精品解析：广东省汕头市潮阳林百欣中学2025-2026学年高二上学期12月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期 第二阶段考试高二级数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出给定直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：D 2. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用关于原点对称的两点间的关系直接求解. 【详解】因为点， 所以点关于原点对称的点的坐标为. 故选：C 3. 如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（ ） A. 线段 B. 射线 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】A 【解析】 【分析】根据关系式的几何意义即可得解. 【详解】由点的运动轨迹方程为:， 表示点到点的距离之和为6，又， 所以的轨迹为线段， 故选：A. 4. 在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量求解异面直线所成角的余弦值. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2， 则 , 设异面直线与所成的角为，则， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 截距式适用于不过原点的任何直线 B. 两点式适用于不垂直于x轴的任何直线 C. 经过第三象限一点，且在x轴、y轴上的截距相等的直线只有一条 D. 两圆、公共弦所在直线方程为 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，结合直线方程的性质，逐项判断即可；对于D，直接根据两圆方程相减即可． 【详解】对于A，截距式中，两截距必须存在且都不为，因此直线不能过原点，也不能与坐标轴平行，故A错误； 对于B，两点式中，分母不为，不能表示垂直于轴、轴的直线，故B错误； 对于C，经过第三象限一点，且在x轴、y轴上的截距相等的直线有过原点的一条和不过原点的一条，故C错误； 对于D，两圆、公共弦所在直线方程，可结合两圆方程消去二次项即可，即两圆方程相减可得，故D正确． 故选：D． 6. 已知圆与圆相交于两点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出公共弦所在的直线方程以及公共弦长，利用面积公式计算即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即，则圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交； 联立,相减可得直线：， 所以到直线的距离为， 利用圆与直线相交可得：， 所以. 故选：A. 7. 已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据叉乘公式直接代入计算即可. 【详解】由题意得： ， 则向量即为平面的法向量， 故选：A． 8. 设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求椭圆上的点到点的最大距离，再加上即为所求. 【详解】设，则，代入到椭圆方程， 可得，整理得：. 由，所以. 即椭圆上的点到点的最大距离为. 所以圆上的点与椭圆的点的距离的最大值为. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，部分对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为10 C. 的最小值为3 D. 椭圆的离心率越大形状越扁平 【答案】AD 【解析】 【分析】求出椭圆a、b、c的值，再结合椭圆的基本性质即可求解． 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，故A正确； 对于B，的周长为，故B错误； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，当一定时，椭圆的离心率越大，则越大，越小，椭圆形状越扁平，故D正确． 故选：AD． 10. 向量，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】若得，使，列出方程组，即可判断A；由空间向量模的坐标运算公式即可判断B；由空间向量垂直，得，即可判断C；由空间向量的投影向量计算公式即可判断D． 【详解】对于A，若，则，使，即，显然无解，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，得， 则在方向上的投影向量为，故D正确； 故选：BCD． 11. （多选）已知双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则 B. 使得为等腰三角形的点有且仅有2个 C. 点到两条渐近线的距离的乘积为 D. 已知点，则的最小值为5 【答案】AC 【解析】 【分析】设P坐标，利用斜率公式、点在双曲线上结合换元法表示斜率平方，根据二次函数的性质计算可判定A，利用双曲线的对称性分类讨论即可判定B，利用渐近线方程、点到直线的距离公式计算可判定C，直接利用三角形三边关系计算即可判定D. 【详解】对于A，由题意可知，，设， 则直线的斜率， ， 令， 则 ， 令， 则在上单调递减， ，则，故A正确； 对于B，当时，满足条件的点有两个， 当时，满足条件的点有两个， 显然不存在点满足， 满足为等腰三角形的点有4个，故B错误； 对于C，易知双曲线的渐近线方程为，即， 点到两条渐近线的距离的乘积为， 故C正确． 对于D，点与在双曲线两侧，当三点共线，且点在线段上时， 有最小值，此时，故D错误． 故选：AC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，三点共线，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】由，，可得： ，， 因为，，三点共线，所以， 即，则. 故答案为：. 13. 圆与圆的公切线的条数为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】对于圆，可得圆心为，半径为， 对于圆，可得圆心为，半径为， 由两点间距离公式得圆心之间的距离为， 而，则两圆相交， 可得两圆的公切线条数为2. 故答案为：2 14. 早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也．已知O为坐标原点，．若，的“长”分别为1，r，且两圆相切，则________． 【答案】1或3 【解析】 【分析】根据圆的定义，得出和的圆心和半径，再由两圆相切分为内切和外切两种情况，分别得出两半径间的关系，求解即可． 【详解】由题意，O为坐标原点，， 根据圆的定义可知，的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为r， 因为两圆相切， 当两圆外切时，则有，即， 当两圆内切时，则有，即，或（舍） 所以或3， 故答案为：1或3． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 【答案】（1）相交 （2）和 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【小问1详解】 圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. 【小问2详解】 若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 16. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为为上一点. （1）求的方程； （2）过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组，解出即可； （2）根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程，求出的坐标，再利用两点间距离公式求解即可. 【小问1详解】 由题得:，解得， 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 设， 如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：，整理得：， 所以， 所以 所以. 17. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 【答案】（1） 由题意知、分别、中点，则得， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，然后求出直线的方向向量及平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）利用点到平面距离的向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则， 故线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 18. 如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，． （1）证明：平面平面； （2）若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明: 为等边三角形，， 又四边形为梯形，，则， 根据余弦定理可知，在中，， 根据勾股定理可知，即， 平面， 平面，又平面平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理先证，再证平面即可得面面垂直； （2）根据条件建立合适的空间直角坐标系，根据体积先计算E坐标，再利用空间向量求面面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 为中点，， 由（1）可知，平面平面， 又平面平面平面， 平面， 连接，则，且平面， 故， 所以PO，BD，OC两两垂直． 以O为原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，以为z轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 设且，则， 由三棱锥的体积为得：， 所以， ， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 故． 所以平面与平面的夹角余弦值为： . 19. 已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知是椭圆内一点，过点M任作一条直线与椭圆交于A、B两点，求以M为中点的弦AB所在的直线方程； （3）设点D为椭圆的右顶点，是否存在过点的直线l交椭圆C于P、Q两点，使得直线DP，DQ的斜率之和等于－1？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）代入，得到方程，结合离心率和，求出，得到椭圆方程； （2）点差法求出，进而求出直线方程； （3）当直线l的斜率为0时，不合题意，当直线l的斜率不为0时，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，计算出，从而得到，得到存在满足条件的直线，直线l的方程为：． 【小问1详解】 由题意得， 将代入椭圆方程得， 又，解得， 故椭圆方程为 【小问2详解】 根据题意得中点弦的斜率存在，且M在椭圆内，设，， 所以，， 两式作差，得， 由于M是BC的中点，故，， 所以，所以，所以， 所以中点弦的方程为，所求的直线方程． 【小问3详解】 当直线l的斜率为0时，此时D和P或D和Q重合，显然不满足条件， 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：，，， 由，可得， 由题意， 则，， 由 ， 由，即， 故存在满足条件的直线，直线l的方程为：． 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，解法快捷. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期 第二阶段考试高二级数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（ ） A. 线段 B. 射线 C. 椭圆 D. 双曲线 4. 在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 截距式适用于不过原点的任何直线 B. 两点式适用于不垂直于x轴的任何直线 C. 经过第三象限一点，且在x轴、y轴上的截距相等的直线只有一条 D. 两圆、公共弦所在直线方程为 6. 已知圆与圆相交于两点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（ ） A. B. C. D. 8. 设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ） A. 7 B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，部分对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为10 C. 的最小值为3 D. 椭圆的离心率越大形状越扁平 10. 向量，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，在方向上的投影向量为 11. （多选）已知双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则 B. 使得为等腰三角形的点有且仅有2个 C. 点到两条渐近线的距离的乘积为 D. 已知点，则的最小值为5 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，三点共线，则______. 13. 圆与圆的公切线的条数为_____. 14. 早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也．已知O为坐标原点，．若，的“长”分别为1，r，且两圆相切，则________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 16. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为为上一点. （1）求的方程； （2）过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 17. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 18. 如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，． （1）证明：平面平面； （2）若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 19. 已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知是椭圆内一点，过点M任作一条直线与椭圆交于A、B两点，求以M为中点的弦AB所在的直线方程； （3）设点D为椭圆的右顶点，是否存在过点的直线l交椭圆C于P、Q两点，使得直线DP，DQ的斜率之和等于－1？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $