专题05 分式（期末真题汇编，广西专用）八年级数学上学期

专题05 分式 17大高频考点概览 考点01 分式有意义的条件 考点02 分式值为零的条件 考点03分式的判断 考点04最简公分母 考点05 最简分式的判断 考点06 求分式值为正（负）时未知数的取值范围 考点07根据分式的性质判断分式值的变化 考点08 实数，零指数幂，负整数指数幂的混合运算 考点09 分式化简求值 考点10 用科学记数法表示绝对值小于1的数 考点11 解分式方程 考点12 根据分式方程解的情况求值 考点13 分式方程的实际应用-经济问题 考点14 分式方程的实际应用-行程问题 考点15 分式方程的实际应用-工程问题 考点16 分式方程的实际应用-和倍差问题 考点17 分式方程的实际应用-其他问题 地 城 考点01 分式有意义的条件 1．（24-25七年级下·广西百色·期末）若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西梧州·期末）分式有意义时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广西钦州·期末）若分式有意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 分式值为零的条件 1．（24-25八年级上·河北·阶段练习）若分式的值为零，则x的值等于 ． 地 城 考点03 分式的判断 1．（24-25八年级上·广西河池·期末）下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广西·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点04 最简公分母 1．（23-24七年级下·广西贺州·期末）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西百色·期末）分式，，的最简公分母是 ． 地 城 考点05 最简分式的判断 1．（24-25九年级上·广西南宁·月考）下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）下列各式是最简分式的是（） A． B． C． D． 地 城 考点06 求分式为正（负）时未知数的取值范围 1．（24-25七年级下·广西梧州·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点07 根据分式的性质判断分式值的变化 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 3．（24-25八年级上·广西钦州·期末）根据分式的基本性质，下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（17-18八年级上·广东珠海·期末）分式中的m、n的值同时扩大到原来的5倍，则此分式的值（　　） A．不变 B．是原来的 C．是原来的5倍 D．是原来的10倍 地 城 考点08 实数，指数幂和负整数指数幂的混合运算 1．（2018·山东泰安·中考真题）计算：的结果是（   ） A．-3 B．0 C．-1 D．3 2．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）计算： 3．（24-25八年级上·广西河池·期末）计算：． 4．（24-25七年级下·广西梧州·期末）计算： (1)． (2)． 地 城 考点09 分式值化简求值 1．（24-25七年级下·广西百色·期末）化简求值：，其中． 2.（24-25七年级下·广西崇左·期末）先化简，再求值：，其中． 3．（24-25七年级下·广西百色·期末）先化简，再求值：，其中． 4．（24-25八年级上·河北沧州·期中）先化简，再求值：，其中从中选择一个适当的数． 5．（24-25八年级上·广西河池·期末）先化简，再求值：，其中． 6．（24-25八年级上·广西玉林·期末）阅读下面材料并解决有关问题： 材料一：由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于，所以，即，所以，并且当时，； 材料二：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)比较大小：______（其中），______（其中），（填“”、“”或“”）； (2)在分式 中，属于假分式的是______（填序号）； (3)把以下假分式化成整式与真分式的和的形式，并求当时，分式的值． 地 城 考点10 用科学记数法表示绝对值小于1的数 2．（24-25八年级上·广西桂林·期末）随着我国科技迅猛发展，中国在芯片制造技术领域取得了显著的进步，成功自研出达到5纳米（）工艺制造技术的手机芯片．已知，将数据0.000000005用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河北保定·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川眉山·开学考试）在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米．用科学记数法表示0.000015是 ． 地 城 考点11 解分式方程 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）将关于x的分式方程去分母可得（   ） A． B． C． D． 3．（2020·陕西西安·二模）解分式方程：． 4．（2021·陕西·中考真题）解方程：． 5．（2018·广西钦州·中考真题）解分式方程：﹣1=． 地 城 考点12 根据分式方程的解情况求值 2．（24-25八年级上·广西河池·期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 3．（2022·四川德阳·中考真题）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 4．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 5．（24-25八年级上·广西桂林·期末）若关于x的分式方程的根是正数，则m的取值范围是 ． 6．（24-25八年级上·北京平谷·月考）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 7．（24-25七年级下·广西百色·期末）小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． (1)她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； (2)小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 地 城 考点13 分式方程的实际应用-经济问题 2．（22-23八年级下·海南儋州·期中）某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：    同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 3．（2019·广东中山·一模）为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同 （1）求A、B两类玩具的进价分别是每个多少元？ （2）该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则商店至少购进A类玩具多少个？ 4．（24-25八年级上·广西玉林·期末）某中学为了践行劳动课程标准和让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆A种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地处购买的1.5倍，用900元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多5捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于2140元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗共80捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求至少可购买A种菜苗多少捆？ 5．（24-25八年级上·广西来宾·期末）综合与应用 【问题情境】 为迎接新春佳节的购物高峰，某品牌服装店准备购进甲、乙两种服装，已知甲服装每件进价比乙服装每件进价多20元，用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同． 【问题解决】 （1）甲、乙两种服装每件进价分别是多少元？ 【拓展应用】 （2）该品牌服装店计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件，且购进100件服装的费用不超过15250元，问有哪几种符合条件的进货方案？ （3）在（2）的条件下，该品牌服装店在进价的基础上提高作为甲、乙两种服装的售价，甲服装再以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该品牌服装店应选择哪种进货方案才能获得最大利润？ 地 城 考点14 分式方程的实际应用-行程问题 1．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有20分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟． (1)小刚步行的速度是每分钟多少米？ (2)小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 2．（24-25八年级上·广西防城港·期末）【数学与生活】某校八年级的学生去距学校10千米的博物馆开展研学活动，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度． 【学以致用】设骑车学生的速度为x千米/小时，用含有x的式子表示： (1)汽车的速度为________千米/小时； (2)骑车学生总共用的时间为________小时，乘汽车的学生总共用的时间为________小时． (3)请列分式方程并求出骑车学生的速度． 地 城 考点15 分式方程的实际应用-工程问题 1．（24-25八年级上·广西玉林·期末）广西“十四五”重点工程南珠高铁南玉段于2019年12月全面开工，2024年11月29日正式开启满图试行．为配合南玉段高铁的顺利开通，圆玉林广大人民群众的高铁梦，需对玉林北站站前道路进行美化．甲、乙两支工程队各接到了800米美化道路的任务，已知甲工程队的工作效率是乙工程队的2倍．完成任务时，甲工程队比乙工程队少用了2天，设乙工程队每天完成道路美化米． (1)填空：甲工程队每天完成道路美化______米，若两支工程队各完成800米的道路美化，则甲工程队需要用______天，乙工程队需要用______天（用含的代数式表示）； (2)求甲乙两支工程队每天完成道路美化各多少米； (3)若甲乙两支工程队每天美化道路所需费用分别是6400元和3500元，站前道路还须美化4000米，由甲乙两支工程队共同完成一段时间后，甲工程队另有任务，剩下的任务只能由乙工程队单独完成，如果总费用不超过68000元，那么甲工程队至少要工作多少天？ 2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）山西某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作．小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用． 课题 劳动基地菜地护栏建设 调查方式 走访调研、实地查看测量 测量过程及计算 调研内容及图示    相关数据及说明：①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的工人每人当天费用为200元，安装竖杠的工人每人当天费用为240元． ②共招募6名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作，要求两项安装任务同时开始，并在当天同时完成． 计算结果 … 地 城 考点16 分式方程的实际应用-和倍差问题 1．（2016·山东临沂·一模）小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（    ） A． - =1 B． -  =1 C． - =1 D． - =1 2．（23-24八年级上·湖南株洲·期中）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆． (1)求每辆型汽车进价是多少万元？ (2)若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多可以购买A型汽车多少辆？ 地 城 考点17 分式方程的实际应用-其他问题 1．（2025·天津河西·一模）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山西运城·三模）随着科学技术的不断发展，“无人机”在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，则一架无人机平均每小时喷洒农药（    ） A．32亩 B．45亩 C．60亩 D．75亩 3．（24-25七年级下·广西百色·期末）下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 4．（2025·福建厦门·二模）在某年厦门市的中考体育考试中，球类项目通过抽考确定为篮球运球绕杆往返．为了有效提升学生的篮球专项技能，某校为学生们制定了以下训练计划：首先，要求每位学生完成活动一和活动二的训练，随后进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 活动规则如下：请参照图1，从起跑线开始运球，抵达折返线m后返回起跑线．在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． (1)已知小刚在活动一中速度为，在活动二中速度为．小刚在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，平均每次掉落额外花费了4秒．若小刚想在28秒内完成两项活动，则在活动二中篮球最多能掉落几次？ (2)假设活动三路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三．小强表示：“我们两个一共用了30秒．”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完米．”请计算这两位同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式 17大高频考点概览 考点01 分式有意义的条件 考点02 分式值为零的条件 考点03分式的判断 考点04最简公分母 考点05 最简分式的判断 考点06 求分式值为正（负）时未知数的取值范围 考点07根据分式的性质判断分式值的变化 考点08 实数，零指数幂，负整数指数幂的混合运算 考点09 分式化简求值 考点10 用科学记数法表示绝对值小于1的数 考点11 解分式方程 考点12 根据分式方程解的情况求值 考点13 分式方程的实际应用-经济问题 考点14 分式方程的实际应用-行程问题 考点15 分式方程的实际应用-工程问题 考点16 分式方程的实际应用-和倍差问题 考点17 分式方程的实际应用-其他问题 地 城 考点01 分式有意义的条件 1．（24-25七年级下·广西百色·期末）若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，解一元一次不等式，分式有意义的条件是分母不等于零．因此，只需解分母不等于零的不等式即可确定x的取值范围． 【详解】解：要使分式有意义，分母不能为零， 即， 解得， 因此，x的取值范围是， 故选：D． 2．（24-25七年级下·广西梧州·期末）分式有意义时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，由此即可解答． 【详解】解：要使分式有意义， ， 即， 故选：B． 3．（24-25八年级上·广西钦州·期末）若分式有意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义时分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义分母不为零求解即可． 【详解】解：若分式有意义，则，即， 故选：A． 地 城 考点02 分式值为零的条件 1．（24-25八年级上·河北·阶段练习）若分式的值为零，则x的值等于 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点03 分式的判断 1．（24-25八年级上·广西河池·期末）下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义，一般地，如果（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称A为分子，称B为分母，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、 是单项式，故该选项不符合题意； B 、是分式，故该选项符合题意； C、 是多项式，故该选项不符合题意； D 、是多项式，故该选项不符合题意． 故选：B 2．（23-24八年级上·广西·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义：形如，都是整式，中含字母的式子是分式，即可判断求解． 【详解】解：A、是分数，属于整式，不是分式，不合题意； B、是分式，符合题意； C、是多项式，属于整式，不是分式，不合题意； D、是多项式，属于整式，不是分式，不合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义逐项判断即可，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是整式，不符合题意； 、是分式，符合题意； 、是整式，不符合题意； 、是整式，不符合题意； 故选：． 地 城 考点04 最简公分母 1．（23-24七年级下·广西贺州·期末）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，解决本题的关键是掌握最简分式的定义． 根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式即可判断． 【详解】解：A、，故不是最简分式，不符合题意； B、，故不是最简分式，不符合题意；     C、，是最简分式，符合题意；     D、，故不是最简分式，不符合题意；     故选：C． 2．（24-25七年级下·广西百色·期末）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母．根据找最简公分母的方法（系数找最小公倍数，相同次幂找最高次幂，对于只在一个分母中有的，连同它的指数也作为一个因式）找出最简公分母即可． 【详解】解：分式，，的最简公分母是． 故答案为：． 地 城 考点05 最简分式的判断 1．（24-25九年级上·广西南宁·月考）下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，分式的分子和分母除以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式，据此逐个判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、，分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、分子分母不含公因式，该分式是最简分式，符合题意； 、分子分母含公因数，该分式不是最简分式，不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）下列各式是最简分式的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可． 【详解】解：A、中，分子、分母不含公因式，原式是最简分式，故本选项正确； B、，原式不是最简分式，故本选项错误； C、，原式不是最简分式，故本选项错误； D、，原式不是最简分式，故本选项错误； 故选：A． 地 城 考点06 求分式为正（负）时未知数的取值范围 1．（24-25七年级下·广西梧州·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查分式的值、解不等式．根据分式的值为正数得到，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正数，， ∴， 解得：． 故选：A 地 城 考点07 根据分式的性质判断分式值的变化 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 把和都扩大为原来的倍后代入化简即可． 【详解】解：由题意得：，则分式的值缩小为原来的 故选：C． 3．（24-25八年级上·广西钦州·期末）根据分式的基本性质，下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决此题的关键．根据分式的基本的性质逐一解答即可． 【详解】解：A：分式的分子与分母同时加上减去一个不等于0的数1，分式的值不一定不变，等式不一定成立，不符合题意； B：分式的分子与分母没有按分式的基本性质进行变形，等式不一定成立，不符合题意； C：，等式成立，符合题意； D：当异号时，分式不成立，等式不一定成立，不符合题意； 故选：C ． 4．（17-18八年级上·广东珠海·期末）分式中的m、n的值同时扩大到原来的5倍，则此分式的值（　　） A．不变 B．是原来的 C．是原来的5倍 D．是原来的10倍 【答案】C 【分析】分式的分子扩大到原来的25倍, 而分m+n母扩大到原来的5倍, 利用分式的基本性质, 此分式的值扩大到原来的5倍. 【详解】解：分式中的m、n的值同时扩大到原来的5倍，则分子扩大到原来的25倍, 而分m+n母扩大到原来的5倍，利用分式的基本性质, 此分式的值扩大到原来的5倍. 故选:C. 【点睛】本题主要考查分式的基本性质. 地 城 考点08 实数，指数幂和负整数指数幂的混合运算 1．（2018·山东泰安·中考真题）计算：的结果是（   ） A．-3 B．0 C．-1 D．3 【答案】D 【分析】根据相反数的概念、零指数幂的运算法则计算即可． 【详解】原式=2+1 =3． 故选D． 【点睛】本题考查的是零指数幂的运算，掌握任何非零数的零次幂等于1是解题的关键． 2．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）计算： 【答案】 【分析】先化简各式，在进行计算即可解答． 【详解】原式 【点睛】本题考查了实数的运算、二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂以及去绝对值，准确熟练的化简各式实解题的关键． 3．（24-25八年级上·广西河池·期末）计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根以及零指数幂是解题的关键． 先计算算术平方根、绝对值以及零指数幂，再进行合并即可． 【详解】解：原式 4．（24-25七年级下·广西梧州·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查零次幂，负整数指数幂，立方根，绝对值，乘方等实数的运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值，平方根，立方根，再计算加减； （2）先计算零次幂，负整数指数幂，乘方，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 地 城 考点09 分式值化简求值 1．（24-25七年级下·广西百色·期末）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则及运算顺序是解题的关键；先利用异分母分式加减法法则计算括号里的，再算括号外的，化简后代入x的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 2.（24-25七年级下·广西崇左·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简得：；解得： 【分析】本题考查了分式的化简求值问题，解本题的关键在正确运用分式的混合运算进行化简．掌握分式的运算顺序：先乘方，再乘除，再加减（如果有括号先算括号里面的，再算括号外面的）利用分式的混合运算法则是解题的关键．首先对括号里面的分式先通分化为同分母分式再加减，同时将除式的分子因式分解，再利用分式除法要乘以除式的倒数化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后利用的值代入其，即可得出结果． 【详解】解：原式 ， ， ； 当时， 原式， ， ． 3．（24-25七年级下·广西百色·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算法则对式子进行化简，再把a的值代入求值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 4．（24-25八年级上·河北沧州·期中）先化简，再求值：，其中从中选择一个适当的数． 【答案】，当时，原式的值为 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题先根据分式的加减乘除运算可进行化简，然后代入能使分式有意义的值进行求解即可． 【详解】解：原式 ． ， 当时，原式． 5．（24-25八年级上·广西河池·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂和负整数指数幂，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内通分，再将除法化为乘法约分化简，然后计算零指数幂和负整数指数幂，得到，代入计算求值即可． 【详解】解： ， 当时，即时, 原式=． 6．（24-25八年级上·广西玉林·期末）阅读下面材料并解决有关问题： 材料一：由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于，所以，即，所以，并且当时，； 材料二：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)比较大小：______（其中），______（其中），（填“”、“”或“”）； (2)在分式 中，属于假分式的是______（填序号）； (3)把以下假分式化成整式与真分式的和的形式，并求当时，分式的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式，利用做差法比较代数式的大小等知识点，能正确根据完全平方公式进行变形是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式即可求出答案； （2）根据题意给出的定义即可求出答案； （3）根据题意给出的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， 故答案为：； （3）解：， 当时，原式． 地 城 考点10 用科学记数法表示绝对值小于1的数 2．（24-25八年级上·广西桂林·期末）随着我国科技迅猛发展，中国在芯片制造技术领域取得了显著的进步，成功自研出达到5纳米（）工艺制造技术的手机芯片．已知，将数据0.000000005用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3．（23-24八年级上·河北保定·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 4．（24-25九年级上·四川眉山·开学考试）在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米．用科学记数法表示0.000015是 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 地 城 考点11 解分式方程 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）将关于x的分式方程去分母可得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；因此此题可根据去分母进行求解即可． 【详解】解：将关于x的分式方程去分母可得； 故选B． 3．（2020·陕西西安·二模）解分式方程：． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，求出根后进行检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握求解过程，注意验根． 4．（2021·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】按照解分式方程的方法和步骤求解即可． 【详解】解：去分母（两边都乘以），得， ． 去括号，得， ， 移项，得， ． 合并同类项，得， ． 系数化为1，得， ． 检验：把代入． ∴是原方程的根． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验． 5．（2018·广西钦州·中考真题）解分式方程：﹣1=． 【答案】x=1.5． 【分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得． 【详解】解：﹣1= 两边都乘以3（x﹣1），得：3x﹣3（x﹣1）=2x， 解得：x=1.5， 检验：x=1.5时，3（x﹣1）=1.5≠0， 所以分式方程的解为x=1.5． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键． 地 城 考点12 根据分式方程的解情况求值 2．（24-25八年级上·广西河池·期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握根据分式方程解的情况求参是解题的关键． 先由分式方程求得解为，再根据方程解为负数和分式有意义条件，列不等式组求解即可． 【详解】解： ， ∵关于的方程的解为负数，， ∴， 解得：且， 故选：． 3．（2022·四川德阳·中考真题）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键．只需在方程两边乘，化为整式方程，求出，再根据解是正数得到且，即可求解． 【详解】解：方程两边乘，得， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：D． 4．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程根的情况求参数，先解分式方程求得，再根据方程有增根，可得，即，从而可得，即可求解． 【详解】解：去分母得，， 移项、合并同类项得，， ∵方程有增根， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 5．（24-25八年级上·广西桂林·期末）若关于x的分式方程的根是正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，要熟练掌握；解答此题的关键是正确得出分母不为0．首先求出关于的分式方程的解，然后根据解为正数，解不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， ∵分式方程的根是正数， ∴， 解得：， ，即， ∴， 解得：， ∴且． 故答案为：且． 6．（24-25八年级上·北京平谷·月考）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，接着根据原方程无解得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 7．（24-25七年级下·广西百色·期末）小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． (1)她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； (2)小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，即可解答； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程求解即可． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以，得， 展开，得， 解方程，得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的根是． （2）解： 方程两边同时乘以，得． ∵方程的增根是， ∴， 解得， 所以，原分式方程中“”代表的数是． 地 城 考点13 分式方程的实际应用-经济问题 2．（22-23八年级下·海南儋州·期中）某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：    同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 【答案】篮球的单价为元，排球的单价为元． 【分析】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用元购买的排球个和用元购买的篮球个数相等”列方程，解方程并检验即可． 【详解】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据题意，列方程得： ． 解得：． 经检验，是原方程的根， 当时，． 答：篮球的单价为元，排球的单价为元． 【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，分式方程的解法的运用，解答时根据排球和篮球的数量相等建立方程是解题的关键． 3．（2019·广东中山·一模）为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同 （1）求A、B两类玩具的进价分别是每个多少元？ （2）该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则商店至少购进A类玩具多少个？ 【答案】（1）A的进价是18元，B的进价是15元；（2）至少购进A类玩具40个． 【分析】(1)设B的进价为x元，则A的进价是（x+3）元；根据用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可． (2)设A玩具a个，则B玩具(100−a)个，结合“玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元”列出不等式并解答． 【详解】解：（1）设B的进价为x元，则A的进价是（x+3）元， 由题意得， 解得：x=15， 经检验x=15是原方程的解． 所以15+3=18（元） 答：A的进价是18元，B的进价是15元； （2）设A玩具a个，则B玩具（100﹣a）个， 由题意得：12a+10（100﹣a）≥1080， 解得：a≥40． 答：至少购进A类玩具40个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．准确的解分式方程或不等式是需要掌握的基本计算能力． 4．（24-25八年级上·广西玉林·期末）某中学为了践行劳动课程标准和让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆A种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地处购买的1.5倍，用900元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多5捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于2140元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗共80捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求至少可购买A种菜苗多少捆？ 【答案】(1)菜苗基地每捆A种菜苗的价格是30元； (2)至少可购买A种菜苗25捆． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解决此题的关键是要读懂题意，找出等量关系，列出方程即可； 【详解】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，则在市场上购买每捆A种菜苗的价格是元， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是30元； （2）解：设在菜苗基地购买A种菜苗m捆，则在菜苗基地购买B种菜苗捆， 由题意得：， 解得：， ∴至少可购买A种菜苗25捆， 答：至少可购买A种菜苗25捆． 5．（24-25八年级上·广西来宾·期末）综合与应用 【问题情境】 为迎接新春佳节的购物高峰，某品牌服装店准备购进甲、乙两种服装，已知甲服装每件进价比乙服装每件进价多20元，用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同． 【问题解决】 （1）甲、乙两种服装每件进价分别是多少元？ 【拓展应用】 （2）该品牌服装店计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件，且购进100件服装的费用不超过15250元，问有哪几种符合条件的进货方案？ （3）在（2）的条件下，该品牌服装店在进价的基础上提高作为甲、乙两种服装的售价，甲服装再以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该品牌服装店应选择哪种进货方案才能获得最大利润？ 【答案】（1）乙服装的进价为 140 元，甲服装的进价为 160 元；（2）有三种方案：甲服装的进货量为 60件，乙服装的进货量为 40件；甲服装的进货量为61件，乙服装的进货量为 39件；甲服装的进货量为62 件，乙服装的进货量为38 件；（3）应选择甲服装购进 62件，乙服装购进件，才能获得最大利润 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用及整式加减的应用． （1）设乙种服装的进价x元，甲种服装进价元．根据用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同，列分式方程求解即可； （2）设计划购买y件甲种服装，则购买件乙种服装，根据甲种服装不少于60件，且购进这100件服装的费用不得超过15250元得，解得的整数，即可解答； （3）根据题意，甲种服装的售价为元，乙种服装的售价为元，由（2）中三种方案分别计算比较即可． 【详解】解：（1）设乙种服装的进价x元，甲种服装进价元． 根据题意：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则（元） 答：乙服装的进价为 140 元，甲服装的进价为 160 元； （2）设计划购买y件甲种服装，则购买件乙种服装， 根据甲种服装不少于60件，且购进这100件服装的费用不得超过15250元， 得， 解得：， ∵为正整数， ∴， 则有三种方案： 甲服装的进货量为 60件，乙服装的进货量为（件）； 甲服装的进货量为61件，乙服装的进货量为（件）； 甲服装的进货量为62 件，乙服装的进货量为（件）； （3）根据题意，甲种服装的售价为元， 乙种服装的售价为元， 当甲服装购进 60件，乙服装购进件，则利润为：（元）； 当甲服装购进 61件，乙服装购进件，则利润为：（元）； 当甲服装购进 62件，乙服装购进件，则利润为：（元）； ∴ ∵， ∴， ∴， 答：应选择甲服装购进 62件，乙服装购进件，才能获得最大利润． 地 城 考点14 分式方程的实际应用-行程问题 1．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有20分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟． (1)小刚步行的速度是每分钟多少米？ (2)小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 【答案】(1)小刚步行的速度是每分钟80米； (2)小刚不能在电影放映前赶到电影院． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设小刚步行的速度是每分钟米，则小刚骑自行车的速度是每分钟米，利用时间路程速度，结合小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用时间路程速度，结合在家拿钱包用了2分钟，可求出小刚回到电影院所需时间，再将其与20分钟比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设小刚步行的速度是每分钟米，则小刚骑自行车的速度是每分钟米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴小刚步行的速度是每分钟80米． （2）解：小刚不能在电影放映前赶到电影院，理由如下： 根据题意小刚回到电影院所需时间为（分钟）， ， 小刚不能在电影放映前赶到电影院． 2．（24-25八年级上·广西防城港·期末）【数学与生活】某校八年级的学生去距学校10千米的博物馆开展研学活动，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度． 【学以致用】设骑车学生的速度为x千米/小时，用含有x的式子表示： (1)汽车的速度为________千米/小时； (2)骑车学生总共用的时间为________小时，乘汽车的学生总共用的时间为________小时． (3)请列分式方程并求出骑车学生的速度． 【答案】(1) (2)， (3)骑车同学的速度为 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意不要忘记检验． （1）设骑车学生的速度为x千米/小时，根据汽车的速度是骑车学生速度的2倍，可得出答案； （2）用代数式分别表示出骑车学生总共用的时间及乘汽车的学生总共用的时间为； （3）根据题意可得等量关系：骑自行车同学所用时间乘汽车同学所用时间分钟，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：设骑车学生的速度为x千米/小时，根据汽车的速度是骑车学生速度的2倍，得出汽车的速度为千米/小时， 故答案为：； （2）解：根据题意，可得骑车学生总共用的时间为小时，乘汽车的学生总共用的时间为小时． 故答案为：，； （3）由题意得：， 解得， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， 答：骑车同学的速度为． 地 城 考点15 分式方程的实际应用-工程问题 1．（24-25八年级上·广西玉林·期末）广西“十四五”重点工程南珠高铁南玉段于2019年12月全面开工，2024年11月29日正式开启满图试行．为配合南玉段高铁的顺利开通，圆玉林广大人民群众的高铁梦，需对玉林北站站前道路进行美化．甲、乙两支工程队各接到了800米美化道路的任务，已知甲工程队的工作效率是乙工程队的2倍．完成任务时，甲工程队比乙工程队少用了2天，设乙工程队每天完成道路美化米． (1)填空：甲工程队每天完成道路美化______米，若两支工程队各完成800米的道路美化，则甲工程队需要用______天，乙工程队需要用______天（用含的代数式表示）； (2)求甲乙两支工程队每天完成道路美化各多少米； (3)若甲乙两支工程队每天美化道路所需费用分别是6400元和3500元，站前道路还须美化4000米，由甲乙两支工程队共同完成一段时间后，甲工程队另有任务，剩下的任务只能由乙工程队单独完成，如果总费用不超过68000元，那么甲工程队至少要工作多少天？ 【答案】(1)；； (2)甲工程队每天完成道路美化400米，乙工程队每天完成道路美化200米 (3)4天 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据完成任务时，甲工程队比乙工程队少用了2天，列出方程，解方程即可； （3）设甲工程队至少需要工作天，则乙工程队需要工作天，根据总费用不超过68000元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天完成道路美化米，则甲工程队每天完成道路美化米，若两支工程队各完成800米的道路美化，则甲工程队需要用天，乙工程队需要用天； （2）解：依题意有：， 解得：， 经检验，是原方程的根且符合题意， ， 答：甲工程队每天完成道路美化400米，乙工程队每天完成道路美化200米． （3）解：设甲工程队至少需要工作天，则乙工程队需要工作天，即天，依题意得： ， 解得：， 为整数， 的最小值为4天， 答：甲工程队至少需要工作4天． 2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）山西某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作．小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用． 课题 劳动基地菜地护栏建设 调查方式 走访调研、实地查看测量 测量过程及计算 调研内容及图示    相关数据及说明：①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的工人每人当天费用为200元，安装竖杠的工人每人当天费用为240元． ②共招募6名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作，要求两项安装任务同时开始，并在当天同时完成． 计算结果 … 【答案】支付给工人的总费用为1360元． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设安排x名工人安装横杠，在安排名工人安装竖杠，根据每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根且两项安装任务同时开始，并在当天同时完成列出方程求解即可． 【详解】解：设安排x名工人安装横杠，安排名工人安装竖杠， 由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 元， 答：支付给工人的总费用为1360元． 地 城 考点16 分式方程的实际应用-和倍差问题 1．（2016·山东临沂·一模）小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（    ） A． - =1 B． -  =1 C． - =1 D． - =1 【答案】B 【详解】设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本， 根据题意得：， 即：． 故选B． 2．（23-24八年级上·湖南株洲·期中）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆． (1)求每辆型汽车进价是多少万元？ (2)若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多可以购买A型汽车多少辆？ 【答案】(1)B型汽车的进价为每辆10万元 (2)最多可以购买36辆A型汽车 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，（1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可；（2）根据题意，列出不等式，求解即可．正确列出方程和不等式是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解， 答： B型汽车的进价为每辆10万元； （2）解：设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车， A型车每辆进价：（万元）， 依题意得：， 解得：， 答：最多可以购买36辆A型汽车． 地 城 考点17 分式方程的实际应用-其他问题 1．（2025·天津河西·一模）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题列出分式方程，设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”列出分式方程即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 2．（2024·山西运城·三模）随着科学技术的不断发展，“无人机”在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，则一架无人机平均每小时喷洒农药（    ） A．32亩 B．45亩 C．60亩 D．75亩 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意列出分式方程是解题的关键. 设一个人平均每小时喷洒农药x亩，根据题意列出分式方程解答即可. 【详解】解：设一个人平均每小时喷洒农药x亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药亩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则一架无人机平均每小时喷洒农药亩， 故选C 3．（24-25七年级下·广西百色·期末）下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 【答案】(1)七（2）班每天植树棵数；七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数） (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查分式方程的应用及解分式方程，理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． （1）结合方程及等量关系即可得出； （2）结合两个方程可分别得出所列方程的等量关系； （3）根据分式方程的解法分别求解两个方程即可得． 【详解】（1）七（2）班每天植树棵数； 七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数）． （2）选欣欣的方程，所用等量关系：七（1）班植树150棵所用时间七（2）班植树120棵所用时间． 选兰兰的方程，所用等量关系：七（1）班每天植树的棵数-七（2）班每天植树的棵数＝10（棵）．（选择一个即可） （3）选欣欣的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 选兰兰的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，（棵），（棵）． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 4．（2025·福建厦门·二模）在某年厦门市的中考体育考试中，球类项目通过抽考确定为篮球运球绕杆往返．为了有效提升学生的篮球专项技能，某校为学生们制定了以下训练计划：首先，要求每位学生完成活动一和活动二的训练，随后进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 活动规则如下：请参照图1，从起跑线开始运球，抵达折返线m后返回起跑线．在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． (1)已知小刚在活动一中速度为，在活动二中速度为．小刚在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，平均每次掉落额外花费了4秒．若小刚想在28秒内完成两项活动，则在活动二中篮球最多能掉落几次？ (2)假设活动三路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三．小强表示：“我们两个一共用了30秒．”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完米．”请计算这两位同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分． 【答案】(1)2次 (2)小红同学跑了16秒．小强同学跑了14秒． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出不等式和方程是解题的关键． （1）设在活动二中篮球掉落x次，根据活动一和活动二完成的时间加上因为篮球掉落额外增加的时间不超过28秒列出不等式求解即可； （2）设小红跑了秒，则小强跑了秒，根据小红的说法建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设在活动二中篮球掉落x次， 由题意得，， 解得， ∵x为整数， ∴x的最大值为2， 答：在活动二中篮球最多能掉落2次； （2）解：设小红跑了秒，则小强跑了秒， ， 方程两边同乘，得，解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：小红同学跑了16秒．小强同学跑了14秒． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $