专题04 整式的乘法与因式分解（期末真题汇编，广西专用）八年级数学上学期

专题04 整式的乘法与因式分解 19大高频考点概览 考点01同底数幂乘法的逆用 考点02幂的乘方运用 考点03积的乘方运算 考点04识别综合运算的正确性 考点05 单项式×单项式 考点06 单项式×多项式 考点07 (x+p)(x+q)型多项式乘法 考点08 多项式乘法中的规律性问题 考点09 单项式/多项式和多项式的应用 考点10 运用平方差公式进行运算 考点11 平方差在几何图形中的应用 考点12 运用完全平方公式进行运算 考点13 通过对完全平方公式变形求值 考点14 求完全平方式中的字母系数 考点15 完全平方公式在几何图形中的应用 考点16 整式的混合运算 考点17 判断是否是因式分解 考点18 因式分解 考点19 因式分解的应用 地 城 考点01 同底数幂的乘法逆用 1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）已知，，则的值为（　　） A．9 B．18 C．3 D．2 地 城 考点02 幂的乘方运用 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点03 积的乘方运用 1．（24-25七年级下·广西梧州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点04 识别综合运算的正确性 1．（24-25八年级上·广西柳州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西贵港·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广西贺州·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广西钦州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广西玉林·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点05 单项式×单项式 1．（24-25七年级下·广西北海·期末）计算： ． 地 城 考点06 单项式×多项式 2．（24-25八年级上·广西河池·期末）计算： ． 地 城 考点07 (x+p)(x+q)型多项式的乘法 1．（24-25七年级下·广西百色·期末）如果，那么，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级下·广西来宾·期末）规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（15-16八年级上·山西·阶段练习）若，则a、b的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值为（　　　） A．2 B． C．5 D． 5．（17-18八年级上·广东珠海·期末）如果（x+m）与（x﹣4）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．0 D．1 6．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）若，则 ． 地 城 考点08 多项式乘法中的规律性问题 1．（24-25七年级下·广西崇左·期末）我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西玉林·期末）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘法的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”系数的规律，计算展开式的系数和是（） A．256 B．1024 C．64 D．512 3．（24-25七年级下·广西崇左·期末）以下是杨辉三角，它揭示了关于展开式的规律，请您根据规律写出 ． 1 1   1……………………………… 1   2   1………………………… 1   3   3   1…………………… 1   4   6   4   1…………………………… 4．（24-25七年级下·广西桂林·期末）观察下列各式： ； ； ； …… 根据以上规律计算： 的值是 ． 地 城 考点09 单项式/多项式和多项式的应用 1．（21-22八年级上·吉林白城·阶段练习）某小区院内有一块长为米，宽为米（，）的长方形地，现在物业部门计划将该地的周围进行绿化（如图中阴影部分）．中间部分将修建一长方形景点，长为米，宽为米． (1)用含a、b的式子表示绿化的面积并化简； (2)求出当，时的绿化面积． 2．（24-25七年级下·陕西·期中）如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． (1)用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） (2)若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 3．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）小亮想把一个长为，宽为的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形的四个角各剪去一个相同小正方形（如图），设小正方形的边长为．    (1)求图中阴影部分的面积为（用含的代数式表示，要求化简）． (2)当时，求这个盒子的体积． 地 城 考点10 运用平方差公式进行运算 1．（24-25七年级下·广西北海·期末）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西崇左·期末）在下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（   ） A．B． C． D． 3．（17-18七年级下·山东青岛·单元测试）（x﹣2y）（x+2y）的结果是（ ） A．x2﹣2y2 B．x2﹣4y2 C．x2+4xy+4y2 D．x2﹣4xy+4y2 4．（24-25七年级下·广西北海·期末）计算： ． 5．（24-25七年级下·广西贵港·期末），，则的值为 ． 6．（24-25七年级下·广西来宾·期末）阅读理解——智慧数． 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数x，y的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如：，所以16就是一个“智慧数”，我们可以利用进行研究．现给出下列结论： ①被4除余2的正整数都不是“智慧数”； ②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”； ③所有的正奇数都是“智慧数”． (1)请判断7，24是否为“智慧数”，若是“智慧数”，请将7，24按“”照样写出：若不是“智慧数”，则不需写： (2)题中给出的结论，其中正确的结论是______；（填序号） (3)把你认为是正确结论的进行说明理由． 地 城 考点11 平方差在几何图形中的应用 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，通过计算图形的面积，可以验证的一个等式是（    ） A． B． C． D． 2．（15-16八年级上·河南驻马店·期末）如图在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分前拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广西崇左·期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是（请选择正确的一个）． A．    B．    C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，求的值． ②计算：． 地 城 考点12 运用完全平方公式进行运算 1．（12-13八年级下·山西·阶段练习）已知，则 ． 2．（24-25八年级上·广西玉林·期末）人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值．张老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ， ， ． ， ． ，． ，， ． 根据你的观察，请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题． (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 地 城 考点13 通过对完全平方公式变形求值 1．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（17-18八年级上·贵州遵义·期末）若，则 ． 3．（24-25七年级下·广西贵港·期末）已知，，则的值为 ． 地 城 考点14 求完全平方公式中的字母系数 1．（21-22八年级上·广西柳州·期末）如果是某个整式的完全平方式，那么常数k的值为（    ） A．6 B．-6 C．±6 D．18 2．（24-25八年级上·广西玉林·期末）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（12-13七年级下·全国·课后作业）若是一个完全平方式，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如果多项式是一个完全平方式，那么m的值为 ． 地 城 考点15 完全平方公式在几何图形中的应用 1．（23-24七年级下·广西桂林·期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（    ）    A．9 B．11 C．12 D．13 2．（24-25七年级下·广西桂林·期末）阅读与实践 （1）【知识感知】：完全平方公式1 的几何背景：如图1，把一个边长为的正方形分割成四部分，则这四部分的面积分别为，，，，由两种方法计算正方形的面积，可得到等式 （请补全等式）： ； （2）【类比迁移】：如图 2，将边长为 a 的正方形 ABCD 和边长为 b 的正方形 DEFG 以图 2 方式摆 放，使得点 C，D，G 在同一直线上． 若，，求阴影部分的面积． 在求解过程中，同学们应用数学转化思想、数形结合思想、整体思想把求不规则图形 的面积转化为求规则图形的面积的和差进行求解． 经过思考做了以下尝试解答，请你补 全求解过程： 将等式 两边同时平方得： 化简得： 将代入①中得： 解得： ． （3）【拓展应用】：如图 3，将边长为 a 的正方形和边长为 b 的正方形以图 3 方式摆 放，使得点A，D，G 在同一直线上． 若，，求阴影部分的面积． 3．（24-25八年级上·广西玉林·期末）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：___________；图2：___________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （1）已知，，求的值； （2）已知，求值． 拓展运用：如图3，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是和．若，，求Rt△ACF的面积．（用S，m表示） 4．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）如图是一个宽为，长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）． (1)观察图，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； (2)根据（）中的结论．如果，，求代数式的值； (3)如果，求的值． 地 城 考点16 整式的混合运算 1．（24-25七年级下·湖南常德·期中）先化简，再求值：，其中，． 2．（24-25八年级上·广西柳州·期末）计算： 3．（19-20八年级上·广东惠州·期末）分解因式： 4．（24-25八年级上·广西钦州·期末）分解因式： (1)； (2)． 地 城 考点17 判断是否是因式分解 1．（24-25八年级上·广西柳州·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点18 因式分解 1．（2019·山东临沂·中考真题）将进行因式分解，正确的是(   ) A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西贺州·期末）因式分解，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2010·浙江杭州·中考真题）分解因式：= ． 4．（2011·陕西·中考真题）分解因式：= ． 5．（2022·贵州遵义·中考真题）已知，，则的值为 ． 6．（2022·四川绵阳·中考真题）因式分解： ． 7．（24-25七年级下·广西百色·期末）因式分解： ． 地 城 考点19 因式分解的应用 1．（24-25九年级上·广西玉林·期末）如果，那么的值为（   ） A．16 B．64 C．32 D．8 2．（14-15八年级下·河南郑州·期末）如图,将下列四个图形拼成一个大长方形,再据此写出一个多项式的因式分解： ． 3．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，把，两个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则．当，，时，U的值为 ． 4．（24-25七年级下·广西梧州·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为_______，所以可得等式_______． (2)请利用A、B、C三种纸片各若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图，研究拼图发现可将因式分解为_______． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法与因式分解 19大高频考点概览 考点01同底数幂乘法的逆用 考点02幂的乘方运用 考点03积的乘方运算 考点04识别综合运算的正确性 考点05 单项式×单项式 考点06 单项式×多项式 考点07 (x+p)(x+q)型多项式乘法 考点08 多项式乘法中的规律性问题 考点09 单项式/多项式和多项式的应用 考点10 运用平方差公式进行运算 考点11 平方差在几何图形中的应用 考点12 运用完全平方公式进行运算 考点13 通过对完全平方公式变形求值 考点14 求完全平方式中的字母系数 考点15 完全平方公式在几何图形中的应用 考点16 整式的混合运算 考点17 判断是否是因式分解 考点18 因式分解 考点19 因式分解的应用 地 城 考点01 同底数幂的乘法逆用 1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）已知，，则的值为（　　） A．9 B．18 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了活用“同底数幂乘法的逆用”法则，熟知是解题的关键． 【详解】∵ ∴ 故选：B． 地 城 考点02 幂的乘方运用 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，根据公式计算即可得解． 【详解】根据题意，得， 故选A． 地 城 考点03 积的乘方运用 1．（24-25七年级下·广西梧州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的运算，涉及到积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方和幂的乘方的法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：A． 地 城 考点04 识别综合运算的正确性 1．（24-25八年级上·广西柳州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算规则，涉及幂的乘方、乘积的幂、负指数和零指数的运算．在解这类题目时，关键在于熟练掌握并正确应用幂的基本运算规则，包括幂的乘方、乘积的幂、负指数和零指数的定义，避免常见的误解和运算错误． 【详解】选项A中的，根据幂的乘方规则，，因此，而不是，故选项A错误． 选项B中的，根据乘积的幂规则，，因此，这是正确的． 选项C中的，根据负指数的定义，，因此，而不是，故选项C错误． 选项D中的，根据零指数的定义，任何非零数的零次幂等于1，即，因此，而不是，故选项D错误． 故选：B． 2．（24-25七年级下·广西贵港·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方逐项判断即可得． 本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 【详解】解：选项A：，但选项结果为，不符合题意； 选项B：，但选项结果为，不符合题意； 选项C：，与选项结果一致，符合题意； 选项D：，但选项结果为，不符合题意； 故选：C. 3．（24-25七年级下·广西贺州·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂相乘、相除，幂的乘方，积的乘方等．根据以上知识逐一验证各选项是否符合对应法则即可． 【详解】解：选项A：根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加，即 ．选项A结果为，错误． 选项B：根据同底数幂相除法则，底数不变，指数相减，即 ．选项B结果错误． 选项C：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，即 ．选项C结果正确． 选项D：根据积的乘方法则，每个因式分别乘方，即 ．选项D中结果错误． 综上，正确答案为C． 故选：C． 4．（24-25八年级上·广西钦州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方的运算，掌握相关运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项法则，幂的乘方的运算法则对每项判断即可得到正确选项． 【详解】解：A、和不是同类项不能合并，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项正确，符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25九年级上·广西玉林·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，单项式乘以多项式，去括号，整式的加减运算法则进行判定即可求解． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D ． 地 城 考点05 单项式×单项式 1．（24-25七年级下·广西北海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘单项式的运算，根据运算步骤先系数相乘，再同底幂相乘，一步步得到答案即可； 【详解】解： 故答案：． 地 城 考点06 单项式×多项式 2．（24-25八年级上·广西河池·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 地 城 考点07 (x+p)(x+q)型多项式的乘法 1．（24-25七年级下·广西百色·期末）如果，那么，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法．先把方程的左边化为与右边相同的形式，再分别令其一次项系数与常数项分别相等即可求出a、b的值． 【详解】解：， ∴，， 解得：，， 故选：C． 2．（24-25七年级下·广西来宾·期末）规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的整式运算． 根据新定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 3．（15-16八年级上·山西·阶段练习）若，则a、b的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键．先按照多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用多项式的恒等进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故选：B． 4．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值为（　　　） A．2 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并后即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴m=-2， 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，能够灵活运用法则进行计算是解此题的关键． 5．（17-18八年级上·广东珠海·期末）如果（x+m）与（x﹣4）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．0 D．1 【答案】A 【分析】先根据已知式子,可找出所有含x的项,合并系数,令含x项的系数等于0,即可求m的值. 【详解】解:(x+m)(x-4)=x+(m-4)x+4m,乘积中不含x的一次项, m-4=0, m=4. 所以A选项是正确的. 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，注意运算的准确性. 6．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查多项式乘以多项式的法则，根据对应项系数相等列式是求解的关键， 利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可． 【详解】 ， ， ，， 解得：，， 故答案为：5 地 城 考点08 多项式乘法中的规律性问题 1．（24-25七年级下·广西崇左·期末）我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘方的系数规律问题，根据图形得出，进而代入计算即可求解，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·广西玉林·期末）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘法的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”系数的规律，计算展开式的系数和是（） A．256 B．1024 C．64 D．512 【答案】A 【分析】此题考查了数字变化规律及多项式乘多项式，熟练掌握杨辉三角形的变化规律是解本题的关键．根据“杨辉三角”的规律求出所求即可． 【详解】解：根据“杨辉三角”得： 的展开式中的系数分别为1，6，15，20，15，6，1， 的展开式中的系数分别为1，7，21，35，35，21，7，1， 的展开式中的系数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1， 则的展开式的系数和是， 故选：A． 3．（24-25七年级下·广西崇左·期末）以下是杨辉三角，它揭示了关于展开式的规律，请您根据规律写出 ． 1 1   1……………………………… 1   2   1………………………… 1   3   3   1…………………… 1   4   6   4   1…………………………… 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法的规律问题，解此题的关键是能读懂图形，从中得出的各项系数； 观察题中的规律可得的各项系数依次为1，5，10，10，5，1；按5至0降幂排列，按0至5升幂排列，据此求解． 【详解】观察题中的规律可得的各项系数依次为1，5，10，10，5，1． 按5至0降幂排列，按0至5升幂排列，故有： 故答案为：． 4．（24-25七年级下·广西桂林·期末）观察下列各式： ； ； ； …… 根据以上规律计算： 的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的规律，解题的关键是理解题意，得出规律． 根据代数式的规律可得，结合题意得出，进行化简即可得出答案． 【详解】解：观察代数式可得， 把代入得， ∴． ∴ 故答案为：． 地 城 考点09 单项式/多项式和多项式的应用 1．（21-22八年级上·吉林白城·阶段练习）某小区院内有一块长为米，宽为米（，）的长方形地，现在物业部门计划将该地的周围进行绿化（如图中阴影部分）．中间部分将修建一长方形景点，长为米，宽为米． (1)用含a、b的式子表示绿化的面积并化简； (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)绿化的面积是平方米 (2)当，时的绿化面积为48平方米 【分析】本题考查整式混合运算的实际应用，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）将大长方形的面积减去小长方形的面积即可求解； （2）把，代入求值即可． 【详解】（1）解： 答：绿化的面积是平方米． （2）解：当，时， （平方米）， 答：当，时的绿化面积为48平方米． 2．（24-25七年级下·陕西·期中）如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． (1)用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） (2)若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 【答案】(1) (2)15500元 【分析】本题主要查了单项式乘以多项式的应用，求代数式的值： （1）用大长方形的面积减去2个小长方形的面积，列出代数式，即可求解； （2）把，代入（1）中的结果，即可求解． 【详解】（1）解： ， 即种植蔬菜的面积为． （2）解：当，时， ， （元）， 即种植蔬菜所需的总成本为15500元． 3．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）小亮想把一个长为，宽为的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形的四个角各剪去一个相同小正方形（如图），设小正方形的边长为．    (1)求图中阴影部分的面积为（用含的代数式表示，要求化简）． (2)当时，求这个盒子的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于长乘以宽，列出代数式，根据多项式的乘法进行计算即可求解； （2）将代入（1）中的结果，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，； （2）当时，． 答：当时，盒子的体积为． 【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，代数式求值，数形结合是解题的关键． 地 城 考点10 运用平方差公式进行运算 1．（24-25七年级下·广西北海·期末）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式，需满足两数和与两数差的乘积形式，逐一分析选项，判断是否符合该结构，解答即可．本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A．：两括号均为，属于完全平方公式，不符合平方差公式． B． ：可变形为，属于完全平方的相反数，不符合平方差公式． C．：直接满足的结构，结果为，符合平方差公式． D．：两括号中的项与、与次数不同，无法构成平方差形式． 故选：C． 2．（24-25七年级下·广西崇左·期末）在下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征（两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数）是解题的关键．根据平方差公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、可变形为，属于完全平方公式，不能用平方差公式计算，符合题意； B、符合平方差公式，能用平方差公式计算，不符合题意； C、可变形为，符合平方差公式，能用平方差公式计算，不符合题意； D、符合平方差公式，能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 3．（17-18七年级下·山东青岛·单元测试）（x﹣2y）（x+2y）的结果是（ ） A．x2﹣2y2 B．x2﹣4y2 C．x2+4xy+4y2 D．x2﹣4xy+4y2 【答案】B 【详解】原式=x2-4y2， 故选B． 4．（24-25七年级下·广西北海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·广西贵港·期末），，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平方差公式，根据，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵，，且 ∴， ∴， 故答案为：3 6．（24-25七年级下·广西来宾·期末）阅读理解——智慧数． 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数x，y的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如：，所以16就是一个“智慧数”，我们可以利用进行研究．现给出下列结论： ①被4除余2的正整数都不是“智慧数”； ②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”； ③所有的正奇数都是“智慧数”． (1)请判断7，24是否为“智慧数”，若是“智慧数”，请将7，24按“”照样写出：若不是“智慧数”，则不需写： (2)题中给出的结论，其中正确的结论是______；（填序号） (3)把你认为是正确结论的进行说明理由． 【答案】(1)是，； (2)①② (3)见解析 【分析】本题考查了平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法． （1）根据平方差公式即可求解； （2）根据平方差公式即可求解； （3）根据平方差公式即可证明． 【详解】（1）解：7，24是“智慧数”， ；； （2）设k为正整数， ， 除1外，所有的奇数都是智慧数， 故结论③错误， 故答案为：①②； （3）①假设存在正整数，使得是被4除余2的正整数，即（为整数）， 又，即两数乘积是偶数，由此知道均是偶数， 那么就能被4整除，这与被4除余2相矛盾， 因此，被4除余2的正整数都不是“智慧数”； ②设能被4整除的正整数为（为正整数且）， 由于，不妨令， 从而有． 解得，所以， 又因为为正整数且， 所以为正整数， 因此，除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”． 地 城 考点11 平方差在几何图形中的应用 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，通过计算图形的面积，可以验证的一个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，根据两个图形阴影部分面积相等即可得到结果． 【详解】解：图①的阴影部分的面积为：， 图②的阴影部分的面积为：， ∵阴影部分的面积相等， ∴， 故选：B． 2．（15-16八年级上·河南驻马店·期末）如图在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分前拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论． 【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为； 拼成的长方形的面积：， 所以得出：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论． 3．（24-25七年级下·广西崇左·期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是（请选择正确的一个）． A．    B．    C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】(1)B (2)①4；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟知公式：，灵活运用是解题的关键． （1）观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论； （2）①利用平方差公式解答即可； ②利用平方差公式解答即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是底为，高为的平行四边形，因此面积为， 有， 故答案为：B； （2）①∵，即，而， ∴， 故答案为：4； ② ． 地 城 考点12 运用完全平方公式进行运算 1．（12-13八年级下·山西·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】运用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解：已知， ∴，展开得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式是解题的关键． 2．（24-25八年级上·广西玉林·期末）人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值．张老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ， ， ． ， ． ，． ，， ． 根据你的观察，请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题． (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)4 (2)14 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键． （1）把两边平方，利用完全平方公式化简后将代入计算即可求出的值； （2）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，化简后即可求出值． 【详解】（1）解：把两边平方，得， 化简，得， 将代入得，解得； （2）解： ， ， ． 地 城 考点13 通过对完全平方公式变形求值 1．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行变形求值即可，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 得：， ∴， 故选：． 2．（17-18八年级上·贵州遵义·期末）若，则 ． 【答案】90 【分析】将已知及的值代入完全平方公式中，即可求出所求式子的值．本题主要考查了完全平方公式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】∵， ∴，即 则 故答案为：90 3．（24-25七年级下·广西贵港·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了完全平方公式，求代数式的值，先求出，，再整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴由可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点14 求完全平方公式中的字母系数 1．（21-22八年级上·广西柳州·期末）如果是某个整式的完全平方式，那么常数k的值为（    ） A．6 B．-6 C．±6 D．18 【答案】C 【分析】完全平方式有两个：①a2+2ab+b2，②a2﹣2ab+b2，根据以上知识点得出kx＝±2•3x•1，求出即可． 【详解】解：∵9x2+kx+1是某个整式的完全平方式， ∴k＝±2×3×1＝±6． 故选：C． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·广西玉林·期末）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴或． 故选：D ． 3．（12-13七年级下·全国·课后作业）若是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式，分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情况求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并能进行灵活变形是解题的关键，需注意要分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情况，否则容易遗漏答案． 4．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如果多项式是一个完全平方式，那么m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：． 地 城 考点15 完全平方公式在几何图形中的应用 1．（23-24七年级下·广西桂林·期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（    ）    A．9 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用和整体代入的数学思想，根据图形得出数量关系是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形列出a、b的关系式求解即得． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图甲得：，即， 由图乙得：，整理得， 所以 所以． 即正方形A、B的面积之和为13． 故选D． 2．（24-25七年级下·广西桂林·期末）阅读与实践 （1）【知识感知】：完全平方公式1 的几何背景：如图1，把一个边长为的正方形分割成四部分，则这四部分的面积分别为，，，，由两种方法计算正方形的面积，可得到等式 （请补全等式）： ； （2）【类比迁移】：如图 2，将边长为 a 的正方形 ABCD 和边长为 b 的正方形 DEFG 以图 2 方式摆 放，使得点 C，D，G 在同一直线上． 若，，求阴影部分的面积． 在求解过程中，同学们应用数学转化思想、数形结合思想、整体思想把求不规则图形 的面积转化为求规则图形的面积的和差进行求解． 经过思考做了以下尝试解答，请你补 全求解过程： 将等式 两边同时平方得： 化简得： 将代入①中得： 解得： ． （3）【拓展应用】：如图 3，将边长为 a 的正方形和边长为 b 的正方形以图 3 方式摆 放，使得点A，D，G 在同一直线上． 若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2） ，24；（2）阴影部分的面积是151 【分析】本题考查完全平方公式的几何意义与应用，解题关键是利用图形面积的和差转化，结合完全平方公式进行计算． （1）利用正方形面积的整体与部分计算方法，推导完全平方公式 。 （2）先将阴影部分面积转化为规则图形面积的和差，得出；再依据完全平方公式及已知条件、，求出的值，即阴影部分面积 。 （3）把阴影部分面积转化为；借助完全平方公式变形，结合已知、，算出的值，进而求得阴影部分面积 。 【详解】（1）根据正方形面积的两种计算方法（整体法和部分法），边长为的正方形面积，整体计算为；部分计算为四部分面积和， 所以 ； 故答案为：； （2） ； 将等式 两边同时平方得： 化简得： 将代入①中得： 解得：． 故答案为： ，24； （3）阴影部分面积 ． ∵，；， ． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． 3．（24-25八年级上·广西玉林·期末）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：___________；图2：___________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （1）已知，，求的值； （2）已知，求值． 拓展运用：如图3，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是和．若，，求Rt△ACF的面积．（用S，m表示） 【答案】问题呈现：； ． 数学思考：（1）的值为． （2）的值为4052．拓展运用：． 【分析】本题考查了整式的混合运算--化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． 问题呈现：利用面积法进行计算，即可解答； 数学思考：（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； 拓展运用：设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：图1：；图2：． 数学思考： （1）∵，， ∴ ， ∴的值为． （2）设，， ∴． ∵， ∴． ． ∴的值为4052． 拓展运用： 设，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ． 4．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）如图是一个宽为，长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）． (1)观察图，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； (2)根据（）中的结论．如果，，求代数式的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）表示出大、小正方形的边长和面积，根据面积之间的关系得出结论； （）由（）的结论得，再整体代入即可； （）先由，再利用平方差公式得出，再根据即可求解； 本题考查完全平方公式的几何背景和平方差公式，用不同的方法表示图形的面积，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）由图可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，大正方形的面积可以表示为：或， ∴， 故答案为：； （2）由（）得：， ∴， ∴； （3）解： ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点16 整式的混合运算 1．（24-25七年级下·湖南常德·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，10 【分析】此题主要考查整式的混合运算，二次根式的乘法．先根据完全平方公式、平方差公式将多项式展开，再去括号、合并同类项，最后代入值计算即可． 【详解】解： 原式 ， 当，时， 原式 ． 2．（24-25八年级上·广西柳州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，正确掌握多项式乘以多项式及单项式乘以多项式法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式及单项式乘以多项式法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 3．（19-20八年级上·广东惠州·期末）分解因式： 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式即可因式分解． 【详解】解：原式= ． 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法． 4．（24-25八年级上·广西钦州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 地 城 考点17 判断是否是因式分解 1．（24-25八年级上·广西柳州·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【详解】A．，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．，因式分解错误，故本选项不符合题意； C．，等式的右边不是几个整式的积，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．，符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 地 城 考点18 因式分解 1．（2019·山东临沂·中考真题）将进行因式分解，正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】多项式有公因式，首先用提公因式法提公因式，提公因式后，得到多项式，再利用平方差公式进行分解． 【详解】， 故选C． 【点睛】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解； 2．（24-25七年级下·广西贺州·期末）因式分解，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，需找到两个数满足乘积为常数项6，和为一次项系数即可． 【详解】解：将二次三项式 分解为 的形式，需满足： 且． ∴，且 ，符合条件． 因此，原式可分解为 ，对应选项B． 故选：B． 3．（2010·浙江杭州·中考真题）分解因式：= ． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 4．（2011·陕西·中考真题）分解因式：= ． 【答案】． 【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 5．（2022·贵州遵义·中考真题）已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】根据平方差公式直接计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：8 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键． 6．（2022·四川绵阳·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键． 7．（24-25七年级下·广西百色·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了提取公因式法，正确掌握相关运算法则是解题关键，提取公因式即可． 【详解】解：原式 故答案为： 地 城 考点19 因式分解的应用 1．（24-25九年级上·广西玉林·期末）如果，那么的值为（   ） A．16 B．64 C．32 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子因式分解为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选B． 2．（14-15八年级下·河南郑州·期末）如图,将下列四个图形拼成一个大长方形,再据此写出一个多项式的因式分解： ． 【答案】 【分析】由图可知拼成的大长方形面积为=，再进行因式分解即可. 【详解】由图得大长方形的面积为=， 故 【点睛】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是先求出大长方形的面积. 3．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，把，两个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则．当，，时，U的值为 ． 【答案】220 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握提公因式法进行因式分解是关键．利用提公因式法进行因式分解再进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ． 故答案为：220． 4．（24-25七年级下·广西梧州·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为_______，所以可得等式_______． (2)请利用A、B、C三种纸片各若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图，研究拼图发现可将因式分解为_______． 【答案】(1)， (2)作图见解析， 【分析】本题考查几何背景下的整式的乘法与因式分解，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）图2可看作是边长为的正方形，也可以看作4个部分组成，可分别表示出面积，再根据二者面积相等，即可作答； （2）拼成的大长方形需要2张A种纸片，1张B种纸片，3张C种纸片，据此即可作图，再由面积关系即可解答． 【详解】（1）解：图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式． 故答案为： ，； （2）解：如图， 由图可知，拼成的大长方形的长为，宽为，即， ∴可将因式分解为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $