浙江省杭州市华东师范大学附属杭州学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区华东师大附属杭州学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列选项中的事件，属于必然事件的是(    ) A. 任意掷一枚硬币，正面朝上 B. 若a、b是实数．则 C. 两数相乘，积为正数 D. 运动员投篮时，连续两次投进篮筐 2.若的半径是3，点P在圆外，则点OP的长可能是(    ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3.如果，那么下列比例式中正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C，直线DF分别交，，于点D，E，若，，，则AC的长是(    ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦AB长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是(    ) A. 1米 B. 2米 C. 米 D. 米 6.如图，已知四边形ABCD是的内接四边形，E为AD延长线上一点，，则等于(    ) A. B. C. D. 7.已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下，则关于x的方程的解为(    ) x … 0 2 … y … 15 0 0 … A. ， B. ， C. ， D. ， 8.如图，已知等边，以BC为直径的圆分别交边AB，AC于点D，E，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图1，已知AB，CD是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求CD的长(    ) A. B. C. D. 10.已知二次函数是常数的图象上有两点，其中(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.一个口袋装有红球、黄球共50枚，“若从中任取一球，是红球”的概率为，则这个口袋中有        个红球. 12.已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是      . 13.如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到若点恰好落在BC边上，且，则      . 14.如图，扇形AOB的圆心角，半径，点D是上一点交OD的延长线于点E，交OE于点若，则      . 15.如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线下列结论：①；②当时，；③；④其中正确的是      只填写序号 16.如图，扇形AOB的圆心角，点C在OB上，将沿AC折叠得到，CD交弧AB于点E，连结AE，恰有，若，则的半径长是        . 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 小明和小亮用如图所示的两个转盘每个转盘被分成五个面积相等的扇形做游戏，转动两个转盘各一次. 转动A盘，指针指向的数字大于3的概率是______，转动 B盘，指针指向的数字小于5的概率是______； 若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平？并说明理由. 18.本小题8分 如图，平面直角坐标系中有一个 利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； 的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； 该圆圆心到弦AC的距离为______. 19.本小题8分 已知二次函数的图象如图所示. 该抛物线与y轴的交点坐标是______； 当x______时， y的值随x的值增大而减小； 当时，求y的取值范围. 20.本小题8分 如图，在等边中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且 求证：∽； 若，，求的边长. 21.本小题8分 如图，AB是的直径，D是上一点，连接AD和BD，C是的中点，连接OC和AC，分别交BD于点E和 证明：； 若，，求DF的长. 22.本小题10分 2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m，已知球门的横梁高OA为 建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式； 梅西的射门，足球能否射进球门不考虑其他影响因素？ 守门员站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止梅西的此次射门吗？如果不能，需要至少后退几米？ 23.本小题10分 已知抛物线 若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式. 直线与该抛物线相交于，两点. ①若，求a的值. ②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围. 24.本小题12分 如图1，已知ABCD内接于，连结BD，BD平分，点P是的中点，连结AP分别交BD，BC于点E， 如图2，若AB为的直径，求的度数. 求证：①；② 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A、任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A不符合题意； B、若a、b是实数．则，是必然事件，故B符合题意； C、两数相乘，积为正数，是随机事件，故C不符合题意； D、运动员投篮时，连续两次投进篮筐，是随机事件，故D不符合题意； 故选： 根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：的半径是3，点P在圆外， 的长大于 故选： 直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：， ， 故选： 利用比例的性质对各选项进行判断． 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等是解决问题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：直线， ， 故选： 求出DF的长度，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：连接OC，OC交AB于D， 由题意得：米，， 米，， 米， 米， 即点C到弦AB所在直线的距离是米， 故选： 连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得米，再由勾股定理得米，然后求出CD的长即可． 本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：， ， 四边形ABCD是的内接四边形， ， 故答案为： 根据圆周角定理先求出，再根据圆内接四边形的性质求出的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案． 本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线，当时，， 当时，， 二次函数的图象与直线的交点横坐标为，5， 关于x的方程的解为， 故选： 由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线，当时，，结合抛物线的对称性可知，当时，，进而可知二次函数的图象与直线的交点横坐标为，5，从而可得关于x的方程的解为， 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8.【答案】B  【解析】解：连接OD，OE， 为等边三角形， ， 为直径，， ， ，均为等边三角形， ， ， 弧DE的长为； 故选： 根据等边三角形的性质，得到，均为等边三角形，进而求出的度数，利用弧长公式进行求解即可． 本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是等边三角形性质的应用． 9.【答案】D  【解析】解：AB，CD是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足， 连接OA，OB，OC，OD，作，，则：，，， ， ， ， ， ， ，， ≌， ， ， ， 当时，，此时CD为直径， 圆O的直径为， ， 设，则， ， ， ； 故选： 连接OA，OB，OC，OD，作，，则，证明≌，得到，进而得到，根据函数图象得到圆的半径为1，设，得到，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 本题考查动点的函数图象，垂径定理，勾股定理，正确进行计算是解题关键． 10.【答案】B  【解析】解：是常数， 时，，， 二次函数是常数的对称轴为直线， 当时，当时， ， 当时，， 则；故A选项错误，不合题意； 当时，当时， ， ， ， ；故B选项正确，符合题意； 当时，当时， 当时，， 则；故选项C错误，不合题意； 当时，当时， ， ， 则；故选项D错误，不合题意． 故选： 由二次函数的解析式求得对称轴为直线，然后判断与的大小，即可判断每个选项正误． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判断出与的大小是解题的关键． 11.【答案】15  【解析】解：这个口袋中红球有个 故答案为： 根据概率公式求解即可． 此题考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率 12.【答案】10  【解析】解：正多边形的边数是： 故答案为： 正多边形的一个外角为，且每个外角都相等，根据多边形外角和为，可直接求出边数． 此题考查正多边形的外角和，解题关键是正多边形的边数为 13.【答案】  【解析】解：， ， ， 将绕点A按逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ， ， 旋转角的度数， 故答案为： 由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解． 本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：扇形AOB的圆心角，半径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， 故答案为： 因为扇形AOB的半径，所以，而，所以，由，得，则，再证明∽，则，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查勾股定理、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 15.【答案】②③  【解析】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ， ，所以①错误； 抛物线与一次函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为，点B的横坐标为2， 当时，，所以②正确； 时，， ，所以③正确； 时，， ， ， ， 即，所以④错误． 故答案为：②③． 先利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称性方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到，则可对①进行判断；利用一次函数图象不在二次函数图象的下方所对应的自变量的范围可对②进行判断；由于时，，则可对③进行判断；由于时，，则，然后把代入可对④进行判断． 本题考查了二次函数与不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 16.【答案】  【解析】解：连接EO，作于点F，则，， 将沿AC折叠得到，CD交弧AB于点E， ，，， ， ，，， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径长是， 故答案为： 连接EO，作于点F，则，，由折叠得，，，而，可证明是等边三角形，，则，推导出，进而证明，则，求得，所以，因为，所以，则，，求得，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查翻折变换的性质、等腰三角形的“三线合一”、等边三角形的判定与性质、四边形的内角和等于、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 17.【答案】  该游戏不公平，理由如下： 由树状图可知共有25种情况，其中为奇数的情况个数为13种，偶数的情况12种， 小亮胜的概率为：；小明胜的概率为：；两人获胜概率不相等 该游戏不公平  【解析】解：根据概率的概念进行求值可得： ； 故答案为：，； 根据题意，画树状图如下： 由树状图可知共有25种情况，其中为奇数的情况个数为13种，偶数的情况12种， 小亮胜的概率为：； 小明胜的概率为：； 两人获胜概率不相等， 该游戏不公平． 根据概率的概念进行求值即可； 先计算所有可能的结果，然后根据概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，通过比较概率相等与否判断游戏是否公平即可． 本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键． 18.【答案】如图，点O即为所求；     【解析】解：如图，点O即为所求； 点O的坐标为，外接圆的半径 故答案为：，； 取AC的中点H，连接 ，， ， 该圆圆心到弦AC的距离为 故答案为： 各边垂直平分线的交点即为外接圆的圆心； 根据点的位置判断即可，利用勾股定理求出半径； 取AC的中点H，连接求出OH即可． 本题考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，垂径定理，三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 19.【答案】    【解析】解：当时，， 该抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：； 二次函数解析式中的， 二次函数的开口方向向下，对称轴为直线， 当时，y的值随x的值增大而减小， 故答案为：； 二次函数解析式中的，顶点坐标为， 二次函数的开口方向向下，最大值为5， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是 求出当时，y的值，即可得到答案； 根据函数的开口方向和对称轴进行作答即可； 根据函数的开口方向和顶点坐标进行作答即可． 本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键． 20.【答案】证明：是等边三角形， ， ， ， ， 又， ∽； ∽， ， ，， ； 解得  【解析】由，可证得∽； 可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得的边长． 此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得∽是解答此题的关键． 21.【答案】证明：是的直径， ， 是的中点， 垂直平分BD， ， ， 解：，， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， 的长为  【解析】由AB是的直径，得，由C是的中点，根据垂径定理得OC垂直平分BD，则，所以，则； 由，，求得，，则，求得，所以，再证明∽，得，所以，由，求得 此题重点考查垂径定理、圆周角定理、平行线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 22.【答案】  足球能射进球门  他至少后退，才能阻止梅西的射门  【解析】解：抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的解析式是， 把代入，得，， 解得， 则抛物线解析式为：； 当时，， 故：能射进球门； 答：足球能射进球门． 当时，， 守门员乙不能阻止梅西的此次射门， 当时，， 解得：，舍去， ， 答：他至少后退，才能阻止梅西的射门． 根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是，利用待定系数法即可求得函数的解析式； 求出当时，抛物线的函数值，与进行比较即可判断，即可得出答案； 将和代入，求解即可． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，掌握二次函数的综合知识是解题的关键． 23.【答案】；  ①；②  【解析】解：抛物线的顶点在x轴上， ， 该抛物线的函数表达式为； ①若，则， 为直线与抛物线的交点， ， 若，a的值为 ②抛物线的对称轴为直线， ，两点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，， ，C两点关于对称轴直线对称， ， 直线与该抛物线相交于，两点， ， ，是方程的两个根， ， ， ， ， ， ， 利用待定系数法解答即可； ①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论； ②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系求得，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线的对称轴，顶点坐标，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24.【答案】；   证明详见解析．  【解析】解：如图，连接OD、OP， 平分， ， 点P是的中点， ， 又为直径， ，即，， ， ， ； 证明：①连接AC， 由得，， ，，， ， 即， ， ， ； ②连结PB， 由①得， ， ， ， ，， ∽， ，即， ， ， 即 由题易得，，进而可知，最后即可得解； ①通过导角可得，所以；②证∽，可得，再利用，代入即可得证． 本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $