专题02 全等三角形（期末真题汇编，广西专用）八年级数学上学期

专题02 全等三角形 8大高频考点概览 考点01全等三角形的性质 考点02全等三角形的判定 考点03添加条件使三角形全等 考点04 全等三角形的性质和判定 考点05 全等三角形的应用 考点06 角平分线的性质定理 考点07 作图-角平分线 考点08 角平分线与全等三角形的综合 地 城 考点01 全等三角形的性质 1．（21-22八年级上·广西河池·期末）如图，A，F，C，D在一条直线上，△ABC≌△DEF， AF＝1，FD＝3，则FC的长是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 2．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）如图，，若，，则的长度为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 3．（20-21八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，， ，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广西桂林·期末）如图，若，则与相等的角是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，，若，，则等于（　　） A． B．4 C． D．5 7．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则 ． 8．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，点A坐标为，点B坐标为，若在y轴右侧有一点C使得与全等，则点C的坐标为 ．    地 城 考点02 全等三角形的判定 1．（22-23八年级上·广西南宁·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·江苏泰州·期末）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（　　） A． B． C． D． 4．（14-15八年级上·浙江宁波·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角 ．作法如下：如图所示， 是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点 C的射线即是的平分线 ．这种作法的道理是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，在和中，，，则的理由是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，已知中，，．点在线段以的速度由点向终点运动，同时，点在线段以的速度由点向终点运动，点在线段上以的速度由点向终点运动．当点D，P，Q任意一点到达终点时，三点同时停止运动．当的值为（    ）时，与全等． A．3 B．4 C．5 D．3或5 地 城 考点03 添加条件使三角形全等 1．（2011·江苏宿迁·中考真题）已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 2．（24-25八年级上·广西钦州·期末）如图，在中，，添加下列条件后，仍不能判断的（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）如图，，添加下列条件，不一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点04 全等三角形的性质和判定 4．（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 5．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为 ． 6．（24-25八年级上·广西玉林·期末）如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知于D，于E，． (1)求的长； (2)求的度数． 8．（21-22八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，于E，点F在边上． (1)求证：； (2)若，且的面积等于6，求的长． 9．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点C，F，E，B在一条直线上，，，．求证： (1)； (2)． 10．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的度数． 11．（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且．求证： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·广西梧州·期末）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是__________；中线的取值范围是_______． 【灵活运用】 （2）如图2，在中，点是的中点，，，其中，连接，试判断线段与的数量关系及直线与直线的位置关系，并说明理由． 13．（2008·浙江·中考真题）经过顶点的一条直线，．分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，， 则 ； （填“”，“”或“”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．    地 城 考点05 全等三角形的应用 1．（24-25八年级上·广西百色·期末）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得，，则该圆形容器的壁厚是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西来宾·期末）学校美术社团为学生外出写生配备如图所示的折着凳（图1），图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中登腿和的长度相等，O是它们的中点，为了使折鲁凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，利用你所学的知识求出的长度是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点06 角平分线的性质定理 1．（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（      ） A． B． C． D． 2．（13-14九年级上·贵州黔西·期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 3．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，已知在中，，嘉淇通过尺规作图作的角平分线，交于点，已知的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，已知的周长是30，，分别平分、，于点D，且，则的面积为（    ） A．30 B．35 C．40 D．45 5．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图所示，点是内一点，要使点到、的距离相等，且，点是（   ）    A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 6．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，在平面直角坐标系中，是的角平分线，点的坐标是，，则的面积为（   ） A．20 B．30 C．15 D．24 7．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D．无法确定 地 城 考点07 作图-角平分线 1．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，是边上的高． (1)尺规作图：作的平分线，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下：若，，求的度数． 2．（24-25七年级上·广西贺州·期末）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写作法）： 如图1，已知．求作： (1)作，使； (2)在作出的中，作的角平分线． 地 城 考点08 角平分线与全等三角形的综合 1．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、． (1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 8大高频考点概览 考点01全等三角形的性质 考点02全等三角形的判定 考点03添加条件使三角形全等 考点04 全等三角形的性质和判定 考点05 全等三角形的应用 考点06 角平分线的性质定理 考点07 作图-角平分线 考点08 角平分线与全等三角形的综合 地 城 考点01 全等三角形的性质 1．（21-22八年级上·广西河池·期末）如图，A，F，C，D在一条直线上，△ABC≌△DEF， AF＝1，FD＝3，则FC的长是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出AC＝FD＝3，再求出FC即可． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF，FD＝3， ∴AC＝FD＝3， ∵AF＝1， ∴FC＝AC﹣AF＝3﹣1＝2， 故选：C． 【点睛】本题主要是考查了全等三角形的性质，熟练应用全等三角形的性质，找到对应相等的边，是求解该问题的关键． 2．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）如图，，若，，则的长度为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质，可以得到和的长，然后根据，代入数据计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（20-21八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据全等三角形对应角相等可得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 4．（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，， ，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据，可得，进而得到，结合 ，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级上·广西桂林·期末）如图，若，则与相等的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，，若，，则等于（　　） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，准确确定对应边是解题的关键．根据全等三角形对应边相等求出、的值，然后相加即可得解． 【详解】解：两个三角形全等， ，， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，点A坐标为，点B坐标为，若在y轴右侧有一点C使得与全等，则点C的坐标为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质．根据题意可得，，然后分两种情况讨论：若，若，结合全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵点A坐标为，点B坐标为， ∴，， 如图，若， ∴， ∴点C的坐标为； 如图，若，    ∴，， ∴点C的坐标为； 故答案为：或 地 城 考点02 全等三角形的判定 1．（22-23八年级上·广西南宁·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用SSS证得三角形全等得出答案即可． 【详解】解：∵、分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 2．（20-21八年级上·江苏泰州·期末）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定定理即可求解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由图可知，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“”画出， 故选：A． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质．由作法易得，，，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作法易得，，， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 即． 故选：D． 4．（14-15八年级上·浙江宁波·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角 ．作法如下：如图所示， 是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点 C的射线即是的平分线 ．这种作法的道理是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据作图，可知：，结合，利用证明，即可． 【详解】解：由题意，可知：， 又∵， ∴， ∴，即：射线即是的平分线； 故依据为； 故选B． 5．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，在和中，，，则的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可直接得出答案． 【详解】解：由全等三角形的判定方法可知，的理由是， 故选：． 6．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，已知中，，．点在线段以的速度由点向终点运动，同时，点在线段以的速度由点向终点运动，点在线段上以的速度由点向终点运动．当点D，P，Q任意一点到达终点时，三点同时停止运动．当的值为（    ）时，与全等． A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，解题的关键是正确分情况讨论． 首先根据题意得，点D的运动时间为，点P的运动时间为，设运动时间为t，则，，，然后表示出，，，然后根据题意分两种情况讨论：和，然后分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据题意得，点D的运动时间为，点P的运动时间为， 设运动时间为t，则，， ∴，， ∵ ∴ ∴当时 ∴， ∴， ∴， ∴当时 ∴， ∴， ∴（不合题意，舍去）， 综上所述，当的值为5时，与全等． 故选：C． 地 城 考点03 添加条件使三角形全等 1．（2011·江苏宿迁·中考真题）已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 【答案】B 【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案． 【详解】A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意； B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意； C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意； D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·广西钦州·期末）如图，在中，，添加下列条件后，仍不能判断的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：在中，， ， 在和中，，， 添加后，根据可判定，故A选项不合题意； 添加后，根据可判定，故B选项不合题意； 添加后，根据可判定，故C选项不合题意； 添加后，不能判定，故D选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）如图，，添加下列条件，不一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，根据全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、添加，由可得，故此选项不符合题意； B、添加，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加，它们不是对应边的夹角相等，不能证明，故此选项符合题意； D、添加可得，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 地 城 考点04 全等三角形的性质和判定 4．（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据等腰三角形、全等三角形的判定与性质即可得到答案. 【详解】∵BF∥AC， ∴∠C＝∠CBF， ∵BC平分∠ABF， ∴∠ABC＝∠CBF， ∴∠C＝∠ABC， ∴AB＝AC， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确， 在△CDE与△DBF中， ∴△CDE≌△DBF， ∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确； ∵AE＝2BF， ∴AC＝3BF，故④正确； 故答案为①②③④. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、全等三角形的判定与性质，证明△CDE≌△DBF以及ABC是等腰三角形是解本题的关键. 5．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·广西玉林·期末）如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证是解题关键． （1）证得，即可求证； （2）根据，可推出；结合，，可得，即可求解； 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 7．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知于D，于E，． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）根据证明，再根据全等三角形的性质求解即可； （2）由全等三角形的性质可得，再由即可求出的度数． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 8．（21-22八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，于E，点F在边上． (1)求证：； (2)若，且的面积等于6，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形面积，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）由（1）知，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， 而 ， ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点C，F，E，B在一条直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识． （1）由全等三角形的性质，通过可证明； （2）结合（1）中的结论得，根据平行线的性质可证明． 【详解】（1）证明：， ， 即：， ∵在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 10．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质． （1）先证明，，再利用证明即可； （2）先求得，证明，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 11．（24-25八年级上·广西来宾·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． （1）由可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，由可证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 是的中点， ， 在与中 ， ； （2）， ， 又 ， ，且， ． ， ． 12．（24-25八年级上·广西梧州·期末）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是__________；中线的取值范围是_______． 【灵活运用】 （2）如图2，在中，点是的中点，，，其中，连接，试判断线段与的数量关系及直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2），，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明，得出，根据三角形三边关系即可得到结论； （2），．延长到，使，连接，由（1）得，得出；由题意得出，可证，得出，；得到；延长交于点，得到，得出，，得到． 【详解】解：（1）延长至E，使，连接， ， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：，； （2），理由如下 如图，延长到，使，连接， 同（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，； ， ； 延长交于点， ， ， ， ， ， ． 13．（2008·浙江·中考真题）经过顶点的一条直线，．分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，， 则 ； （填“”，“”或“”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．    【答案】（1）①；； ②所填的条件是：． 证明：在中，． ，． 又，． 又，， ． ，． 又，． （2）． 【详解】（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；又因为EF=CF-CE，所以EF=|BE-AF|； ②只有满足△BEC≌△CDA，才有①中的结论，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形内角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°． （2）只要通过条件证明△BEC≌△CFA（可通过ASA证得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF． 地 城 考点05 全等三角形的应用 1．（24-25八年级上·广西百色·期末）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得，，则该圆形容器的壁厚是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用．利用证明，由全等三角形的性质可得，AB=CD，即可解决问题． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 圆柱形容器的壁厚是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·广西来宾·期末）学校美术社团为学生外出写生配备如图所示的折着凳（图1），图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中登腿和的长度相等，O是它们的中点，为了使折鲁凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，利用你所学的知识求出的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，证明得到三角形全等是解题的关键．根据中点定义求出，然后利用“边角边”证明与中全等，根据全等三角形对应边相等即可证明． 【详解】解：，O是它们的中点， ， 在与中 ， ， 故选：D． 地 城 考点06 角平分线的性质定理 1．（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点到的距离为． 故选：C 2．（13-14九年级上·贵州黔西·期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三条角平分线的性质， 根据角平分线的性质定理解答即可. 【详解】解：的三条角平分线交于一点，且这一交点到三角形三边的距离相等. 故选：B. 3．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，已知在中，，嘉淇通过尺规作图作的角平分线，交于点，已知的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图及角平分线的性质，掌握基本的尺规作图和角平分线的性质是解题的关键．过作,根据作角平分线的基本作法可得平分,根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图：过作, 由作图可得平分,, 的面积为. 故选：C 4．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，已知的周长是30，，分别平分、，于点D，且，则的面积为（    ） A．30 B．35 C．40 D．45 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线性质，过O作于E，于F，连接，根据角平分线性质得出，求出的面积，再求出答案即可． 【详解】解：过O作于E，于F，连接， ∵，分别平分和，，，，， ∴，， ∵的周长为30， ∴， ∴ ， 故选：D． 5．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图所示，点是内一点，要使点到、的距离相等，且，点是（   ）    A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查角平分线，三角形中线，全等三角形的知识，解题的关键是延长交于点，过点作的延长线交于点，过点作交，根据角平分线的性质，则点在的角平分线上，根据，则，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，即可． 【详解】延长交于点，过点作的延长线交于点，过点作交于点， ∵点到、的距离相等， ∴点在的角平分线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是上的中线， ∴点是的角平分线与边上中线的交点． 故选：B．    6．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，在平面直角坐标系中，是的角平分线，点的坐标是，，则的面积为（   ） A．20 B．30 C．15 D．24 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，角平分线的性质定理，过点D作于点E，由角平分线的性质可得出的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：过点D作于点E， 点的坐标是， ， ，，是的角平分线， ， 故选C． 7．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点作于，根据比例求出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴点到的距离为， 故选：． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点D作于点E，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 中，，是的角平分线，， ， ， ， 故选A． 地 城 考点07 作图-角平分线 1．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，是边上的高． (1)尺规作图：作的平分线，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下：若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解决问题的关键是掌握角平分线的定义以及尺规作图方法． （1）根据角平分线的尺规作图方法，即可作出的平分线； （2）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形外角性质即可得到的度数，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求， （2）解：∵， ， ∴ ， ∵平分， ∴， ∵，为高， ∴， ∴． 2．（24-25七年级上·广西贺州·期末）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写作法）： 如图1，已知．求作： (1)作，使； (2)在作出的中，作的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查基本作图：作一个角等于已知角、作角平分线，正确掌握作图步骤是解答本题的关键． （1）根据作一个角等于已知角的方法作出，使即可； （2）根据作角平分线的方法作出的角平分线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，为所求． 地 城 考点08 角平分线与全等三角形的综合 1．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、． (1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，再根据，，可得，进一步可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）过点P作于点E，过点P作于点F，根据角平分线的性质可得，，可证，可得，再根据含角的直角三角形的性质可得，，进一步可证． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示．   平分， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ，平分， ， ， ，， ， ． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $