专题02 圆的切线的证明的三种类型（高效培优专项训练）数学人教版九年级上册

专题02 圆的切线的证明的三种类型 类型一：见半径，证明垂直 类型二：连半径，证明垂直 类型三：作垂直，证明半径 类型一：见半径，证明垂直 1．如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB，AC是⊙O的切线吗？（写出详细的过程） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：AC是⊙O的切线． 证明如下： ∵∠B＝45°，AC＝AB， ∴∠C＝45°， ∴∠BAC＝90°， 而AB是⊙O的直径， ∴OA⊥AC， 所以AC是⊙O的切线． 2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB＝∠A． （1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由． （2）若CD与⊙O相切，且∠D＝30°，BD＝10，求⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）CD与⊙O相切． 证明：∵AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点， ∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°； ∵∠A＝∠OCA，且∠DCB＝∠A， ∴∠OCA＝∠DCB， ∴∠OCD＝90°， ∴CD是⊙O的切线． （2）在Rt△OCD中，∠D＝30°； ∴∠COD＝60°， ∴∠A＝30°， ∴∠BCD＝30°， ∴BC＝BD＝10， ∴AB＝20， ∴r＝10． 3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC． （1）求证：直线BF是⊙O的切线． （2）若CD＝2，OP＝1，求⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠AFB＝∠ABC， 而∠ADC＝∠ABC． ∴∠AFB＝∠ADC， ∴CD∥BF， ∵CD⊥AB， ∴BF⊥AB， ∴直线BF是⊙O的切线； （2）解：连接OC，如图， ∵AB⊥CD， ∴CP＝DPCD， 在Rt△OCP中，OC2， 即⊙O的半径为2． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，∠DBC＝∠BAC，⊙O经过A、B、D三点，连接DO并延长交⊙O于点E，连接AE，DE与AB交于点F． （1）求证：CB是⊙O的切线； （2）求证：AB＝EB； 【答案】（1）CB是⊙O的切线； （2）AB＝EB； 【解答】（1）证明：在⊙O中，OB＝OD，∠BAC＝∠BED， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵∠DBC＝∠BAC， ∴∠DBC＝∠BED， ∵DE是⊙O的直径， ∴∠DBE＝90°， ∴∠ODB+∠BED＝90°， ∴∠OBD+∠DBC＝90°， ∴OB⊥BC， ∵OB是⊙O的半径， ∴CB是⊙O的切线； （2）证明：在⊙O中，∠ABD＝∠AED， 由（1）得：∠DBC＝∠BED， ∴∠ABD+∠DBC＝∠AED+∠BED， ∴∠ABC＝∠BEA， ∵DE是⊙O的直径， ∴∠EAC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠EAC+∠ACB＝180°， ∴AE∥BC， ∴∠ABC＝∠BAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴AB＝EB； 5．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF． （1）如图①，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）： ①AB⊥EF ；②　∠ABC＝∠EAC ；③　∠BAE＝90°　 ． （2）如图②，AB是非直径的弦，∠CAE＝∠B，求证：EF是⊙O的切线． （3）如图③，AB是非直径的弦，∠CAE＝∠ABC，EF还是⊙O的切线吗？若是，请说明理由；若不是，请解释原因． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：当AB⊥EF或∠BAE＝90°可判断EF为⊙O的切线； 当∠ABC＝∠EAC，∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠CAB＝90°， ∴∠EAC+∠CAB＝90°， ∴AB⊥EF， ∴EF为⊙O的切线； 故答案为AB⊥EF、∠BAE＝90°、∠ABC＝∠EAC； （2）证明：如图2，作直径AD，连接CD， ∵AD为直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠D+∠CAD＝90°， ∵∠D＝∠B，∠CAE＝∠B， ∴∠CAE＝∠D， ∴∠EAC+∠CAD＝90°， ∴AD⊥EF， ∴EF为⊙O的切线； （3）如图3，作直径AD，连接CD，BD， ∵AD为直径， ∴∠ABD＝90°， ∵∠CAE＝∠ABC， ∴∠DAE+∠DAC＝∠ABD+∠DBC， 而∠DAC＝∠DBC， ∴∠DAE＝∠ABD＝90°， ∴AD⊥EF， ∴EF为⊙O的切线． 类型二：连半径，证明垂直 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OA， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵DA平分∠BDE， ∴∠ODA＝∠EDA， ∴∠OAD＝∠EDA， ∴EC∥OA， ∵AE⊥CD， ∴OA⊥AE， ∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线； （2） 过点O作OF⊥CD，垂足为点F， ∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°， ∴四边形AOFE是矩形， ∴OF＝AE＝4cm， 又∵OF⊥CD， ∴DFCD＝3cm， 在Rt△ODF中，OD5cm， 即⊙O的半径为5cm． 2．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，OP＝1，求BC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OB，如图， ∵OP⊥OA， ∴∠AOP＝90°， ∴∠A+∠APO＝90°， ∵CP＝CB， ∴∠CBP＝∠CPB， 而∠CPB＝∠APO， ∴∠APO＝∠CBP， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA， ∴∠OBC＝∠CBP+∠OBA＝∠APO+∠A＝90°， ∴OB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：设BC＝x，则PC＝x， 在Rt△OBC中，OB＝3，OC＝CP+OP＝x+1， ∵OB2+BC2＝OC2， ∴32+x2＝（x+1）2， 解得x＝4， 即BC的长为4． 3．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若PD＝1，求⊙O的直径． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OA， ∵∠B＝60°， ∴∠AOC＝2∠B＝120°， 又∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， 又∵AP＝AC， ∴∠P＝∠ACP＝30°， ∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°， ∴OA⊥PA， ∴PA是⊙O的切线． （2）设该圆的半径为x． 在Rt△OAP中，∵∠P＝30°， ∴PO＝2OA＝OD+PD，又∵OA＝OD， ∴1+x＝2x， 解得：x＝1 ∴OA＝PD＝1， 所以⊙O的直径为2． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E． （1）若⊙O的半径为，AC＝10，求BN的长； （2）求证：NE与⊙O相切． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1所示，设AC交⊙O于点M．连接DM、DN． ∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线， ∴CD＝AD＝BD． ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DMC＝∠DNC＝90° 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形OMDN是矩形． ∴CM＝DN． ∵∠DMC＝90°， ∴DM⊥AC． 又∵CD＝AD， ∴． ∴DN＝5． ∵⊙O的半径为， ∴BD＝CD＝13． 在Rt△BDN中，由勾股定理得． （2）如图2所示，连接ON、DN． 由（1）知CD＝BD，∠CND＝90°． ∴BN＝CN． 又∵OC＝OD， ∴ON∥BD． 又∵NE⊥DB， ∴NE⊥ON． ∴NE与⊙O相切． 5．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）求证：AB＝AM； （3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答； （3）BF＝2． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴∠ODF＝∠AED＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴直线DE是⊙O的切线． （2）证明：∵线段AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°， ∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°， ∵∠DAM＝∠DAB， ∴∠M＝∠ABM， ∴AB＝AM． （3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°， ∴∠BAM＝60°， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠M＝60°， ∵∠DEM＝90°，ME＝1， ∴∠EDM＝30°， ∴MD＝2ME＝2， ∴BD＝MD＝2， ∵∠BDF＝∠EDM＝30°， ∴∠BDF＝∠F， ∴BF＝BD＝2． 类型三：作垂直，证明半径 1．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O．求证：AC是⊙O的切线． 【答案】见解析． 【解答】证明：连接OA，作OF⊥AC于F，如图， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， ∵OD⊥AB， ∴OF＝OD， ∴AC是⊙O的切线． 2．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C． （1）求证：直线PB与⊙O相切； 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点． ∵⊙O与PA相切于点C， ∴OC⊥PA． ∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB， ∴OD＝OC． ∴直线PB与⊙O相切； 3．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M． 求证：CD与⊙O相切． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N， ∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC， 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点， ∴OM＝ON， ∴ON为⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切． 4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E． （1）求证：BC是⊙D的切线； （2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F， ∵∠BAD＝90°，BD平分∠ABC， ∴AD＝DF． ∵AD，DF是⊙D的半径，DF⊥BC， ∴BC是⊙D的切线； （2）解：∵∠BAC＝90°． ∴AB与⊙D相切， ∵BC是⊙D的切线， ∴AB＝FB． ∵AB＝5，BC＝13， ∴CF＝8，AC＝12． 在Rt△DFC中， 设DF＝DE＝r，则 r2+64＝（12﹣r）2， 解得：r． ∴CE＝12﹣2． 5．如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点，⊙O与AB相切于点M，与BD交于点E、F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接EM，若EM∥BC，求∠ABC的度数． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）60°． 【解答】（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥BC于N，如图所示： ∵点O为⊙O的圆心，AB为⊙O的切线，切点为M， ∴OM为⊙O的半径，且OM⊥AB， ∵BD为∠ABC平分线，点O为BD上的点，且OM⊥AB，ON⊥BC， ∴ON＝OM， 即ON为⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：设∠ABE＝α， ∵BD为∠ABC平分线， ∴∠ABE＝∠CBE＝α，∠ABC＝2∠ABE＝2α， ∵EM∥BC， ∴∠MEB＝∠CBE＝α， ∵OE＝OM， ∴∠MEB＝∠OME＝α， ∴∠MOB＝∠MEB+∠OME＝2α， ∵OM⊥AB， ∴∠MOB+∠MBE＝90°， 即2α+α＝90°， ∴α＝30°， ∴∠ABC＝2α＝60°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆的切线的证明的三种类型 类型一：见半径，证明垂直 类型二：连半径，证明垂直 类型三：作垂直，证明半径 类型一：见半径，证明垂直 1．如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB，AC是⊙O的切线吗？（写出详细的过程） 2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB＝∠A． （1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由． （2）若CD与⊙O相切，且∠D＝30°，BD＝10，求⊙O的半径． 3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC． （1）求证：直线BF是⊙O的切线． （2）若CD＝2，OP＝1，求⊙O的半径． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，∠DBC＝∠BAC，⊙O经过A、B、D三点，连接DO并延长交⊙O于点E，连接AE，DE与AB交于点F． （1）求证：CB是⊙O的切线； （2）求证：AB＝EB； 5．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF． （1）如图①，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）： ① ；②　 ；③　 　 ． （2）如图②，AB是非直径的弦，∠CAE＝∠B，求证：EF是⊙O的切线． （3）如图③，AB是非直径的弦，∠CAE＝∠ABC，EF还是⊙O的切线吗？若是，请说明理由；若不是，请解释原因． 类型二：连半径，证明垂直 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 2．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，OP＝1，求BC的长． 3．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若PD＝1，求⊙O的直径． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E． （1）若⊙O的半径为，AC＝10，求BN的长； （2）求证：NE与⊙O相切． 5．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）求证：AB＝AM； （3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长． 类型三：作垂直，证明半径 1．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O．求证：AC是⊙O的切线． 2．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C． （1）求证：直线PB与⊙O相切； 3．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M． 求证：CD与⊙O相切． 4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E． （1）求证：BC是⊙D的切线； （2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长． 5．如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点，⊙O与AB相切于点M，与BD交于点E、F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接EM，若EM∥BC，求∠ABC的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $