精品解析：湖北省十堰市丹江口市2025-2026学年九年级上学期期中教学质量监测数学试题

丹江口市2025年秋教育质量监测 九年级数学试题 （本试卷共 6 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟） ★ 祝考试顺利 ★ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效． 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内．共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，5 C. 3，， D. 3，，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式 ，直接识别二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解： 一元二次方程 中，二次项系数为 3，一次项系数为，常数项为． 故选： C． 2. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线． 根据顶点式的对称轴为直线求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线． 故选A． 3. 用配方法将方程变形为，则m的值是（ ）． A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握配方法解一元二次方程步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∴， ∴， 故选：B． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+，因此此题根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新的抛物线对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：由题意，所得新的抛物线对应的函数解析式为． 故选B． 7. 如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是（ ） A. . B. . C. . D. . 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意得：， ∴， ∵烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是， ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 8. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，准确的计算是解决本题的关键． 通过直接计算二次函数在各点的函数值，比较大小即可得出结论． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴，，， 故． 故选B． 9. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案． 【详解】①，， ∴． ②∵，， ∴； ③∵， ∴， 又∵， ∴； ④∵， ∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似； 所以①②③能判定，④不能． 故选：D． 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的有（　　）个． ① ②若点，均在二次函数图象上，则 ③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ④满足的x的取值范围为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．依据题意，由图象可得抛物线的对称轴是直线，与y轴的交点为，当时，，然后逐个选项判断即可得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线， ∴． 又由图象，可得当时，， ∴，故①错误． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∵抛物线开口向下， ∴，故②错误． 由题意，令， ∴抛物线与直线有两个不同的交点． ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误． ∵当时，y＝2， 又∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， ∴当时，． 又抛物线开口向下， ∴满足的x的取值范围为，故④正确． 故选：A． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若是方程的一个解，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 某国产品牌的新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从1月份的万辆增长到3月份的万辆，设从1月份到3月份的月平均增长率为x，则列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程增长率问题是解题的关键，根据月平均增长率的定义列出方程． 【详解】解：设从1月份到3月份的月平均增长率为x， 根据题意：， 故答案为：． 13. 若，，若的面积是5，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质得到，再由，即可得到的面积． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 函数的图象如图所示，则该函数的最小值是___，最大值是___． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在指定区间内的最值问题，解题的关键是结合函数图象确定区间内的最高点和最低点． 观察函数图象在内的最低点纵坐标，得到最小值；再看该区间内的最高点纵坐标，得到最大值． 【详解】解；从函数图象可知∶ 函数在区间内的最低点纵坐标为，因此最小值是； 函数在处的纵坐标为，是该区间内的最高点，因此最大值是． 故答案为：，3． 15. 如图，在等边中，D，E分别是，边上的点，且，，连接AE，CD交于点F，则=______，=______． 【答案】 ①. ##60度 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据判定定理找出全等的三角形和相似的三角形是解题关键． 等边三角形每条边都相等，每个内角都是，又因为，，得出，从而得到．是的外角，等于两个不相邻的内角之和，等量替换后，得出．在第一空的基础上，进一步可以得到，于是． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，3． 三．解答题（共10小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择合适的解法（配方法、因式分解法）． （1）用配方法，用完全平方公式求解； （2）通过移项、因式分解（提取公因式）将方程转化为两个一次方程，分别求解． 【小问1详解】 解：移项得：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 ， ， 或， ，． 17. 如图，在中，D，E分别是边上的点，连接，且，如果，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据判定，根据相似三角形的性质可得，从而列出方程解出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 18. 已知二次函数． （1）将化成的形式： ； （2）抛物线与x轴的交点坐标为 ； （3）当时，自变量x的取值范围是 ； （4）当时，y的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）， （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查“二次函数的顶点式”“二次函数图象与x轴的交点问题”“二次函数的增减性”，掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的顶点式的形式进行配方和转化即可； （2）令，计算x的值即可； （3）根据（2）中的结果，结合图象判断即可； （4）根据二次函数的增减性计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：令，得， 解得，， ∴交点坐标为和， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：结合（2）中交点坐标，作图象如下： 由图可知，当时，即二次函数图象在x轴上方时，或， 故答案为：或； 【小问4详解】 解：由（1），得， ∴二次函数图象的对称轴为直线，当时，y取得最小值，最小值为， ∵， ∴当时，，此时y取得最大值，最大值为3， ∴y的取值范围为， 故答案为：． 19. 在宽为100m，长为160m的矩形地面上，修筑同样宽的几条道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为13500m2，请你选择一种方案，并求出相应的道路的宽． 【答案】方案一：道路的宽为10米；方案二：道路的宽为米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（矩形面积问题），解题的关键是通过“平移法”将耕地面积转化为规则矩形的面积． 选择方案一，将道路平移后，耕地可看作长为m、宽为m的矩形，根据耕地面积列方程，求解并检验得道路宽． 【详解】解：选方案一 设道路的宽为米， 根据题意得：， 解得：，或（不合题意，舍去）， 答：道路的宽为10米 选方案二 设道路的宽为米， 根据题意得：， 解得：，或（不合题意，舍去）． 答：道路的宽为米． 20. 如图，在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，．求的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，根据可得，，证明，从而，代入即可求解，再证明，得到，即可得求出． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ， ， ， ， ． 21. 定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． （2）若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 【答案】（1）②④ （2）①，②， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系． （1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可； ②利用，即可求得、． 【小问1详解】 解：①解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”； ③解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根， ∴，，， ∵， ∴， 解得； ②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ∴，， 解得，． 22. 图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点米时达到最大高度米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为米，与地面的竖直距离为米，是高度为米的防御墙．若以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离． 【答案】（1） （2）不能 （3）米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出当时y的值，再与的长进行比较即可得到结论； （3）先求出直线的解析式为．作直线轴，交抛物线于点，交直线于点，设点，则点的坐标为，求出的最大值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将点代入到中得， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∵，， 石块不能飞越防御墙． 【小问3详解】 解：由题意可知点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， 直线的解析式为． 如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点， 设点，则点的坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为， 在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米． 23. 如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接，过点E作，交于点F． 【一般化感知】 （1）如图，求证：； 【特殊化探究】 （2）如图，连接交于点G．若，求的长； 【拓展性延伸】 （3）如图，连接，过点C作，交的延长线于点H．若点E是的中点，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到，再根据矩形的性质，即可得到结论； （2）由（1）可得，求出，得到，过点作，得到，求出，由得到； （3）过点作，交的延长线于点，由得到，设，则，，可证明，得到，求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得， ， ∴， ∴， ， 如图，过点作， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ， ， ， ．即， ； （3）解：如图，过点作，交的延长线于点． ， ， ∵， ， ， ∵， ， ，即， ， 设，则， ∴由勾股定理可得：， 点是的中点， ， 同理可证， ，即， 解得， ． 24. 抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． （1）若点，求m的值； （2）如图，在（1）的条件下，点是抛物线上一点，点M为直线下方抛物线上一动点，求四边形的面积为S最大值及此时点M的坐标； （3）若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为，作直线，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线与抛物线有且仅有一个交点． ①直接写出n关于m的函数关系式； ②直接写出当时m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴交点的求法、一次函数解析式的确定、图形面积的计算方法以及直线与抛物线交点问题中判别式的运用，熟练掌握二次函数与坐标轴交点的求法、一次函数解析式的确定方法、图形面积的计算方法以及利用判别式判断直线与抛物线交点个数是解题的关键． （1）把点A坐标代入抛物线方程，求解方程得m； （2）先确定各点坐标与直线解析式，将S拆分为，用坐标表示面积得二次函数，依其性质求解； （3）①求n关于m关系式：确定P，C坐标得直线解析式，平移后联立抛物线，由判别式推导； ②求m取值范围，将n关系式代入不等式，换元求解再回代即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点A和点B， 将点代入得：， 解得：， 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为， 当时，， ∴； ∵点是抛物线上一点，代入得：， ∴， 设的解析式为， 将点，坐标代入得：， 解得：， ∴的解析式为， 当时，得：， 解得：， ∴， 过点M作轴交直线于点Q， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，S有最大值，此时； 【小问3详解】 解：①，理由如下： ∵的对称轴为直线， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴直线平移后的直线的解析式为， 联立方程组， 整理得， ∵直线与抛物线有且仅有一个交点， ∴， ∴； ②当时m的取值范围为或；理由如下： 当时，或， 当时，或， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹江口市2025年秋教育质量监测 九年级数学试题 （本试卷共 6 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟） ★ 祝考试顺利 ★ 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效． 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内．共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，5 C. 3，， D. 3，，4 2. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 用配方法将方程变形为，则m的值是（ ）． A. B. 4 C. D. 8 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新的抛物线对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是（ ） A. . B. . C. . D. . 8. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的有（　　）个． ① ②若点，均在二次函数图象上，则 ③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ④满足的x的取值范围为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若是方程的一个解，则m的值为________． 12. 某国产品牌的新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从1月份的万辆增长到3月份的万辆，设从1月份到3月份的月平均增长率为x，则列方程为_______． 13. 若，，若的面积是5，则的面积是______． 14. 函数的图象如图所示，则该函数的最小值是___，最大值是___． 15. 如图，在等边中，D，E分别是，边上的点，且，，连接AE，CD交于点F，则=______，=______． 三．解答题（共10小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在中，D，E分别是边上的点，连接，且，如果，求的长． 18. 已知二次函数． （1）将化成的形式： ； （2）抛物线与x轴的交点坐标为 ； （3）当时，自变量x的取值范围是 ； （4）当时，y的取值范围是 ． 19. 在宽为100m，长为160m的矩形地面上，修筑同样宽的几条道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为13500m2，请你选择一种方案，并求出相应的道路的宽． 20. 如图，在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，．求的长． 21. 定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． （2）若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 22. 图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点米时达到最大高度米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为米，与地面的竖直距离为米，是高度为米的防御墙．若以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离． 23. 如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接，过点E作，交于点F． 【一般化感知】 （1）如图，求证：； 【特殊化探究】 （2）如图，连接交于点G．若，求的长； 【拓展性延伸】 （3）如图，连接，过点C作，交的延长线于点H．若点E是的中点，求的长． 24. 抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． （1）若点，求m的值； （2）如图，在（1）的条件下，点是抛物线上一点，点M为直线下方抛物线上一动点，求四边形的面积为S最大值及此时点M的坐标； （3）若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为，作直线，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线与抛物线有且仅有一个交点． ①直接写出n关于m的函数关系式； ②直接写出当时m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $