故A符合题意； 故选：A 22．(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点D，求证∶． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—作已知角的角平分线，相似三角形的判定，熟练掌握相关性质为解题关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）利用角平分线定义结合已知可得，结合即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，即为的角平分线； （2）由（1）可得：， ， ， 又， ． 地 城 考点05 利用相似三角形的性质求解 23．(24-25九上·河南新乡延津县·期末)两个相似三角形的面积之比为，则这两个三角形的相似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得结论． 【详解】解：∵相似三角形的面积的比等于相似比的平方， ∴两个相似三角形的面积之比为时，这两个相似三角形的对应边之比是． 故选：B． 24．(24-25九上·河南焦作·期末)若和相似，相似比为，则它们的面积比为______． 【答案】 【分析】本题只要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得答案． 【详解】解：和相似比为， 它们的面积比为， 故答案为：． 25．(24-25九上·河南焦作·期末)某学校兴趣小组测量学校旗杆的高度，如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，．且，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，该同学身高米，点到旗杆底部的水平距离为米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，正确利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题的关键． 由题意可得四边形是矩形，，再证明，利用相似比可求出的长，则． 【详解】解：根据题意可证四边形为矩形， ， 在 和 中， ， ， ， ， 又， ， ， ， 答：旗杆的高度为 米． 26．(24-25九上·河南商丘梁园区李庄乡第二中学·期末)如图，在 中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故答案为：或． 27．(24-25九上·河南周口太康县华夏外国语学校·期末)已知，若与对应中线的比为，则与的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键，根据相似三角形对应中线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵，与对应中线的比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积之比为， 故答案为：． 28．(24-25九上·河南新乡获嘉县10校·期末)如图，在中，于点D，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，垂直的定义等知识，由相似三角形的性质得出，再根据垂直的定义即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点06 相似三角形的判定与性质综合 29．(24-25九上·河南周口太康县灵运初级中学·期末)如图，中，边，高，边长为的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则边长x为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是由正方形的性质得出平行线，证明三角形相似，利用相似三角形的性质列方程求解． 由正方形的性质得，可证，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求的值． 【详解】解：∵， ∴， ，即， 解得． 故答案为：． 30．(24-25九上·河南周口太康县大许寨乡第一中学·期末)综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）连接，连接交于O，延长交于H，通过证明，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得，，，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图2，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， 而， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立； （3）当点在右侧，过点G作交延长线于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在左侧，过点于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，证明三角形相似是解题的关键． 31．(24-25九上·河南南阳桐柏县·期末)如图，在中，，点D是边的中点，连接，点E在上，连接，且． (1)求证： ； (2)求证：； (3)如果，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是确定相似三角形，并证明三角形相似： （1）根据，证明即可； （2）先得到，等量代换得到，推出，得到，即可； （3）证明，推出，再根据，代换后即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， （2）证明：， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴． 32．(24-25九上·河南安阳安阳县·期末)【问题探索】 (1)如图1，在中，，是边上一点，是边上一点，．求证：； (2)如图2，在四边形中，，，若，，求的长； (3)如图3，在中，，，以为直角顶点作等腰直角三角形，点在上，点在上，若，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用一线三等角模型，可证明； （2）延长交的延长线于点，证明，推出，求出，，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得出，可知，再利用，可得答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ； （2）解：如图，延长交的延长线于点， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 在中，，， ， ，， 在中，； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，（负值已舍去）， ． 【点睛】本题是相似形综合题，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． 33．(24-25九上·河南安阳文峰区·期末)如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接．将绕点顺时针旋转，记旋转角为． 【问题发现】 （1）①当时，______；②当时，______； 【拓展研究】 （2）试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； 【问题解决】 （3）当旋转至，，三点共线时，线段的长为______． 【答案】【问题发现】（1）①；②；【拓展研究】（2）当时，的大小没有变化，见解析；【问题解决】（3）或． 【分析】（1）①利用等腰三角形的性质判断出，，得出，再根据平行线分线段成比例即可得出结论； ②同①的方法，即可得出结论； （2）利用两边成比例，夹角相等，判断出，即可得出结论； （3）分情况讨论：①当点在上时，②当点在的延长线上时，分别利用勾股定理求出，进而得出，再结合（2）中结论求出即可． 【详解】解：（1）①当时，如图1， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②当时，如图，， ∴， 故答案为：； （2）当时，的大小没有变化． 证明：在中， ∵，， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当点在上时， ∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理得，， ∴， 由（2）可知，， ∴； 如图，当点在的延长线上时， 在中，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 综上所述：线段的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理等，判断出两三角形相似是解本题的关键． 34．(24-25九上·河南南阳桐柏县·期末)如图，矩形中，点是边上的点，且，，． (1)求证： ； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和矩形的性质． （1）先求出，，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明结论； （2）先证明，进而得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：矩形中，，，， ，， ∵且， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ． 35．(24-25九上·河南商丘夏邑县县城中学联考·期末)如图，在矩形中，分别是的中点，连接，若． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由矩形的性质可得，利用余角性质得，进而由相似三角形的判定即可求证； （）由相似三角形的性质可得，进而可得，即得，据此即可求解； 本题考查了矩形的性质，余角性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∵分别是的中点，且， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 36．(24-25九上·河南漯河临颍县·期末)数学活动课上，同学们将两个全等的直角三角形纸片和完全重合放置，固定一个顶点，然后将纸片绕点旋转，其中，． 【感知】 （1）如图1，连接，求在纸片绕点旋转的过程中，的值． 【探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转的过程中，当点恰好落在的高线的延长线上时，求的长． 【拓展】 （3）如图3，在纸片绕点旋转的过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，请直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）12；（3）36 【分析】（1）在中，由勾股定理，得．根据旋转可得，再根据．，证明，即可得出． （2）由题意，得和是直角三角形．由（1），可知，，根据等面积法求出，证明，得出，即可求解． （3）根据，是的中线，，得出，证明，得出，求出，即可得，即可求解． 【详解】解：（1）在中，由勾股定理，得． 根据旋转可得， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）由题意，得． ∴和是直角三角形． 由（1），可知， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）∵，是的中线，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 由上述结论，可得， ∴的周长为． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 37．(24-25九上·河南信阳浉河区·期末)如图，在矩形中，，，点E，F在边上，和交于点O，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定， 先作，根据矩形的性质说明，即可得出相似比，再根据相似三角形的性质求出，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，过点O作， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴相似比等于， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 38．(24-25九上·河南信阳浉河区·期末)如图，在矩形中，，点E为的中点，，相交于点O，则线段的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质可知，那么，利用相似三角形对应边成比例即可求出线段的长． 本题考查了相似三角形的判定与性质．正确列出相似三角形对应边成比例是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 故选：D． 39．(24-25九上·河南驻马店上蔡县·期末)【教材呈现】 如图是华师版九年级上册数学教材第63页的部分内容 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似， 例1，如图，在中，是边的三等分点，，求的长， 解：． （平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似）， ， ， ． 【应用】 （1）如图①，在中，为边延长线上的点，过点作交延长线于点．若，求的长； （2）如图②，在中，是边上的点，为边的中点，连接、交于点．若，求：的值； 温馨提示；可以过点作的平行线或过点作的平行线．如有更好的解法，请尝试． 【拓展】 如图③，在中，是边上的点，为边延长线的点，连接、交延长线点．若，且的面积为1，则四边形的面积为______． 【答案】（1）10；（2）；拓展： 【分析】本题考查相似三角形的综合应用． （1）证明，通过对应边成比例求解； （2）作交于点M，通过，导出各边长比． 拓展：连接，作交于点R，通过相似三角形导出线段比，再通过等底等高利用线段比导出面积比，分别求出与而求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）作交于点M， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展：连接，作交于点R， ∴，， 设，则，， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 地 城 考点07 相似三角形的实际应用 40．(24-25九上·河南商丘梁园区李庄乡第二中学·期末)如图，点是河对岸上一点，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，且，．若米，米，米，求河的宽度． 【答案】河的宽度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用; 设宽度为米，证明得出，代入数据，即可求解． 【详解】解：设宽度为米， ， ， ， 又米，米，米， ， 解得， 答：河的宽度为米 41．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，三角形相似的判定和性质，光的反射定理，正确利用三角形相似解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：D． 42．(24-25九上·河南南阳镇平县·期末)图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点，点A、B之间的距离为1.2米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离是（   ）米． A．0.68 B．0.69 C．0.86 D．0.96 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．先证明，再根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可． 【详解】解：， ， ， 米， 米， 即C、D之间的距离是0.96米， 故选：D． 43．(24-25九上·河南漯河临颍县·期末)如图，某“综合与实践”小组开展测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下． 课题 测量旗杆的高度 测量工具 皮尺、标杆 测量示意图 说明：在水平地面上直立一根标杆，观测者沿着直线后退到点，使眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在同一条直线上． 测量数据 观测者与标杆的距离 观测者与旗杆的距离 标杆的长 观测者的眼睛离地面的距离 问题解决 如图，过点作于点，交于点．…… 请根据以上测量结果及该小组的思路，求学校旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得：，，，从而可得，然后证明A字模型相似，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意，得，，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ． 答：学校旗杆的高度为． 44．(24-25九上·河南新乡获嘉县10校·期末)临颍县小商桥是一座比赵州桥还要早的古桥，位于河南省漯河市临颍县与郾城区交界的小商河（颍河故道）上，距今已有一千四百多年的历史．实践小组成员在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集小商桥的相关数据．在河岸的一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E，F，使得，测得，，点E到河岸的距离为．请根据上述数据，计算小商桥的长． 【答案】 【分析】本题考查了利用相似三角形测量河的宽度，过点E作于点G，证明得，再根据证明可得结论． 【详解】解：如图，过点E作于点G． ， ， ， ． ，， ． ， ， ． 答：小商桥的长度为． 45．(24-25九上·河南漯河召陵区·期末)周末，数学兴趣小组的同学们去沙河国家湿地公园研学，他们看到一棵大树想测量树高，他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为2.2米，台阶总的高度为2.0米，台阶水平总宽度为3.2米，则树高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟记“同一时刻物高与影长成正比例”是解题的关键． 设树所在线段为，过点作于点，根据“同一时刻物高与影长成正比例”可得，由此即可求出的长，然后根据即可求出树高． 【详解】解：如图，设树所在线段为，过点作于点， 根据同一时刻物高与影长成正比例可得： ， ， ， 故选：． 46．(24-25九上·河南安阳殷都区·期末)如图，是一个小孔成像的示意图，光线经过小孔，物体在幕布前形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到物体和实像的水平距离，分别为，则实像的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意可得，得到，即得，再由得，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵，分别为， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 47．如图，小红同学为了测量一栋楼的高度，在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．    (1)吗？说明理由； (2)如果小红估计自己的眼睛距地面，同时量得，，求这栋楼的高． 【答案】(1)，理由见解析 (2)这栋楼高为 【分析】本题考查了相似三角形的应用； （1）根据由光的反射定律，反射角等于入射角，即可求解； （2）根据题意证明，进而根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解． 【详解】（1），理由如下： 由光的反射定律，反射角等于入射角得， ； （2）， ， ． ． 答：这栋楼高为． 48．(24-25九上·河南平顶山·期末)如图，有一块三角形余料，高，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点和点分别在边上，若满足，则的长为 ． 【答案】36 【分析】本题考查相似三角形的应用，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点K， ∵， ∴可以设，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：36． 49．(24-25九上·河南周口扶沟县·期末)小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点．分别在，的延长线上取点，，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】米 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，两直线平行同位角相等，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，可证得，于是可得，即，进而可证得，于是可得，即，据此即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴桥的长度为米． 地 城 考点08 图形的位似 50．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)如图，已知在平面直角坐标系中（提示：正方形网格中每个小正方形的边长都是1），其中点． (1)请按要求对作如下变换： ①将绕点O逆时针旋转得到，请画出； ②以点O为位似中心，相似比为2，将在y轴左侧放大得到，请画出． (2)的面积是 ． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)10 【分析】（1）①根据网格结构找出点绕点逆时针旋转的对应点的位置，然后再顺次连接即可；②连接并延长至，使，得到；同理得到，然后再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：①如图：即为所求； ①如图：即为所求． （2）解：的面积是． 51．(24-25九上·河南安阳安阳县·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，画，使它与的相似比为2，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质，利用如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可得出答案． 【详解】解：∵以坐标原点O为位似中心，作与位似的，使得与的相似比为2， ∴点的对应点的坐标为或． 故答案为：或． 52．(24-25九上·河南商丘柘城县·期末)按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点，连接，，，并取它们的中点，，，得到，则下列说法错误的是（   ） A．与是位似图形，位似中心为 B．与相似 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出与是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，位似中心为，故本选项正确，不符合题意； B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意； C、∵将的三边缩小为原来的， 与的相似比为， ∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为，故C选项正确，不符合题意； D、由上可知与的周长之比等于相似比，即为，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 53．(24-25九上·河南漯河临颍县·期末)如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， 则与的面积之比为． 故选：A． 54．(24-25九上·河南南阳邓州·期末)如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若的周长为，且点的对应点为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质得到与的相似比为，即可求解． 【详解】解：与是位似图形，位似中心为点，且点的对应点为， 与的相似比为， 的周长为， 的周长， 故选：A． 55．(24-25九上·河南新乡获嘉县10校·期末)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的． (2)在第四象限内画出以点O为位似中心的位似图形，与的相似比为1：2． (3)求以，，，为顶点构成的四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4.5 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比是定值的位似作图是解题的关键． （1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可； （2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可； （3）连接，，利用计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴关于轴的对称点坐标分别为，，， 画图如图，即为所求作； （2）解：∵，，，与的相似比为 ∴在第四象限以点为位似中心的位似图形的，，， 画图如图，即为所求作； （3）解：． 56．(24-25九上·河南周口淮阳区·期末)如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积2，且，则的面积为（    ） A．6 B．18 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴， ∴， ∵的面积2， ∴的面积为18， 故选：B． 57．(24-25九上·河南漯河召陵区·期末)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，（方形网格中每个小正方形的边长都是个单位长度）． (1)画出关于原点对称的； (2)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为； (3)绕点逆时针旋转后得到，写出点的对应点的坐标为______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了中心对称图形、位似图形、图形的旋转，解决本题的关键是按要求作出三角形的顶点的对应点，再连接对应点即可得到要求的图形． 分别作点、、关于原点的对称点、、，连接点、、，得到； 延长到使，延长到使，连接、、得到； 分别作点、、绕原点逆时针旋转的对称点、、，连接点、、，得到，借助网格线即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示， 分别作点、、关于原点的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求： （2）解：如下图所示， 延长到使， 延长到使， 连接、、得到， 即为所求， （3）解：如下图所示， 分别作点、、绕原点逆时针旋转的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求， 借助网格线可知点的坐标为， 故答案为：． 58．(24-25九上·河南周口鹿邑县·期末)如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 【分析】本题考查作图——位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）． （1）对应点连接的交点即为位似中心； （2）利用位似性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，，交点即为M点，M点的坐标为； 故答案为：； （2）解：当点在第三象限时，如下图所示： 当点在第一象限时，如下图所示： 59．(24-25九上·河南安阳林州·期末)在平面直角坐标系中，点是线段上一点，以原点为位似中心把放大到原来的4倍，则点的对应点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标是原坐标乘以或． 【详解】解：以原点为位似中心把放大到原来的4倍， 的坐标为或， 故选：B． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04相似图形与相似三角形 ☆8大高频考点概览 考点01成比例线段 考点02平行线分线段成比例 考点03相似多边形 考点04三角形相似的条件 考点05利用相似三角形的性质求解 考点06相似三角形的判定与性质综合 考点07相似三角形的实际应用 考点08图形的位似 考点01 成比例线段 1.(24-25九上·河南周口商水县·期末)2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑 州市虹韵音乐厅成功举行.音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段 的长度之比等于长段的长度与企长的比，该比值为51时，奏出来的音调最和谐、悦耳。如图，一把 二胡的琴弦AC的长为78cm,千斤线绑在点B处（点B为线段AC上靠近点A的黄金分割点），则BC的长 为一· 线 2.(2425九上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期末)人体美学中的黄金分割有很多种，其中肚脐 是头顶到足底的黄金分割点（从头顶到足底画一条线段，肚脐是该线段的黄金分割点），小明同学从足底 到肚脐的距离是105cm,小明同学的最佳身高是（)· A.160cm B.170cm C.180cm D.190cm 1/20 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3.(Q425九上河南驻马店西平县期未)已知9-=名，则9b=6一 b-3 a+b 4.(24-25九上河南驻马店驿城区部分初中·期末)a,b,c,d是成比例线段，其中a=3,b=2,c=6,d的 长是() A.1 B.2 C.4 D.9 5.(24-25九上·河南通许县发展联盟期中)黄金分割比广泛存在于艺术、自然、建筑等领域.例如，枫叶的 叶脉蕴含着黄金分割.如图，枫叶的叶脉AC长为14Cm,B为线段AC上一点AB>BC,且满足 BC_AB 则称点B为线段AC的黄金分割点，若BC的长度为xcm,则符合题意的方程为() A.14-x2=14x B.x2=14(14-x) C.142=x(14-x) D.14(1-x)2=14-x 6.(24-25九上·河南南阳·期中)黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审 美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品.在自然界中黄金分割也很常见，如图是一 个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB>BC,若AC=10cm,则AB的长约 为()cm. A.0.618 B.6.18 C.3.82 D.0.382 目目 考点02 平行线分线段成比例 7.(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学期末)如图，点D在△ABC的AB边上，DE‖BC交AC于点 2/20 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 E.若AD=2.5,AE=2,EC=4,则BD=i() A.3 B.4 C.5 D.6 8.(24-25九上·河南周口淮阳区·期末)如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延 长交BC于点E,若BF:FD=4:1,BC=10,则CE的长为() B E A.3 B.4 C.5 D. 10 3 9.(24-25九上河南安阳内黄县·期末)如图，a‖b‖c,AB:BC=3:4,若EF=20,则DE的长为() B A.15 B.30 C.35 D.40 10.(24-25九上河南许昌长葛期末)如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，同一条直线上的三 个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是() A.1 B.1.5 C.1.8 D.2 11.如图，直线L1Il2‖l,直线AC分别交直线l1,L2,13于点A,B,C,直线DF分别交直线l1,12,13于点 3/20 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D,E,F直线AC,DF交于点P,则下列结论错误的是() E 3 A.ABDE B.=PD c路器 D B_PC BCEF PCPE PEPE 12.(24-25九上河南新乡河南师范大学附属中学，新乡第十中学期末)如图，AB‖CD‖EF,AF与BE相 交于点G,若AG=1,GD=2,DF=3,则下列结论中错误的是() B A.BG-1 B. BG 1 BE75 C.E2 D.AB1 EF5 13.(24-25九上·河南安阳林州·期末)如图，L1I12‖L3,AB=4,BC=8,DB=6,则DE的长为() B A.8 B.10 C.12 D.18 目目 考点03 相似多边形 14.(24-25九上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期末)一块矩形的纸片的长AB=a,宽AD=1, 按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同， AEAD 即ADAB, 则a的值为(). 4/20 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D E B A.2 B.3 C.2 D.5 15.(24-25九上·河南郑州中原区期末)人们出行方式越来越丰富，以下四组LOGO中，不相似的一组是 () G▣ b 郑州州九道 关知州车打 郑州公交郑州公交 B. 中国铁路 昆明航空 C.CHINA RAILWAY 国铁路 D. 忠思熱等 Kunming Airlines 16.(24-25九上·河南新乡获嘉县10校·期末)如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是() 3 2.5 1.5 分 丙 A.甲和乙 B.乙和丙 C.丙和丁 D.甲和丁 17.(24-25九上河南安阳林州期末)下面几对图形中，相似的是（) 贵路采议 目目 考点04 三角形相似的条件 18.(24-25九上·河南漯河郾城区·期末)如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点P为AB边上一个动点， 在下列条件中，不能使△ABC与△APD相似的是() 5/20 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 出 B.∠APD=∠ACB C.AC AB AP AD D.BC AB DP AD 19.(24-25九上河南洛阳·期末)如图，不能判定△AOB和△COD相似的条件是() D B A8228 B.OA·OD=OB·OC C.∠A=∠OCDD.∠B=∠OCD 20.(24-25九上河南周口太康县·期末)如图，能使△ABC一△AED成立的条件是() E D C A.∠A=∠AB.∠ADE=∠AEDC.SA是 ACAB p. BCAD ED AC 21.(24-25九上·河南洛阳·期末)如图，不能判定△AOB和△COD相似的条件是() D A.OC CD OA_AB B.OA·OC=OB·OD 6/20 耐学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 C.∠A=∠OCD D.∠B=∠OCD 22.(24-25九上河南新乡封丘县金瀚学校·期末)如图，在△ABC中，∠BCA=2∠A. C (I)请用无刻度的直尺和圆规作出∠BCA的平分线（保留作图痕迹，不写作法）： (2)若(1)中所作的角平分线与AB边交于点D,求证：△BCD一△BAC· 考点05 利用相似三角形的性质求解 23.(24-25九上河南新乡延津县·期末)两个相似三角形的面积之比为1：4，则这两个三角形的相似比为 () A.1:16 B.1:2 C.3:1 D.1:4 24.(24-25九上·河南焦作·期末)若△ABC和△（相似，相似比为1：2，则它们的面积比为 25.(24-25九上·河南焦作期末)某学校兴趣小组测量学校旗杆的高度，如图，一名同学直立站在点F处， 手持一块直角三角板，△CDE=90°.且DE:CD=3:3,斜边CE与地面平行，延长CE交AB于点C, 沿CD方向观察刚好看到旗杆的顶端A,该同学身高1.6米，点F到旗杆底部的水平距离为123米，求旗 杆AB的高度. D G B 26.(24-25九上·河南商丘梁园区李庄乡第二中学·期末)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=3,BC=4,翻折∠B,使点B落在直角边AC上某一点D处，折痕为EF,点E、F分别 在边BC、AB上，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为一· 7/20 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 E 27.(24-25九上·河南周口太康县华夏外国语学校·期末)已知△ABC一△些(，若△ABC与△些对应中线 2 的比为，则△ABC与△（的面积比是一， 28.(24-25九上·河南新乡获嘉县10校·期末)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,∠CAD=30°.若 △ABC一△CBD,则∠CBD的度数为一· D 考点06 相似三角形的判定与性质综合 29.(24-25九上河南周口太康县灵运初级中学期末)如图，△ABC中，边BC=12cm,高AD=6cm,边 长为x的正方形HEFG的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则边长x为一. DF 30.(24-25九上·河南周口太康县大许寨乡第一中学·期末)综合与实践 如图1，在正方形ABCD中，AB=4,在BC上取一点G,使得CG=3,以CG为边作正方形CEFG,连 接AF,DG 【问题发现】 1 AF的值是 D ,直线DG,AF所夹锐角的度数是 【拓展探究】 (2)如图2，正方形CEFG绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明：若不成 立，请说明理由. 8/20 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 【解决问题】 (3)如图3，在旋转过程中，当点G到直线DC的距离为2时，请直接写出AF的长. 图1 图2 图3 31.(24-25九上·河南南阳桐柏县·期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC的中点，连接 AD,点E在AD上，连接CE,BE且∠EBD=∠BAD (I)求证：△EBD一△BAD: (2)求证：CE⊥AD: (3)如果∠ABC=∠DCE,求证：BC·CE=2BE·DE. 32.(24-25九上·河南安阳安阳县·期末)【问题探索】 D 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，AC=BC,D是AB边上一点，F是BC边上一点，∠CDF=∠A.求证： △CAD△DBF: 如图2，在四边形ABFC中，AD=BD,LA=∠B=LCDF=45,若AC=,BF=2,求CF自 (3)如图3，在△ABC中，AB=4V2,∠B=45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE,点D在BC上， 点E在AC上，若CE=6,直接写出CD的长. 33.(24-25九上·河南安阳文峰区·期末)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4,点D,E分 别在边AC,AB上，AD=DE=号AB,连接DE.将△ADE绕点A顺时针旋转，记旋转角为a. 9/20 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B B 图1 图2 备用图 【问题发现】 (1)①当a=0时， 5=10 BE= 【拓展研究】 (2)试判断：当0°≤a<360°时， BE CD 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明： 【问题解决】 (3)当△ADE旋转至B,D,E三点共线时，线段CD的长为· 34.(24-25九上河南南阳桐柏县·期末)如图，矩形ABCD中，点E是BC边上的点，且AB=2,BC=5, EC=1. B E (I)求证：△ABE一△ECD: (2)求证：AE⊥DE 35.(24-25九上·河南商丘夏邑县县城中学联考·期末)如图，在矩形ABCD中，E,F分别是AB,AD的 中点，连接EF,CE,CF,若EC⊥EF. D (I)求证：△AFE一△BEC: (2)若AB=8,求BC的长. 36.(24-25九上·河南漯河临颍县·期末)数学活动课上，同学们将两个全等的直角三角形纸片ABC和ADE 10/20