精品解析：湖南省岳阳市岳阳楼区长岭中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025年下学期八年级期中质量检测试卷数学 温馨提示： 1．本试卷共三道大题，26道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是分式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 小彤发现一个关于x的分式满足下表信息，则分式可以为（　　） x的取值 … 2 … … 分式的值 … 0 … 无意义 … A. B. C. D. 5. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 8. 某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本，设文学类图书平均每本书的价格是x元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 在学习了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得与的关系式为，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 4 二．填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：______． 12. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为___． 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 14. 已知实数，满足，则___． 15. 若，则代数式的值为___． 16. 在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为___． 17. 在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式4，取，时，请你写出用上述方法产生的密码___． 18. 有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则__________． 三．解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 解分式方程： （1）； （2）． 23. “如果你有时间，你一定要来一趟岳阳，吹吹洞庭湖的晚风，逛逛灯火璀璨的汴河街，看看啃笋打盹的熊猫”，节假日里，岳阳这座城市吸引了国内外很多游客，岳阳中华大熊猫苑游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，熊猫苑某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品的数量相同，每件款文创产品的进价比款文创产品的进价多元． （1）求，两款文创产品每件的进价； （2）根据市场需求，该商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，求款文创产品最多购进多少件？ 24. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 25. 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小丹同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） 故原式（第四步） （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）初步理解：小丹同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（ ） A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）尝试应用： 按照“因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，请你用换元法对多项式进行因式分解． （3）灵活运用： ①若，求的值． ②请你将多项式进行因式分解． 26. 材料：已知、均不为0，若分式的值为零，则或，因为，即，所以关于的方程的两个解为：，． 如：方程可写成，所以此方程的两个解为：，． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）方程的两个解为：　　　，　　　； （2）若方程的两个解为，，求的值； （3）若关于的方程的两个解，满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期八年级期中质量检测试卷数学 温馨提示： 1．本试卷共三道大题，26道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式，分式的定义是分母中含有字母的式子．选项A、B、C的分母均为常数，不含字母，因此不是分式；选项D的分母含有字母a，因此是分式． 【详解】解：选项A：分母2025为常数，不含字母； 选项B：分母π为常数，不含字母； 选项C：分母3为常数，不含字母； 选项D：分母a为字母，含有字母， 故选：D． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答． 【详解】解：A：，被开方数11是质数，无完全平方因数，且不含分母， ∴是最简二次根式，符合题意； B：∵， ∴不是最简二次根式，不符合题意； C：∵， ∴不是最简二次根式，不符合题意； D：∵， ∴不是最简二次根式，不符合题意； 故选A． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法、负整数指数幂、二次根式的加减、二次根式的性质等知识点，掌握同底数幂的除法法则、负整数指数幂的运算准则、二次根式的加减法则是解题关键． 通过指数法则、二次根式性质等逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】选项A：，故选项A错误； 选项B： ，故选项B正确； 选项C：，故选项C错误； 选项D：，故选项D错误． 故选：B． 4. 小彤发现一个关于x的分式满足下表信息，则分式可以为（　　） x的取值 … 2 … … 分式的值 … 0 … 无意义 … A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为0的条件，根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）和无意义的条件（分母为0），分别验证各选项是否满足时值为0和时无意义． 【详解】解：当时，分式值为0， 分子为0且分母不为0； 当时，分式无意义， 分母为0， 对于选项A：当时，分子，分母， 分式值不为0，不符合题意； 对于选项B：当时，分母， 分式有意义，不符合题意； 对于选项C：当时，分母， 分式无意义，不符合题意； 对于选项D：当时，分子，分母， 分式值为0； 当时，分母， 分式无意义， 故选D． 5. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义，判断等式是否将多项式分解为几个整式的积． 【详解】解： 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式， 选项A：右边为，不是积的形式，故错误； 选项B：左边为单项式，不是多项式，且变形为恒等变形，故错误； 选项C：左边为多项式，右边为整式的积，符合定义； 选项D：左边为积的形式，右边为多项式，是整式乘法，故错误， 故选：C． 6. 下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公因式，理解其定义是解题的关键． 通过因式分解检查各组多项式的公因式即可． 【详解】解：A：，，有公因式 ，故该选项不合题意； B： 与 ，无公因式，故该选项符合题意； C：，与 有公因式 ，故该选项不合题意； D： 与 ，有公因式 ，故该选项不合题意． 故选：B． 7. 若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】解：m和n都扩大为原来的2倍后，代入分式计算并化简，比较新分式与原分式的值即可解答． 【详解】解：∵m和n都扩大为原来的2倍， ∴ 新分式为， ∵原分式为， ∴分式的值扩大为原来的2倍， 故选B． 8. 某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本，设文学类图书平均每本书的价格是x元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】文学类图书平均每本书的价格是x元，则科普类图书的价格为1.2x元，则1200元能购买文学类书的数量为：，购买科普类书籍的数量为，据此列出分式方程即可． 【详解】文学类图书平均每本书的价格是x元，则科普类图书的价格为1.2x元，则1200元能购买文学类书的数量为：，购买科普类书籍的数量为， 则依据题意有：， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键． 9. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出、，再计算与的比值即可得解．正确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 10. 在学习了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得与的关系式为，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，因式分解的应用，根据题意分别求得和，进而根据关系式得出，进而求得出的值． 【详解】解：根据题意，得，，且， 又∵， 故， 解得．即a的值为． 故选：D． 二．填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，掌握知识点是解题的关键． 根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 故答案为：． 14. 已知实数，满足，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，由已知条件，得到，然后代入所求表达式进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴； 故答案为： 15. 若，则代数式的值为___． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的性质．通过完全平方公式简化表达式，再代入求值． 【详解】解：， ， ， 故答案为：7． 16. 在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据第一列和第一行相乘得到同样的结果，列出方程，解出即可． 【详解】解：由题意，第一列和第一行相乘得到同样的结果，即， ∴， 故答案为：． 17. 在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式4，取，时，请你写出用上述方法产生的密码___． 【答案】141650 【解析】 【分析】本题考查因式分解的实际应用，将多项式因式分解后代入数值求各因式的值，再从小到大排列得到密码即可． 【详解】解：多项式提取公因式得，再利用平方差公式分解为 ． 当，时，，． 将这些值从小到大排列为 14， 16， 50， 故密码为141650； 故答案为：141650． 18. 有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式运算规律探究，通过计算可得，据此即可求解，通过计算找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三．解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）直接利用提公因式法求解即可； （2）先变形，后提公因式，再利用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算； （1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，算术平方根进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分母有理化．先计算括号内的，同时把除法化为乘法运算，然后计算，再将，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式= 22. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得； （2）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘以，得 ， 解得， 检验：把代入， 原方程的解是． 【小问2详解】 解：方程两边同时乘以，得 ， 解得 检验：把代入， 原分式方程无解． 23. “如果你有时间，你一定要来一趟岳阳，吹吹洞庭湖的晚风，逛逛灯火璀璨的汴河街，看看啃笋打盹的熊猫”，节假日里，岳阳这座城市吸引了国内外很多游客，岳阳中华大熊猫苑游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，熊猫苑某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品的数量相同，每件款文创产品的进价比款文创产品的进价多元． （1）求，两款文创产品每件的进价； （2）根据市场需求，该商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，求款文创产品最多购进多少件？ 【答案】（1）款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元 （2）件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式、分式方程是解题的关键； （1）设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元；根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件；根据题意列出不等式，求得整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元， 由题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 元 答：款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元 【小问2详解】 设购进件种文创产品，则购进件种文创产品，由题意得： 解得： 答：最多可以购进件种文创产品． 24. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】（1） （2） 木工乙的想法可行，理由如下： ∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， ∴裁出的长方形的长为， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行． 【解析】 【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可； （2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为， ∴，， ∴长方形木板的面积为； 【小问2详解】 解：略． 25. 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小丹同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） 故原式（第四步） （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）初步理解：小丹同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（ ） A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）尝试应用： 按照“因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，请你用换元法对多项式进行因式分解． （3）灵活运用： ①若，求的值． ②请你将多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可解答； （2）设，则，原式，即可得到答案； （3）①令，则由得，得出，根据，即可求解． ②先将原式变形为，设，则原式，进而得到原式． 【小问1详解】 解：运用了完全平方公式法， 故选：C； 【小问2详解】 设． ． 【小问3详解】 ①令，则由得，， 解得， 因为， 所以， 则． ② ， 设 原式 26. 材料：已知、均不为0，若分式的值为零，则或，因为，即，所以关于的方程的两个解为：，． 如：方程可写成，所以此方程的两个解为：，． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）方程的两个解为：　　　，　　　； （2）若方程的两个解为，，求的值； （3）若关于的方程的两个解，满足，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，分式的值为零的条件，解题时要熟练掌握并能根据所给信息列出关系式是关键． （1）根据题意，由方程，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，由方程的两个解分别为m，n，则，，进而可得，将通分即可求解； （3）将方程转化为，进而求出，，代入，求出的值即可． 【小问1详解】 解：， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意，方程的两个解分别为m，n， 则，， ， ； 【小问3详解】 由题意，方程为， ， 即． ，或，． ，或，． 或 又， 或． 或． 又，，不合题意． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $