专题03 轴对称（期末真题汇编，广西专用）八年级数学上学期

专题03 轴对称 13大高频考点概览 考点01轴对称图形的识别 考点02垂直平分线的性质 考点03作已知线段的垂直平分线 考点04折叠问题求角度 考点05 点坐标关于坐标轴的对称 考点06 画轴对称图形 考点07 等腰三角形的定义 考点08 等腰三角形的性质 考点09 等腰三角形的性质和判定综合 考点10 等边角形的性质 考点11 等边角形的性质和判定综合 考点12 含30°角的直角三角形 考点13 将军饮马求最小值问题 地 城 考点01 轴对称图形的识别 1．（24-25七年级下·广西桂林·期末）下列警示标志是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西贺州·期末）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（   ）. A．正方形 B．含的直角三角形 C．等腰三角形 D．圆 3．（24-25八年级上·广西崇左·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 地 城 考点02 垂直平分线的性质 1．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，通过尺规作图的方式分别以，为圆心，大于长为半径画弧的交点分别为，，线段交，分别于点，，连接，若，的周长为，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．15 D．20 地 城 考点03 作已知线段的垂直平分线 1．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图所示，在中，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交、于D、E两点． (2)连接，求的周长． 2．（24-25八年级上·广西·期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC， （1）作图：作BC边的垂直平分线分别交BC，BD于点E，F（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数. 3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）已知：如图所示，在中，． (1)作的垂直平分线，分别交、于点、，连接（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)若，，求的长度； (3)在（2）的条件下，判断的形状（直接写出结果，不需要说明理由）． 地 城 考点04 折叠问题求角度 1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图a，四边形是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西北海·期末）如图，将一张长方形纸条 沿折叠，点C，D分别折叠至点的位置．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一张长方形纸片分别沿着，折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（   ） A．30° B．35° C．45° D．60° 地 城 考点05 点坐标与关于坐标轴的对称 1．（24-25八年级下·广西来宾·期末）点关于轴的对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西贺州·期末）若点与点关于轴对称，则（   ）． A．1 B．7 C． D． 3．（23-24八年级上·广东广州·期末）若点与点关于x轴对称，则点关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广西北海·期末）在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点的坐标是 ． 地 城 考点06 画对称图形 1．（24-25八年级上·广西玉林·期末）如图，在平面直角坐标系的网格图中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)的面积为_____； (2)画出关于y轴对称的（点E与点B对应），直接写出点D的坐标为_____． 2．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为：，，．求： (1)的面积； (2)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (3)若以，，为顶点的三角形与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标．（点与点重合除外）． 3．（24-25八年级上·广西钦州·期末）若a，b是等腰的两边长，且满足关系式．求的周长． 地 城 考点07 等腰三角形的定义 1．（24-25八年级上·广西百色·期末）一个等腰三角形，周长为9，各边均为整数，则腰长为（   ） A．4或3或2 B．4或3 C．4 D．3 2．（24-25八年级上·广西贺州·期末）等腰三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长为 ． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形有两条边长为和，则该三角形的周长是 ． 4．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知点A，C分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 地 城 考点08 等腰三角形的性质 1．（18-19八年级下·湖北·阶段练习）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．50° 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 3．（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，在中， ，的垂直平分线交于点D，E，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，垂足为D，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（24-25八年级上·广西贺州·期末）已知：如图，，并且，则的度数为 ． 6．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，是边上一点，．将沿所在直线翻折，使点落在边上的点处．若，则 ．    7．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 地 城 考点09 等腰三角形的性质和判定综合 1．（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，是边上的中线，过点分别作，，垂足分别是，，则下列结论①；②；③；④；⑤；正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·广西柳州·期末）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点O，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广西贵港·期末）【常见类型】 （1）如图1，已知：，且．求证：． 【变式拓展】 （2）某同学改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答． 如图2，是等腰直角三角形，，为中点，交延长线于点于点． 求证：；． 4．（24-25八年级上·广西河池·期末）综合与探究 问题呈现 （1）如图1，在和中，，，，连接，，试探究和的数量关系，并加以证明． 特例探究 （2）如图2，若和均为等边三角形，且点D，E，C在同一直线上，求的度数． （3）如图3，若和均为等腰直角三角形，，且点D，E，C在同一直线上，与交于点F，当恰好平分时，发现，请写出证明过程． 5．（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图①，在中，，的平分线交于点．过点的直线平行于，分别与，交于点，． (1)求证：． (2)将“的平分线”改为“的外角平分线”，如图②所示． ①试推断，，存在怎样的数量关系，并证明你的结论． ②若，求的值． 6．（21-22八年级下·河南驻马店·阶段练习）（1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接． 填空：①的度数为______，②线段之间的数量关系为______． （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系．并说明理由． 7．（24-25八年级上·广西河池·期末）两组邻边分别相等的四边形是筝形．如图1，在筝形中，，，，相交于点O． (1)求证：． (2)如图2，在筝形中，过点A作交于点E．若，，求的长． 8．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图1，已知，连接． (1)求证：． (2)将绕点C旋转到如图2所示的位置，F为的中点，连接，． ①求证：． ②探究与的数量关系和位置关系，并说明理由． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】 如图，在中，，，，分别是，上的点，且．求证：； 【实践探究】 如图，在等腰中，，点是上的点，过点作于点．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由． 地 城 考点10 等边三角形的性质 1．（24-25八年级上·广西钦州·期末）如图，是等边的一条中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（20-21七年级下·四川达州·期末）如图，已知，，点、、…在射线上，点、、 在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 地 城 考点11 等边三角形的性质和判定综合 1．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知是等边三角形，，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：． 地 城 考点12 含30°角的直角三角形 1．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，则边上的高的长为（　　） A． B． C． D． 2.（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，在中， ，，，垂足为点，延长至点，取．若的周长为，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广西防城港·期末）在中，，，，则 ． 4．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，两条笔直的公路，相交于点，为，指挥中心设在路段上，与地的距离为25千米．一次行动中，王警官带队从地出发，沿方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在12千米之内进行通话，则王警官在行进过程中 （填“能”或“不能”）与指挥中心用对讲机通话． 5．（19-20八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，，于点，，，则的长度是 ． 6．（24-25八年级上·广西玉林·期末）探究与证明：已知和都是等边三角形． 【模型感知】 （1）如图1，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，当点在线段上时，过点作于点．猜想线段，与之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 7．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知是等边三角形，，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：． 地 城 考点13 将军饮马求最小值问题 1．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 2．（21-22八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，，平分交于点，点分别是线段上的动点，则的最小值是 ； 3．（22-23八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，，是的两条中线，，，P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 13大高频考点概览 考点01轴对称图形的识别 考点02垂直平分线的性质 考点03作已知线段的垂直平分线 考点04折叠问题求角度 考点05 点坐标关于坐标轴的对称 考点06 画轴对称图形 考点07 等腰三角形的定义 考点08 等腰三角形的性质 考点09 等腰三角形的性质和判定综合 考点10 等边角形的性质 考点11 等边角形的性质和判定综合 考点12 含30°角的直角三角形 考点13 将军饮马求最小值问题 地 城 考点01 轴对称图形的识别 1．（24-25七年级下·广西桂林·期末）下列警示标志是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据此定义进行分析即可． 【详解】解：选项B、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2．（24-25八年级上·广西贺州·期末）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（   ）. A．正方形 B．含的直角三角形 C．等腰三角形 D．圆 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．本题考查了轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：A、正方形是轴对称图形，不符合题意； B、含的直角三角形不是轴对称图形，符合题意； C、等腰三角形是轴对称图形，不是旋转对称图形，不符合题意． D、圆是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·广西崇左·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对轴对称图形的认识．根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形即为轴对称图形一一判断即可． 【详解】解：．不是轴对称图形，，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 地 城 考点02 垂直平分线的性质 1．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到该线段两端的距离相等，据此可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，通过尺规作图的方式分别以，为圆心，大于长为半径画弧的交点分别为，，线段交，分别于点，，连接，若，的周长为，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，的周长为，根据是线段的垂直平分线，得，得到，，计算周长即可 【详解】解：根据作图可得，是线段的垂直平分线， ， 的周长为， 的周长为， 故选：B． 地 城 考点03 作已知线段的垂直平分线 1．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图所示，在中，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交、于D、E两点． (2)连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长是 【分析】本题主要考查了尺规作图之作线段的垂直平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，前后弧相交，然后过弧交点作直线交于E，于D即可； （2）由垂直平分得，从而即可求得的周长． 【详解】（1）解：如图所示，是边的垂直平分线． （2）解：是边的垂直平分线， ， ， 又， ， 答：的周长是． 2．（24-25八年级上·广西·期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC， （1）作图：作BC边的垂直平分线分别交BC，BD于点E，F（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数. 【答案】（1）见解析（2）48° 【详解】试题分析：（1）按照尺规作图的基本作图的步骤作图即可；（2）根据BD平分∠ABC，可得∠FBC=24°，根据EF垂直平分BC，可得出∠FCB=∠FBC=24°，然后利用三角形外角的性质和三角形的内角和可求出∠ACF的度数. 试题解析：（1）如图： （2）∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°， ∴∠FBC=24° ∵EF垂直平分BC， ∴BF=CF ∴∠FCB=∠FBC="24°" 在△FDC中，∠FDC=∠A+∠ABD="60°+24°=84°" ∠DFC=∠FCB+∠FBC="24°+24°=48°" ∴∠ACF="180°-84°-48°=48°" 考点：1.尺规作图2.线段垂直平分线的性质3.角的计算. 3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）已知：如图所示，在中，． (1)作的垂直平分线，分别交、于点、，连接（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)若，，求的长度； (3)在（2）的条件下，判断的形状（直接写出结果，不需要说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)是等边三角形． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，，再根据直角三角形的性质即可求解； （3）根据直角三角形的性质求得，，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：所作图形，如图， （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：是等边三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握以上并灵活运用是解此题的关键． 地 城 考点04 折叠问题求角度 1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图a，四边形是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，由平行线的性质可得图中，由翻折的性质可得到图中，从而可得，再利用平行线的性质和翻折的性质求出图中，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由长方形纸带可得：， 则图中， 由翻折的性质可得到图中， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质可得图中， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·广西北海·期末）如图，将一张长方形纸条 沿折叠，点C，D分别折叠至点的位置．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：∵长方形纸条 沿折叠 ∴ ∵，设 ∴ ∵ ∴ ∴ ，解得： ∴ 故选：B. 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一张长方形纸片分别沿着，折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（   ） A．30° B．35° C．45° D．60° 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质以及轴对称性质,根据折叠得到再根据这四个角的和为直角，进而得出其等于直角的一半． 【详解】解：根据折叠的性质得知, 因为， 所以． 故选：C ． 地 城 考点05 点坐标与关于坐标轴的对称 1．（24-25八年级下·广西来宾·期末）点关于轴的对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于轴的对称点的坐标，根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．关键是掌握点的坐标的变化规律． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广西贺州·期末）若点与点关于轴对称，则（   ）． A．1 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，代数式求值，属于应知应会题目，掌握解答的方法是关键．根据关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴ ∴． 故选C． 3．（23-24八年级上·广东广州·期末）若点与点关于x轴对称，则点关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于y轴、x轴对称的点的坐标，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点与点关于x轴对称， 则，， ∴，， ∴， ∵点关于y轴对称的点， ∴． 故选：A． 4．（24-25八年级下·广西北海·期末）在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质．直接利用关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相同，进而得出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 地 城 考点06 画对称图形 1．（24-25八年级上·广西玉林·期末）如图，在平面直角坐标系的网格图中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)的面积为_____； (2)画出关于y轴对称的（点E与点B对应），直接写出点D的坐标为_____． 【答案】(1)； (2)图形见解析，． 【分析】本题考查了坐标与图形，熟记相关结论即可求解． （1）利用“割补法”即可求解； （2）确定各顶点关于y轴对称的对应点，即可作图； 【详解】（1）解：． 故答案为： （2）解：如图，即为所求，． 故答案为： 2．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为：，，．求： (1)的面积； (2)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (3)若以，，为顶点的三角形与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标．（点与点重合除外）． 【答案】(1) (2)见解析， (3)或， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，全等三角形的判定： （1）根据三角形面积计算公式求解即可； （2）关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （3）根据全等三角形的判定定理结合网格的特点画出点D的位置即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； ∵与关于轴对称，， ∴； （3）解：如图所示，，，即为所求． 3．（24-25八年级上·广西钦州·期末）若a，b是等腰的两边长，且满足关系式．求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了平方的非负性质，等腰三角形的定义及三角形三边关系；根据关系式得出，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：由， 得． ，． 解得，． a，b是等腰的两边长， ①若是腰长，根据题意，此三角形的三边长为2，2，4．根据三角形的三边关系，不能组成三角形； ②若是腰长，根据题意，此三角形的三边长为2，4，4．根据三角形的三边关系，能组成三角形． 则周长为． 地 城 考点07 等腰三角形的定义 1．（24-25八年级上·广西百色·期末）一个等腰三角形，周长为9，各边均为整数，则腰长为（   ） A．4或3或2 B．4或3 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；明确题目的要求各边均为整数是解答本题的关键． 设出腰长为，那么可用周长表示出底边长，让底边长大于0，两腰之和大于底边长列式求解，找到相应整数解即可． 【详解】解：设腰长为，那么底边长为， ，， 解得：， 为整数， 为3，4． 腰长为4或3． 故选B． 2．（24-25八年级上·广西贺州·期末）等腰三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长为 ． 【答案】4或7 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边数量关系，理解并掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分类讨论：当腰长是4时，三边长分别为4，4，7；当腰长是7时，三边长分别为4，7，7；再根据三角形三边数量关系判定是否符合题意即可． 【详解】解：当腰长是4时，三边长分别为4，4，7， ∵，符合题意， ∴第三边长为4； 当腰长是7时，三边长分别为4，7，7， ∵，符合题意， ∴第三边长为7； 综上所述，第三边长为4或7， 故答案为：4或7 ． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形有两条边长为和，则该三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，掌握相关知识是解题的关键．分两种情况：当为腰长时，当为腰长时，先根据三角形三边关系判定是否能组成三角形，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：当为腰长时，， ，，不能组成三角形； 当为腰长，， ，，能组成三角形， 三角形的周长为：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知点A，C分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，掌握以上知识，结合图形分析是关键． （1）根据角平分线的定义，平行线的性质得到，由等角对等边得到，结合等腰三角形的定义即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，平角的性质得到，由角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 地 城 考点08 等腰三角形的性质 1．（18-19八年级下·湖北·阶段练习）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．50° 【答案】C 【分析】根据AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C，∠A，∠EBD之间的关系，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：设∠EBD＝x°， ∵BE＝DE， ∴∠EDB＝∠EBD＝x°， ∴∠AED＝∠EBD+∠EDB＝2x°， ∵AD＝DE， ∴∠A＝∠AED＝2x°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3x°， ∵BD＝BC， ∴∠C＝∠BDC＝3x°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3x°， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴2x+3x+3x＝180， 解得：x＝22.5， ∴∠A＝2x°＝45°． 故选C． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，掌握这些性质是解题的关键；根据等腰三角形的性质去判断即可． 【详解】解：在中，，D是中点， 则，，平分，， 而不一定成立， 即选项A、B、C都正确，不符合题意，选项D不正确，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，在中， ，的垂直平分线交于点D，E，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等和等边对等角是解答此题的关键．首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质易得． 【详解】解：， ， 是的垂直平分线， ， ， 故选：D． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，垂足为D，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，掌握此性质是关键；由，得，则即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选：D． 5．（24-25八年级上·广西贺州·期末）已知：如图，，并且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形外角的性质，分别根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，是边上一点，．将沿所在直线翻折，使点落在边上的点处．若，则 ．    【答案】 【分析】此题重点考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，利用翻折性质及线段和差将转换为线段相等是解题的关键．由翻折得，，，结合，得出，所以，再利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：由翻折得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质． 根据等腰三角形的性质可知，利用可证； 根据全等三角形的性质可知，，所以可知，根据可求结果． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ； （2）解：由可知， ，， 又， ． 地 城 考点09 等腰三角形的性质和判定综合 1．（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，是边上的中线，过点分别作，，垂足分别是，，则下列结论①；②；③；④；⑤；正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；根据可得，根据等腰三角形的性质得出，，进而证明，即可得出；，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵是是边上的中线， ∴，，故③④正确， ∵，， ∴ 在中， ∴ ∴；，故①②正确 没有条件证明，故⑤不正确， 故选：C． 2．（24-25八年级上·广西柳州·期末）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点O，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识,证明是解题的关键. 【详解】解:∵, ∴, ∵, ∴ ∴, 在和中, , ∴， ∴, ∵ ∴, ∴, ∴, ∴是等边三角形, ∴, ∴是等边三角形, ∴, ∵, ∴, ∴． 故选:C． 3．（24-25八年级上·广西贵港·期末）【常见类型】 （1）如图1，已知：，且．求证：． 【变式拓展】 （2）某同学改变（1）中的条件和图形，提出下面的问题，请你解答． 如图2，是等腰直角三角形，，为中点，交延长线于点于点． 求证：；． 【答案】（1）详见解析 （2）①详见解析；②详见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． （1）根据证明，即可得证； （2）①根据证明，即可得证； ②连接，过点作交于点，证明，可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的数量关系即可得证． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）证明：①交延长线于点，于点， ， 为中点， ， ， ， ； ②如图，连接，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．（24-25八年级上·广西河池·期末）综合与探究 问题呈现 （1）如图1，在和中，，，，连接，，试探究和的数量关系，并加以证明． 特例探究 （2）如图2，若和均为等边三角形，且点D，E，C在同一直线上，求的度数． （3）如图3，若和均为等腰直角三角形，，且点D，E，C在同一直线上，与交于点F，当恰好平分时，发现，请写出证明过程． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）根据等边三角形的性质可得，即可推导，由（1）可知，根据全等三角形的性质可得，由即可确定的度数； （3）根据等腰直角三角形的性质，易得，再结合平分，可得，，进而确定，可推导；然后证明，可得，结合，即可证明． 【详解】解：（1）．证明如下： ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）∵为等边三角形， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴； （3）∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余等知识，解题关键是证明，熟练运用全等三角形的性质． 5．（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图①，在中，，的平分线交于点．过点的直线平行于，分别与，交于点，． (1)求证：． (2)将“的平分线”改为“的外角平分线”，如图②所示． ①试推断，，存在怎样的数量关系，并证明你的结论． ②若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质证明等腰三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质证明和是等腰三角形，从而得到，然后利用线段的和差关系以及等量关系解答即可； （2）①根据角平分线的定义和平行线的性质证明和是等腰三角形，从而得到，然后利用线段的和差关系以及等量关系解答即可； ②根据①求出的关系代数求值即可． 【详解】（1）证明：平分，平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：①，理由如下： 如图， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ； ②， ， 由①知， ． 6．（21-22八年级下·河南驻马店·阶段练习）（1）问题发现 如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接． 填空：①的度数为______，②线段之间的数量关系为______． （2）拓展探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系．并说明理由． 【答案】（2）①②（2）；理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，证明三角形全等成为解题的关键． （1）由条件和均为等边三角形，易证，从而得到：．由点A，D，E在同一直线上可求出，从而可以求出的度数，即可； （2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出；根据，可得，所以，据此判断出． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：①②； （2）；理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴ ， ∴，，即， ∴， ∴． ∴． 在等腰直角中，为斜边上的高， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴． 7．（24-25八年级上·广西河池·期末）两组邻边分别相等的四边形是筝形．如图1，在筝形中，，，，相交于点O． (1)求证：． (2)如图2，在筝形中，过点A作交于点E．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识 （1）证明，则．由是等腰三角形即可得到； （2）由（1）知得到．由平行线的性质得到，则，得到，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴． ∵是等腰三角形， ∴． （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 8．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图1，已知，连接． (1)求证：． (2)将绕点C旋转到如图2所示的位置，F为的中点，连接，． ①求证：． ②探究与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析，②，理由见解析 【分析】（1）根据条件证明即可； （2）①根据可得，进而证明即可得到结论； ②延长至点P，使，连接，延长交于点M，根据条件证明可得，进而得到，从而证明即可得到，从而得到． 【详解】（1）证明∵， ∴ ∴； （2）①证明:∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； ②， 理由:如图，延长至点P，使，连接，延长交于点M， ∵F为的中点, ∴ 在和中， , ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 综上所述，，. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】 如图，在中，，，，分别是，上的点，且．求证：； 【实践探究】 如图，在等腰中，，点是上的点，过点作于点．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】【独立思考】见解析；【实践探究】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定和性质． 独立思考：先证明为等边三角形，则，又由由，即可证明； 实践探究：过点作于点，则，由三线合一定理得到，再证明，得到，即可得到． 【详解】独立思考： 证明：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 实践探究： 解：，理由如下： 如图所示，过点作于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点10 等边三角形的性质 1．（24-25八年级上·广西钦州·期末）如图，是等边的一条中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由是等边的一条中线，可得，，根据可得，最后根据，即可求解． 【详解】解： 是等边的一条中线， ，， ， ， ， ， 故选：B． 2．（20-21七年级下·四川达州·期末）如图，已知，，点、、…在射线上，点、、 在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：C． 地 城 考点11 等边三角形的性质和判定综合 1．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知是等边三角形，，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）由等边三角形的性质得，结合平行线的性质可证，可得是等边三角形； （2）根据证明得，由是等边三角形得，从而可证． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴ ∴是等边三角形 （2）证明：∵ ∴． 在和中 ∴． ∴． 又由（1）是等边三角形 ∴， ∴． 地 城 考点12 含30°角的直角三角形 1．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，则边上的高的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理．等边对等角求出，进而得到即可．掌握等边对等角，30度角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2.（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，在中， ，，，垂足为点，延长至点，取．若的周长为，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明是等边三角形，结合，得三线合一，所以，，由得，所以，得，再根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】解： ，， 是等边三角形， 的周长为， ， ， 是高线也是边上的中线、的平分线， ，， ， ， ， ， 的周长为：， 故选：C． 3．（24-25八年级上·广西防城港·期末）在中，，，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 4．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，两条笔直的公路，相交于点，为，指挥中心设在路段上，与地的距离为25千米．一次行动中，王警官带队从地出发，沿方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在12千米之内进行通话，则王警官在行进过程中 （填“能”或“不能”）与指挥中心用对讲机通话． 【答案】不能 【分析】本题主要考查了含有的直角三角形的性质的实际应用，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 过点M作于点H，在中已知一角，以及一条边，根据“直角三角形中，所对应的直角边等于斜边的一半”就可以求出． 【详解】解：过点M作于点H，点H是路段距离指挥中心最近的点． 在中， 千米，， （千米）． 千米千米， 王警官在行进过程中不能与指挥中心用对讲机通话． 故答案为：不能． 5．（19-20八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，，于点，，，则的长度是 ． 【答案】6 【分析】本题考查直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记相关性质是解题关键． 根据同角的余角相等求出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半求出、的长，然后根据计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：6． 6．（24-25八年级上·广西玉林·期末）探究与证明：已知和都是等边三角形． 【模型感知】 （1）如图1，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，当点在线段上时，过点作于点．猜想线段，与之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质证明即可得到结论； （2）由等边三角形的性质证明，结合可得结论； （3）方法一：设与交于点，在上截取，证明，得出，根据等边三角形性质得出，即可证明． 方法二：证明，得出，，证明，得出即可． 【详解】证明：（1）和都是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ； （2）和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ； （3）线段，与之间存在的数量关系是：，证明如下： 方法一：设与交于点，在上截取，如图所示： 和都是等边三角形， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 方法二：和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 7．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知是等边三角形，，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）由等边三角形的性质得，结合平行线的性质可证，可得是等边三角形； （2）根据证明得，由由是等边三角形得，从而可证． 【详解】（1）证明：（1）是等边三角形，理由如下： 是等边三角形， ． ， ， 是等边三角形． （2）证明：∥ 在和中 又由（1）是等边三角形 ． 地 城 考点13 将军饮马求最小值问题 1．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线， ∴垂直平分， ∴． 过点B作于点Q，交于点P，如图所示． 则此时取最小值，最小值为的长， ∵ ∴． 故答案为：9.6． 2．（21-22八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，，平分交于点，点分别是线段上的动点，则的最小值是 ； 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线的问题、角平分线的性质以及含30度直角三角形的性质等知识点，作C点关于的对称点，过作交于点E，交于点F，的最小值的长． 【详解】解：平分， 作C点关于的对称点，点在上， 如图：过作交于点E，交于F， ∴， ∴的最小值的长， C点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， 在中， ， ∴的最小值为4． 故答案为：4． 3．（22-23八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，，是的两条中线，，，P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】7 【分析】根据等腰三角形性质判定点C和点B关于直线对称，得到，结合，判定当B，P，E三点共线时，有最小值，其最小值为计算即可． 【详解】∵，，是的两条中线， ∴点C和点B关于直线对称， ∴， ∴， ∴当B，P，E三点共线时，有最小值， ∵， ∴最小值为． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段最短原理，熟练掌握三线合一性质，线段最短原理是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $