精品解析：上海五浦汇实验学校2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷

上海复旦五浦汇实验学校 2025学年度第一学期 八年级数学 期中练习卷 （答题时间 90分钟） 一、单选题（） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把各二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项错误； B、是最简二次根式，与不是同类二次根式，故该选项错误； C、，与是同类二次根式，故该选项正确； D、，与不是同类二次根式，故该选项错误， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质以及同类二次根式的定义，正确对二次根式化简是关键． 2. 若，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 3. 把二次三项式因式分解，下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用十字相乘法分解因式，即可得出答案． 【详解】解：2x2-8xy+5y2 = 故选C 【点睛】本题考查了实数范围内的因式分解，掌握十字相乘法是解本题的关键． 4. 已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ⑤有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，逐个判断命题的真假．①直角三角形有两边相等未明确是哪两条边，故①不一定成立；②等腰直角三角形腰相等则全等；③不一定成立；④等腰三角形顶角和底边对应相等则全等；⑤当高分别在三角形的内部和外部时，它们不全等． 【详解】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，不一定成立，原命题是假命题； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题． ⑤ 两边和其中一边上的高对应相等，当高分别在三角形的内部和外部时，它们不全等，是假命题． 其中真命题的个数是2个； 故选：B． 5. 已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根； C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可知，可知一元二次方程根的情况． 【详解】解：， ∵a、b、c是三角形三边的长， ∴， ∴， ∴原方程没有实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 6. 如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连接和，相交于点．以下结论①；②；③是等腰三角形；④中正确的有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由“”可证，可得，故①正确．由等腰直角三角形的性质可得②正确，由角的数量关系可求，可得，即是等腰三角形，故③正确．由角平分线的性质可得点F到的距离等于点F到的距离，由三角形的面积公式可得出④正确． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ，故①正确； 点为的中点，， ∴， ∴， ，，， ；故②正确； 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形，故③正确； 平分， ∴点F到的距离等于点F到的距离， ，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共有4个， 故选：A 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（） 7. ________ 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式加减法法则计算即可. 【详解】 故答案为 【点睛】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握二次根式加减法运算法则是解题关键. 8. 不等式的解是______________ 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质求不等式解集即可. 【详解】 【点睛】本题考查求一元一次不等式的解集，还涉及无理数的比较大小，熟练掌握各个知识点是解题关键. 9. 计算：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质，，再比较和的大小，取绝对值． 【详解】解： 故答案为． 10. 分式方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，换元法解方程；通过换元法，将原方程中的分式用表示，然后去分母转化为关于的整式方程． 【详解】解：设，则原方程中， 而， 因此原方程化为．两边同乘， 得， 整理得． 故答案为：． 11. 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个． 设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是_______________ 【答案】 【解析】 【分析】等量关系为：四月份生产的零件个数加五月份生产的零件个数加六月份生产的零件个数等于． 【详解】解：易得五月份生产的零件个数是在四月份的基础上增加的， 所以为， 同理可得6月份生产的零件个数是在五月份的基础上增加的， 为， 由题意得． 【点睛】找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意六月份生产的零件个数是在五月份的基础上增加的． 12. 已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解情况求参数，将原方程去分母并解得的值，然后根据题意得到关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：原方程去分母并整理得：， 解得： 原方程的根是负数， 且， 解得：且， 故答案为：且． 13. 一元二次方程的两根是．则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及分式的化简求值．首先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后将所求分式通分，利用代数恒等变形，代入已知值计算． 【详解】解：一元二次方程的两根为， 由根与系数的关系，得 其中， ∴原式 故答案为：． 14. 如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________________________________． 【答案】且k≠0． 【解析】 【详解】试题解析：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且. 故答案为:且. 15. 如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则的度数为______． 【答案】##15度 【解析】 【分析】作于F，延长到，使得，先证明是等边三角形，从而得到，继而求出，再根据等腰三角形的底角相等求出，最后利用求出即可． 先求出∠ADE 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， 作于F，则， 延长到，使得， 则垂直平分，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 又∵ ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：15° 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，等边对等角，矩形的性质等知识，正确作出辅助线求解是解题的关键． 16. 中，，上的高为，，则顶角___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半,等边三角形的性质与判定；根据为锐角三角形和钝角三角形两种情况分类讨论解答即可． 【详解】解：当为锐角三角形时，如图1：取的中点，连接 ∴， ， ∴ ，， ， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ； 当为钝角三角形时，如图2：取的中点，连接 同理可得， ， 综上所述，或． 故答案为：或． 17. 如图，是的角平分线，于点，，则边的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质；作于点，由平分交于点，于点，得，根据，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点， 是的角平分线， 平分交于点， 于点，于点， ， ∵，， 解得： 故答案为：． 18. 将两块斜边长等于4的三角尺(与)的斜边重合，按图所示摆放，为中点，联结和，那么的面积等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、含30度角的直角三角形的性质；过点作于，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出、，求出，进而求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，为中点，斜边， ，， 在中，，，为中点，斜边， ， ∴， 为等边三角形， ， ， ∴，． 故答案为：． 三、解答题（共58分） 19. （1）已知，求的值． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，分母有理化，二次根式的化简求值； （1）先分母有理化求出、的值，求出和的值，变形后代入求出即可； （2）先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 【详解】解：（1） ∴， ∴ ； （2）， 方程两边同时乘以得，， 整理得， 解得：， 检验，当时，， 检验，当时，， ∴原方程的解为：． 20. 商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价元． （1）降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含的代数式表示）； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元? 【答案】（1）， （2）每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1242元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用．解题的关键是熟练掌握每件利润与售价和进价和降价关系，总利润与每件利润和件数的关系，列算式，列方程． （1）设每套拖把降价x元，每套拖把盈利元，每天销售套； （2）设每套拖把降价x元，根据平均每天能盈利1242元，减少库存，列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 设每套拖把降价元， 每套拖把盈利元． 则每天销售量增加2x套， ∴每天销售套， 故答案为：，； 【小问2详解】 设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又需要尽快减少库存， 答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1242元． 21. 已知关于的方程只有一个解，求的值及这个解． 【答案】时，解为；时，解为；时，解为 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程；首先将分式方程乘以公分母消去分母，得到一元二次方程，但需考虑分母不为零的条件且．方程只有一个解的情况包括：一元二次方程有两个相等实数根，且根满足分母不为零；或一元二次方程有两个根，但其中一个根使分母为零增根，另一个根有效．通过判别式和代入检验求得所有可能的值及对应解． 【详解】解：去分母得：，即， 由分式方程只有一个解， 情况一：一元二次方程有两个相等实数根，则， 解得：，此时方程为，即， 解得：，经检验是分式方程的解， 情况二：一元二次方程有两个根，但其中一个根为增根使分母为零 整式方程有一根为或， 把代入方程得：，此时方程为 解为舍去； 把代入方程得：，此时方程为 解为舍去， 综上所述，时，解为；时，解为；时，解为 22. 已知关于的方程． （1）若方程有实根，试求的取值范围； （2）若方程有两个实根分别为、，且满足，试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 【小问1详解】 解：关于的方程， ， 解得：； 【小问2详解】 方程有两个实根分别为、， ，， ， ， ， ， ， ， 或， 或， 时，方程有实根， ． 23. 如图，中，，平分，． 求证：． 【答案】 证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定；根据角平分线的性质可得，进而证明得出，证明得出，根据线段关系，即可求解． 【详解】略 24. 如图，在中，和的平分线、交于点，连接． （1）求证：平分； （2）？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图1，过作于点，于点，于点， 平分， ， 平分， ， ， 平分； （2） 成立，证明如下： 设， 如图，过作于点，于点，于点， 则点在线段上，点在线段上， 和的平分线、交于点， ， ，， ， 、分别平分、， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识； （1）过作于点，于点，于点，由角平分线的性质得，，则，再由角平分线的判定即可得出结论； （2）过作于点，于点，于点，由角平分线的性质得，再证明，然后证明，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）． ①延长到E，使得； ②再联结，可得_______，从而把、、转化在中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得______________，则的取值范围是：_______（在横线上填空）． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （2）思考：已知，如图2，是的中线，，，（点F和点E在同侧），试探究线段与的数量和位置关系并加以证明． 【答案】（1），，，； （2），，理由如下： 延长至H，使，连接，如图2所示： 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 延长交于G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系即可得到结论； （2）延长至H，使，连接，由（1）可得，由全等三角形的性质得出，，证出，证明，得出，，推出．延长交于G，求出，即可得解． 【详解】解：（1）延长到E，使得， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：，，，； （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海复旦五浦汇实验学校 2025学年度第一学期 八年级数学 期中练习卷 （答题时间 90分钟） 一、单选题（） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（） A. B. C. D. 3. 把二次三项式因式分解，下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ⑤有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根； C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连接和，相交于点．以下结论①；②；③是等腰三角形；④中正确的有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（） 7. ________ 8. 不等式的解是______________ 9. 计算：___________． 10. 分式方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为___________． 11. 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个． 设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是_______________ 12. 已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是___________． 13. 一元二次方程的两根是．则___________． 14. 如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________________________________． 15. 如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则的度数为______． 16. 中，，上的高为，，则顶角___________． 17. 如图，是的角平分线，于点，，则边的长是___________． 18. 将两块斜边长等于4的三角尺(与)的斜边重合，按图所示摆放，为中点，联结和，那么的面积等于___________． 三、解答题（共58分） 19. （1）已知，求的值． （2）解方程：． 20. 商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价元． （1）降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含的代数式表示）； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元? 21. 已知关于的方程只有一个解，求的值及这个解． 22. 已知关于的方程． （1）若方程有实根，试求的取值范围； （2）若方程有两个实根分别为、，且满足，试求的值． 23. 如图，中，，平分，． 求证：． 24. 如图，在中，和的平分线、交于点，连接． （1）求证：平分； （2）？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 25. （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）． ①延长到E，使得； ②再联结，可得_______，从而把、、转化在中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得______________，则的取值范围是：_______（在横线上填空）． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （2）思考：已知，如图2，是的中线，，，（点F和点E在同侧），试探究线段与的数量和位置关系并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $