精品解析：河北省廊坊市第六中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

河北省廊坊市第六中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元三次方程，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，众数和方差，根据各位的特点和计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵平均数和方差跟一组数据的每一个数据都有关系， ∴无法确定平均数和方差， ∵众数为一组数据中出现次数最多的数据，当●是45时，有两个众数，当●不是45时，有一个众数， ∴不能确定众数， ∵将这组数据排序后，位于中间的一个为38， ∴中位数为38； ∴能确定这组数据的中位数， 故选B． 3. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是方差和算术平均数，根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．由平均数与方差的含义可得答案． 【详解】解：由表知甲、丙、丁丙射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数， ∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛， ∵丁的方差较小，较稳定， ∴选择丁参加比赛， 故选：D． 4. 已知在中，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用的三角函数值解决问题． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值．记住特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键． 5. 关于一元二次方程根的情况，正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ） A. 255分 B. 84分 C. 84.5分 D. 86分 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：（分） 故选D 【点睛】此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键． 7. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将移项配方即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 8. 我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（    ）. A. 8% B. 9% C. 10% D. 11% 【答案】C 【解析】 【分析】设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1-x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】设平均每次下调的百分率为x，由题意，得 6000（1-x）2=4860， 解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）． 答：平均每次下调的百分率为10%． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键． 9. 如图，在中，，，，分别在、上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又为的中点可得，由相似的性质可得求解即可． 【详解】解：沿折叠，使点落在点处， ，， 又∵， ∴， ∴， ， 又为的中点，AE=AE' ∴， ， 即， ． 故选：B． 【点睛】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键． 10. 如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（　　） A. 5 米 B. 5米 C. 2米 D. 4米 【答案】C 【解析】 【分析】如图，斜坡AB的坡度为1：2，可设DE=x，AE=2x，在Rt△ADE中，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】如图，斜坡AB的坡度为1：2，设DE=x，AE=2x， 在Rt△ADE中， ∵AE2+DE2=AD2， ∴(2x)2+x2=102， 解之得 x= 2，或x= -2（舍去）. 故选C. 【点睛】此题主要考查坡度的意义，需注意的是坡度是坡角的正切值，是铅直高度h和水平宽l的比，我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角，若用α表示坡角，可知坡度与坡角的关系是． 11. 如图，已知点，是的三等分点，，将分成三部分，且，图中三部分的面积分别为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意易得，则有，．进而可求得，，，最后即可求出结果． 【详解】∵DF∥EG∥BC， ∴， ∵D、E是AB的三等分点， ∴，， ∴，． ∵，． ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 12. 如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 作于，设正方形的边长为，证明，根据相似三角形的性质得，根据锐角三角函数的定义得，求出，表示出正方形和的面积，即可求解． 【详解】解：作于，设正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， ∵ ， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上内容． 根据解一元二次方程的步骤求出方程的根，然后根据三角形的三边关系进行验证，最后求出周长即可． 【详解】解： 或 或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，，能构成三角形； ∴此三角形的周长是， 故答案为：13． 14. 如图，四边形中，，对角线交于点，已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特点是解题的关键． 先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出，再根据得出，，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可． 【详解】解：如图，作于点E，于点F， ，和等高，高均为， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 15. 在中，，为边上的高线，且，则_____． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识．分两种情况画出图形进行解答即可． 【详解】解：设， ∵ ∴， 当在的内部时，如图1，作于H， 在中，， ∴， ∴； 当在的外部时，如图2， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：3或． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴和轴上，且，在第二象限内，以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，再以原点为位似中心将知形各边放大为原来的倍，得到矩形，以此类推…，矩形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟记相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据矩形的性质求出矩形的面积，根据位似图形的定义、相似多边形的性质总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， 矩形的面积为：， 在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍， 矩形的面积为：， 以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形， 矩形的面积为：， 同理得：矩形的面积为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共72分，要写出必要的解题过程，只写答案者不给分） 17. 计算： （1）解方程： ①； ②； （2）计算： ①； ② 【答案】（1）①；② （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角三角函数的混合运算． （1）①用因式分解法求解即可； ②用直接开平方法解即可； （2）①先代入特殊角的三角函数值，再算乘法，后算加减； ②先代入特殊角的三角函数值，再化简即可． 【小问1详解】 解：①， ， 或， 解得； ②， ， 或， 解得； 【小问2详解】 解：① ； ② ． 18. 王华、张伟两位同学分别将自己10次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图： （1）根据图中提供的数据列出如下统计表： 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（S2） 王华 80 b 80 d 张伟 a 85 c 260 则 ， ， ， ， （2）将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的是 ． （3）现在要从这两个同学选一位去参加数学竞赛，你可以根据以上的数据给老师哪些建议？ 【答案】（1）80，80，90，60； （2）张伟； （3） 解：∵王华与张伟的平均成绩相同，而张伟的优秀率高于王华， ∴可以选张伟参加竞赛． 【解析】 【分析】本题考查的是中位数，平均数和众数，方差，熟练掌握这三者的定义是解题的关键 (1)根据平均数、中位数和众数，方差的定义分别求解可得； (2)根据提供数据，可以分别求出两人的优秀率，即可得出答案；  (3)可以从两人平均成绩和优秀率得出答案 【小问1详解】 解：王华10次成绩分别为：80，70，90，80，70，90，70，80，90，80； 按大小顺序排列为：70，70，70，80，80，80，80，90，90，90； 则中位数； 方差； 张伟的平均成绩（分）， 90出现了3次，出现的次数最多，则众数； 【小问2详解】 解：王华的优秀率为：， 张伟的优秀率为：， 则张伟的优秀率高． 【小问3详解】 略 19. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长． 【答案】3+ 【解析】 【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案． 【详解】解：过C作CD⊥AB于D， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠B=45°， ∴∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD， ∵∠A=30°，AC=2， ∴CD=， ∴BD=CD=， 由勾股定理得：AD==3， ∴AB=AD+BD=3+， 答：AB的长是3+． 【点睛】此题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握了解直角三角形，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若，是此方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴对于任意实数，该方程总有实数根； （2）． 【解析】 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求证； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得，，， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，向前走到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是和． （1）求的度数； （2）求该电线杆的高度．（结果保留根号） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了仰角的定义、解直角三角形，运用三角函数求出和是解决问题的关键． （1）延长交直线于点，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设米，在和中，根据三角函数利用表示出和，根据即可列出方程求得的值，再在直角中利用三角函数求得的长，则的长度即可求解． 【小问1详解】 解：延长交直线于点，如图所示， 即，，， ∴， 【小问2详解】 解：设米． 在中， ， 则米； ∵， ∴， 在中， 米， ∵米， 则 ，解得： 则 米． 在中，米． (米) 答：电线杆的高度为米． 22. 如图，已知四边形的对角线交于点F，点E是上一点，且，．求证： （1） （2）． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 又， ； （2） 证明：， ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质： （1）先证，根据两组对应角相等，可证； （2）根据得出，结合，证明，进而可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）10%；（2）每千克水果应涨价5元 【解析】 【分析】(1) 设这个降价率为，根据每千克40元经两次调价后调至每千克32．4，列出方程求解即可；  (2)根据商场要保证每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【详解】解：（1）设这个降价率为，由题意得 ； 解得：，（舍去） 答：这个降价率为10% （2）设每千克水果应涨价元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 答：每千克水果应涨价5元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． 24. 如图1，中，，点是边上一点，且点不与、重合，于点． （1）当时， ①求证：； ②当绕点旋转到如图2的位置时，是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （2）当时，将绕点旋转到，若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1） ①证明：中，，， ， ， 如图1，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， 即， 在中，， ， ； ②成立，理由：旋转， ， ， ，， ， ， ， 中，， ， 即； （2）或 【解析】 【分析】（1）①先根据锐角三角函数求出，进而求出，先判断出，再用含角的直角三角形的性质即可得出结论；②根据和都是直角三角形，得到，进而得到，由，证得，所以，即可得出结论． （2）分两种情况：①先求出，再求出，进而利用勾股定理求出，得出，最后判断出，即可得出结论；②同①的方法即可得出结论． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， 将绕点旋转，分两种情况： ①如图3所示，过作交的延长线于， 则， 当时，， ， 四边形是正方形， ， ， 根据勾股定理得，， 在中，， ， 和都是直角三角形，且， ， ，， ， ， ， 即， ； ②如图4所示，过作于， 则， 当时，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在中，， ， ， ， 即， ， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判断和性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，分两种情况画出图形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省廊坊市第六中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 已知在中，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 关于一元二次方程根的情况，正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ） A. 255分 B. 84分 C. 84.5分 D. 86分 7. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（    ）. A. 8% B. 9% C. 10% D. 11% 9. 如图，在中，，，，分别在、上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（　　） A. 5 米 B. 5米 C. 2米 D. 4米 11. 如图，已知点，是的三等分点，，将分成三部分，且，图中三部分的面积分别为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 14. 如图，四边形中，，对角线交于点，已知，则________． 15. 在中，，为边上的高线，且，则_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴和轴上，且，在第二象限内，以原点为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，再以原点为位似中心将知形各边放大为原来的倍，得到矩形，以此类推…，矩形的面积为________． 三、解答题（本大题共72分，要写出必要的解题过程，只写答案者不给分） 17. 计算： （1）解方程： ①； ②； （2）计算： ①； ② 18. 王华、张伟两位同学分别将自己10次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图： （1）根据图中提供的数据列出如下统计表： 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（S2） 王华 80 b 80 d 张伟 a 85 c 260 则 ， ， ， ， （2）将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的是 ． （3）现在要从这两个同学选一位去参加数学竞赛，你可以根据以上的数据给老师哪些建议？ 19. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若，是此方程的两个根，且，求的值． 21. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，向前走到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是和． （1）求的度数； （2）求该电线杆的高度．（结果保留根号） 22. 如图，已知四边形的对角线交于点F，点E是上一点，且，．求证： （1） （2）． 23. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 24. 如图1，中，，点是边上一点，且点不与、重合，于点． （1）当时， ①求证：； ②当绕点旋转到如图2的位置时，是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （2）当时，将绕点旋转到，若，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $