专题04 圆 9大高频考点（期末真题汇编，河南专用）九年级数学上学期人教版

专题04 圆 9大高频考点概览 考点01 圆的基本概念 考点02 利用垂径定理求值 考点03 圆周角定理 考点04 圆内接四边形求角度 考点05 切线的性质定理 考点06 证明某直线是圆的切线 考点07 正多边形和圆 考点08 求弧长、扇形面积 考点09 求其他不规则图形的面积 地 城 考点01 圆的基本概念 1．(24-25九上·河南新乡封丘县·期末)下列说法正确的是（   ） A．直径是圆中最长的弦 B．弧是半圆 C．半圆是圆中最长的弧 D．弦是直径 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，正确的了解有关概念及性质是解题的关键． 利用圆的有关概念及性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，故正确，符合题意； B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意； C、半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故错误，不符合题意； D、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意． 故选：A． 2．(24-25九上·河南南阳内乡县·期末)的最长弦为，则的半径长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆的基本知识；根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故答案为：4． 3．(24-25九上·河南周口郸城县名校联考·期末)若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为4， ∴圆的直径为8， ∵是半径为4的圆的一条弦， ∴， ∴弦的长不可能是10． 故选：D． 地 城 考点02 利用垂径定理求值 4．(24-25九上·河南周口商水县·期末)月亮门，又称月门、月光门、圆洞门，是园林设计中常见的一种元素．它不仅可以作为院落之间的通道，还能透过门洞引入另一侧的景观，营造出一种“庭院深深”的空间感．如图，是公园内常见的圆形“月亮门”示意图，已知门的下部宽度，门的最高点到的距离，求这个圆形“月亮门”的半径． 【答案】这个圆形“月亮门”的半径为． 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．通过构建直角三角形，利用垂径定理和勾股定理来求解圆的半径． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为． ∵，，， ∴，． 在中，根据勾股定理， ∴． 展开得． 解得． 答：这个圆形“月亮门”的半径为． 5．(24-25九上·河南郑州巩义·期末)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，，    在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故选：B． 6．(24-25九上·河南安阳殷都区·期末)如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，点D是中弦的中点，经过圆心O交于点C，若路面，净高，则此圆的半径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 由垂径定理得，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 由勾股定理得，， ∴， 解得． 故选：A． 7．(24-25九上·河南三门峡·期末)中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”．如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取，两点，设所在圆的圆心为，经测量：弦，过弦的中点作交圆弧于点，且，则该车轮的半径等于 cm． 【答案】75 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，连接，设的半径为，由垂径定理可知O，C，D三点共线，再由勾股定理即可得出结论． 【详解】解：连接，设的半径为， ∵C为的中点且 ∴O，C，D三点共线， ∴， ， 在中，由勾股定理得，即 ， 解得， 即该车轮的半径等于， 故答案为：75． 8．(24-25九上·河南新乡封丘县·期末)如图，的直径与弦交于点，，． (1)求的长． (2)当时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理及直角三角形的性质． （1）过点作于点，根据是的直径，，，求出，进而利用勾股定理求出，再根据垂径定理即可求出； （2）根据题意求出，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 是的直径，， ． ， ， ， ，即的长为； （2）解：，， ． 又，， ，． ，即的长为． 地 城 考点03 圆周角定理 9．(24-25九上·河南商丘梁园区李庄乡第二中学·期末)如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角定理．根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半”求出的度数． 【详解】解： ， ， 故选：D． 10．(24-25九上·河南南阳镇平县·期末)如图，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，由可得，再由可求的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 11．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期末)如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（   ） A．30° B．20° C．15° D．10° 【答案】B 【分析】因为，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可知，由，可求出，再次根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆心角是圆周角的2倍等知识点，解决此题的关键是熟练掌握此定理． 12．(24-25九上·河南郑州第八中学·期末)如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧作对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角． 连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ， ， ∴， ∵， ． 故选：C． 13．(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学，新乡第十中学·期末)如图，是的直径，点D，E在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理，邻补角互补，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据圆周角定理得到，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故选：C． 14．(24-25九上·河南漯河郾城区·期末)如图，四边形为的内接四边形，E是延长线上的一点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角的性质，圆内接四边形的性质．根据圆周角的性质可知，再根据圆内接四边形的性质可得． 【详解】解：∵， ∴，     ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 15．(24-25九上·河南新乡封丘县·期末)如图，在中，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得，再证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：2． 16．(24-25九上·河南安阳殷都区·期末)如图，点A，B，C在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆内接四边形．如图，在优弧上取一点，连接，．利用圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理解决问题． 【详解】解：如图，在优弧上取一点，连接，． ， ， ， 故选：C． 地 城 考点04 圆内接四边形求角度 17．(24-25九上·河南周口太康县大许寨乡第一中学·期末)如图，四边形内接于．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 18．(24-25九上·河南商丘柘城县·期末)如图，将的内接三角形绕点顺时针旋转后得到，其中点恰好落在上，则的度数是（   ） A．100 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，旋转的性质，等腰三角形的性质，连接，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由圆内接四边形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵将的内接三角形绕点B顺时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：B． 19．(24-25九上·河南漯河临颍县·期末)如图，四边形内接于，为上的任意一点（点不与点重合），连接，交于点．若，则的度数不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形外角的性质，是的外角，得到，由四边形内接于，得到，从而得到，即可求解，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴，则， ∴， ∴的度数不可能为， 故选：A． 20．(24-25九上·河南新乡封丘县·期末)如图，四边形内接于，为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四边形内接于，，结合为的中点，得到，于是得到，解答即可． 本题考查了圆的内接四边形的性质，圆周角，弧的关系，熟练掌握性质和关系是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故选：B． 21．(24-25九上·河南郑州第八中学·期末)如图，已知是上的四点，延长相交于点．若，试说明的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形．理由见解析． 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，求出， 即可得出，从而判定等腰三角形． 【详解】解：是等腰三角形． 理由如下：∵是上的四点， ∴， ∵， ∵ 即是等腰三角形． 22．(24-25九上·河南实验中学·期末)如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，根据，，求出，根据“圆内接四边形的对角互补”求出即可，熟练运用圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：C． 地 城 考点05 切线的性质定理 23．(24-25上·河南驻马店西平县第一初级中学·期末)在中，，D是边上一点，以为直径作交于点F，并且与相切于点E，连接．    (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质及直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据切线的性质得，再根据平行线的判定即得答案； （2）根据直角三角形的性质先求出，进一步得到，再根据直角三角形的性质即得答案． 【详解】（1）证明：与相切于点E， ，即， ， ，         ； （2）解：，，， ， ，   ，， ． 24．(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)如图，是的直径，为弦，的平分线交于点，过点的切线交的延长线于点．求证：； 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识，连接，根据等腰三角形的性质和角平分线的性质得到，进而得到，根据切线的性质得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：连接，如图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 25．(24-25九上·河南新乡长垣·期末)日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即与相切于点D）．点A在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点B，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）连接，由切线的性质可得，再根据角平分线的判定可得平分线，即可求解； （）由直角三角形的性质可得，进而得到，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，，， ∴是的平分线， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解得， ∴半径长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 26．(24-25九上·河南濮阳·期末)“板车”具有悠久的历史，20世纪90年代以前是农村主要运输交通工具，它发挥过重要的作用．如图2是板车侧面部分的示意图．是车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求车轮的半径长． 【答案】(1)详见解析 (2)车轮的半径长为 【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，证明，，即可得到结论； （2）设车轮的半径长为在中，，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：连接， ∵是直径， ， ∵与相切于点， ， ， ∵是的外角， ， 在中，， ， ∵， ； （2）设车轮的半径长为 ∴， 在中，， ∵， ， ， 即车轮的半径长为． 27．(24-25九上·河南信阳商城县第二初级中学·期末)日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点）．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求半径长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，由切线的性质可得，再根据角平分线的判定可得平分线，即可求解； （）由直角三角形的性质可得，进而得到，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，，， ∴是的平分线， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解得， ∴半径长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 28．(24-25九上·河南驻马店正阳县·期末)中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期(河南安阳股城)．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架的一端A落在地面上时，与的另一个交点为点D，水平地面切于点B． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为． 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理等等： （1）如图所示，连接，根据等边对等角结合三角形外角的性质证明，由切线的性质得到，则由三角形内角和定理可得； （2）设的半径为，则，，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵水平地面切于点B， ∴，即， ∴，即； （2）解：设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 29．(24-25九上·河南新乡获嘉县10校·期末)如图，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．由切线的性质及圆周角定理可得出答案． 【详解】解：连接，    ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴ 又， ∴， 故选：B． 30．(24-25九上·河南信阳新县·期末)某数学兴趣小组在学习完角平分线的作法后，对如何作一个角的平分线产生了浓厚兴趣．除了常用的尺规作图方法外，小明提出了一个更为便捷的方法：在任意角中，将量角器放在角中，使得角的两边分别与量角器的半圆弧相切，再连接角的顶点与量角器的圆心即可得到该角的平分线． 为了验证小明做法的正确性，该小组画出了如图①所示的示意图，请你将“已知”和“求证”补充完整，并完成证明． 已知：如图，已知，半圆， ． 求证： ． 【答案】、分别与半圆相切于点、；平分．证明见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，圆的切线的性质，连接切点与圆心即半径是解题关键． 连接，，由圆的切线的性质可得，，，从而得出，即可得解． 【详解】、分别与半圆相切于点、； 平分． 证明：如图所示，连接，， 、分别与半圆相切于点、， ，，， 在和中， ， ， 即平分． 31．(24-25九上·河南漯河召陵区·期末)当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：），那么该圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，首先连接，交于点D，连接，由切线的性质与垂径定理可求得的长，然后设该圆的半径为，由勾股定理即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：如图，设与刻度尺的下边缘相切于点C，连接，交于点D，连接， 则与刻度尺下边缘垂直， ∵刻度尺上下边缘平行， ∴， ∴， 设， 刻度尺的宽为， 即 则， 在中，， 即， 解得． 故选：B． 地 城 考点06 证明某直线是圆的切线 32．(24-25九上·河南安阳安阳县·期末)如图，为的直径，为上一点，，平分． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质等知识： （1）连接．根据，可得，再由，平分，可得，即可求证； （2）根据圆周角定理可得，在中，根据勾股定理可得． 从而得到为等边三角形，进而得到．，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ． 平分， ． ， ． ， 即． 是的半径， 与相切． （2）解：为的直径，， ，． ， 在中， ． ． 为等边三角形． ． 由（1）可知， ． 在中，． 33．(24-25九上·河南漯河临颍县·期末)如图，在中，，点在上，以点为圆心、的长为半径作，交于点．    (1)作的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． (3)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)直线DF与⊙O相切，理由见解析 (3) 【分析】（1）依题意，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，即可作答． （2）先得出，结合是的垂直平分线，得，即，因为，所以，即．因为是半径，所以直线与相切． （3）先得，再设，则． 结合以及，得，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：作图如下，    （2）解：直线与⊙O相切．理由如下： 如图，连接．    ∵， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是半径， ∴直线与相切． （3）解：如图，连接． ∵， ∴． 设，则． 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， 即． 【点睛】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质，切线的判定，勾股定理，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 34．(24-25九上·河南开封杞县·期末)如图，已知及外一点 ．求作：直线，使 与相切于点”李华同学经过探索、想出了两种作法．具体如下（已知是直线上方一点）： 作法 （如图）：连接，作线段的垂直平分线，交于点：以点为圆心，以的长为半径作，交于点； 作直线．则直线 是的切线， 证明：如图，为直径， ∴，（        ） ∴， ∵ 是的半径， ∴直线是 的切线； 作法一（如图）：连接，交 于点，过点作的垂线；以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线 于点； 连接，交于点； 作直线，则直线是的切线； 证明：…… 请仔细阅读，并完成相应的任务 (1)“作法一”中的“依据”是指 ； (2)请写出“作法”的证明过程． 【答案】(1)直径所对的圆周角为； (2)见解析 【分析】（）根据圆周角定理的推论可得答案； （）由作法可得，，，然后根据“”证明，得，进而可证直线是的切线． 【详解】（1）解: ∵为直径， ∴ （直径所对的圆周角为） ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； 故答案为：直径所对的圆周角为； （2）证明：由作法可得， ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线． 【点睛】本题考查了作图——作垂线、作垂直平分线，圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 35．(24-25九上·河南漯河召陵区·期末)如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． (1)证明：是的切线； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由可得，由得到，可得，推出，结合，即可求证； （2）在中，根据三角形的面积公式求出，再由勾股定理求得，最后根据，即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：在中，， 的面积为，， ， , ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质，勾股定理及平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 36．(24-25九上·河南焦作·期末)如图，内接于，为的直径， (1)如图1，将绕圆心顺时针旋转至，当点与点重合时，图中与相等的角有______． (2)如图2，若，将绕点顺时针旋转至，当和相切时，求证：是的切线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，切线的判定定理，直径所对圆周角，含角直角三角形，矩形和正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题关键 （1）由旋转的性质得到，由得出，得到； （2）如图，作，垂足为点，得到四边形为矩形，由旋转的性质得出，得到四边形为正方形，得出，即可得到结论． 【详解】（1）解： 绕圆心顺时针旋转至， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：如图，作，垂足为点， 则， 为圆的直径，， ，． 为圆的切线， ， 四边形为矩形； 由旋转知：， ， 四边形为正方形； ， 为圆的切线． 37．(24-25九上·河南信阳固始县·期末)如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，得，由30度角的性质可求出，根据勾股定理求出，然后再由30度角的性质即可求解． 此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的判定定理，圆周角定理，30度角所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接． ，． ． ． ． ， ． 是的半径， 是的切线． （2）如图，连接，由（1）得： 是的直径， ． ，， ∴，， ． 在中，． ． 38．如图，平分，与相切于点，连接，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理： （1）过点作于，切线的性质结合角平分线的性质，得到，即可得证； （2）中，求出的长，切线长定理得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）过点作于， 切于D， 平分，， ， 是的切线； （2）的半径为4，，中，， ，是的切线， ∴，设， 在中，， ∴． 地 城 考点07 正多边形和圆 39．(24-25九上·河南信阳浉河区·期末)若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形是 ． 【答案】正六边形 【分析】本题考查了正多边形的边数与中心角的关系，掌握正多边形的中心角等于是解题的关键． 根据正多边形中心角等于即可求解． 【详解】解：由题意得，边数为， 故答案为：正六边形． 40．(24-25九上·河南驻马店确山县部分私立初中·期末)刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（   ）    A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，含角的直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是熟练运用这些知识点． 如图，过点A作于，得到圆的内接正十二边的圆心角为，根据三角形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：由题意可作图如下，过点A作于，    ∵圆的内接正十二边形的圆心角为， ∴， ∴， 即这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：B 41．(24-25九上·河南商丘虞城县·期末)如图，正方形内接于，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角等知识点，熟练掌握正多边形的中心角公式是解题的关键． 根据正多边形的中心角公式即可直接得出答案． 【详解】解：正方形内接于， 既是圆的圆心又是正方形的中心， ， 故答案为：． 地 城 考点08 求弧长、扇形面积 42．(24-25九上·河南信阳浉河区·期末)如图，用一个半径为9厘米的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有相对滑动，则重物上升了 厘米（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．利用弧长公式计算即可． 【详解】解：重物上升的高度为：（厘米）， 故答案为：． 43．(24-25九上·河南安阳安阳县·期末)物理课上，诚诚发现当重物上升时，滑轮上点的位置也在不断改变．如图，已知滑轮的半径，若重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点按逆时针方向旋转的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式的计算．重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：设旋转的角度是，滑轮的半径是， 由题意得：， 解得：， 绕点O按逆时针方向旋转的度数为， 故选：C． 44．(24-25九上·河南漯河召陵区·期末)扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知，，的长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，设，利用弧长公式求解即可，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设， 由题意可得：， ∴， ∴的长， 故答案为：． 45．(24-25上·河南安阳滑县·期末)如图，A是外一点，直线与相切于点B，的延长线交于点C，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，弧长公式，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 连接，由等边对等角得到，从而，根据切线的性质与勾股定理可求得，根据弧长公式即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵直线与相切于点B， ∴，即， ∴在中，， ， ∵， ∴． 故选：C 46．(24-25九上·河南周口西华县·期末)如图，，，，两两不相交，且半径都是，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，关键是由图形得到四个扇形的面积之和半径是的圆的面积．四个扇形的面积之和=半径是的圆的面积，由此即可计算． 【详解】解：四边形内角和是， 四个扇形的面积之和半径是的圆的面积， 故答案为：． 47．(24-25九上·河南南阳唐河县·期末)如图，是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】如图所示，连接， ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ， ， ． 故答案为：． 48．(24-25九上·河南安阳内黄县·期末)如图，在中，是直径，C是圆上的一点，点D在的延长线上，直线是的切线． (1)求证：． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，面积的求法，三角形的解法． （1）连接，得到，然后可得结论； （2）推出，通过求解三角形，推出，然后求解面积． 【详解】（1）证明：如图，连接OC． 是直径， ． ， ， ． 直线CD是的切线， ， ， ． （2）解：，， ， ， ． ，， ， ． 地 城 考点09 求其他不规则图形的面积 49．(24-25九上·河南安阳文峰区·期末)如图，在中，已知，把绕点逆时针旋转得到，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式和数形结合的思想解答．根据旋转的性质可知，从而可以得到，再根据图形阴影部分的面积＝，然后代入数据计算即可解答本题． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴； ∵图形阴影部分的面积＝， ∴图形阴影部分的面积＝； 故答案为：． 50．(24-25九上·河南信阳固始县·期末)如图1，这是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量，得到扇形的圆心角的度数为，，C，D分别为的中点，则花窗的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知， 又分别为的中点， 又 故答案为：． 51．(24-25九上·河南新乡第一中学·期末)如图，已知点C，D是以为直径的半圆O的三等分点，圆的半径为1，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，连接、，根据C，D是以为直径的半圆的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算求解即可． 【详解】解：连接、、， ∵C，D是以为直径的半圆的三等分点， ∴，， 又∵， ∴、是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 52．(24-25九上·河南洛阳·期末)如图，是的弦，点是的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若的半径为2，则阴影部分的面积为________________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质定理，勾股定理，扇形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）设交于点，连接，则，由点是的中点，根据垂径定理得，由切线的性质得出，得到，即可得到结论； （2）由题意得，则，求出，由，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，设交于点，连接， 则， ， 点是的中点， ， ， ∵是切线， ， ， ，， ， ； （2）解：，，的半径为， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 53．(24-25九上·河南焦作·期末)如图，已知扇形的半径为3，圆心角为，点在上，，过作于点，连接．则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留根号和） 【答案】 【分析】本题考查了求扇形的面积，直角三角形的性质，勾股定理．在中，利用直角三角形的性质以及勾股定理求得，，再利用图中阴影部分的面积列式计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 54．如图，在中，，，，以为圆心，长为半径作弧，分别交于，于点，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握不规则图形面积的计算，扇形面积的计算方法是解题的关键． 根据含角的直角三角形可得，如图所示，连接，过点作于点，根据题意可得是等边三角形，可得，由，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，， ∴， 如图所示，连接，过点作于点，    ∵以为圆心，长为半径作弧，分别交于，于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 故答案为： ． 55．(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学，新乡第十中学·期末)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，E均在小正方形的顶点上，交于点H，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，圆周角定理以及弧长的计算，扇形面积计算，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键．首先证明是等腰直角三角形，再求出所对圆心角为90°，最后根据扇形面积公式和三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接BH，，，取的中点，连接，， ∵每个小正方形的边长均为1， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴所对圆心角为， ∴． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题04圆 ☆9大高频考点概览 考点01圆的基本概念 考点02利用垂径定理求值 考点03圆周角定理 考点04圆内接四边形求角度 考点05切线的性质定理 考点06证明某直线是圆的切线 考点07正多边形和圆 考点08求弧长、扇形面积 考点09求其他不规则图形的面积 考点01 圆的基本概念 1.(24-25九上·河南新乡封丘县·期末)下列说法正确的是() A.直径是圆中最长的弦 B.弧是半圆 C.半圆是圆中最长的弧 D.弦是直径 2.(24-25九上·河南南阳内乡县·期末)⊙O的最长弦为8cm,则⊙O的半径长为cm. 3.(24-25九上·河南周口郸城县名校联考·期末)若A,B是半径为4的⊙O上的两个点，则弦AB的长不可 能是() A.2 B.6 C.8 D.10 考点02 利用垂径定理求值 4.(24-25九上·河南周口商水县·期末)月亮门，又称月门、月光门、圆洞门，是园林设计中常见的一种元素. 它不仅可以作为院落之间的通道，还能透过门洞引入另一侧的景观，营造出一种“庭院深深”的空间感. 如图，是公园内常见的圆形“月亮门”示意图，己知门的下部宽度AB=1.8m,门的最高点C到AB的距离 CD=2.7m,求这个圆形“月亮门”的半径. 1/17 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 5.(24-25九上·河南郑州巩义期末)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明 的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交AB于点 C,测出AB=30cm,CD=5cm,则圆形工件的半径为() B A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm 6.(24-25九上·河南安阳殷都区·期末)如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，点D是⊙O 中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点C,若路面AB=6m,净高CD=9m,则此圆的半径OA的长 为() D B A.5m B.4m C.3 D.3m 7.(24-25九上·河南三门峡·期末)中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系.《周礼·考工记》记载： “…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸…”.如图，某学习小组通 过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取A,B两点，设AB所在圆的圆心为O,经测量：弦 AB=120cm,过弦AB的中点C作CD⊥AB交圆弧于点D,且CD=30cm,则该车轮的半径等于cm. 2/17 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D 8.(24-25九上·河南新乡封丘县期末)如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E,AB=4,∠CDO=30°. C (1I)求CD的长， (2)当BE=2-2时，求CE的长. 目目 考点03 圆周角定理 9.(24-25九上·河南商丘梁园区李庄乡第二中学·期末)如图，已知AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的两 点，∠AOD=70°，则∠ACD的度数是() B A.50° B.45° C.40° D.35° 10.(24-25九上·河南南阳镇平县·期末)如图，点A、B、C在⊙O上，若∠A=40°，则∠BCO的度数为 () 3/17 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.60° B.50° C.45° D.40° 11.(24-25九上河南驻马店平舆县·期末)如图，A,B,C为⊙O上的三个点，∠AOB=3∠BOC,若 ∠ACB=60°，则∠BAC的度数是() A.30° B.20° C.15° D.10° 12.(24-25九上河南郑州第八中学期末)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径， 若∠ABC=70°，则∠BEC的度数为() E 0 B D A.40° B.30° C.20 D.10° 13.(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学，新乡第十中学，期末)如图，AB是⊙O的直径，点D,E 在⊙O上，且∠E=35°，则∠BOD=元() D B E A.100° B.105° C.110° D.120° 14.(24-25九上·河南漯河郾城区·期末)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点， 已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为() 4/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A 0 C E A.40° B.60° C.50° D.80° 15.(24-25九上·河南新乡封丘县期末)如图，在⊙O中，∠ACB=30°，AO=2,则AB的长为一· 16.(24-25九上河南安阳殷都区期末)如图，点A,B,C在⊙O上，∠B=110°，则∠AOC的度数为 () B A.70° B.110° C.140° D.150° 考点04 圆内接四边形求角度 17.(24-25九上河南周口太康县大许寨乡第一中学·期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O.若∠A=80°， 则∠C的度数为() 0 D B 5/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.80° B.90° C.100° D.110° 18.(24-25九上·河南商丘柘城县·期末)如图，将⊙O的内接三角形ABC绕点B顺时针旋转30°后得到 △ABC,其中点C恰好落在⊙O上，则∠A的度数是() A.100 B.105° C.110° D.115° 19.(24-25九上河南漯河临颍县·期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O,E为CD上的任意一点（点E不与 点D,C重合)，连接BE,交DC于点P.若∠CPE=55°，则∠A的度数不可能为() 2 E A.120° B.130° C.140° D.150° 20.(24-25九上河南新乡封丘县·期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O,C为BD的中点.若∠A=50°， 则∠CDB的度数为() ●O A.20° B.25° C.30° D.35° 21.24-25九上河南郑州第八中学·期末)如图，已知A,B,C,D是⊙O上的四点，延长DC,AB相交于点 E.若BC=BE,试说明△ADE的形状，并说明理由. 6/17 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D 22.(24-25九上·河南实验中学·期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接AC.若AB=BC, ∠BAC=36°，则∠D的度数是() D A.70° B.71° C.72o D.73° 目目 考点05 切线的性质定理 23.(24-25上·河南驻马店西平县第一初级中学·期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点， 以BD为直径作⊙O交BC于点F,并且⊙O与AC相切于点E,连接OE. (I)求证：BC‖OE: (2)若⊙O的半径为5，∠A=30°，求BC的长 24.(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学.期末)如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交 ⊙O于点D,过点D的切线交AC的延长线于点G.求证：DG⊥AG: 7/17 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D 25.(24-25九上·河南新乡长垣·期末)日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器.它是根据日影的位置，指 定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器.小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日 晷进行了观察.如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接 触点（即BC与⊙O相切于点D),点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与BC交于点 B,连接AC,OC,OA⊥AC. B (I)求证：∠ACO=∠BCO: (2)若AC=3,∠B=30°，求⊙O半径长. 26.(24-25九上·河南濮阳期末)“板车”具有悠久的历史，20世纪90年代以前是农村主要运输交通工具， 它发挥过重要的作用.如图2是板车侧面部分的示意图.AB是车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端 点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D,连接AD,BD 图1 图2 (1)求证：∠ADC=∠DBC: (2)若CD=2V3,CB=3,求车轮的半径长. 27.(24-25九上·河南信阳商城县第二初级中学·期末)日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器.它是根据 日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器.小东为了探究日晷的奥秘， 在不同时刻对日晷进行了观察.如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日 8/17 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 晷与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D).点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长 线与BC交于点B,连接AC、OC,OA⊥AC. (1)求证：∠ACO=∠BCO: (2)若AC=3,∠B=30°，求⊙O半径长 28.(24-25九上·河南驻马店正阳县·期末)中国最迟在四千多年前的夏禹时代己有了马车，而目前考古发现 最早的双轮马车始见年代为商代晚期（河南安阳股城）.小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型， 他绘制了如图2的车轮侧面图.如图2，当过圆心O的车架AC的一端A落在地面上时，AC与⊙O的另一 个交点为点D,水平地面AB切⊙O于点B, 图 图2 (1)求证：∠A+2∠C=90°： (2)若AD=2m,AB=3m,求⊙O的半径， 29.(24-25九上·河南新乡获嘉县10校·期末)如图，AB,CD为⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B.若 ∠ABC=32°，则∠E的度数为() D B A.32° B.58° C.64° D.68° 30.(24-25九上·河南信阳新县·期末)某数学兴趣小组在学习完角平分线的作法后，对如何作一个角的平分 线产生了浓厚兴趣.除了常用的尺规作图方法外，小明提出了一个更为便捷的方法：在任意角中，将量角 9/17 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 器放在角中，使得角的两边分别与量角器的半圆弧相切，再连接角的顶点与量角器的圆心即可得到该角的 平分线。 为了验证小明做法的正确性，该小组画出了如图①所示的示意图，请你将“已知”和“求证”补充完整， 并完成证明. 已知：如图，已知∠ABC,半圆O,-· 求证：一 31.(24-25九上·河南漯河召陵区·期末)当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处 的读数如图所示（单位：cm),那么该圆的半径为(） 03456910mT A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 目目 考点06 证明某直线是圆的切线 32.(24-25九上·河南安阳安阳县·期末)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠D=90°，BC平分 ∠ABD. (1)求证：CD与⊙O相切： (2)若AC=2V3,AB=4,求BD的长. 33.(24-25九上河南漯河临颍县·期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以点O为圆心 10/17