专题04 圆（期末真题汇编，广西专用）九年级数学上学期

专题04 圆 14大高频考点概览 考点01 利用弧、弦、圆心角的关系求解 考点02 圆周角定理 考点03 利用垂径定理求值 考点04半圆(直径)所对的圆周角是直角 考点05 四点共圆 考点06 判断点与圆的位置关系 考点07 判断直线与圆的位置关系 考点08 利用切线的性质求解 考点09 切线的判定和性质综合 考点10 三角形内切圆的有关运算 考点11 隐圆的有关运算 考点12 求正多边形的中心角 考点13 求弧长 考点14 求扇形的面积/半径 地 城 考点01 利用弧，弦，圆心角的关系求解 1．如图，在中，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟记“同圆中等弧所对圆心角相等”是解决问题的关键． 根据“同圆中等弧所对圆心角相等”得． 【详解】解： ，， ． 故选：A． 2．如图，在中，，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（    ）． A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】连接AB，BC，根据得，再根据三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接AB，BC，如图， ∵ ∴ 又 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了三角形三边关系，弧、弦的关系等知识，熟练掌握上述知识是解答本题的关键． 地 城 考点02 圆周角定理 1．如图，点A、B、C都在上，若，则∠B的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 根据圆周角定理计算即可得解． 【详解】解：∵与所对的弧是同弧， ∴， 故选：C． 2．如图，，分别为的半径，点在圆上，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 3．如图，是的直径，弦，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质以及圆周角定理．由是的直径，弦，若，根据平行线的性质，可求得的度数，又由圆周角定理，即可求得答案． 【详解】解：弦，， ， ． 故选：． 4．如图，四边形内接于，为的直径，． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析； (2)； 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【详解】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 地 城 考点03 利用垂径定理求值 1．直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽为8分米，则积水的最大深度为（   ） A．1分米 B．2分米 C．3分米 D．4分米 【答案】B 【分析】先求出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 的直径为分米， （分米）， ，（分米）， （分米）， （分米）， 积水的最大深度（分米）． 故选：B． 2．如图，中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到． 【详解】解： 中，， ， ， ， 故选：C ． 3.如图，是的直径，半径的长为1，点在线段上运动，过点的弦，将沿翻折交直线于点，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 4．综合与实践 园林美化工程项目改造 背景 圆形在我国传统文化中象征和谐与圆满，被广泛应用于各种建筑中，管理部门计划将某公园园林内的矩形门洞改造成圆弧形门洞，如图1． 素材 绘制设计 根据矩形门洞改造的实物图画出矩形，如图2，作矩形的对角线相交于点，以点为圆心，为半径作圆； 操作测量 经测量，矩形门洞的宽为，高为； 改造估算 经测量，地面与矩形门洞对角线的夹角约为． 任务 （1）求证：四个点在以点为圆心的同一个圆上； （2）求圆弧形门洞的拱高（的中点到弦的距离）； （3）求改造后门洞扩大的面积（结果保留）． 【答案】（1）证明见解析  （2）   （3） 【分析】（1）根据矩形的性质可得，结合圆的半径的知识即可求解； （2）经过圆心作弦的垂线，为垂足，交于点，根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高，在中，由勾股定理得，，根据为中点，是的中点，得到，，由即可求解； （3）根据可得，则优弧的圆心角为，圆的半径，，由门洞扩大的面积为：优弧的扇形面积，代入计算即可． 【详解】（1）证明：如图所示， 四边形是矩形， ，，， ， 四个点在以点为圆心的同一个圆上． （2）解：如图2， 经过圆心作弦的垂线，为垂足，交于点， 根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高， ， ， 在中，由勾股定理得，， 为中点，是的中点， ， ， ， 答：圆弧形门洞的拱高为． （3）解：如图所示， 在中，，， ， ， ∴优弧的圆心角为，圆的半径，， ∴门洞扩大的面积为：优弧的扇形面积， 改造后的门洞扩大面积 ， 答：改造后扩大的门洞面积为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算，掌握矩形的性质，圆的基础知识，扇形面积的计算是解题的关键． 5．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为5米 (2)水面上涨的高度为1米 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过O作于点C，交于点D，根据垂径定理有米，设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，从而可求出水面上涨的高度． 【详解】（1）解：过O作于点C，交于点D，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面上涨的高度为（米）． 地 城 考点04 半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠A的度数等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】先由AB是⊙O的直径得出∠C=90°，再根据AC=BC，得出△ABC是等腰直角三角形，由此求出∠A=45°． 【详解】∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵AC＝BC， ∴△ACB为等腰直角三角形， ∴∠A＝45°． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．同时考查了等腰直角三角形的性质． 2．工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据直径所对的圆周角是直角对三个工件进行分析即可得到答案． 【详解】解：因为直径所对的圆周角是直角， ∴只有B选项正确，其他均不正确． 故选：B． 地 城 考点05 四点共圆 1．如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    【答案】8 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，四点共圆，取的中点O，则，即四点共圆，当是圆的直径时，其值最大为8． 【详解】解：取的中点O，连接，   ， ， 四点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∴当是圆的直径时，其值最大为8． 故答案为：8． 地 城 考点06 判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为3，，则点与的位置关系是（   ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有（1）点在圆外；（2）点在圆上；（3）点在圆内． 由的半径为，知点到圆心的距离小于半径，从而得出答案． 【详解】解：∵的半径为， ∴点到圆心的距离小于半径， ∴点在圆内， 故选：C． 2．的半径为4，点P在外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系的判定方法求解即可． 【详解】解：∵点P在外， ∴． 故选：C． 地 城 考点07 判断直线与圆的位置关系 1．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ） A．与轴相离、与轴相切 B．与轴、轴都相离 C．与轴相切、与轴相离 D．与轴、轴都相切 【答案】A 【分析】将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切． 【详解】解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆， 如图所示： 可知，这个圆与y轴相切，与x轴相离． 故选：A． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，需熟知直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径． 2．如图，若圆O的半径为2，点O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交；由此问题可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵圆O的半径为2，点O到一条直线的距离为2， ∴这条直线与圆相切， 由图可知只有直线与圆相切， 故选：A． 地 城 考点08 利用切线的性质求解 1．如图，与相切于点，交于点，点在上，连接、，，若，则的度数为（    ） A．20° B．25° C．40° D．50° 【答案】B 【分析】先根据切线的性质得到∠OAB＝90°，则利用互余可计算出∠O＝50°，然后根据圆周角定理得到∠ADC的度数． 【详解】解：∵AB是⊙O的切线， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°， ∵， ∴∠O＝90°−40°＝50°， ∴∠ADC＝∠O＝×50°＝25°． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 2．如图，、是的两条切线，A，B为切点，，，则的半径是 ． 【答案】2 【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，含30度角的直角三角形，关键是由切线长定理得到，由含30度角的直角三角形的性质得到． 由切线长定理得到，由切线的性质定理得到，由含30度角的直角三角形的性质求出，得到的半径即可． 【详解】解：、是的两条切线， ，， ， ， ， ， 的半径等于2． 故答案为：2 地 城 考点09 切线的判定和性质综合 1．如图，中，，，平分，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好经过点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，欲证明是的切线，只要证明即可； （2）求出，长，可得出，设，则，可得 ，解方程即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接． 平分， ， ， ， ， ， ， 直线是的切线； （2）解：∵， ∴， 在中，， ， ， ， 在中， ， ， 设，则， ， ， 解之得，或（舍去）， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌切线的判定和性质． 2．如图，是半圆的直径，点是弦延长线上一点，连接，，． (1)求证：是半圆的切线； (2)若，，则的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质，勾股定理． （1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得，进而可证得结论； （2）利用直角三角形的性质，勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明： 是半圆O的直径， ， ， ， 是半圆O的切线； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 3．如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． （1）先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而求出，再用勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， 点必在上，即：是直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ，即：， 点在上， 是的切线； （2）解：， ， ， 即， ，， 在中，， ， ． 4．如图，已知点在直角的斜边上，以为直径的与直角边相切于点     (1)求证：平分； (2)若，，求的半径 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查圆的切线的性质以及勾股定理的应用，等腰三角形的性质等，理解并熟练运用切线的性质是解题关键． （1）连接，根据切线的性质可得到，从而，再结合平行线的性质以及圆的性质推出结论即可； （2）设的半径为r，则，，由，再建立方程求解即可． 【详解】（1）证明： 连接， ， ， 为的切线， ， ， ， ∴， ， ， 是的平分线 ． （2）∵， 设的半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得：， 即的半径为6． 5．如图，A，B为上的两点，已知为的切线，切点为B，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． （1）连接，根据证明，得出，从而得出结论； （2）证明，得出，由勾股定理得出即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， ，，， ， ． 又是的半径， 是的切线． （2）解：，， 为等边三角形， ． 由（1）得，， 在中，， ． ． 6．如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角得出，推得，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，即可证明； （2）设半径为，根据勾股定理可得，据此列出方程，解方程求出即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又于点， ∴于点， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：设半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角性质，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 7．如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识， （1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，得，则，因为，，所以，有勾股定理可求得直径，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ， ， ， ， ∴， ， 于点， ， ∴， 是的半径，， 是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， ，， ，， ， ， ， ∴， 解得（负值舍去）， ， 即的半径为2． 地 城 考点10 三角形内切圆的有关运算 1．如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理算，首先过点作、、，设，，利用切线长定理可得：，从而解出，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，可得三角形另外两边的长，再根据计算即可． 【详解】解：如下图所示，过点作、、， 又， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， 是的内切圆， 设，， 则有，，， ， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ，， ，， ． 故选：A ． 2．如图，中，，，． (1)请画出的内切圆，与，，分别相切于点，，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求，，的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)，， 【分析】本题主要考查了尺规作三角形内切圆，切线长性质定理， （1）作的平分线，再作的平分线，交于点O，过点O作，交于点D，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求作； （2）根据切线长定理得，再结合，，，可得答案． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）∵的内切圆与，，分别相切与点D，E，F， ； ， ， ， 解得：， ， ． 地 城 考点11 隐圆的有关运算 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为 ． 【答案】16 【分析】连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，根据勾股定理和题意求得，则的最大长度为16． 【详解】解：连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、， 此时OP最大 ，则AB的长度最大， ∵， ∴， ∵以点为圆心的圆与轴相切． ∴的半径为3， ∴， ∵是直径， ∴， ∴长度的最大值为16， 故答案为16． 【点睛】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到的最大值是解题的关键． 2．如图，在平面坐标系中，，，为动点，，为直线上的动点，则线段长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，三角形的三边关系，一次函数的几何应用等，由得点在以为直径的圆上，设为直径的圆的圆心为点，可得，即得，又可知直线时，最短，利用勾股定理求出的最小值即可求解，由题意判断出点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点在以为直径的圆上， 设为直径的圆的圆心为点，如图， 连接交于， ∵，， ∴，， ∴， ∵(当且仅当共线时取等号) ， ∴， ∵直线时，最短， ∴的最小值为， ∴线段长的最小值为， 故答案为：． 地 城 考点12 求正多边形的中心角 1．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（    ） A．30° B．32° C．36° D．40° 【答案】C 【分析】连接OA，OE，由圆的内接正多边形先得到中心角的度数，再由圆周角定理即可求得∠ADE的度数． 【详解】 如上图所示，连接OA，OE ∵五边形ABCDE是正五边形 ∴ ∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆 ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形及圆周角定理，熟练掌握相关角度的计算方法是解决本题的关键． 2．苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆心角，正多边形各边所对的中心角相等． 根据正多边形各边所对中心角相等计算即可． 【详解】解：∵正六边形各边所对中心角相等， ∴其中心角的度数为， 故答案为： ． 3．已知正六边形的半径是3，则这个正六边形的边长是 ． 【答案】3 【分析】先根据题意画出图形，再根据正六边形的性质求出∠BOC的度数，判断出△BOC为等边三角形即可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接OB、OC， ∵此六边形是正六边形， ∴∠BOC==60°， ∵OB=OC=3， ∴△BOC是等边三角形， ∴OB=OC=BC=3， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，等边三角形的判定和性质，根据题意画出图形，作出辅助线，由正六边形的性质判断出△BOC的形状是解答此题的关键． 地 城 考点13 求弧长 1．已知一个扇形的半径为10，扇形的弧长为，那么这个扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的求法，根据扇形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：． 故选：A． 2．如图，从一块半径是的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，则剪下来的扇形的弧长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、扇形的弧长公式，首先根据扇形圆心角为，可知是的直径，利用勾股定理可知，根据扇形的弧长公式求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接， ， 是的直径， 的半径为， ， 又、是扇形的半径， ， 剪下来的扇形的弧长是． 故答案为： ． 3．如图，公园内有一个半径为6米的圆形草坪，为了避免游客踩踏草坪，现从A地到B地修建了观赏路（劣弧）和便民路（线段）．已知A，B是圆上的点，O为圆心，扇形的面积为平方米，小明从A走到B，走便民路比走观赏路少走 米．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，弧长及扇形计算公式等知识点，根据题意求出线段以及劣弧的长度是解本题的关键．过点作于点，根据垂径定理、所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理求出的长，然后根据弧长公式求出的长，相减即可． 【详解】解：设， 扇形的面积为平方米，半径为6米， ， ， 过点作于点， ∴， ∵，米， ∴， ∴米， ∴米， ∴米， 劣弧长米， ∴便民路比走观赏路少走米． 故答案是：． 4．如图，位于一平面直角坐标系中． (1)画出将绕原点O顺时针旋转后得到的； (2)在（1）的操作下，求点B经过的路径长．（结果保留） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，弧长公式，勾股定理， （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可求解； （2）利用弧长公式求解即可． 掌握旋转变换的性质，弧长公式是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解： ， ； 故点B经过的路径长． 5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线对称的；（要求A与，B与，C与相对应） (2)作出绕点C顺时针方向旋转后得到的； (3)在（2）的条件下直接写出点B旋转到所经过的路径的长．（结果保留π） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查网格作图（旋转和轴对称变换），勾股定理和弧长的计算， （1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转后的、的位置，然后顺次连接即可； （3）利用勾股定理列式求出的长，再根据弧长公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：如下图所示； （2）如图所示， （3）根据勾股定理，， ∴点B旋转到所经过的路径的长． 地 城 考点14 求扇形的面积/半径 1．的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（   ） A．12 B．9 C．6 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为， 则， 解得：， 故选：C． 2．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，圆锥底面圆的周长，即展开图扇形的弧长为，圆锥展开图为扇形，扇形的半径为，由扇形的面积的公式，即可求解． 【详解】解：由题意可得，圆锥展开图为扇形，扇形的半径为，圆锥底面圆的直径为， ∴圆锥底面圆的周长，即展开图扇形的弧长为， ∴展开图扇形的面积为， 故选：C ． 3．如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多边形的内角和以及扇形的面积公式．解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和． 首先求得五边形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：五边形的内角和是：， 则阴影部分面积之和是：， 故选：B． 4．圆心角为的扇形的半径为，则这个扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：这个扇形的面积为： ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式． 5．在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用扇形的弧长等于圆锥的底圆周长求解即可． 【详解】解：由题意可知： 扇形的弧长 设底面圆半径为r, ∵扇形的弧长等于圆锥的底圆周长 ∴，解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是理解扇形的弧长等于圆锥的底圆周长． 6．已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是 cm2． 【答案】65π 【详解】解：∵圆锥底面直径为10cm， ∴圆锥底面半径为5cm. 又∵圆锥高为12cm， ∴圆锥母线长为：（cm）. ∴圆锥侧面展开图的面积为：（cm2）. 【点睛】本题考查了圆锥的 侧面积，解题关键是明确当圆锥的底面半径为,圆锥高为，母线长为时，（1）；（2）圆锥侧面积为：S=. 7．如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．      (1)求证：∠ACO＝∠BCP； (2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数； (3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）． 【答案】(1)见解析 (2)30° (3)2π﹣2 【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP； （2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°； （3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S△ABC即可解题． 【详解】（1）∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CP是半圆O的切线， ∴∠OCP＝90°， ∴∠ACB＝∠OCP， ∴∠ACO＝∠BCP； （2）由（1）知∠ACO＝∠BCP， ∵∠ABC＝2∠BCP， ∴∠ABC＝2∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠A， ∴∠ABC＝2∠A， ∵∠ABC+∠A＝90°， ∴∠A＝30°，∠ABC＝60°， ∴∠ACO＝∠BCP＝30°， ∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°， 答：∠P的度数是30°； （3）由（2）知∠A＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2， ∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2， ∴阴影部分的面积是﹣2＝2π﹣2， 答：阴影部分的面积是2π﹣2． 【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆 14大高频考点概览 考点01 利用弧、弦、圆心角的关系求解 考点02 圆周角定理 考点03 利用垂径定理求值 考点04半圆(直径)所对的圆周角是直角 考点05 四点共圆 考点06 判断点与圆的位置关系 考点07 判断直线与圆的位置关系 考点08 利用切线的性质求解 考点09 切线的判定和性质综合 考点10 三角形内切圆的有关运算 考点11 隐圆的有关运算 考点12 求正多边形的中心角 考点13 求弧长 考点14 求扇形的面积/半径 地 城 考点01 利用弧，弦，圆心角的关系求解 1．如图，在中，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（    ）． A． B． C． D．无法比较 地 城 考点02 圆周角定理 1．如图，点A、B、C都在上，若，则∠B的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，分别为的半径，点在圆上，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，弦，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形内接于，为的直径，． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，，求的长度． 地 城 考点03 利用垂径定理求值 1．直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽为8分米，则积水的最大深度为（   ） A．1分米 B．2分米 C．3分米 D．4分米 2．如图，中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.如图，是的直径，半径的长为1，点在线段上运动，过点的弦，将沿翻折交直线于点，当的长为正整数时，线段的长为 ． 4．综合与实践 园林美化工程项目改造 背景 圆形在我国传统文化中象征和谐与圆满，被广泛应用于各种建筑中，管理部门计划将某公园园林内的矩形门洞改造成圆弧形门洞，如图1． 素材 绘制设计 根据矩形门洞改造的实物图画出矩形，如图2，作矩形的对角线相交于点，以点为圆心，为半径作圆； 操作测量 经测量，矩形门洞的宽为，高为； 改造估算 经测量，地面与矩形门洞对角线的夹角约为． 任务 （1）求证：四个点在以点为圆心的同一个圆上； （2）求圆弧形门洞的拱高（的中点到弦的距离）； （3）求改造后门洞扩大的面积（结果保留）． 5．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 地 城 考点04 半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠A的度数等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 2．工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点05 四点共圆 1．如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    地 城 考点06 判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为3，，则点与的位置关系是（   ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定 2．的半径为4，点P在外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点07 判断直线与圆的位置关系 1．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ） A．与轴相离、与轴相切 B．与轴、轴都相离 C．与轴相切、与轴相离 D．与轴、轴都相切 2．如图，若圆O的半径为2，点O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点08 利用切线的性质求解 1．如图，与相切于点，交于点，点在上，连接、，，若，则的度数为（    ） A．20° B．25° C．40° D．50° 2．如图，、是的两条切线，A，B为切点，，，则的半径是 ． 地 城 考点09 切线的判定和性质综合 1．如图，中，，，平分，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好经过点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求线段的长． 2．如图，是半圆的直径，点是弦延长线上一点，连接，，． (1)求证：是半圆的切线； (2)若，，则的长． 3．如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，当，时，求的长． 4．如图，已知点在直角的斜边上，以为直径的与直角边相切于点     (1)求证：平分； (2)若，，求的半径 5．如图，A，B为上的两点，已知为的切线，切点为B，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求的长度． 6．如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 7．如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 地 城 考点10 三角形内切圆的有关运算 1．如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，． (1)请画出的内切圆，与，，分别相切于点，，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求，，的长． 地 城 考点11 隐圆的有关运算 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为 ． 2．如图，在平面坐标系中，，，为动点，，为直线上的动点，则线段长的最小值为 ． 地 城 考点12 求正多边形的中心角 1．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（    ） A．30° B．32° C．36° D．40° 2．苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为 ． 3．已知正六边形的半径是3，则这个正六边形的边长是 ． 地 城 考点13 求弧长 1．已知一个扇形的半径为10，扇形的弧长为，那么这个扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，从一块半径是的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，则剪下来的扇形的弧长是 ． 3．如图，公园内有一个半径为6米的圆形草坪，为了避免游客踩踏草坪，现从A地到B地修建了观赏路（劣弧）和便民路（线段）．已知A，B是圆上的点，O为圆心，扇形的面积为平方米，小明从A走到B，走便民路比走观赏路少走 米．（结果保留） 4．如图，位于一平面直角坐标系中． (1)画出将绕原点O顺时针旋转后得到的； (2)在（1）的操作下，求点B经过的路径长．（结果保留） 5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线对称的；（要求A与，B与，C与相对应） (2)作出绕点C顺时针方向旋转后得到的； (3)在（2）的条件下直接写出点B旋转到所经过的路径的长．（结果保留π） 地 城 考点14 求扇形的面积/半径 1．的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（   ） A．12 B．9 C．6 D．5 2．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（  ） A． B． C． D． 4．圆心角为的扇形的半径为，则这个扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 5．在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（    ） A． B． C． D． 6．已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是 cm2． 7．如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．      (1)求证：∠ACO＝∠BCP； (2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数； (3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $