精品解析：北京市第四十三中学2025-2026学年上学期 10月阶段性练习八年级数学试题

北京市第四十三中学2025-2026学年度第一学期 10月阶段性练习八年级数学 1．本试卷共5页，四道大题，26道小题． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束时，将答题卡按考场座位顺序上交． 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个等腰三角形的两条边长分别3和6，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 12或15 5. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是(　　) A. 36 B. 24 C. 12 D. 10 6. 下列命题正确的是（ ） ①两个等边三角形一定全等； ②两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； ③有两边和一角分别相等的两个三角形全等； ④两条边和其中一条边上的中线分别相等的两个三角形全等． A. ①和③ B. ②和③ C. ①和④ D. ②和④ 7. 如图，在中，，垂直平分交于D，交于E，，则∠B等于（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 10. 如图，已知AE平分∠BAC,点D是AE上一点，连接BD,CD.请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD.添加的条件是：____.（写出一个即可） 11. 如图，直线，，，则____________． 12. 已知点与点关于轴对称，那么______． 13. 等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是_______． 14. 如图，在中，是边的垂直平分线．若，则的周长为______． 15. 如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与、对应，若，则的度数为___________ 16. 若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为__________（填序号）． ①，，； ②，，． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为__________． 三、解答题（17题6分，18-21每题8分，22题-24每题10分，共68分） 17. 如图，在中，，是边上的中线．求证：是的角平分线． 18. 已知：如图，点在一条直线上，，且，．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于x轴的对称图形； （2）在坐标系中，找出一点，使与关于直线对称，直接写出点的坐标． 20. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 21. 如图所示，，，，．求证：． 22. 已知：如图，． 求作：射线，使，且点C在直线的下方． 作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M； ②在的延长线上取一点N，使； ③以点O为圆心，长为半径画弧， 再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C； ④作射线． 所以射线即为所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∴， 即． 23. 如图，已知是的角平分线，,求的度数． 24. 已知：为等边三角形，D、E分别为线段延长线上的点，且．作直线，点B关于直线的对称点为F，连接分别交直线于G、H．设． （1）请你根据题意，补全图形； （2）连接， ①判断：_________；（填“”、“”或“”） ②求的大小；（用含有的式子表示） （3）试猜想和之间的数量关系，并证明． 四、选做题（共10分，其中25题4分，26题6分） 25. 如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 26. 在平面直角坐标系中，已知点，将经过点且垂直于轴的直线记为直线，将经过点且垂直于轴的直线记为直线．对于点给出如下定义，将点先关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，称点为点关于的“对应点”． 已知顶点坐标为，，． （1）如图1，若点． ①由材料，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则点关于的“对应点”为．请写出点关于的“对应点”：__________；点关于的“对应点”：__________； ②若点和点关于的“对应点”分别为点和点，且线段与的边没有公共点，求的取值范围： （2）若点关于的“对应点”为点，且以A、、为顶点的三角形恰与全等，请写出所有满足条件的点的坐标：______________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第四十三中学2025-2026学年度第一学期 10月阶段性练习八年级数学 1．本试卷共5页，四道大题，26道小题． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束时，将答题卡按考场座位顺序上交． 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合， 故A、C、D选项中的图形都是轴对称图形，不符合题意； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合， 故B选项中的图形不是轴对称图形，符合题意； 故选：B． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析解． 本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：、， 不能构成三角形，不符合题意； B、， 不能构成三角形，不符合题意； C、， 不能构成三角形，不符合题意； D、， 能构成三角形，符合题意． 故选：D． 3. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 4. 一个等腰三角形的两条边长分别3和6，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，分两种情况：①腰长为3，底边长为6；②腰长为6，底边长为3，然后结合三角形的三边关系验证是否都成立，最终求出满足题意的三角形的周长． 【详解】解：一个等腰三角形的两条边长分别3和6， 由等腰三角形的性质，分两种情况讨论：①腰长为3，底边长为6；②腰长为6，底边长为3， 当腰长为3，底边长为6时， 由于，结合三角形三边关系可知此情况的3条边长无法构成三角形，故该三角形不存在； 当腰长为6，底边长为3时，3条边长可以构成三角形，故该等腰三角形的周长是； 综上所述，该等腰三角形的周长是， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义及三角形三边关系判定已知三边是否构成三角形，熟练把握等边三角形有两条边相等进行分类讨论是解决问题的关键． 5. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是(　　) A. 36 B. 24 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：过点作于， 是的角平分线，，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 6. 下列命题正确的是（ ） ①两个等边三角形一定全等； ②两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； ③有两边和一角分别相等的两个三角形全等； ④两条边和其中一条边上的中线分别相等的两个三角形全等． A. ①和③ B. ②和③ C. ①和④ D. ②和④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法逐一判断即可． 【详解】①两个等边三角形的边不一定相等，故“两个等边三角形一定全等”是错误的； ②根据判定方法“角边角”可得“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”是正确的； ③根据判定方法“边角边”可得有两边及它们的夹角分别相等的两个三角形全等，但两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不全等，故“有两边和一角分别相等的两个三角形全等”是错误的； ④如图，在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，且． ∵是边上的中线，是边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由此可得“两条边和其中一条边上的中线分别相等的两个三角形全等”是正确的． 综上所述，正确的命题是：②和④． 故选：D 【点睛】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，根据所给的条件逐一判定是解题的关键． 7. 如图，在中，，垂直平分交于D，交于E，，则∠B等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，先由三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质和等边对等角得到，据此根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据对称得到垂直平分线进而得到等腰三角形计算即可． 【详解】连接、、，如图， ∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴垂直平分，垂直平分，垂直平分， ∴，，，，，， ∴，故①正确， ∵， ∴，， ∵， ∴，即，故②正确； ∵，， ∴，， ∴， 同理，， ∴，故③错误； 故选：A． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 【答案】5 【解析】 【详解】设这个多边形是n边形，由题意得， (n-2) ×180°=540°，解之得，n=5． 10. 如图，已知AE平分∠BAC,点D是AE上一点，连接BD,CD.请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD.添加的条件是：____.（写出一个即可） 【答案】AB=AC或∠B=∠C或∠BDA=∠CDA或∠BDE=∠CDE（四者选一即可） 【解析】 【分析】先找到证△ABD≌△ACD的已知条件，然后再根据全等三角形的判定定理添加条件即可. 【详解】解：∵AE平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD ∵AD=AD 再添加AB=AC,可用SAS证明△ABD≌△ACD； 再添加∠B=∠C,可用AAS证明△ABD≌△ACD； 再添加∠BDA=∠CDA,可用ASA证明△ABD≌△ACD； 再添加∠BDE=∠CDE,根据等角的补角相等，可得：∠BDA=∠CDA,可用ASA证明△ABD≌△ACD； 故答案为AB=AC或∠B=∠C或∠BDA=∠CDA或∠BDE=∠CDE（四者选一即可） 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键. 11. 如图，直线，，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线的性质可得，利用三角形外角的定义和性质可得，代入数值即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的定义和性质，难度较小，解题的关键是熟练掌握“两直线平行，内错角相等”“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”． 12. 已知点与点关于轴对称，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征即可解答. 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为； 【点睛】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟记关于轴对称的点坐标特征是解题的关键． 13. 等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意：一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，一个钝角只能是等腰三角形的顶角，分类讨论是正确解答本题的关键．由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】当是底角时，顶角的度数为； 当是顶角时，顶角度数即为． 故答案为：或． 14. 如图，在中，是边的垂直平分线．若，则的周长为______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而推出的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为； 故答案为：21． 15. 如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与、对应，若，则的度数为___________ 【答案】##108度 【解析】 【分析】由平行线的性质和折叠的性质可得，，再结合和平角的定义，求出，即可得解． 【详解】解：， ， 由折叠的性质可知，， ，且， ， ， ， 16. 若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为__________（填序号）． ①，，； ②，，． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为__________． 【答案】 ①. ① ②. 10或12或13或14 【解析】 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，为最长边、不为最长也不为最短边、为最短边进行讨论即可求解． 【详解】：（1）①， ∴能组成“不均衡三角形”； ②， ∴不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当16为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ∵， 解得：， ， 为整数， ， 经检验，当时，可构成三角形； ③当为最长边，16为最短边时， 解得：， ∵， 解得：， ， 为整数， 或或，都可以构成三角形； 综上所述，的整数值为或或或； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 三、解答题（17题6分，18-21每题8分，22题-24每题10分，共68分） 17. 如图，在中，，是边上的中线．求证：是的角平分线． 【答案】 证明：∵是边上的中线 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 证明，则，即可得到是的角平分线． 【详解】略 18. 已知：如图，点在一条直线上，，且，．求证：． 【答案】 证明： 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，主要掌握全等三角形判定条件 “”，注意利用得到． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于x轴的对称图形； （2）在坐标系中，找出一点，使与关于直线对称，直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示：为所求三角形； （2） 如图所示，即为所求的三角形，点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）在坐标系中分别画出点A、B、C的对称点，再顺次连接三点就可得所求三角形； （2）画出点C关于直线的对称点，再连接和即可得到所求三角形，最后根据图形写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了轴对称与坐标变化，掌握点关于对称轴的对称点是解题的关键． 20. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角． 根据两边及其夹角对应相等可以判断，再由全等三角形对应边相等可说明结论． 【详解】略 21. 如图所示，，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】利用HL证出，从而证出，然后证出，根据垂直的定义即可得证． 【详解】略 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和垂直的判定，掌握利用HL判定两个三角形全等、全等三角形的对应角相等和垂直的定义是解决此题的关键． 22. 已知：如图，． 求作：射线，使，且点C在直线的下方． 作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M； ②在的延长线上取一点N，使； ③以点O为圆心，长为半径画弧， 再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C； ④作射线． 所以射线即为所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∴， 即． 【答案】（1） 补全图形如图所示； （2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；；；；； 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据已知作法作图即可； （2）由题意可知，垂直平分，得到，证明，得到，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，已知是的角平分线，,求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，易证，可得，，即可求得，即可求得的值，即可解题． 【详解】解：在上截取，连接， 平分， ， 在和中 ， ， ，， ， 又， ， ， 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 24. 已知：为等边三角形，D、E分别为线段延长线上的点，且．作直线，点B关于直线的对称点为F，连接分别交直线于G、H．设． （1）请你根据题意，补全图形； （2）连接， ①判断：_________；（填“”、“”或“”） ②求的大小；（用含有的式子表示） （3）试猜想和之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 如图所示： （2）①；② （3） ，理由如下： 如图，连接， 点关于直线的对称点为， ，， ， ， ， ， ，， ，则， ，， ， 又， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）①通过证明是等边三角形，可得，由轴对称的性质可得，可得结论； ②由三角形的外角性质可得，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，通过证明是等边三角形，可得，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ，， 点关于直线的对称点为， ， ， 故答案为：； ②， ， 点关于直线的对称点为， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 四、选做题（共10分，其中25题4分，26题6分） 25. 如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P． 【答案】 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求． 【详解】略 26. 在平面直角坐标系中，已知点，将经过点且垂直于轴的直线记为直线，将经过点且垂直于轴的直线记为直线．对于点给出如下定义，将点先关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，称点为点关于的“对应点”． 已知顶点坐标为，，． （1）如图1，若点． ①由材料，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则点关于的“对应点”为．请写出点关于的“对应点”：__________；点关于的“对应点”：__________； ②若点和点关于的“对应点”分别为点和点，且线段与的边没有公共点，求的取值范围： （2）若点关于的“对应点”为点，且以A、、为顶点的三角形恰与全等，请写出所有满足条件的点的坐标：______________． 【答案】（1）①，；②，， （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题目的新定义求解即可； ②根据新定义表达出和，再分三种情况讨论即可； （2）根据全等三角形的性质得出两种情况：和，运用勾股定理列出连之间的距离方程来求出两种情况的的坐标，再根据题目的新定义即可求出M的坐标． 【小问1详解】 ①将点关于直线对称得到点， 再将点关于直线对称得到点， 则点关于的“对应点”为， 将点关于直线对称得到点， 再将点关于直线对称得到点， 则点关于的“对应点”为， 故答案为：，； ②解：由上述可得点关于的“对应点”为， 点关于的“对应点”为． 线段与的边没有公共点有三种情况： 第一种情况：如图①，线段在上方， 此时只需，在轴上方， 即，解得； 第二种情况：如图②，线段在内部，此时只需在轴下方， 在点C上方 即， 解得； 第三种情况：如图③，线段在点下方， 此时只需在点下方， 即，解得； 综上所述，的取值范围是，，． 【小问2详解】 根据题意得，， ∵， 则要使恰与全等， 有两种情况，如下： 当时， 设为，则，， 解得和， ∴为和， 则由新定义可得M为和； 当时， 设为，则，， 解得和， 则由新定义可得M为和； ∴所有满足条件的点M的坐标：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的新定义，解决本题的关键是掌握“对应点”的定义和运用勾股定理表达出两点之间的距离进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $