专题2.3.2 抛物线的简单几何性质（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学抛物线的简单几何性质，系统梳理范围、对称性、顶点、离心率等基础性质，延伸至通径、焦点弦结论，再到直线与抛物线位置关系及弦长公式，构建从基础到综合应用的递进式学习支架。 资料以“即学即练+典例变式”分层设计为亮点，通过对比椭圆双曲线离心率培养数学眼光，结合焦点弦二级结论推导提升数学思维，以探照灯反射实例强化数学语言应用。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过题型分类练习查漏补缺，巩固知识。

专题2.3.2抛物线的简单几何性质 教学目标 掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 理解抛物线离心率，区分与椭圆、双曲线离心率的不同； 掌握抛物线焦点弦、通径的相关结论，会处理直线与抛物线相交问题； 能够利用抛物线几何性质解决弦长、中点、简单综合计算。 教学重难点 1.重点 抛物线的范围、对称性、顶点、离心率； 通径、焦点弦的相关结论； 直线与抛物线相交，联立方程、韦达定理求弦长。 2.难点 抛物线没有中心、没有渐近线，与椭圆双曲线性质区分； 焦点弦二级结论记忆与灵活使用； 直线与抛物线联立，注意直线斜率不存在的情况； 抛物线中点弦问题（点差法）。 知识点 1：抛物线的几何性质 范围：，；图像向右无限延伸。 对称性：只关于轴对称；抛物线只有一条对称轴，没有对称中心。 顶点：抛物线与对称轴交点，坐标；抛物线只有一个顶点。 离心率：（抛物线离心率恒等于 1，这是抛物线区别椭圆、双曲线的标志）。 【即学即练】 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点，设， 由，得，解得，因此轴， 由对称性得，所以. 知识点 2：通径 过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径。 中通径长：，是抛物线最短的焦点弦。 知识点 3：焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得弦） 设AB是抛物线的焦点弦， 焦半径： 焦点弦长： 重要二级结论： 无论焦点弦直线斜率是否存在，上面两组恒等式均成立。 【即学即练】 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】设点，由题意可得. 所以. 知识点 4：直线与抛物线的位置关系 抛物线，直线l 联立直线与抛物线方程，消元得到一元方程。 ⚠特别提醒：当直线平行对称轴时，消元之后得到一次方程，此时直线和抛物线只有一个交点，但不是相切，是相交。 判断位置： ①两个交点：得到二次方程，判别式； ②一个交点：（相切）；或者直线平行对称轴（相交）； ③无交点：。 【即学即练】 已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过的直线与交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意确定抛物线，分直线平行于轴时和不平行于轴时，分别求，即可得解. 【详解】根据题意，抛物线的焦点到其准线的距离为2， 即，则抛物线，焦点， 当直线平行于轴时，，， 当直线不平行于轴时， 设直线，， 联立方程组，得，， 则， 又，所以的最小值为4. 故选：B 知识点 5：弦长公式 若直线与抛物线交于，直线斜率为k 【即学即练】 已知点在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点间的距离公式，结合的取值范围，即可求解. 【详解】设，， ， 当时，取得最小值2. 故选：A 知识点 6：圆锥曲线离心率对比小结 椭圆： 双曲线： 抛物线： 题型 01抛物线基础几何性质 【典例1】已知抛物线，的焦点分别为，，则（    ） A． B．与有两个交点 C．的准线方程为 D．点到的准线的距离为4 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合抛物线的几何性质，以及联立方程组的解的个数，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由抛物线，可得，所以， 所以的焦点坐标为，准线方程为，所以C错误； 又由抛物线，可得，所以， 所以的焦点坐标为，准线方程为， 可得，所以A正确； 联立方程组，解得或， 所以抛物线和有两个公共点，交点坐标分别为，所以B正确； 由且抛物线准线方程为，可得点到的准线的距离为，所以D正确. 【变式1】已知且、两点的坐标分别为，，曲线上的点满足，则（     ） A．曲线的图象既有对称轴也有对称中心 B．若，曲线的方程为 C．曲线上点的纵坐标的最大值为 D．若点在上，则 【答案】AC 【分析】首先根据已知等量关系得，再由任意曲线上的点，都有、满足方程判断A，将参数值代入方程整理化简判断B，令，并代入曲线化简得，结合二次函数的性质判断C，将取最大值的情况作分析判断D. 【详解】设点，根据题意有， 所以，整理得， 由，则曲线的方程为， A：对于任意曲线上的点，都有， 则，即也在曲线上， 且，则，即也在曲线上， 因此曲线关于轴对称，同时关于原点对称，正确 B：当时有，则， 所以，化简得，B错误， C：由曲线方程得，令，则， 所以，关于的开口向下的二次函数，对称轴为， 因为，故时，， 所以，即纵坐标的最大值为，C正确， D：由C知，当取最大值时，即，此时，D错误. 【变式2】已知抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则其顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】由垂直关系求得抛物线对称轴所在直线方程，再求得对称轴与准线的交点，进而可求解. 【详解】准线的斜率为， 因此过焦点且垂直于准线的对称轴斜率为​， 可得方程是，整理得， 联立，解得，即垂足为， 顶点即为焦点和垂足的中点， 由中点坐标公式得： ，​， 因此顶点坐标为. 【变式3】 题型 02 通径、焦点弦基础计算 【典例1】已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误. 故选：AC 【变式1】已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 【变式2】 对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【答案】AC 【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案. 【详解】A、B，由已知得，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、B错误； C，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故C正确； D，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误. 故选：AC.   【变式3】已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】AC 【详解】抛物线的焦点，，，故A正确. 准线方程为，故B错误. 因为A为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确. 不妨取，则AF的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与y轴相切，故D错误． 题型 3：直线与抛物线位置关系 【典例1】已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为3的直线l交抛物线C于P、Q两点.若，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出直线的方程，将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，再利用焦半径公式得到，代入韦达定理式，解出即可. 【详解】由题意知，抛物线的准线方程为． 因为直线过点，且斜率为3，所以直线的方程为． 由消去，整理得． 因为，所以 设，则，． 因为，所以， 即，即， 因为，所以； 因为，所以． 所以，解得， 所以抛物线的准线方程为， 故选：D． 【变式1】已知抛物线的焦点为F，O为原点，点为抛物线上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．若，则 C．过点的直线与抛物线交于两点，若是线段的中点，则 D．点是直线上一动点，则|PQ|的最小值是 【答案】BCD 【分析】根据抛物线方程可得准线方程，故可判断A的正误，根据焦半径公式可判断B的正误，联立直线方程和抛物线方程结合弦长公式可判断C的正误，根据点到直线距离的公式计算最小值后可判断D的正误. 【详解】由抛物线方程为，故焦点坐标为，准线方程为：， 故A错误， 若，则，故，故B正确； 对于C，因为为线段的中点，故不垂于坐标轴， 设，， 则可得， 故，故， 故，故C正确； 对于D，设，直线， 则， 当且仅当且时等号成立，故D成立. 故选：BCD. 【变式2】  已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线l：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得，进而求出O到直线l的距离，进而求解即可. 【详解】由题意，设直线l：， 联立，得， 设，，则，， 故，则， 所以直线l：，即， 则O到直线l的距离为， 所以的面积为. 【变式3】 题型 4：求弦长 【典例1】已知抛物线与直线交于，两点，焦点为，若，则（    ） A． B．直线与相切 C．的准线方程为 D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用弦长公式求出，再逐项判断即可. 【详解】设，由得， ，，， 由，得或（舍去）， A正确； 由得，方程无实根，则直线与无公共点， 即直线与不相切，B错误； 抛物线的准线方程为，C错误； ，D正确. 【变式1】已知抛物线第一象限上的点，过点的直线与抛物线交于两点，则下面说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，直线与抛物线的另一个交点为，则 C．若，则 D． 【答案】AB 【分析】根据焦半径公式计算得出判断A，联立方程组再结合韦达定理得出焦点弦计算判断B，应用焦半径性质计算判断C，应用焦点弦计算判断D. 【详解】根据题意，因为，所以，解得，故选项A正确； 当时，，，点的坐标为，所以直线的方程为， 联立整理得，所以，， 所以点的坐标为，所以两点间距离公式得，故选项B正确； 设，所以，解得， 所以，故选项C错误； 对于抛物线，所以，又，所以， 当为通径时取等号，故选项D错误， 故选：AB. 题型 5：中点弦问题 【典例1】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且与准线交于点. 若点为线段的中点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线的准线与轴的交点为，过点分别作，，垂足分别为，进而根据几何关系求得即可求得答案. 【详解】如图，记抛物线的准线为，设抛物线的准线与轴的交点为， 过点分别作，，垂足分别为，则 因为点为线段的中点，， 所以点为线段的中点，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即，解得， 所以，根据抛物线的定义，. 【变式1】已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，.设，，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用抛物线的定义求证，再在直角梯形中计算即可. 【详解】连接，因为，所以， 由抛物线的定义可知，，所以，则， 同理可得，，故， 由，可得，， 故在直角梯形中，， 因为为线段的中点，所以. 【变式2】直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 【变式3】已知抛物线的焦点为，且抛物线过点，过点的直线与抛物线交于两点，分别为两点在抛物线准线上的投影，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．线段长度的最小值为4 B．的形状为锐角三角形 C．三点共线 D．的坐标可能为 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的性质可判断；根据抛物线的定义和平行线的性质可判断；设直线，，联立抛物线及直线方程，结合韦达定理及三点共线的斜率关系可判断；设的中点为，，可得，取可判断 【详解】对于：抛物线过点，所以，所以， 所以线段长度的最小值为通径4，故正确； 对于：由定义知，轴， 所以，同理， 所以，故错误； 对于：设直线，， ，得， 则， 因为，所以，所以三点共线，故正确； 对于：设的中点为，， 则， 取，可得，故正确. 故选：. 题型 6：抛物线最值问题 【典例1】点在抛物线上，则点到直线的距离最短为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据点到直线的距离和二次函数的性质可求最小值为. 【详解】根据题意设， 所以点到直线的距离为： ， 当且仅当时等号成立，此时， 所以当时，点到直线的距离最短且为，B正确. 【变式1】设抛物线：的焦点为，斜率不为1的直线过点，过点作直线的垂线，垂足为，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为. 直线过定点，且，即. 根据直角三角形的性质可得直角顶点的轨迹是以线段为直径的圆（除外）， 圆心为中点，半径. 根据抛物线的定义可得抛物线上任意动点到焦点的距离等于到准线的距离， 即（为到直线的距离）. . 根据几何性质，对固定的，的最小值是到上述圆心的距离减去半径； 所以， 又的最小值是圆心到准线的距离，圆心到准线的距离为， 因此的最小值为. 【变式2】已知点是抛物线上的动点，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】根据已知条件将问题转化为抛物线上的动点到直线和轴的距离之和的最小值，作出图形，利用抛物线的定义及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点， 由，得，所以，如图所示 则动点到轴的距离为 所以， 当且仅当三点共线时，有最小值，即(此时为点到直线的距离)， 所以到直线的距离为， 所以， 所以. 所以的最小值为. 故答案为： 【变式3】设抛物线上一点到直线的距离最小，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】设，利用点到直线的距离公式得到，进而求出最小值及取最小值时点坐标． 【详解】设，则，则， 则到直线的距离为， 显然当时，， 当时，，所以，即． 题型 7：抛物线综合小题（二级结论） 【典例1】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为 D．为钝角 【答案】BD 【分析】求抛物线准线方程判断A；利用抛物线定义求解判断B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求解判断CD. 【详解】如图： 对于A，抛物线的焦点，准线方程为，A错误； 对于B，，而，则，B正确； 显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得， 则，，， 对于C，， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，则， 结合，则为钝角，D正确. 题型 8：抛物线解答大题 【典例1】在直角坐标系中，已知抛物线与，过点的直线与交于两点，直线和分别与交于点和（异于原点）． (1)证明：为定值； (2)证明：； (3)设为直线的交点，，求的最小值． 【答案】(1) 证明：由题意设直线的方程为， 联立与直线的方程，消去，得，， 设，，则，． ，为定值． (2) 证明：直线，与的方程联立，消去，得， 或，，同理，． ． 又，，故． (3) 【分析】（1）设直线的方程为，将其与抛物线联立得到韦达定理式，再整体代入的表达式即可； （2）解出坐标，从而得到和，再利用共线向量定理即可判断； （3）取的中点，根据向量运算得，再计算出，从而得到，再利用两点距离公式并结合二次函数性质即可求出最值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，是的中位线，分别是的中点． 如图，取的中点，则， ． ，其中， ，即， ， ，当时，取等号， 的最小值为．    【变式1】已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2) 由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由消去得，设， 则，线段的中点， 同理得线段的中点，当时，直线斜率， 直线方程为，整理得，直线过定点， 当时，或，直线过定点， 所以直线过定点.    【分析】（1）借助抛物线对称性确定所过点，进而求出抛物线方程. （2）设出直线方程，与抛物线方程联立求出点坐标，进而求出直线方程即可. 【详解】（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称， 若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意， 因此点必在抛物线上，，解得， 所以抛物线的方程为. （2）略 【变式2】  设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于两点 (1)求抛物线C的方程； (2)若直线为的准线，判断以MN为直径的圆与直线是什么位置关系?请说明理由. 【答案】(1) (2)以为直径的圆与直线是相切的位置关系. 理由如下： 由（1）可求得准线为， 由， 消去并化简得，， 不妨设，，， 解得或， 所以 ， 因为，所以中点坐标为， 该点到准线的距离是， 所以以为直径的圆与相切. 【分析】（1）利用抛物线焦点可求抛物线方程； （2）利用抛物线的定义结合梯形的中位线通过圆心到直线的距离等于半径可判断相切. 【详解】（1）抛物线的焦点的坐标为， 由已知直线过点，所以， 所以，故，， 抛物线方程为 （2）略 【变式3】某探照灯的反射镜面与其轴截面的交线是抛物线，把点光源置于它的焦点处，光线经镜面反射后成为平行光束，使照射距离加大.若抛物线的方程为，焦点为，过的直线交于M，N两点，当直线MN垂直于轴时，. (1)求的方程. (2)光的反射定律告诉我们：光从一种介质入射到两种介质的分界面时发生反射，反射光线与入射光线、法线处在同一平面内；反射光线与入射光线分别位于法线的两侧；反射角等于入射角.如图，从点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射，反射光线为，证明：所在直线平行于轴. 【答案】(1) (2)证明：因为不是顶点，故抛物线在处的切线的斜率必存在且不为零且纵截距也不为零， 如图，设抛物线在处的切线的方程为， 由得，① 则，得， 代入①式，得，故点的坐标为. 过点作直线AP垂直于直线l，AP与轴交于点， 则直线AP的方程为. 令，可得，又，所以. 又，所以， 所以，又由反射定律知，所以， 所以AH所在直线平行于轴. 【分析】（1）由题设得抛物线的通径，求出后可得抛物线的方程； （2）设抛物线在处的切线的方程为，联立直线方程和抛物线方程后可求的坐标，从而可求法线方程与轴的交点坐标，故可证，结合题设中的反射定律可证所在直线平行于轴. 【详解】（1）由题设，通径的长为，故，所以抛物线的方程为. （2）略 1．已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 2．已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 当时，即点的坐标为时，取最小值， 则点到直线的距离的最小值是. 3．已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】依题意可得，从而转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为点为抛物线上一动点， 所以，即, 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时，. 故选：B 4．设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】将的最小值转化为到焦点与点P的距离和的最小值问题，数形结合可得最小值. 【详解】由抛物线C的方程，知其焦点为，准线方程为， 所以， 的最小值，即的最小值， 如图， ，当且仅当与抛物线交于，即三点共线时等号成立， 而的最小值为点到直线：的距离， 所以的最小值为. 故选：C. 5．设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，根据图形分别表示出和即可得解. 【详解】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为，则其焦点为， 点是的准线与的对称轴的交点，其坐标为， 点在上，设为，若，则， 且，则. 故选：B. 6．已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆以及抛物线的对称性得到，再求交点横坐标，进而得到. 【详解】圆和抛物线都关于轴对称，因此交点也关于轴对称. 设，由得，即. 则，解得或， 因为抛物线中，舍去，得交点横坐标. 将代入抛物线方程，得. 7．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】先设正三角形的边长为，根据题意得到其中一个顶点坐标，代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】设正三角形的边长为，由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为， 又另外两个顶点在抛物线上， 所以，得， 所以这个正三角形的边长为6. 8．已知圆的圆心为抛物线的顶点，且圆经过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到圆的圆心坐标为，再根据圆经过点求得半径即可. 【详解】解：因为抛物线的顶点坐标为， 所以圆的圆心坐标为， 又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为 故选：B 9．已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【分析】由题意，可知当点A在原点时横坐标有最小值0，由于AB中点M在上，从而最大值为2. 【详解】      由题意，设 由抛物线范围可知，， 所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0， 由AB中点M在上，可知，即， 所以， 即如图2，当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2. 故选：D. 10．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次项的系数判断即可. 【详解】对于对于抛物线的标准方程中， 开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小， 观察四个选项发现：A选项一次项的系数的绝对值最小， 本题选择A选项. 11．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设,利用余弦定理表示出，利用抛物线定义结合梯形中位线性质表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案. 【详解】由抛物线可得准线方程为，焦点， 设，因为点，在抛物线上，且满足 由余弦定理可得, 由抛物线定义可得到准线的距离等于 ，到准线的距离等于， 设为的中点，由梯形的中位线定理可得到准线的距离为， 则弦的中点到轴的距离， 故， 又， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 12．已知抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限交于点，若，则的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线标准方程确定焦点的坐标，进而利用焦半径公式求的横坐标，代入抛物线方程求纵坐标，再利用两点间斜率公式计算直线的斜率. 【详解】由抛物线，可得，即，则焦点，准线方程为. 设，已知，则：，解得， 代入抛物线方程得：， 由在第一象限，可得，即. 因为直线过和， 所以斜率：. 13．抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．设抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．30 【答案】A 【分析】设，由题知三点共线，则，，再解方程得，最后根据焦半径公式求解即可. 【详解】由题知，代入抛物线方程得，即， 因为抛物线的焦点为， 所以，设， 因为三点共线，则，即， 即，解得或（舍），所以， 所以，由焦半径公式得 14．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用的垂直平分线得到点的坐标，根据面积公式即可求解. 【详解】 如图所示，由点在轴正半轴上且，可知点， 由于抛物线的焦点为，则点， 所以， 则直线的斜率为，线段的中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 因为，所以点与点都在直线上， 所以，所以，因此， 又因为点是抛物线上异于原点的一点， 联立得，所以，所以， 所以四边形的面积为，故B正确． 15．已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线l的垂线，垂足为H，若为线段的中垂线，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】结合题意与中垂线性质得到，并且联立方程得到，再结合两点间距离公式建立方程，求出，进而求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，设，，， 若为线段的中垂线，则，而，， 则，而在抛物线上，得到，解得， 得到，解得，则，得到， 而，由两点间距离公式得，解得，故C正确. 16．已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求出，代入抛物线方程得到纵坐标，再结合三角形面积公式求解即可 【详解】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：， 所以. 17．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定方程，求出焦点坐标及准线方程判断AB；利用抛物线的定义，结合范围求解判断CD. 【详解】对于AB，由抛物线方程，得其焦点，准线方程为，A错误，B正确； 对于C，由及，得，则，C正确； 对于D，依题意，，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 18．已知两点的坐标分别为为坐标平面内的动点，直线的斜率分别为，且满足（为定值），设动点的轨迹为．则（    ） A．轨迹关于原点对称 B．轨迹关于直线对称 C．当时，轨迹为一条直线 D．当时，轨迹存在最高点 【答案】BD 【分析】设，根据题意写出斜率之差的方程，化简可得的轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，由此可以分析各个选项的正误. 【详解】设，则，整理得， 即，所以轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，故A错误，B正确； 当时，，即一条直线挖去了两个点，故C错误； 当时，轨迹为，开口向下，有最高点，故D正确． 故选：BD 19．已知曲线，则（     ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上至少有4个整点（即横、纵坐标均是整数的点） C．曲线上存在一点，使得点与点间的距离大于1 D．曲线所围成的区域的面积小于4 【答案】ABC 【分析】利用代入法求解对称性判断A，先求出变量范围，再结合题意求出整点判断B，直接求解距离判断C，发现菱形的面积包裹在曲线之内，进而判断D即可. 【详解】对于曲线上任意一点，其关于轴对称的点为， 则，故曲线关于轴对称，A项正确； 由题意得曲线，且， 所以，解得， 而，则，解得，故， 当时，；当时，；当时，， 故曲线过点，，，B项正确； 曲线上的点与点间的距离大于1，C项正确； 曲线的大致图形如图所示，菱形完全包裹于曲线之内， 故曲线所围成的区域的面积大于，D项错误. 20．已知曲线上的动点到点的距离比它到直线的距离小，则（    ） A．曲线的方程为 B．若以为直径的圆过点，则 C．若点到直线， 的距离分别为，则的最小值为 D．已知是曲线上的两点，若，则线段的中点到轴的距离为 【答案】BC 【分析】根据抛物线定义，利用抛物线性质，平面向量垂直的坐标表示，点到直线的距离公式，中点公式逐项分析即可. 【详解】选项A，由动点到点的距离比它到直线的距离小， 等价于动点到点的距离等于到直线的距离， 根据抛物线的定义可得，曲线的轨迹是焦点为，准线为的抛物线， 设抛物线方程为：，由题意知：， 所以曲线的方程为，故A错误； 选项B，设此时， 因为以为直径的圆过点，所以，即， 又，所以即，① 又，② 联立①②，解得：，即， 根据抛物线性质可得：，故B正确； 选项C，由为抛物线的准线方程，设点到直线的距离为， 根据抛物线的定义可得：， 设点到直线的距离为， 所以， 要使得有最小值， 当且仅当三点共线时，也即，如图所示， 问题转化为求点到直线的距离即， 由点到直线的距离为：， 所以的最小值为，故C正确； 选项D，设，如图所示： 根据抛物线的性质可得：， 由，则，即， 所以线段的中点的横坐标为：， 所以线段的中点到轴的距离为，故D错误. 21．抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 【答案】ABC 【分析】求出焦点坐标判断A；利用抛物线定义，结合两点间线段最短求解判断B；利用抛物线定义求出倾斜角判断C；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及抛物线定义求出弦长关系判断D. 【详解】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 22．已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上的动点，过点作的垂线，垂足为，若准线与圆相切，点为圆上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程为 B．圆的半径 C．当为正三角形时，直线与圆一定相交 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A,利用抛物线方程求出焦准距，即得准线方程；对于B，由准线和圆相切，易求得圆的半径；对于C，设，由抛物线定义得，结合正三角形，列方程求出点坐标，即得，利用圆心到直线的距离公式即可判断；对于D，利用抛物线定义，结合三点共线时线段和最短的性质即可求得. 【详解】对于A， 由可得 ，则其准线方程为 ，故A正确； 对于B，圆 的圆心为 ，准线 ， 因准线与圆相切，则 ，故B正确； 对于C，设 ，则，其中 . 若 为正三角形，则 ， 又由，代入 ，解得 或(舍去)， 回代解得，则 . 因圆心到直线的距离 ，即直线与圆相离，故C错误； 对于D，因 ，对任意抛物线上任意点 ，点为圆上的动点， 有 ， 则 由图知，， 因此的最小值为 ，故D正确. 23．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为________. 【答案】 【分析】设等边三角形边长为a，根据抛物线的对称性以及等边三角形的对称性，表示出顶点A的坐标，代入抛物线方程，即可求得答案. 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另外两个顶点关于x轴对称，如图所示： 设等边三角形边长为a，，则A点横坐标为， 则，代入得，解得（舍去）， 故等边三角形的边长为. 故答案为：. 24．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则________. 【答案】4 【分析】根据抛物线定义，由在抛物线上可得等于点到准线的距离．再结合，通过直角三角形求出角平分线与轴负方向所成的角，进而得到直线的方程，最后与抛物线方程联立求出点，即可求得． 【详解】由，得焦点，准线． 设，其中．因为三点共线，且在线段上，又，所以. 过点作，垂足为． 因为点在抛物线上，所以由抛物线定义得. 在直角三角形中，. 所以. 又因为，且三点共线，所以. 因为是的平分线，所以. 故直线与轴正方向所成的角为，其斜率为． 又直线过点，所以直线的方程为. 联立直线与抛物线的方程，得. 整理得. 解得或. 因为点位于第一象限，且在点的右上方，所以，从而. 于是. 25．设抛物线上一点到直线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为________. 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义，将点到直线的距离转化为，由图可知，当三点共线时，最小，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】    抛物线的焦点为， 则点到直线的距离为， 作垂直于点， 所以的最小值为. 故答案为：2. 26．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 【答案】 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解. 【详解】设，（）， 由，得，所以. 因为在圆上，所以，得， 27．已知过的直线与抛物线交于两点，且，其中为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短，并求出最短距离． 【答案】(1) (2)点的坐标为，最短距离为 【分析】（1）设直线，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，再根据垂直得到点乘为0，代入韦达定理式，求出值即可； （2）设点的坐标为，利用点到直线的距离公式，再结合二次函数性质即可求出最短距离. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率不为0， 设直线方程为， 由得，， 因为，所以，即， 所以，而，所以，所以 故，故抛物线的方程为； （2）设点的坐标为， 则点到直线的距离， 当时，取得最小值，此时点的坐标为，最短距离为.    1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3.2抛物线的简单几何性质 教学目标 掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 理解抛物线离心率，区分与椭圆、双曲线离心率的不同； 掌握抛物线焦点弦、通径的相关结论，会处理直线与抛物线相交问题； 能够利用抛物线几何性质解决弦长、中点、简单综合计算。 教学重难点 1.重点 抛物线的范围、对称性、顶点、离心率； 通径、焦点弦的相关结论； 直线与抛物线相交，联立方程、韦达定理求弦长。 2.难点 抛物线没有中心、没有渐近线，与椭圆双曲线性质区分； 焦点弦二级结论记忆与灵活使用； 直线与抛物线联立，注意直线斜率不存在的情况； 抛物线中点弦问题（点差法）。 知识点 1：抛物线的几何性质 范围：，；图像向右无限延伸。 对称性：只关于轴对称；抛物线只有一条对称轴，没有对称中心。 顶点：抛物线与对称轴交点，坐标；抛物线只有一个顶点。 离心率：（抛物线离心率恒等于 1，这是抛物线区别椭圆、双曲线的标志）。 【即学即练】 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点，设， 由，得，解得，因此轴， 由对称性得，所以. 知识点 2：通径 过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径。 中通径长：，是抛物线最短的焦点弦。 知识点 3：焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得弦） 设AB是抛物线的焦点弦， 焦半径： 焦点弦长： 重要二级结论： 无论焦点弦直线斜率是否存在，上面两组恒等式均成立。 【即学即练】 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】设点，由题意可得. 所以. 知识点 4：直线与抛物线的位置关系 抛物线，直线l 联立直线与抛物线方程，消元得到一元方程。 ⚠特别提醒：当直线平行对称轴时，消元之后得到一次方程，此时直线和抛物线只有一个交点，但不是相切，是相交。 判断位置： ①两个交点：得到二次方程，判别式； ②一个交点：（相切）；或者直线平行对称轴（相交）； ③无交点：。 【即学即练】 已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过的直线与交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意确定抛物线，分直线平行于轴时和不平行于轴时，分别求，即可得解. 【详解】根据题意，抛物线的焦点到其准线的距离为2， 即，则抛物线，焦点， 当直线平行于轴时，，， 当直线不平行于轴时， 设直线，， 联立方程组，得，， 则， 又，所以的最小值为4. 故选：B 知识点 5：弦长公式 若直线与抛物线交于，直线斜率为k 【即学即练】 已知点在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点间的距离公式，结合的取值范围，即可求解. 【详解】设，， ， 当时，取得最小值2. 故选：A 知识点 6：圆锥曲线离心率对比小结 椭圆： 双曲线： 抛物线： 题型 01抛物线基础几何性质 【典例1】已知抛物线，的焦点分别为，，则（    ） A． B．与有两个交点 C．的准线方程为 D．点到的准线的距离为4 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合抛物线的几何性质，以及联立方程组的解的个数，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由抛物线，可得，所以， 所以的焦点坐标为，准线方程为，所以C错误； 又由抛物线，可得，所以， 所以的焦点坐标为，准线方程为， 可得，所以A正确； 联立方程组，解得或， 所以抛物线和有两个公共点，交点坐标分别为，所以B正确； 由且抛物线准线方程为，可得点到的准线的距离为，所以D正确. 【变式1】已知且、两点的坐标分别为，，曲线上的点满足，则（     ） A．曲线的图象既有对称轴也有对称中心 B．若，曲线的方程为 C．曲线上点的纵坐标的最大值为 D．若点在上，则 【答案】AC 【分析】首先根据已知等量关系得，再由任意曲线上的点，都有、满足方程判断A，将参数值代入方程整理化简判断B，令，并代入曲线化简得，结合二次函数的性质判断C，将取最大值的情况作分析判断D. 【详解】设点，根据题意有， 所以，整理得， 由，则曲线的方程为， A：对于任意曲线上的点，都有， 则，即也在曲线上， 且，则，即也在曲线上， 因此曲线关于轴对称，同时关于原点对称，正确 B：当时有，则， 所以，化简得，B错误， C：由曲线方程得，令，则， 所以，关于的开口向下的二次函数，对称轴为， 因为，故时，， 所以，即纵坐标的最大值为，C正确， D：由C知，当取最大值时，即，此时，D错误. 【变式2】已知抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则其顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】由垂直关系求得抛物线对称轴所在直线方程，再求得对称轴与准线的交点，进而可求解. 【详解】准线的斜率为， 因此过焦点且垂直于准线的对称轴斜率为​， 可得方程是，整理得， 联立，解得，即垂足为， 顶点即为焦点和垂足的中点， 由中点坐标公式得： ，​， 因此顶点坐标为. 【变式3】 题型 02 通径、焦点弦基础计算 【典例1】已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误. 故选：AC 【变式1】已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 【变式2】 对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【答案】AC 【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案. 【详解】A、B，由已知得，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、B错误； C，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故C正确； D，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误. 故选：AC.   【变式3】已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】AC 【详解】抛物线的焦点，，，故A正确. 准线方程为，故B错误. 因为A为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确. 不妨取，则AF的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与y轴相切，故D错误． 题型 3：直线与抛物线位置关系 【典例1】已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为3的直线l交抛物线C于P、Q两点.若，则抛物线C的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出直线的方程，将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，再利用焦半径公式得到，代入韦达定理式，解出即可. 【详解】由题意知，抛物线的准线方程为． 因为直线过点，且斜率为3，所以直线的方程为． 由消去，整理得． 因为，所以 设，则，． 因为，所以， 即，即， 因为，所以； 因为，所以． 所以，解得， 所以抛物线的准线方程为， 故选：D． 【变式1】已知抛物线的焦点为F，O为原点，点为抛物线上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．若，则 C．过点的直线与抛物线交于两点，若是线段的中点，则 D．点是直线上一动点，则|PQ|的最小值是 【答案】BCD 【分析】根据抛物线方程可得准线方程，故可判断A的正误，根据焦半径公式可判断B的正误，联立直线方程和抛物线方程结合弦长公式可判断C的正误，根据点到直线距离的公式计算最小值后可判断D的正误. 【详解】由抛物线方程为，故焦点坐标为，准线方程为：， 故A错误， 若，则，故，故B正确； 对于C，因为为线段的中点，故不垂于坐标轴， 设，， 则可得， 故，故， 故，故C正确； 对于D，设，直线， 则， 当且仅当且时等号成立，故D成立. 故选：BCD. 【变式2】  已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线l：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得，进而求出O到直线l的距离，进而求解即可. 【详解】由题意，设直线l：， 联立，得， 设，，则，， 故，则， 所以直线l：，即， 则O到直线l的距离为， 所以的面积为. 【变式3】 题型 4：求弦长 【典例1】已知抛物线与直线交于，两点，焦点为，若，则（    ） A． B．直线与相切 C．的准线方程为 D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用弦长公式求出，再逐项判断即可. 【详解】设，由得， ，，， 由，得或（舍去）， A正确； 由得，方程无实根，则直线与无公共点， 即直线与不相切，B错误； 抛物线的准线方程为，C错误； ，D正确. 【变式1】已知抛物线第一象限上的点，过点的直线与抛物线交于两点，则下面说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，直线与抛物线的另一个交点为，则 C．若，则 D． 【答案】AB 【分析】根据焦半径公式计算得出判断A，联立方程组再结合韦达定理得出焦点弦计算判断B，应用焦半径性质计算判断C，应用焦点弦计算判断D. 【详解】根据题意，因为，所以，解得，故选项A正确； 当时，，，点的坐标为，所以直线的方程为， 联立整理得，所以，， 所以点的坐标为，所以两点间距离公式得，故选项B正确； 设，所以，解得， 所以，故选项C错误； 对于抛物线，所以，又，所以， 当为通径时取等号，故选项D错误， 故选：AB. 题型 5：中点弦问题 【典例1】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且与准线交于点. 若点为线段的中点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线的准线与轴的交点为，过点分别作，，垂足分别为，进而根据几何关系求得即可求得答案. 【详解】如图，记抛物线的准线为，设抛物线的准线与轴的交点为， 过点分别作，，垂足分别为，则 因为点为线段的中点，， 所以点为线段的中点，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即，解得， 所以，根据抛物线的定义，. 【变式1】已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，.设，，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用抛物线的定义求证，再在直角梯形中计算即可. 【详解】连接，因为，所以， 由抛物线的定义可知，，所以，则， 同理可得，，故， 由，可得，， 故在直角梯形中，， 因为为线段的中点，所以. 【变式2】直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 【变式3】已知抛物线的焦点为，且抛物线过点，过点的直线与抛物线交于两点，分别为两点在抛物线准线上的投影，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．线段长度的最小值为4 B．的形状为锐角三角形 C．三点共线 D．的坐标可能为 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的性质可判断；根据抛物线的定义和平行线的性质可判断；设直线，，联立抛物线及直线方程，结合韦达定理及三点共线的斜率关系可判断；设的中点为，，可得，取可判断 【详解】对于：抛物线过点，所以，所以， 所以线段长度的最小值为通径4，故正确； 对于：由定义知，轴， 所以，同理， 所以，故错误； 对于：设直线，， ，得， 则， 因为，所以，所以三点共线，故正确； 对于：设的中点为，， 则， 取，可得，故正确. 故选：. 题型 6：抛物线最值问题 【典例1】点在抛物线上，则点到直线的距离最短为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据点到直线的距离和二次函数的性质可求最小值为. 【详解】根据题意设， 所以点到直线的距离为： ， 当且仅当时等号成立，此时， 所以当时，点到直线的距离最短且为，B正确. 【变式1】设抛物线：的焦点为，斜率不为1的直线过点，过点作直线的垂线，垂足为，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为. 直线过定点，且，即. 根据直角三角形的性质可得直角顶点的轨迹是以线段为直径的圆（除外）， 圆心为中点，半径. 根据抛物线的定义可得抛物线上任意动点到焦点的距离等于到准线的距离， 即（为到直线的距离）. . 根据几何性质，对固定的，的最小值是到上述圆心的距离减去半径； 所以， 又的最小值是圆心到准线的距离，圆心到准线的距离为， 因此的最小值为. 【变式2】已知点是抛物线上的动点，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】根据已知条件将问题转化为抛物线上的动点到直线和轴的距离之和的最小值，作出图形，利用抛物线的定义及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点， 由，得，所以，如图所示 则动点到轴的距离为 所以， 当且仅当三点共线时，有最小值，即(此时为点到直线的距离)， 所以到直线的距离为， 所以， 所以. 所以的最小值为. 故答案为： 【变式3】设抛物线上一点到直线的距离最小，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】设，利用点到直线的距离公式得到，进而求出最小值及取最小值时点坐标． 【详解】设，则，则， 则到直线的距离为， 显然当时，， 当时，，所以，即． 题型 7：抛物线综合小题（二级结论） 【典例1】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为 D．为钝角 【答案】BD 【分析】求抛物线准线方程判断A；利用抛物线定义求解判断B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求解判断CD. 【详解】如图： 对于A，抛物线的焦点，准线方程为，A错误； 对于B，，而，则，B正确； 显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得， 则，，， 对于C，， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，则， 结合，则为钝角，D正确. 题型 8：抛物线解答大题 【典例1】在直角坐标系中，已知抛物线与，过点的直线与交于两点，直线和分别与交于点和（异于原点）． (1)证明：为定值； (2)证明：； (3)设为直线的交点，，求的最小值． 【答案】(1) 证明：由题意设直线的方程为， 联立与直线的方程，消去，得，， 设，，则，． ，为定值． (2) 证明：直线，与的方程联立，消去，得， 或，，同理，． ． 又，，故． (3) 【分析】（1）设直线的方程为，将其与抛物线联立得到韦达定理式，再整体代入的表达式即可； （2）解出坐标，从而得到和，再利用共线向量定理即可判断； （3）取的中点，根据向量运算得，再计算出，从而得到，再利用两点距离公式并结合二次函数性质即可求出最值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，是的中位线，分别是的中点． 如图，取的中点，则， ． ，其中， ，即， ， ，当时，取等号， 的最小值为．    【变式1】已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2) 由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由消去得，设， 则，线段的中点， 同理得线段的中点，当时，直线斜率， 直线方程为，整理得，直线过定点， 当时，或，直线过定点， 所以直线过定点.    【分析】（1）借助抛物线对称性确定所过点，进而求出抛物线方程. （2）设出直线方程，与抛物线方程联立求出点坐标，进而求出直线方程即可. 【详解】（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称， 若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意， 因此点必在抛物线上，，解得， 所以抛物线的方程为. （2）略 【变式2】  设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于两点 (1)求抛物线C的方程； (2)若直线为的准线，判断以MN为直径的圆与直线是什么位置关系?请说明理由. 【答案】(1) (2)以为直径的圆与直线是相切的位置关系. 理由如下： 由（1）可求得准线为， 由， 消去并化简得，， 不妨设，，， 解得或， 所以 ， 因为，所以中点坐标为， 该点到准线的距离是， 所以以为直径的圆与相切. 【分析】（1）利用抛物线焦点可求抛物线方程； （2）利用抛物线的定义结合梯形的中位线通过圆心到直线的距离等于半径可判断相切. 【详解】（1）抛物线的焦点的坐标为， 由已知直线过点，所以， 所以，故，， 抛物线方程为 （2）略 【变式3】某探照灯的反射镜面与其轴截面的交线是抛物线，把点光源置于它的焦点处，光线经镜面反射后成为平行光束，使照射距离加大.若抛物线的方程为，焦点为，过的直线交于M，N两点，当直线MN垂直于轴时，. (1)求的方程. (2)光的反射定律告诉我们：光从一种介质入射到两种介质的分界面时发生反射，反射光线与入射光线、法线处在同一平面内；反射光线与入射光线分别位于法线的两侧；反射角等于入射角.如图，从点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射，反射光线为，证明：所在直线平行于轴. 【答案】(1) (2)证明：因为不是顶点，故抛物线在处的切线的斜率必存在且不为零且纵截距也不为零， 如图，设抛物线在处的切线的方程为， 由得，① 则，得， 代入①式，得，故点的坐标为. 过点作直线AP垂直于直线l，AP与轴交于点， 则直线AP的方程为. 令，可得，又，所以. 又，所以， 所以，又由反射定律知，所以， 所以AH所在直线平行于轴. 【分析】（1）由题设得抛物线的通径，求出后可得抛物线的方程； （2）设抛物线在处的切线的方程为，联立直线方程和抛物线方程后可求的坐标，从而可求法线方程与轴的交点坐标，故可证，结合题设中的反射定律可证所在直线平行于轴. 【详解】（1）由题设，通径的长为，故，所以抛物线的方程为. （2）略 1．已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 2．已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 当时，即点的坐标为时，取最小值， 则点到直线的距离的最小值是. 3．已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】依题意可得，从而转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为点为抛物线上一动点， 所以，即, 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时，. 故选：B 4．设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】将的最小值转化为到焦点与点P的距离和的最小值问题，数形结合可得最小值. 【详解】由抛物线C的方程，知其焦点为，准线方程为， 所以， 的最小值，即的最小值， 如图， ，当且仅当与抛物线交于，即三点共线时等号成立， 而的最小值为点到直线：的距离， 所以的最小值为. 故选：C. 5．设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，根据图形分别表示出和即可得解. 【详解】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为，则其焦点为， 点是的准线与的对称轴的交点，其坐标为， 点在上，设为，若，则， 且，则. 故选：B. 6．已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆以及抛物线的对称性得到，再求交点横坐标，进而得到. 【详解】圆和抛物线都关于轴对称，因此交点也关于轴对称. 设，由得，即. 则，解得或， 因为抛物线中，舍去，得交点横坐标. 将代入抛物线方程，得. 7．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】先设正三角形的边长为，根据题意得到其中一个顶点坐标，代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】设正三角形的边长为，由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为， 又另外两个顶点在抛物线上， 所以，得， 所以这个正三角形的边长为6. 8．已知圆的圆心为抛物线的顶点，且圆经过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到圆的圆心坐标为，再根据圆经过点求得半径即可. 【详解】解：因为抛物线的顶点坐标为， 所以圆的圆心坐标为， 又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为 故选：B 9．已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【分析】由题意，可知当点A在原点时横坐标有最小值0，由于AB中点M在上，从而最大值为2. 【详解】      由题意，设 由抛物线范围可知，， 所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0， 由AB中点M在上，可知，即， 所以， 即如图2，当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2. 故选：D. 10．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次项的系数判断即可. 【详解】对于对于抛物线的标准方程中， 开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小， 观察四个选项发现：A选项一次项的系数的绝对值最小， 本题选择A选项. 11．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设,利用余弦定理表示出，利用抛物线定义结合梯形中位线性质表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案. 【详解】由抛物线可得准线方程为，焦点， 设，因为点，在抛物线上，且满足 由余弦定理可得, 由抛物线定义可得到准线的距离等于 ，到准线的距离等于， 设为的中点，由梯形的中位线定理可得到准线的距离为， 则弦的中点到轴的距离， 故， 又， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 12．已知抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限交于点，若，则的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线标准方程确定焦点的坐标，进而利用焦半径公式求的横坐标，代入抛物线方程求纵坐标，再利用两点间斜率公式计算直线的斜率. 【详解】由抛物线，可得，即，则焦点，准线方程为. 设，已知，则：，解得， 代入抛物线方程得：， 由在第一象限，可得，即. 因为直线过和， 所以斜率：. 13．抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．设抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．30 【答案】A 【分析】设，由题知三点共线，则，，再解方程得，最后根据焦半径公式求解即可. 【详解】由题知，代入抛物线方程得，即， 因为抛物线的焦点为， 所以，设， 因为三点共线，则，即， 即，解得或（舍），所以， 所以，由焦半径公式得 14．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用的垂直平分线得到点的坐标，根据面积公式即可求解. 【详解】 如图所示，由点在轴正半轴上且，可知点， 由于抛物线的焦点为，则点， 所以， 则直线的斜率为，线段的中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 因为，所以点与点都在直线上， 所以，所以，因此， 又因为点是抛物线上异于原点的一点， 联立得，所以，所以， 所以四边形的面积为，故B正确． 15．已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线l的垂线，垂足为H，若为线段的中垂线，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】结合题意与中垂线性质得到，并且联立方程得到，再结合两点间距离公式建立方程，求出，进而求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，设，，， 若为线段的中垂线，则，而，， 则，而在抛物线上，得到，解得， 得到，解得，则，得到， 而，由两点间距离公式得，解得，故C正确. 16．已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求出，代入抛物线方程得到纵坐标，再结合三角形面积公式求解即可 【详解】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：， 所以. 17．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定方程，求出焦点坐标及准线方程判断AB；利用抛物线的定义，结合范围求解判断CD. 【详解】对于AB，由抛物线方程，得其焦点，准线方程为，A错误，B正确； 对于C，由及，得，则，C正确； 对于D，依题意，，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 18．已知两点的坐标分别为为坐标平面内的动点，直线的斜率分别为，且满足（为定值），设动点的轨迹为．则（    ） A．轨迹关于原点对称 B．轨迹关于直线对称 C．当时，轨迹为一条直线 D．当时，轨迹存在最高点 【答案】BD 【分析】设，根据题意写出斜率之差的方程，化简可得的轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，由此可以分析各个选项的正误. 【详解】设，则，整理得， 即，所以轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，故A错误，B正确； 当时，，即一条直线挖去了两个点，故C错误； 当时，轨迹为，开口向下，有最高点，故D正确． 故选：BD 19．已知曲线，则（     ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上至少有4个整点（即横、纵坐标均是整数的点） C．曲线上存在一点，使得点与点间的距离大于1 D．曲线所围成的区域的面积小于4 【答案】ABC 【分析】利用代入法求解对称性判断A，先求出变量范围，再结合题意求出整点判断B，直接求解距离判断C，发现菱形的面积包裹在曲线之内，进而判断D即可. 【详解】对于曲线上任意一点，其关于轴对称的点为， 则，故曲线关于轴对称，A项正确； 由题意得曲线，且， 所以，解得， 而，则，解得，故， 当时，；当时，；当时，， 故曲线过点，，，B项正确； 曲线上的点与点间的距离大于1，C项正确； 曲线的大致图形如图所示，菱形完全包裹于曲线之内， 故曲线所围成的区域的面积大于，D项错误. 20．已知曲线上的动点到点的距离比它到直线的距离小，则（    ） A．曲线的方程为 B．若以为直径的圆过点，则 C．若点到直线， 的距离分别为，则的最小值为 D．已知是曲线上的两点，若，则线段的中点到轴的距离为 【答案】BC 【分析】根据抛物线定义，利用抛物线性质，平面向量垂直的坐标表示，点到直线的距离公式，中点公式逐项分析即可. 【详解】选项A，由动点到点的距离比它到直线的距离小， 等价于动点到点的距离等于到直线的距离， 根据抛物线的定义可得，曲线的轨迹是焦点为，准线为的抛物线， 设抛物线方程为：，由题意知：， 所以曲线的方程为，故A错误； 选项B，设此时， 因为以为直径的圆过点，所以，即， 又，所以即，① 又，② 联立①②，解得：，即， 根据抛物线性质可得：，故B正确； 选项C，由为抛物线的准线方程，设点到直线的距离为， 根据抛物线的定义可得：， 设点到直线的距离为， 所以， 要使得有最小值， 当且仅当三点共线时，也即，如图所示， 问题转化为求点到直线的距离即， 由点到直线的距离为：， 所以的最小值为，故C正确； 选项D，设，如图所示： 根据抛物线的性质可得：， 由，则，即， 所以线段的中点的横坐标为：， 所以线段的中点到轴的距离为，故D错误. 21．抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 【答案】ABC 【分析】求出焦点坐标判断A；利用抛物线定义，结合两点间线段最短求解判断B；利用抛物线定义求出倾斜角判断C；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及抛物线定义求出弦长关系判断D. 【详解】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 22．已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上的动点，过点作的垂线，垂足为，若准线与圆相切，点为圆上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程为 B．圆的半径 C．当为正三角形时，直线与圆一定相交 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A,利用抛物线方程求出焦准距，即得准线方程；对于B，由准线和圆相切，易求得圆的半径；对于C，设，由抛物线定义得，结合正三角形，列方程求出点坐标，即得，利用圆心到直线的距离公式即可判断；对于D，利用抛物线定义，结合三点共线时线段和最短的性质即可求得. 【详解】对于A， 由可得 ，则其准线方程为 ，故A正确； 对于B，圆 的圆心为 ，准线 ， 因准线与圆相切，则 ，故B正确； 对于C，设 ，则，其中 . 若 为正三角形，则 ， 又由，代入 ，解得 或(舍去)， 回代解得，则 . 因圆心到直线的距离 ，即直线与圆相离，故C错误； 对于D，因 ，对任意抛物线上任意点 ，点为圆上的动点， 有 ， 则 由图知，， 因此的最小值为 ，故D正确. 23．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为________. 【答案】 【分析】设等边三角形边长为a，根据抛物线的对称性以及等边三角形的对称性，表示出顶点A的坐标，代入抛物线方程，即可求得答案. 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另外两个顶点关于x轴对称，如图所示： 设等边三角形边长为a，，则A点横坐标为， 则，代入得，解得（舍去）， 故等边三角形的边长为. 故答案为：. 24．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则________. 【答案】4 【分析】根据抛物线定义，由在抛物线上可得等于点到准线的距离．再结合，通过直角三角形求出角平分线与轴负方向所成的角，进而得到直线的方程，最后与抛物线方程联立求出点，即可求得． 【详解】由，得焦点，准线． 设，其中．因为三点共线，且在线段上，又，所以. 过点作，垂足为． 因为点在抛物线上，所以由抛物线定义得. 在直角三角形中，. 所以. 又因为，且三点共线，所以. 因为是的平分线，所以. 故直线与轴正方向所成的角为，其斜率为． 又直线过点，所以直线的方程为. 联立直线与抛物线的方程，得. 整理得. 解得或. 因为点位于第一象限，且在点的右上方，所以，从而. 于是. 25．设抛物线上一点到直线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为________. 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义，将点到直线的距离转化为，由图可知，当三点共线时，最小，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】    抛物线的焦点为， 则点到直线的距离为， 作垂直于点， 所以的最小值为. 故答案为：2. 26．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 【答案】 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解. 【详解】设，（）， 由，得，所以. 因为在圆上，所以，得， 27．已知过的直线与抛物线交于两点，且，其中为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短，并求出最短距离． 【答案】(1) (2)点的坐标为，最短距离为 【分析】（1）设直线，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，再根据垂直得到点乘为0，代入韦达定理式，求出值即可； （2）设点的坐标为，利用点到直线的距离公式，再结合二次函数性质即可求出最短距离. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率不为0， 设直线方程为， 由得，， 因为，所以，即， 所以，而，所以，所以 故，故抛物线的方程为； （2）设点的坐标为， 则点到直线的距离， 当时，取得最小值，此时点的坐标为，最短距离为.    1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $