精品解析：广东省普宁市培青中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试题

2025－2026学年度第一学期期中质检 九年级数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡个题目的指定区域内相应的位置上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形又是对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴． 2. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0，此方程可化为(　　) A. (x﹣3)2＝4 B. (x﹣3)2＝14 C. (x﹣9)2＝4 D. (x﹣9)2＝14 【答案】B 【解析】 【分析】先移项，再方程两边都加上9，即可得出答案． 【详解】原方程可化为x2-6x=5， 配方得x2-6x+9=5+9， 即（x-3）2=14． 故选B. 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题．设，，，代入求解即可． 【详解】解：， 可以假设，， ． 故选：B． 4. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（ ） A. 四边形由矩形变为平行四边形 B. 对角线的长度变大 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、四边形的不稳定性，弄清图形变化前后的变量和不变量是解答此题的关键．根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、因为矩形框架向右扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，故A正确，不符合题意； B、向右扭动框架，的长度变大，故B正确，不符合题意； C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意； D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意， 故选：C． 5. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有l种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种， 小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为， 故选：． 【点睛】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，画出树状图表示所有等可能的情况是解题的关键． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形． B. 两条直线被一组平行线所截，所截得的线段成比例． C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． D. 在中，若，则是直角三角形． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断、成比例线段、菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理． 根据成比例线段、菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项是假命题，不符合题意； B、平行线分线段成比例定理要求对应线段成比例，但选项未指定“对应”，表述不严谨，且定理需至少三条平行线，选项是假命题，不符合题意； C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意； D、设， ∵三角形内角和为， ∴， ∴ ∴，则为锐角三角形， ∴该选项为假命题，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、， 根据题意得， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键． 8. 一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点，点，点，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征得到相似比为，然后把C点的横纵坐标都乘以得到其对应点D的坐标． 【详解】解：∵两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似， 而点，点， ∴相似比为， ∴点的对应点D的坐标是，即． 故选：C． 9. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题． 根据一月份的营业额，计算二月份和三月份的营业额，利用第一季度总营业额列方程即可． 【详解】解：一月份营业额为200万元， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， ∴第一季度总营业额为． 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据证明可得，设，利用勾股定理求根据方程求出即可解决问题； 【详解】解：在和中， ∴（）， ∴，， ∴， 设， 则，，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 故选C． 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）请将各题的正确答案写在答题卡的相应位置． 11. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 【答案】② 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定定理，根据正方形的判定定理，由菱形添加对角线相等或四边形的一个角是直角，即可求解． 【详解】解：条件①③是菱形的性质，则添加条件①③时，不能使四边形是正方形， 添加条件②时，根据对角线相等的菱形是正方形，能使四边形是正方形， 故答案为：②． 12. 小薇为了了解自家草莓的质量，随机从种植园中抽取适量草莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中，“优质草莓”出现的频率逐渐稳定在．若小薇家今年草莓的总产量约为，据此估计小薇家今年“优质草莓”的产量约为______ ． 【答案】800 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键．由题意可得“优质草莓”出现的概率等于，再乘以即可得出答案． 【详解】解：∵在多次重复的抽取检测中，“优质草莓”出现的频率逐渐稳定在， ∴“优质草莓”出现的概率等于， ∴估计小薇家今年的“优质草莓”的产量约为． 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程得到关于的方程，结合一元二次方程二次项系数不为的条件，筛选得到符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数满足 ，即 ， ∵原方程有一个根为， ∴将代入原方程，得 ， 解得或 ， ∵， ∴． 14. 材料阅读：∵，由，得；∴代数式的最小值是4．仿照上述方法求代数式的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用．理解题意，并掌握配方法是解题关键． 仿照上述方法将所求式子变形为，从而即得出，即代数式的最小值为． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 15. 如图，，，是等边三角形，点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上，．若，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角直角三角形的性质等，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据等边三角形的性质证明，再根据角直角三角形的性质得到，再由相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：如图： ∵，，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：16． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．请将正确答案写在答题卡的相应位置． 16. 已知整式．化简P，若，求出此方程的解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把整理得，再结合，得，然后运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵ ∴； 当时，， ， ∴， ∴； 17. 如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和的顶点均为格点． （1）以O为位似中心，在网格图中作，使与位似，且位似比为1：2．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）若点C的坐标为，则 ，的面积＝ ． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）（1，2），3 【解析】 【分析】（1）根据位似推行的性质，画出图形即可； （2）根据位似推行的性质，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点C的坐标为， ∴点A（-2，0），B（4，0）， ∵与的位似比为1：2． ∴， ∴， ∴的面积＝． 故答案为：（1，2），3 【点睛】本题考查作图——复杂作图，位似图形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18. 如图，在中，点在边上，点不与点重合，点在边上，且，连接并延长至点，使，连接，求证：． 【答案】 证明：，， ． 又， ． ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的判定，可证明，推出，再由内错角相等，两直线平行可证明结论． 【详解】略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．请将正确答案写在答题卡的相应位置． 19. 为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为________； （2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是________°； （3）请将条形统计图补充完整； （4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率． 【答案】（1）20人 （2）36 （3） 补充完整的条形统计图如下： （4） 【解析】 【分析】（1）由条形统计图中B类学生数及扇形统计图中B类学生的百分比即可求得参与调查的总人数； （2）由扇形统计图可求得不达标的学生所占的百分比，它与360°的积即为所求的结果； （3）现两种统计图及（1）中所求得的总人数，可分别求得C类、D类学生的人数，从而可求得这两类中未知的学生数，从而可补充完整条形统计图； （4）记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表即可求得所有可能的结果数及所选两位同学恰好是相同性别的结果数，从而可求得概率． 【小问1详解】 由条形统计图知，B类学生共有6+4=10（人），由扇形统计图知，B类学生所占的百分比为50%，则参与调查的总人数为：（人） 故答案为：20人 【小问2详解】 由扇形统计图知，D类学生所占的百分比为：，则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：360°×10%=36° 故答案为：36 【小问3详解】 C类学生总人数为：20×25%=5（人），则C类学生中女生人数为：（人） D类学生总人数为：20×10%=2（人），则C类学生中男生人数为：（人） 【小问4详解】 记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表如下： 男1 女1 女2 男 男男1 男女1 男女2 女 女男1 女女1 女女2 则选取两位同学的所有可能结果数为6种，所选两位同学恰好是相同性别的结果数有3种，所以所选两位同学恰好是相同性别的概率为： 【点睛】本题是统计图的综合，考查了条形统计图与扇形统计图，简单事件的概率，关键是读懂两个统计图并能从图中获取信息． 20. 如图，在中，连接，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是牢记相似三角形的判定与性质． （1）由平行四边形的性质可得出，结合可得出，再由即可证出，进而即可得解； （2）由，利用相似三角形的性质可求出的长度，由可得出，再利用相似三角形的性质及即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 21. 我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】（1）通道的宽是2米 （2）每个车位的月租金应上涨40元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系，正确列出方程． （1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的矩形，再根据喷漆面积列出方程求解即可； （2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位，再根据月租金列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是2米． 【小问2详解】 解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．请将正确答案写在答题卡的相应位置． 22. 综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________． 【答案】（1）； （2） 解：将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形， 则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． （3），． 【解析】 【分析】（1）运用直接开平方法解方程，即可得到方程的另一个根． （2）将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为，由题意得，整理得，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 【小问1详解】 由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．． 23. 我们把一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．已知P是四边形对角线上一点，将沿折叠得到，交于O． （1）如图1，若四边形是正方形，． ①求证：； ②若四边形是等对边四边形，则 _____； （2）如图2, 已知四边形是菱形，．若四边形是等对边四边形，求等对边四边形的面积； （3）如图3，已知四边形是矩形，直线恰好经过的中点H，若四边形是等对边四边形，且，请直接写出的值． 【答案】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可得， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴； ② （2）12 （3）的值为或1． 【解析】 【分析】（1）①先证得到，从而即可得到； ②由题易得，进而可证垂直平分，据此设参求解即可； （2）先证，再证，由，可得，再证，据此得解； （3）由中点可联想倍长中线，延长至点F，使，连接，易得，所以，再证，，导角可得，据此设参求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②由题可知当四边形是等对边四边形时，则， ∵ ∴， ∴， ∴此时点O在垂直平分线与交点位置， ∴O为中点， ∵正方形， ∴， 设，则由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，四边形是等对边四边形， ∴可得， ∴， 由菱形的性质和折叠可得，， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接交于Q，则垂直平分， ∴，， ∴等对边四边形的面积． 【小问3详解】 解：如图，延长至点F，使，连接， ∵H为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由已知以及翻折可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴ ∴， 在上取一点G，使， ∵ ∴， ∴， 过A作于点K，则可设 ∴， ∴， 解得（负值舍去）； ∴， ∴， 如图，当点为中点时， 此时，符合题意， ∴； 综上，的值为或1． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解一元二次方程，勾股定理，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期中质检 九年级数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡个题目的指定区域内相应的位置上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0，此方程可化为(　　) A. (x﹣3)2＝4 B. (x﹣3)2＝14 C. (x﹣9)2＝4 D. (x﹣9)2＝14 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（ ） A. 四边形由矩形变为平行四边形 B. 对角线的长度变大 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 5. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形． B. 两条直线被一组平行线所截，所截得的线段成比例． C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． D. 在中，若，则是直角三角形． 7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点，点，点，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）请将各题的正确答案写在答题卡的相应位置． 11. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 12. 小薇为了了解自家草莓的质量，随机从种植园中抽取适量草莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中，“优质草莓”出现的频率逐渐稳定在．若小薇家今年草莓的总产量约为，据此估计小薇家今年“优质草莓”的产量约为______ ． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______． 14. 材料阅读：∵，由，得；∴代数式的最小值是4．仿照上述方法求代数式的最小值为______． 15. 如图，，，是等边三角形，点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上，．若，则______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．请将正确答案写在答题卡的相应位置． 16. 已知整式．化简P，若，求出此方程的解． 17. 如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和的顶点均为格点． （1）以O为位似中心，在网格图中作，使与位似，且位似比为1：2．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）若点C的坐标为，则 ，的面积＝ ． 18. 如图，在中，点在边上，点不与点重合，点在边上，且，连接并延长至点，使，连接，求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．请将正确答案写在答题卡的相应位置． 19. 为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为________； （2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是________°； （3）请将条形统计图补充完整； （4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率． 20. 如图，在中，连接，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）如果，求的长． 21. 我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．请将正确答案写在答题卡的相应位置． 22. 综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________． 23. 我们把一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．已知P是四边形对角线上一点，将沿折叠得到，交于O． （1）如图1，若四边形是正方形，． ①求证：； ②若四边形是等对边四边形，则 _____； （2）如图2, 已知四边形是菱形，．若四边形是等对边四边形，求等对边四边形的面积； （3）如图3，已知四边形是矩形，直线恰好经过的中点H，若四边形是等对边四边形，且，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $