专题05 几何图形初步 17大高频考点（期末真题汇编，广西专用）七年级数学上学期

专题05 几何图形初步 17大高频考点概览 考点01 几何体展开的认识 考点02常见的几何体 考点03 平面图形旋转后所得的立体图形 考点04 从不同方向看几何体 考点05 正方体相对两面上的字 考点06 点﹑线﹑面﹑体四者之间的关系 考点07 两点确定一条直线 考点08 两点间线段最短 考点09 画出直线、射线、线段 线段之间的数量关系 考点10 线段的有关计算 考点11 角的表示和概念 考点12 角的单位与角度制 考点13 方向角定义及有关运算 考点14 钟面角 考点15 余角和补角的运算 考点16 三角板中角度计算问题 考点17 几何中角度计算问题 地 城 考点01 几何体的展开认识 1．以下是圆柱展开图的是（   ）． A． B． C． D． 2．将一个长方体纸质包装盒剪开铺平，它的展开图可能是（　　） A． B． C． D． 4．将一个三棱柱展开，其展开图是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 常见的几何体 1．下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 地 城 考点03 平面图旋转后所得的立体图形 1．如图，沿图中虚线旋转一周，能围成的几何体是下面几何体中的（    ） A． B． C． D． 2．将下列图形绕虚线旋转一周得到几何体是球的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 地 城 考点04 从不同方向看几何体 1．如图，从左面观察这个立体图形，得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 正方体相对两面的字 1．如图所示是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“和”字一面的相对面的字是（   ） A．和 B．社 C．谐 D．会 地 城 考点06 点线面体四者之间的关系 1．中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．在舞枪的过程中，枪尖在空中移动形成的轨迹是一条线；而舞棍的过程中，棍棒在空中移动形成的轨迹是一个面，从数学的角度解释为（    ） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 2．在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 3．电风扇的一瓣扇叶旋转之后变成一个圆，把扇叶看作线段，则所属实际应用是（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 地 城 考点07 两点确定一条直线 1．植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这样做的数学原理是（  ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．经过一点可以画无数条直线 D．以上说法都不对 2．如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩．再拉一条直的参照线．就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点之间直线最短 C．两点确定一条直线 D．一点确定一条直线 3．在教室中排课桌时，经常会在最前边和最后边的课桌旁拉一条直线，这样可以使得课桌排成整齐一行，其中所依据的是数学基本事实： ． 地 城 考点08 两点间线段最短 1．下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．两钉子固定木条 B．木板上弹墨线 C．测量跳远成绩 D．弯曲河道改直 2．如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（   ）． A．两点之间线段最短 B．两点之间直线最短 C．两点确定一条直线 D．直线比曲线短 地 城 考点09 画出直线射线和线段之间的数量关系 1．请用尺规作图（只要求作出图形，不要求写作法）．如图，已知四点，，，． (1)作直线，连接并延长到点，使得； (2)在线段上取点，使的值最小； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 2．按照下列要求解题． （1）如图，读下列语句，按要求作出图形（不写作法） ①作射线，作直线； ②在射线方向上截取点E，使； （2）在（1）②的条件下，若，求的长． 3．如图，已知A，B，C三点，    (1)根据要求画图：连接，画射线； (2)尺规作图：在的延长线上截取线段，使；（要求：不写作法，保留作图痕迹，并标出对应字母）； (3)若，点是线段的中点，求线段BP的长度． 4．已知线段，，点，的位置如图所示． (1)作射线，请用圆规在射线上依次截取，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作图形中，若，为的中点，在图形中标出点，的位置，再求出当，时，线段的长． 5．如图所示，平面上有四个点，，，，请按要求完成下列问题：    (1)画直线，射线； (2)在射线上截取； (3)在直线上确定一点，使得最小．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 6．如图，点A，B，C，D在同一平面内，按要求完成作图及作答： (1)在图1中，画直线，画射线，并连接； (2)在（1）的条件下，在图1中，在射线上画一点E，使得最小，此画图的依据是_______； (3)在图2中，平面已经被分成了_______个不同的区域，过点D再画一条直线，则此时平面最多有_______个不同的区域． 7．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题： (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上求作点E，使得（不写作法，保留痕迹，用黑色笔将痕迹涂黑）； (3)在（2）中，若，，求线段的长． 地 城 考点10 线段的有关计算 1．线段，那么线段的长一定是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 2．如图，点、在线段上，点是的中点，，则线段的长为（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 3．平面上有A，B，C三点，已知，，则的长是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 4．如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 5．已知线段，点C是直线上一点，且，那么 ． 6．如图，点在线段上，点是线段的中点，． (1)延长线段到，使（请你依据题意，补全图形）； (2)在（1）的条件下，若，求线段的长度． 7．如图，点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 地 城 考点11 角的表示和概念 1．下列图中的也可以用表示的是（　　） A．B．C． D． 2．如图，下列表示角的说法，错误的是（    ） A．也可用表示 B．与表示同一个角 C．表示的是 D．和都不能用表示 地 城 考点12 角的单位与角度制 1．计算： ． 地 城 考点13 方向角定义及有关计算 1．一艘轮船在点O处遇险后，向相距位于A处的救生船报警，则救生船A相对于轮船O的位置为（    ） A．西北方向，处 B．北偏西，处 C．北偏东，处 D．南偏西，处 2．A、B两个海上观测站的位置如图所示，A在灯塔O北偏东方向上，B在灯塔O的南偏东方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点14 钟面角 1．如图，钟表的时针与分针所构成的角度为（   ）． A． B． C． D． 2．如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点15 余角和补角运算 1．已知，则的余角比的补角少（   ） A． B． C． D． 2．已知一个角为，则它的补角度数为（   ） A． B． C． D． 3.若一个角的余角比这个角少，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如果与互余，与互补，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍还多30°，则这个角的度数为（　　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 6．已知是的补角．是的补角，若，，则为 ． 地 城 考点16 三角板中角度的计算问题 1．不能由一副三角板拼出的角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．一副直角三角板按如图所示方式重叠，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，一副三角板的一个角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 5.如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（ ）． A． B． C． D． 6．一副三角板按如图所示的方式摆放，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，把一副三角板叠合在一起，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，一副三角板中，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，如果，那么的大小是 度． 9．综合与实践 如图，为直线上的一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图，将三角板的一边与射线重合，求的度数； (2)如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，使得是的平分线，求的度数； (3)如图，将三角板继续绕点逆时针旋转至内部，使得．求的度数． 10．已知将直角三角板放在直线上，且直角的顶点在点O处． (1)若按如图①所示的方式放置，已知，求的度数； (2)若按如图②所示的方式放置，使得平分，且，求的度数． 11.如图1，点O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边在的内部．且恰好平分，求的度数． (2)在图2的基础上，延长线段得到射线，得到图3，判断是否平分，请说明理由． (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为______秒．（直接写出答案） 12．综合与实践 活动课上，老师让同学们利用三角板进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】如图1，将一个含，角的直角三角板按如图所示摆放，，斜边与直线重合．将三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，射线始终平分．设旋转时间为秒． 【问题探究】 (1)当0时，_____； (2)如图，在旋转的过程中，当在直线上方且等于时，请求出的值； (3)在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使得射线平分，若存在，求出旋转时间；若不存在，说明理由． 13．【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 1．如图，在同一平面上，若，，则的度数是（    ）地 城 考点17 几何中角度计算问题 A． B． C． D． 2．如图，已知，是内的一条射线，且，过点作射线，若，则 ． 3．【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点． ①若，则线段 ； ②若，则线段 ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数； 【拓展探究】 （3）已知在内部的位置如图③所示，，，且，，请直接写出 ．（用含的式子表示） 4．如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装20根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装20个竹筒，依次记为，三角形为支撑架，且． (1)请求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需3分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①请计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，请判断与的数量关系，并说明理由． 5．一个问题的解决往往经历“发现猜想一一探索归纳一一问题解决”的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】（1）如图①，已知，，为的角平分线，则的度数为_____； 【探索归纳】（2）如图①，若，，为的角平分线，猜想的度数（用含，的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】（3）如图②，若，，．若射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒逆时针旋转，三条射线同时旋转，当射线、射线中的一条与直线重合，或射线与射线重合时（点、A、在同一直线上），三条射线同时停止运动．问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 6．如图，已知，是的平分线，在内． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 7．已知是内的射线． (1)如图1，若平分平分．求的度数； (2)是内的一条射线，是内的射线，如图2所示．若平分平分．求的度数． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 几何图形初步 17大高频考点概览 考点01 几何体展开的认识 考点02常见的几何体 考点03 平面图形旋转后所得的立体图形 考点04 从不同方向看几何体 考点05 正方体相对两面上的字 考点06 点﹑线﹑面﹑体四者之间的关系 考点07 两点确定一条直线 考点08 两点间线段最短 考点09 画出直线、射线、线段 线段之间的数量关系 考点10 线段的有关计算 考点11 角的表示和概念 考点12 角的单位与角度制 考点13 方向角定义及有关运算 考点14 钟面角 考点15 余角和补角的运算 考点16 三角板中角度计算问题 考点17 几何中角度计算问题 地 城 考点01 几何体的展开认识 1．以下是圆柱展开图的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的展开图，熟练掌握圆柱的展开图是解题关键．根据圆柱的展开图特点逐项判断即可得． 【详解】解：圆柱的表面展开图是长方形和圆． A、没有长方形，则此项不符合题意； B、两个圆会重合，所以缺少一个底面，则此项不符合题意； C、是圆柱展开图，则此项符合题意； D、缺少两个底面，则此项不符合题意； 故选：C． 2．将一个长方体纸质包装盒剪开铺平，它的展开图可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是几何体的展开图，根据长方体的对面特点进行判断是解题的关键．根据长方体的展开图的特点对面相等回答即可． 【详解】解：A、能够折叠成一个长方体，故A正确，符合题意； B、四个侧面中对面的大小不相等，不能构成长方体，故B错误，不符合同意； C、四个侧面中对面的大小不相等，不能构成长方体，故C错误，不符合同意； D、两个较小的面不能在同一侧，故D错误，不符合同意． 故选：A． 4．将一个三棱柱展开，其展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三棱柱的展开图，利用三棱柱的展开图的特点可得答案． 【详解】解：因为个三棱柱展开图有5个面，两个底面为三角形，且展开后不能在同一侧， 所以B，C，D不符合题意， 故选：A． 地 城 考点02 常见的几何体 1．下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识． 根据常见实物与几何体的关系解答即可． 【详解】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体． 故选：B 地 城 考点03 平面图旋转后所得的立体图形 1．如图，沿图中虚线旋转一周，能围成的几何体是下面几何体中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“面动成体”得出答案． 【详解】解：由“面动成体”可得，选项B中的图形旋转一周可形成如图所示的几何体， 故选：B． 【点睛】本题考查点、线、面、体，掌握“点动成线，线动成面，面动成体”是解决问题的关键． 2．将下列图形绕虚线旋转一周得到几何体是球的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面动成体判断出如图所示的图形旋转得到立体图形即可得解． 本题考查了点、线、面、体，熟悉并判断出旋转后的立体图形是解题的关键． 【详解】解：A中图形旋转后得到圆台，不符题意； B中图形旋转后得到圆柱，不符题意； C中图形旋转后得到圆锥，不符题意； D中图形旋转后得到球体，符合题意； 故选：D 3．如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体并结合图形即可得解，熟练掌握立体图形的特征是解此题的关键． 【详解】 解：如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是， 故选：D． 地 城 考点04 从不同方向看几何体 1．如图，从左面观察这个立体图形，得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从左面看得到的图形的形状，对比选项即可得出答案． 【详解】解：从左面看，上面是一个正方形，下面是两个正方形，且上面正方形在下面正方形的最左边． 故选：A． 【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，属于容易题，理解从左面看，看到的是物体的高度和宽度是解题的关键． 地 城 考点05 正方体相对两面的字 1．如图所示是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“和”字一面的相对面的字是（   ） A．和 B．社 C．谐 D．会 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，掌握正方体是空间图形，找到相对的面是关键．利用正方体及其表面展开图的特点解题即可． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面， 其中“建”与“会”相对，“设”与“谐”相对，“和”与“社”相对． 故选：B． 地 城 考点06 点线面体四者之间的关系 1．中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．在舞枪的过程中，枪尖在空中移动形成的轨迹是一条线；而舞棍的过程中，棍棒在空中移动形成的轨迹是一个面，从数学的角度解释为（    ） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 【答案】A 【分析】本题考查点、线、面、体．从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体，再结合题意即可求解． 【详解】在舞枪的过程中，枪尖在空中移动形成的轨迹是一条线，即为点动成线． 舞棍的过程中，棍棒在空中移动形成的轨迹是一个面，即为线动成面． 故选：A． 2．在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【详解】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线， 故选：A． 【点睛】本题考查了点、线、面、体的关系，掌握点动成线，线动成面，面动成体，是解题的关键． 3．电风扇的一瓣扇叶旋转之后变成一个圆，把扇叶看作线段，则所属实际应用是（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据题意，把扇叶看作线段，则所属实际应用是线动成面． 【详解】解：电风扇的一瓣扇叶旋转之后变成一个圆，把扇叶看作线段，则所属实际应用是线动成面． 故选：B． 【点睛】本题考查了点、线、面、体之间的关系，理解题意是解题的关键． 地 城 考点07 两点确定一条直线 1．植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这样做的数学原理是（  ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．经过一点可以画无数条直线 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】本题考查了两点确定一条直线，熟练掌握两点确定一条直线是解题关键．将两个树坑看作两个点，根据两点确定一条直线即可得． 【详解】解：将两个树坑看作两个点，所以植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是两点确定一条直线． 故选：A． 2．如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩．再拉一条直的参照线．就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点之间直线最短 C．两点确定一条直线 D．一点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点，由此可得答案． 【详解】解：工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩．再拉一条直的参照线．就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是：两点确定一条直线， 故选C． 3．在教室中排课桌时，经常会在最前边和最后边的课桌旁拉一条直线，这样可以使得课桌排成整齐一行，其中所依据的是数学基本事实： ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了两点确定一条直线，熟练掌握直线的相关特性是解题的关键． 根据题意及直线的性质即可直接得出答案． 【详解】解：由题意得，其中所依据的是数学基本事实：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 地 城 考点08 两点间线段最短 1．下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．两钉子固定木条 B．木板上弹墨线 C．测量跳远成绩 D．弯曲河道改直 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质，直线的性质的数学常识在生活中的应用，，熟练掌握数学常识是解题的关键． 用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上是两点确定一条直线；木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，可用两点确定一条直线来解释的现象；测量跳远成绩是垂线段最短求脚后跟到起跳线的距离；把弯曲的公路改直，就能够缩短路程是两点之间，线段最短；据此分别判断即可． 【详解】A．两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； B．木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识均为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C．测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； D．把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（   ）． A．两点之间线段最短 B．两点之间直线最短 C．两点确定一条直线 D．直线比曲线短 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短，结合把弯曲的河道改直，能够缩短航程，则这样做根据的道理是两点之间线段最短，即可作答． 【详解】解：∵把弯曲的河道改直，能够缩短航程， ∴这样做根据的道理是两点之间线段最短， 故选：A． 地 城 考点09 画出直线射线和线段之间的数量关系 1．请用尺规作图（只要求作出图形，不要求写作法）．如图，已知四点，，，． (1)作直线，连接并延长到点，使得； (2)在线段上取点，使的值最小； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作直线、射线、线段，两点间的距离，线段的求解，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据基本作图方法即可画直线； （2）连接线段交于点P，根据两点之间线段最短可得的值最小， （3）利用已知可得，即可求出结果． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；点即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）， ， ， ． 2．按照下列要求解题． （1）如图，读下列语句，按要求作出图形（不写作法） ①作射线，作直线； ②在射线方向上截取点E，使； （2）在（1）②的条件下，若，求的长． 【答案】（1）①见详解，②见详解（2） 【分析】本题考查了画出直线、射线、线段，作线段(尺规作图)，线段的和与差，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干要求，分别作射线，作直线，即可作答． ②先作出射线，然后结合，作图即可作答． 【详解】解：（1）①射线，直线如图所示： ②在射线方向上截取点E，使，如图所示： （2）∵，， ∴． 3．如图，已知A，B，C三点，    (1)根据要求画图：连接，画射线； (2)尺规作图：在的延长线上截取线段，使；（要求：不写作法，保留作图痕迹，并标出对应字母）； (3)若，点是线段的中点，求线段BP的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了尺规作图—线段、线段之间的数量关系，充分利用数形结合思想是解题的关键． （1）根据线段、射线的画法画图即可； （2）延长线段，再以点为圆心在的延长线上截取，即可得出所求图形； （3）根据线段之间的数量关系，得出，再根据中点的定义，得出，再根据线段之间的数量关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，线段，射线即为所求． （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为点为的中点， 所以， 所以， 所以． 4．已知线段，，点，的位置如图所示． (1)作射线，请用圆规在射线上依次截取，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作图形中，若，为的中点，在图形中标出点，的位置，再求出当，时，线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）按照要求作出射线，线段、即可； （2）由已知条件可得，，由线段等分点的定义可得，由为的中点可得，由线段的和差关系可得，然后根据即可求出线段的长． 【详解】（1）解：如图，射线，线段、即为所求作； （2）解：在图形中标出点，的位置如图所示， ，， ，， ， 为的中点， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了画出直线、射线、线段，作线段（尺规作图），线段等分点的有关计算，线段中点的有关计算，线段的和与差等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧以及线段的相关计算是解题的关键． 5．如图所示，平面上有四个点，，，，请按要求完成下列问题：    (1)画直线，射线； (2)在射线上截取； (3)在直线上确定一点，使得最小．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作直线、射线、线段，两点之间线段最短．熟练掌握作直线、射线、线段，两点之间线段最短是解题的关键． （1）根据直线、射线的定义作图即可； （2）以为圆心，长为半径画弧，交射线于，然后以为圆心为半径画弧，交射线于，则，即为所求； （3）由两点之间线段最短，连接，交于，则，点即为所求． 【详解】（1）解：如图1，直线，射线即为所求；    （2）解：如图 2，线段即为所求；    （3）解：如图3，与的交点即为所求； ．   6．如图，点A，B，C，D在同一平面内，按要求完成作图及作答： (1)在图1中，画直线，画射线，并连接； (2)在（1）的条件下，在图1中，在射线上画一点E，使得最小，此画图的依据是_______； (3)在图2中，平面已经被分成了_______个不同的区域，过点D再画一条直线，则此时平面最多有_______个不同的区域． 【答案】(1)见详解； (2)见详解，两点间线段最短； (3)7，11． 【分析】本题主要考查了作直线，射线，及线段的基本性质，掌握直线、射线、线段的概念和线段的性质是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）连接交于点，点即为所求作，依据：两点间线段最短，据此即可求解； （3）根据题意画出图形即可得平面内最多不同的区域． 【详解】（1）解：直线，射线，线段，如图所示， ； （2）解：如图，点即为所求作； 此画图的依据是两点间线段最短； 故答案为：两点间线段最短； （3）解：如图，平面已经被分成了7个不同的区域，过点再画一条直线，则此时平面最多有11个不同的区域． 故答案为：7，11． 7．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题： (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上求作点E，使得（不写作法，保留痕迹，用黑色笔将痕迹涂黑）； (3)在（2）中，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、两点间的距离、线段的和差． （1）根据直线、射线、线段的定义画图即可； （2）以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E即为所求； （3）由题意得，则． 【详解】（1）解：如图，直线、射线、线段即为所求； （2）解：如图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E， 则点E即为所求； （3）解：∵， ∴． 地 城 考点10 线段的有关计算 1．线段，那么线段的长一定是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．当时或时，然后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：依题意，∵， ∴，或， 故选：C 2．如图，点、在线段上，点是的中点，，则线段的长为（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】此提考查了线段的中点，熟练掌握线段中点的性质是解决本题的关键．先求解，由点是的中点，可得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故选D． 3．平面上有A，B，C三点，已知，，则的长是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】D 【分析】此题考查两点之间的距离，两点之间线段最短，根据三点在一条直线上时得到最大值和最小值，再由两点之间线段最短可进一步得出答案选择即可． 【详解】三点在一条直线上时， 或； 三点不在一条直线上时，根据两点之间线段最短可知，在3和13之间， 综合以上可知只有答案D符合要求． 故选：D． 4．如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差关系，根据题意，点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧；在不同情况下，作出图形，数形结合，表示出线段之间的和差关系，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确分类，作出图形，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧，如图所示： ； 当点在点左侧，如图所示： 为的中点，， ， ， ， 点在点右侧，则， ； 综上所述，的长为或， 故选：D． 5．已知线段，点C是直线上一点，且，那么 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段的和差关系是正确解答的关键．根据点C的位置分两种情况进行解答，即点C在点B的左侧或右侧，由线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧时，， 故答案为：3或7． 6．如图，点在线段上，点是线段的中点，． (1)延长线段到，使（请你依据题意，补全图形）； (2)在（1）的条件下，若，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，线段的尺规作图： （1）以D为圆心，以线段的长为半径画弧交线段延长线于E，点E即为所求； （2）根据线段中点的定义得到，进而得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求； （2）解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 7．如图，点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据M是的中点，有，再根据和线段中点的定义即可求解； （2）根据M是的中点，N是的中点，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点，， ∴． ∵， ∴． ∵点N是线段的中点， ∴； （2）解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段中点有关的计算以及线段之间的数量关系等知识，理清线段之间的数量关系是解答本题的关键． 地 城 考点11 角的表示和概念 1．下列图中的也可以用表示的是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的表示方法； 角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示，据此进行分析即可． 【详解】解：A.可以用表示，符合题意； B.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； C.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； D.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； 故选：A． 2．如图，下列表示角的说法，错误的是（    ） A．也可用表示 B．与表示同一个角 C．表示的是 D．和都不能用表示 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键．根据角的表示方法，逐一判断即可得到答案 【详解】解：A、由于顶点处不止一个角，故不可用表示，原说法错误，符合题意； B、与表示同一个角，原说法正确，不符合题意； C、表示的是，原说法正确，不符合题意； D、和都不能用表示，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 地 城 考点12 角的单位与角度制 1．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查角度的计算，将度与度相加，分与分相加，满进率60进位即可． 【详解】解： 故答案为． 地 城 考点13 方向角定义及有关计算 1．一艘轮船在点O处遇险后，向相距位于A处的救生船报警，则救生船A相对于轮船O的位置为（    ） A．西北方向，处 B．北偏西，处 C．北偏东，处 D．南偏西，处 【答案】B 【分析】本题考查了方向角，根据图形结合题意即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得，救生船A相对于轮船O的位置为北偏西，处， 故选：B． 2．A、B两个海上观测站的位置如图所示，A在灯塔O北偏东方向上，B在灯塔O的南偏东方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方位角，根据平角的定义结合方位角的描述计算求解即可． 【详解】解：∵A在灯塔O北偏东方向上，B在灯塔O的南偏东方向上， ∴， 故选：C． 地 城 考点14 钟面角 1．如图，钟表的时针与分针所构成的角度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角．根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：4点整时，时针与分针相距4份，每份，钟表的时针与分针所构成的角度为． 故选：B． 2．如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，用乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12份，每份是，根据时针与分针相距的份数，可得答案． 【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是， 故选：C． 地 城 考点15 余角和补角运算 1．已知，则的余角比的补角少（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余角，补角，的余角为，补角为，计算即可解答． 【详解】解：∵的余角为，补角为， ∴． 即∠1的余角比∠1的补角少． 故选：C 2．已知一个角为，则它的补角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个角的补角，根据补角为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个角为， ∴， ∴它的补角度数为， 故选：C 3.若一个角的余角比这个角少，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角的知识，掌握互余的两角之和为，互补的两角之和为是解题关键． 设这个角为，则它的余角是，列方程求解即可． 【详解】解：设这个角为，则它的余角是， 根据题意得：， 解得：， ∴这个角等于， 故选：B． 4．如果与互余，与互补，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与互余，与互补，可得①，②，通过求差，可得与的关系． 【详解】解：∵与互余，与互补， ∴①，②， ②①得，， 变形为：， 故选：B． 【点睛】本题考查互为余角、互为补角的意义，利用等式的性质进行恒等变形，是寻找关系的一般方法． 5．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍还多30°，则这个角的度数为（　　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 【答案】D 【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°，互为补角的两个角的和等于180°，列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：设这个角为α，则它的余角为90°-α，补角为180°-α， 根据题意得，180°-α=3（90°-α）+30°， 180°-α=270°-3α+30°， 解得α=60°． 故选：D． 【点睛】本题考查了互为余角与补角的性质，表示出这个角的余角与补角然后列出方程是解题的关键． 6．已知是的补角．是的补角，若，，则为 ． 【答案】150 【分析】该题主要考查了补角的计算，解一元一次方程等知识点，解题的关键是列出方程． 根据是的补角，是的补角，得出，，结合，，列出方程即可求解． 【详解】解：∵是的补角，是的补角， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：150． 地 城 考点16 三角板中角度的计算问题 1．不能由一副三角板拼出的角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角板里面的两个三角形分别为、、和、、，把这些角度进行组合既能得出结果．本题主要考查的是对三角板里面两个特殊三角形的认识，记住这两个特殊三角形的角度是解题的关键． 【详解】解：依题意，，，， ∴不能用三角板拼出来， 故选：D 2．一副直角三角板按如图所示方式重叠，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由图得，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵一副直角三角板按如图所示方式重叠，， ∴， ∴， 故选：C 3．如图，一副三角板的一个角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，找出角度之间的数量关系是解题关键．先求出，再求出的度数即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， ， 故选：C． 4．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据直角求出，然后根据三角形内角和求解即可，掌握三角形的内角和为是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意知：， ∴， 故选：B． 5.如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角板中角度的特点，余角的定义，度数之和为90度的两个角互余，据此结合三角板中角度的特点进行求解即可． 【详解】解：A、由题意得，则，即与互余，符合题意； B、，，，即与不互余，不符合题意； C、根据现有条件无法得到，即与不一定互余，不符合题意； D、，即与不互余，不符合题意； 故选：A． 6．一副三角板按如图所示的方式摆放，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查利用三角板求度数、补角的定义等知识点，熟记各个三角板的角的度数是解题的关键． 先根据直角三角板的度数求得，然后再求补角即可． 【详解】解：由图形可得：， ∴的补角的度数为：． 故选：D． 7．如图，把一副三角板叠合在一起，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为等腰三角板中的锐角为45°，而直角三角板板中较大的锐角为60°，直接相减就可求得结果． 【详解】解：由图形可知，∠AOB=60°-45°=15°． 故选A． 【点睛】本题考查了三角板的角度运算，每副三角板中，都有一个等腰三角板和一个直角三角板，根据角的度数可以进行计算，也可以画出一些特殊度数的角． 8．如图，一副三角板中，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，如果，那么的大小是 度． 【答案】57 【分析】本题主要考查角的计算，根据已知角求出未知角即可得到答案． 【详解】解：由于在三角板中， ， ， ， ． 故答案为：． 9．综合与实践 如图，为直线上的一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图，将三角板的一边与射线重合，求的度数； (2)如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，使得是的平分线，求的度数； (3)如图，将三角板继续绕点逆时针旋转至内部，使得．求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，互为余角和补角的概念，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）依题意得，，再根据可得出答案； （2）依题意得，，根据角平分线的定义得，再根据可得出答案； （3）设，则，根据，且和互补，得，再根据得，由此解出，进而可得的度数． 【详解】（1）解：依题意得：，， 和互余， ； （2）解：依题意得：，， 是的平分线， ， ； （3）解：设， ， ， ，且和互补， ， 又，， ， 解得：， ． 10．已知将直角三角板放在直线上，且直角的顶点在点O处． (1)若按如图①所示的方式放置，已知，求的度数； (2)若按如图②所示的方式放置，使得平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算； （1） 由即可得到答案； （2）由角平分线的定义可得，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】（1）解： ，； ； （2）解： ，平分 ， 又 ， ． 11.如图1，点O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边在的内部．且恰好平分，求的度数． (2)在图2的基础上，延长线段得到射线，得到图3，判断是否平分，请说明理由． (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为______秒．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)t的值为12或30 【分析】本题主要考查了角的运算以及角平分线的定义，掌握角平分线的定义，学会根据图形分类讨论是解题的关键． （1）先求出的度数，根据角平分线的定义得出的度数，再利用，即可解答； （2）直接计算出和的度数，判断是否相等即可得出结论； （3）根据题意，分2种情况：①射线平分锐角；②射线的延长线平分锐角，分别求出三角板所旋转的度数，结合每秒的旋转速度，即可解答． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， 的度数为． （2）解：平分，理由如下： 延长线段得到射线，， ， 由（1）中的结论得，， ， 又， ， ， 平分． （3）解：①当射线平分锐角时，此时， 则三角板从图1中的位置旋转至此时的角度为， 速度为每秒， ； ②当射线的反向延长线平分锐角时， 则三角板从图1中的位置旋转至此时的角度为， 速度为每秒， ； 综上所述，的值为12或30． 故答案为：12或30． 12．综合与实践 活动课上，老师让同学们利用三角板进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】如图1，将一个含，角的直角三角板按如图所示摆放，，斜边与直线重合．将三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，射线始终平分．设旋转时间为秒． 【问题探究】 (1)当0时，_____； (2)如图，在旋转的过程中，当在直线上方且等于时，请求出的值； (3)在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使得射线平分，若存在，求出旋转时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当在直线上方时，；当在直线下方时，． 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，一元一次方程的应用； （1）根据邻补角求得，进而根据角平分线的定义，即可求解； （2）根据题意得出，进而结合题意，即可求解； （3）当在直线上方时，依题意，，，当在直线下方时，依题意，，，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分 ∴ （2）解：∵在直线上方且等于时 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 将三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒． ∴ （3）解：当在直线上方时，依题意，， ∵平分， ∴ ∴ 解得： 当在直线下方时，依题意，， ∵平分， ∴ ∴ 解得： 综上所述，当在直线上方时，；当在直线下方时，． 13．【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∠ACE=∠BCD，理由见解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析． 【分析】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得，，进而得，，然后根据同角的余角相等可得出答案； （2）由，得，，则，然而；据此可得与之间的数量关系； （3）先由得，进而得，据此可得与之间的数量关系． 【详解】解：（1），理由如下： 依题意得：，， ，， ． （2）与之间的数量关系：，理由如下： ，， ，， ， ， 又， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： ，， 又， ， 即：， ． 1．如图，在同一平面上，若，，则的度数是（    ）地 城 考点17 几何中角度计算问题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的和差计算，需要注意把分化为度，再由计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 2．如图，已知，是内的一条射线，且，过点作射线，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，根据已知条件，判断射线在内和外两种情况是解答本题的关键． ，有两种情况，射线在内，射线在外，分别计算出对应的大小． 【详解】解： ，， ， 当在内时，如图所示：   ； 当在外时，如图所示：   ， 综上分析可知，的度数为：或． 故答案为：或． 3．【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点． ①若，则线段 ； ②若，则线段 ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数； 【拓展探究】 （3）已知在内部的位置如图③所示，，，且，，请直接写出 ．（用含的式子表示） 【答案】（1）①7；②7； （2）的度数为； （3） 【分析】本题主要考查线段中点的计算，角平分线的定义相关的计算，理解图示，掌握中点的定义，数形结合分析思想是解题的关键． [特例感知]（1）①根据线段中点的定义得到，由得到，即可求解；②方法同上； [知识迁移]（2）根据角平分线的定义得到，由，得到，由此即可求解； [拓展探究]（3）根据角平分线的定义得到，，则，由即可求解． 【详解】解：[特例感知] （1）①，， ∴， ∵分别是和的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②同理，， 故答案为：； [知识迁移] （2），射线平分，射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； [拓展探究] （3）∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装20根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装20个竹筒，依次记为，三角形为支撑架，且． (1)请求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需3分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①请计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)相邻两根辐条夹角的度数为 (2)①从竹筒装满水到开始倒水需要分钟，②，见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的计算，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据题意，在水轮内安装20根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，一周是，即可解答； （2）①根据角平分线的定义，求出，进而求出，根据水车以固定速度转一周需3分钟，求出水车每分钟可以转动的角度，即可解答； ②根据题意得到，即可解答． 【详解】（1）相邻两根辐条夹角的度数为： 答：相邻两根辐条夹角的度数为． （2）① 平分， ， ． 水车以固定速度转一周需3分钟， 水车每分钟可以转动：． 所需时间为（分钟）． 答：从竹筒装满水到开始倒水需要分钟 ②． ， ， ， 即． 5．一个问题的解决往往经历“发现猜想一一探索归纳一一问题解决”的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】（1）如图①，已知，，为的角平分线，则的度数为_____； 【探索归纳】（2）如图①，若，，为的角平分线，猜想的度数（用含，的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】（3）如图②，若，，．若射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒逆时针旋转，三条射线同时旋转，当射线、射线中的一条与直线重合，或射线与射线重合时（点、A、在同一直线上），三条射线同时停止运动．问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）秒，秒，秒 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、一元一次方程的应用、角的和差等知识点，是熟练掌握角平分线的定义，理清各个角之间存在的数量关系是解决本题的关键． （1）先根据角的和差求得，再根据角平分线的定义求得，再根据角平分线的定义解答即可； （2）先根据角的和差求得，再根据角平分线的定义求得，再根据角平分线的定义解答即可； （3）根据各角之间存在的数量关系，设经过的时间为x秒时，分别用x将表示出来，然后分五类情况讨论，分别根据角平分线的定义列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴为的角平分线， ∴， ∴． （2），， ， 为的角平分线 ． （3）设经过的时间为秒， 则；； ①当时，为，的角平分线； ∴，即， ∴，解得：（舍去）； ②当时，为，的角平分线； ∴， ∴， ∴，解得：； ③当时，为，的角平分线； ∴， ∴， ∴，解得：； ④当时，为，的角平分线； ∴， ∴， ∴，解得：； ⑤当时，为，的角平分线； ∴， ∴， ∴，解得：（舍去）． 综上，经过秒，秒，秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 6．如图，已知，是的平分线，在内． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的有关计算及几何图中的角度计算． （1）根据角平分线的定义求出，再根据题意求出，然后根据角的和差即可得出答案； （2）先根据角平分线的定义求出，再根据利用角的和差求出，然后再根据角的和差即可得出答案． 【详解】（1）解： ，是的平分线， ； （2） ，是的平分线， ． 7．已知是内的射线． (1)如图1，若平分平分．求的度数； (2)是内的一条射线，是内的射线，如图2所示．若平分平分．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用． （1）根据角平分线的定义求出和，然后根据代入数据进行计算即可得解； （2）设，表示出，根据角平分线的定义表示出和，然后根据列式计算即可得解． 【详解】（1）解：因为平分平分， 所以， 所以 ． （2）设，则， ∵平分平分， ． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $