专题5-1 方程及一元一次方程的解法（期末复习讲义，必备知识+13大题型+过关检测）七年级数学上学期新教材浙教版

专题5-1 方程及一元一次方程的解（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 方程的定义 掌握方程是含有未知数的等式，能准确判断给定式子是否为方程，特别是一元一次方程（一个未知数、次数为1、整式方程） 低频考点，通常以选择题或填空题出现，难度低。考查识别方程及一元一次方程的概念 方程的解（根） 理解方程解的含义，掌握代入检验法来判断一个数是否是方程的解 中频考点，常见于选择题或填空题，难度低。考查代入验证某数是否为方程的解 列方解 掌握“审题 → 找等量关系 → 设未知数 → 列方程”的解题思路。重点练习行程、工程、分配、利润等常见应用题类型，并注意检验解的合理性 必考核心能力，解答题中作为应用题出现，分值高，难度中上。考查从实际问题中抽象出数学模型的能力 等式的性质 熟练掌握等式性质1（加减同一数或式子结果仍相等）和性质2（乘除同一不为0的数结果仍相等），并能运用其进行等式变形 中频考点，多为选择题，难度低。考查利用等式性质进行变形或判断变形是否正确 解一元一次方程 ​熟练、准确、规范地掌握解方程的五大步骤：​去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。特别注意去分母时各项都乘最简公倍数、移项要变号等易错点 必考核心技能，解答题中几乎固定出现，分值较高，难度中等。考查完整规范的解题步骤 根据程的同解求参数 掌握解题方法：先分别求出两个方程的解（用参数表示），令其相等，从而解出参数值。 中频考点，常见于填空题或解答题，难度中等。 已知方程解错求参数 理解解方程每一步的原理，能通过某人解方程时某步出错得到的“错误解”，反向推算出方程中的参数值。 中频考点，常见于解答题，难度中等。 方程遮挡/抄错问题 掌握通过抄错或看错系数后得到的“错误方程”和“正确解”，反推原方程中的参数或原方程正确解的方法。 低频考点，多为填空题，难度中等。 方程的整数解求参数 掌握将含参方程化为 ax = b 的形式，根据解为整数的要求，分析参数a所有可能的取值。 中频考点，填空题或解答题，难度中等。 绝对值方程 掌握根据绝对值内代数式的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号，将方程转化为常规一元一次方程求解。 中档偏难考点，多在解答题中出现，考查分类讨论思想。 定义新运算与方程综合 重点在于阅读理解，准确理解新定义的运算规则，并将其转化为熟悉的运算形式，再列方程或解方程。 中档考点，填空题或解答题，难度灵活。 解一元一次方程的步骤判断 熟悉解方程的每一步骤及其依据（等式性质、运算法则），能判断给定解题过程中某一步是否正确。 低频考点，多为选择题或填空题，难度低。 新规定的特殊形式方程 强化阅读理解能力，能理解题目中给出的新规则或新形式，将其转化为学过的方程类型进行求解。 压轴题考点，解答题最后一问可能出现，难度高。 知识点01 一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点02 等式的性质 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点03 解一元一次方程的步骤 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 (a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 题型一 方程的定义 解｜题｜技｜巧 判断是否为方程的关键是看是否含有未知数且是等式。一元一次方程需满足：只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程。 易｜错｜点｜拨 忽略"整式方程"条件，将分式方程误认为一元一次方程 注意：方程必须同时满足三个条件，缺一不可 【典例1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．或1 【变式1】下列式子是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列四个方程属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】①②③④⑤⑥⑦中，是方程的是 ，是一元一次方程的是 (将序号写到横线上)． 题型二 方程的解 解｜题｜技｜巧 代入验证法是最直接的方法，将数值代入方程两边计算，看是否相等。 易｜错｜点｜拨 代入时要注意符号，特别是负数的代入。 【典例1】下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程的解为的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 题型三 根据题意列方程 【典例1】（22-23七年级上·浙江温州·期末）学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】根据“减去的7倍等于8”的数量关系可得方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为 ． 题型四 等式的性质 解｜题｜技｜巧 等式两边同时加减同一个数或乘除同一个不为0的数，等式仍然成立。 易｜错｜点｜拨 易错点：乘除时忘记"不为0"的条件 注意：移项时一定要变号，这是等式性质的应用 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列变形中，正确的是（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．，那么 D．若，那么 【变式1】（21-22七年级上·浙江台州·期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】若，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2022·青海·中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型五 解一元一次方程 解｜题｜技｜巧 五步法——去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。按顺序操作，步步为营。 易｜错｜点｜拨 去分母：①漏乘不含分母的项；②分子是多项式时忘记加括号 去括号：括号前是负号时，括号内每一项都要变号；括号前有系数时，系数要与括号内每一项相乘 移项：移项要变号，不移的项不变号 系数化为1：两边同时除以系数，注意符号判 【典例1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）解方程 (1) (2) (3) (4) 【变式2】（20-21七年级上·浙江金华·期末）解方程： (1) (2) 题型六 根据方程同解求参数 解｜题｜技｜巧 先解出不含参数的方程，将解代入含参方程，解出参数值。 易｜错｜点｜拨 易错点：两个方程都含参时，要分别用参数表示解，再令相等 注意：代入时要仔细计算，避免代数错误 【典例1】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如果的解与的解相同，则a的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】（22-23七年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的方程与的解相同，则 ． 【变式2】（21-22七年级上·浙江金华·期末）若关于的方程与的解相同，则的值为 ． 【变式3】关于的方程与的解相同，则的值为 ． 题型七 已知方程错解求参数 解｜题｜技｜巧 按照错误的步骤解方程，得到错误解，再根据错误解反推参数。 【典例1】小华在解关于x的方程“去分母”步骤时，等号右边的“2”忘记乘以12，他求得的解为，则k的值为（    ） A．5 B． C．2 D． 【变式1】小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【变式2】小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【变式3】某人在解方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，则a的值为 ． 题型八 方程遮挡抄错问题 解｜题｜技｜巧 利用抄错后的方程和正确解，反推原方程。 易｜错｜点｜拨 易错点：没理清抄错的是哪个系数 注意：要区分抄错的是常数项还是系数 【典例1】做作业时，小明不小心将方程中的一个常数污染，方程变为，老师告诉他原方程的解是，根据老师给的信息，黑色方框里的值为 ． 【变式1】小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：”，△处被污染看不清．若方程的解是，则▲处的数字是应是 ； 【变式2】嘉琪在做解方程练习时，发现方程的某一部分在印刷时被油墨遮盖住了，她看到的方程为：．为了弄清被遮盖的数字是多少，嘉琪翻看了后面的答案为，则■处的数字应是 ． 题型九 方程的整数解 解｜题｜技｜巧 将方程化为ax=b形式，x=b/a，b/a为整数时，a是b的约数。 【典例1】若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（21-22七年级上·浙江宁波·期末）已知m为非负整数，若关于x的方程mx=2-x的解为整数，则m的值为 ． 【变式2】（20-21七年级上·浙江宁波·期末）若关于的方程的解为整数，则非负整数的值为 ． 【变式3】若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之积是 ． 题型十 绝对值方程 易｜错｜点｜拨 分类不全：忘记讨论绝对值内代数式的正负性 检验遗漏：解出的值不在对应区间内时，要舍去 符号错误：去绝对值时，当内部为负时要加负号 【典例1】方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】若关于x的方程的解满足，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 题型十一 定义新运算与方程综合 解｜题｜技｜巧 读懂新定义，严格按照定义运算，转化为常规方程求解。 易｜错｜点｜拨 易错点：没理解新运算规则，直接套用常规运算 注意：新运算不满足交换律、结合律等运算律 【典例1】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有，例如：．若的运算结果与的运算结果相同，则x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25七年级上·浙江·期末）将四个数、、、排列成，并且规定，若的值为，则的值为 【变式2】（22-23七年级上·浙江嘉兴·期末）用表示大于的最小整数，例如，，．用表示，两数中较大的数，例如，按上述规定，如果整数满足，则的值是 ． 题型十二 解一元一次方程的步骤判断 解｜题｜技｜巧 熟悉解方程的每一步依据（等式性质、去括号法则等），逐项检查。 【典例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）解方程：．下面是小圣同学的解题过程 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，得，第③步 合并同类项，得，第④步 系数化为1，得．第⑤步 (1)小圣的解题过程从第______步开始出现错误 (2)请你帮小圣同学写出正确的解题过程． 【变式1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解： …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． 【变式2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）阅读小虎同学解方程的过程，并回答问题． 解：① ② ③ ④ ⑤ (1)小虎解方程最先出现错误的是第__________步（填写序号），该步骤错误原因是__________；（可多选） A．漏乘不含分母的项 B．分子是多项式，去掉分母后未给分子整体添括号 C．移项没有变号 (2)请正确解出这个方程． 【变式3】（21-22七年级上·浙江丽水·期末）小慧解方程的过程如下： 解：去分母，得…① 去括号，得…② 移项，得…③ 合并同类项，得…④ 两边同除以，得…⑤ (1)小慧从第_______步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 题型十三 新规定的特殊形式方程 解｜题｜技｜巧 阅读理解新规则，转化为常规方程，注意新规则的特殊要求。 【典例1】（21-22七年级上·浙江湖州·期末）我们规定：如果关于的一元一次方程的解为，则称该方程为和解方程．例如：的解为，且，故方程是和解方程．若关于的一元一次方程是和解方程，则 ． 【变式1】我们规定：关于的一元一次方程（，，，均为常数）的解为，则称该方程为“特征方程”例如的解为，满足则方程为“特征方程”，请根据以上规定解决以下问题． (1)已知关于的一元一次方程是特征方程，请求出的值． (2)若和都是特征方程，请求出与的值． 【变式2】我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：的解为，且，则该方程是和解方程． 请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否为和解方程； (2)若关于的一元一次方程是和解方程，求的值． 【变式3】我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值； (3)已知为整数，若关于的方程的解是整数，且其与方程互为“互反方程”，试求所有可能的的和． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25七年级上·浙江杭州·期末）若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A． B． C． D． 2．小明在做解方程的过程中，去分母时，方程的右边忘记乘以2，结果他得到的解为，那么n的值为 ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）解方程 (1) (2) 4．已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求k的值． (2)若，求的值． 5．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，导致其看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？ (1)小明猜想“”部分是，请你算一算的值； (2)小明翻看了书后的答案，此方程的解是．请你算一算这个常数应是多少． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（21-22七年级上·浙江温州·期末）（1）计算：； （2）； （3）已知关于x的方程，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 2．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）对于有理数，定义一种新运算“*”，规定． (1)计算的值； (2)已知且，求的值． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）我们规定：若关于a的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，且，则为“和解方程”．请根据上述规定解答以下问题：已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求b的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5-1 方程及一元一次方程的解（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 方程的定义 掌握方程是含有未知数的等式，能准确判断给定式子是否为方程，特别是一元一次方程（一个未知数、次数为1、整式方程） 低频考点，通常以选择题或填空题出现，难度低。考查识别方程及一元一次方程的概念 方程的解（根） 理解方程解的含义，掌握代入检验法来判断一个数是否是方程的解 中频考点，常见于选择题或填空题，难度低。考查代入验证某数是否为方程的解 列方解 掌握“审题 → 找等量关系 → 设未知数 → 列方程”的解题思路。重点练习行程、工程、分配、利润等常见应用题类型，并注意检验解的合理性 必考核心能力，解答题中作为应用题出现，分值高，难度中上。考查从实际问题中抽象出数学模型的能力 等式的性质 熟练掌握等式性质1（加减同一数或式子结果仍相等）和性质2（乘除同一不为0的数结果仍相等），并能运用其进行等式变形 中频考点，多为选择题，难度低。考查利用等式性质进行变形或判断变形是否正确 解一元一次方程 ​熟练、准确、规范地掌握解方程的五大步骤：​去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。特别注意去分母时各项都乘最简公倍数、移项要变号等易错点 必考核心技能，解答题中几乎固定出现，分值较高，难度中等。考查完整规范的解题步骤 根据程的同解求参数 掌握解题方法：先分别求出两个方程的解（用参数表示），令其相等，从而解出参数值。 中频考点，常见于填空题或解答题，难度中等。 已知方程解错求参数 理解解方程每一步的原理，能通过某人解方程时某步出错得到的“错误解”，反向推算出方程中的参数值。 中频考点，常见于解答题，难度中等。 方程遮挡/抄错问题 掌握通过抄错或看错系数后得到的“错误方程”和“正确解”，反推原方程中的参数或原方程正确解的方法。 低频考点，多为填空题，难度中等。 方程的整数解求参数 掌握将含参方程化为 ax = b 的形式，根据解为整数的要求，分析参数a所有可能的取值。 中频考点，填空题或解答题，难度中等。 绝对值方程 掌握根据绝对值内代数式的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号，将方程转化为常规一元一次方程求解。 中档偏难考点，多在解答题中出现，考查分类讨论思想。 定义新运算与方程综合 重点在于阅读理解，准确理解新定义的运算规则，并将其转化为熟悉的运算形式，再列方程或解方程。 中档考点，填空题或解答题，难度灵活。 解一元一次方程的步骤判断 熟悉解方程的每一步骤及其依据（等式性质、运算法则），能判断给定解题过程中某一步是否正确。 低频考点，多为选择题或填空题，难度低。 新规定的特殊形式方程 强化阅读理解能力，能理解题目中给出的新规则或新形式，将其转化为学过的方程类型进行求解。 压轴题考点，解答题最后一问可能出现，难度高。 知识点01 一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点02 等式的性质 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点03 解一元一次方程的步骤 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 (a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 题型一 方程的定义 解｜题｜技｜巧 判断是否为方程的关键是看是否含有未知数且是等式。一元一次方程需满足：只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程。 易｜错｜点｜拨 忽略"整式方程"条件，将分式方程误认为一元一次方程 注意：方程必须同时满足三个条件，缺一不可 【典例1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．或1 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0，则这个整式方程是一元一次方程，根据定义可得关于m的方程，求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴ ∴， 故选：B． 【变式1】下列式子是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．本题考查了一元一次方程的定义，熟知：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，是解题的关键． 【详解】解：A、不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、不是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、是一元一次方程，故此选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选： 【变式2】下列四个方程属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键． 利用一元一次方程的定义判断即可得到结果． 【详解】解：A、，未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程的定义，故该选项不符合题意； B、，含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，故该选项不符合题意； C、，未知数的最高次数为2，且含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，故该选项不符合题意； D、，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，符合一元一次方程的定义，故该选项符合题意； 故选D． 【变式3】①②③④⑤⑥⑦中，是方程的是 ，是一元一次方程的是 (将序号写到横线上)． 【答案】 ①②③④⑦ ③⑦ 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程进行判断即可． 【详解】解：①是方程，含有两个未知数，不是一元一次方程； ②是方程，但不是一元一次方程， ③，是一元一次方程， ④，是方程，但不是一元一次方程 ⑤，不含未知数，不是方程， ⑥，不是等式，不是方程， ⑦，是一元一次方程， 综上所述，是方程的是①②③④⑦，是一元一次方程的是③⑦ 故答案为：①②③④⑦；③⑦． 题型二 方程的解 解｜题｜技｜巧 代入验证法是最直接的方法，将数值代入方程两边计算，看是否相等。 易｜错｜点｜拨 代入时要注意符号，特别是负数的代入。 【典例1】下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 将分别代入方程，逐项计算判断，即可解答． 【详解】解：A． 当时，， ∴不是的解，不符合题意； B． 当时，， ∴是的解，符合题意； C． 当时，， ∴不是的解，不符合题意； D． 当时，， ∴不是的解，不符合题意； 故选B． 【变式1】下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，解决本题的关键是知道方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值． 根据一元一次方程的解的概念解答即可． 【详解】解：A、将代入原方程，，左边右边，符合题意； B、将代入原方程，，左边右边，不符合题意； C、将代入原方程，，左边右边，不符合题意； D、将代入原方程，，左边右边，不符合题意． 故选A． 【变式2】下列方程的解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 将逐一代入各方程，判断方程左右两边是否相等，即可作出判断． 【详解】解：A、当时，，故不是此方程的解； B、当时，，故是此方程的解； C、当时，，故不是此方程的解； D、当时，，故不是此方程的解； 故选：B． 【变式3】若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，先把是代入方程得，再将代数式变形得，然后代入计算即可，掌握方程的解，代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴，即， ∴ ， 故答案为：． 题型三 根据题意列方程 【典例1】（22-23七年级上·浙江温州·期末）学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人，再根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队即可解答． 【详解】解：设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人 根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队可得：． 故选D． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、确定只参加篮球的人数和“参加篮球队人数=只参加篮球人数+两队都参加的人数”是解答本题的关键． 【变式1】如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮， 由题意得． 故选：． 【变式2】根据“减去的7倍等于8”的数量关系可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列方程，将文字描述转化为数学方程，注意“y的7倍”为，“x减去y的7倍”即，列出方程即可 【详解】解：的7倍为，x减去y的7倍为，等于8，即， 方程为， 故选：A 【变式3】现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的应用，熟练根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据正方形的面积公式、等边三角形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得，所有正方形的面积为、所有等边三角形的面积为， 因此，列方程为：， 故答案为：． 题型四 等式的性质 解｜题｜技｜巧 等式两边同时加减同一个数或乘除同一个不为0的数，等式仍然成立。 易｜错｜点｜拨 易错点：乘除时忘记"不为0"的条件 注意：移项时一定要变号，这是等式性质的应用 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列变形中，正确的是（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．，那么 D．若，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，绝对值的意义及平方的非负性，解题的关键是掌握等式的基本性质：性质1：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等． 根据等式的基本性质，结合绝对值和平方的非负性进行判断． 【详解】解：A．若，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意； B．若且，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意； C，当，时，，但，原变形不正确，故此选项不符合题意； D．若，那么，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1】（21-22七年级上·浙江台州·期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，变形正确，故本选项符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】若，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题关键是利用等式性质熟练将比例式与乘积式进行互相转化．把比例式转化为乘积式，逐项判断即可． 【详解】A、由可得：，符合题意； B、由可得：，不符合题意； C、由可得：，不符合题意； D、由可得：，不符合题意； 故选：A． 【变式3】（2022·青海·中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：A、由可得出或，所以A选项不符合题意． B、当时恒成立，而不一定成立，所以B选项不符合题意． C、由可得出，故C选项符合题意． D、由可得出，所以D选项不符合题意． 故选：C． 题型五 解一元一次方程 解｜题｜技｜巧 五步法——去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。按顺序操作，步步为营。 易｜错｜点｜拨 去分母：①漏乘不含分母的项；②分子是多项式时忘记加括号 去括号：括号前是负号时，括号内每一项都要变号；括号前有系数时，系数要与括号内每一项相乘 移项：移项要变号，不移的项不变号 系数化为1：两边同时除以系数，注意符号判 【典例1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）移项合并同类项，即可求解； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解； （3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解； （4）利用乘法分配律，原方程变形为，即可求解． 【详解】（1）解： 移项合并同类项得：， 解得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （4）解： 变形得：， 即， ∴， ∴， 解得：． 【变式2】（20-21七年级上·浙江金华·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查解一元一次方程， （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程； 【详解】（1）解：（1）去括号得：， 移项合并得：， 解得： ； （2）去分母得：， 移项合并得：， 解得：． 题型六 根据方程同解求参数 解｜题｜技｜巧 先解出不含参数的方程，将解代入含参方程，解出参数值。 易｜错｜点｜拨 易错点：两个方程都含参时，要分别用参数表示解，再令相等 注意：代入时要仔细计算，避免代数错误 【典例1】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如果的解与的解相同，则a的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】此题主要考查了同解方程，首先计算出方程的解，再把x的值代入方程，解出a即可． 【详解】解：， 解得：， 把代入中得：， 解得：． 故选：A． 【变式1】（22-23七年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的方程与的解相同，则 ． 【答案】 【分析】先解求出x的值，然后代入，解关于m的方程即可求出m的值． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， 把代入，得 ， 去分母，得 ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 【变式2】（21-22七年级上·浙江金华·期末）若关于的方程与的解相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】解方程得，将代入即可求解． 【详解】解：解方程，得， ∵关于的方程与的解相同， ∴关于的方程的解为， 将代入，得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解的概念，即使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解． 【变式3】关于的方程与的解相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解和解一元一次方程，先求出方程的解，再把解代入方程即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵关于的方程与的解相同， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七 已知方程错解求参数 解｜题｜技｜巧 按照错误的步骤解方程，得到错误解，再根据错误解反推参数。 【典例1】小华在解关于x的方程“去分母”步骤时，等号右边的“2”忘记乘以12，他求得的解为，则k的值为（    ） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先将该方程去分母，右边不要乘12，再将求得的解代入即可求出k的值． 【详解】解：由题可知，是方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了去分母解一元一次方程，解题关键是理解方程的解的含义，并能正确的确定去分母后的方程． 【变式1】小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，将错就错，求出的值，再解方程，求出方程的解即可. 【详解】解：根据小明的错误解法得：， 把代入得：， 解得：， ， 去分母得：. 去括号得：. 移项并合并同类项得：. 系数化为得：. 故选：． 【变式2】小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出的值是解此题的关键．小强漏抄负号后解得的可求出k的值，再代入原方程求解即可． 【详解】小强将方程抄为，解得， 则将代入错误方程得：， 解得：． 原方程为：， 移项得：， 即， 解得：． 故选：A． 【变式3】某人在解方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】把x=-5代入方程2（2x-1）=3（x-a）-1，即可得出一个关于a的一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵在解方程去分母时，方程右边的-1忘记乘以6，算得方程的解为x=-5， ∴把x=-5代入方程2（2x-1）=3（x-a）-1得：2×（-10-1）=3×（-5-a）-1， 解得：a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 题型八 方程遮挡抄错问题 解｜题｜技｜巧 利用抄错后的方程和正确解，反推原方程。 易｜错｜点｜拨 易错点：没理清抄错的是哪个系数 注意：要区分抄错的是常数项还是系数 【典例1】做作业时，小明不小心将方程中的一个常数污染，方程变为，老师告诉他原方程的解是，根据老师给的信息，黑色方框里的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．设被污染的数字为．将代入得：，解方程，即可求解． 【详解】解：设被污染的数字为． 将代入得：． 解得：． 故答案为： 【变式1】小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：”，△处被污染看不清．若方程的解是，则▲处的数字是应是 ； 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，可列出关于▲的方程，解该方程即可求出答案． 【详解】解：将代入原方程， 解得： 故答案为：． 【变式2】嘉琪在做解方程练习时，发现方程的某一部分在印刷时被油墨遮盖住了，她看到的方程为：．为了弄清被遮盖的数字是多少，嘉琪翻看了后面的答案为，则■处的数字应是 ． 【答案】-7 【分析】设■处的数字为a，把x=2代入方程 得出 ，再求出方程的解即可． 【详解】解：设■处的数字为a， 把x=2代入方程得：， 解得：a=-7， 即■处的数字为-7， 故答案为：-7． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 题型九 方程的整数解 解｜题｜技｜巧 将方程化为ax=b形式，x=b/a，b/a为整数时，a是b的约数。 【典例1】若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，先解一元一次方程，再根据其解为正整数解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 当，即时，方程的解是， ∵关于x的方程的解为正整数，a为整数， ∴或或或， ∴或或或， 所以满足条件的所有整数a值的个数是4， 故选：D． 【变式1】（21-22七年级上·浙江宁波·期末）已知m为非负整数，若关于x的方程mx=2-x的解为整数，则m的值为 ． 【答案】0或1/1或0 【分析】把方程移项合并同类项， x系数化为1，表示出解，根据解为整数，确定出m的非负整数值即可． 【详解】解∶mx=2-x (m+1 ) x=2， 当m+1≠0，即m≠-1时，解得∶， 由x为整数，得到m+1=或m+1=， 解得∶ m=0或m=-2或m= l或m=-3， ∴m的非负整数值为0和1， 故答案为∶ 0和1． 【点睛】此题考查了求解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，正确理解非负整数是解题的关键． 【变式2】（20-21七年级上·浙江宁波·期末）若关于的方程的解为整数，则非负整数的值为 ． 【答案】0，2 【分析】先用含m的代数式表示出x，再根据方程的解是整数，m是非负整数求解即可． 【详解】解：， 移项，得 mx+x=3， 合并同类项，得 (m+1)x=3， 系数化为1，得 x=， ∵方程的解是整数， ∴m+1=-3，-1，1，3， ∴m=-4，-2，0，2， ∵m是非负整数， ∴m=0，2， 故答案为： 0，2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1． 【变式3】若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之积是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为整数推出或或或或或，再根据多项式次数和项的定义得到且，最后利用有理数乘法法则计算，即可解题． 【详解】解：， ， ， 关于的方程的解是整数， 或或， 解得或或或或或， 关于的多项式是二次三项式， 且， 解得且， 或或或， 那么所有满足条件的整数的值之积是； 故答案为：． 题型十 绝对值方程 易｜错｜点｜拨 分类不全：忘记讨论绝对值内代数式的正负性 检验遗漏：解出的值不在对应区间内时，要舍去 符号错误：去绝对值时，当内部为负时要加负号 【典例1】方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据绝对值的定义可得或，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解方程，得， 解方程，得， ∴方程的解为或， 故选：B． 【变式1】若关于x的方程的解满足，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，绝对值的意义，解带有绝对值符号的方程先将方程化为|的形式，然后去绝对值变为的形式解出，进而代入，解关于的方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或 当时， ∴ 解得：； 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述，或 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了含有绝对值的一元一次方程，把含有绝对值的方程化成一般形式的一元一次方程是解题关键．先根据绝对值的非负性判断的取值范围，然后根据绝对值的性质把含有绝对值的方程化成一元一次方程的形式，解方程求出，再根据方程解的情况判断的取值，从而求出方程的解，再求出它们的和即可． 【详解】解：根据题意，， 或或或， 方程有3个解，即有两个相等， 显然，不成立， 若，则，此时方程有两个解，不成立； 若，则，因为，不成立； 若，则，此时方程有三个解，分别为2，18，； 该方程三个解的和为：， 故答案为：6． 题型十一 定义新运算与方程综合 解｜题｜技｜巧 读懂新定义，严格按照定义运算，转化为常规方程求解。 易｜错｜点｜拨 易错点：没理解新运算规则，直接套用常规运算 注意：新运算不满足交换律、结合律等运算律 【典例1】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有，例如：．若的运算结果与的运算结果相同，则x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解新定义运算法则．根据新定义型运算法则列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵的运算结果与的运算结果相同， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【变式1】（24-25七年级上·浙江·期末）将四个数、、、排列成，并且规定，若的值为，则的值为 【答案】 【分析】本题考查的知识点是新定义下的运算、解一元一次方程，解题关键是根据题意列出正确的方程． 按照题意的规定列出方程，然后进行计算即可． 【详解】解：，， ， 即， 解得． 故答案为：． 【变式2】（22-23七年级上·浙江嘉兴·期末）用表示大于的最小整数，例如，，．用表示，两数中较大的数，例如，按上述规定，如果整数满足，则的值是 ． 【答案】3或/或 【分析】由x是整数，知，分和两种情况讨论，分别列方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵x是整数， ∴， 分和两种情况讨论， 当时，， ∴， 解得， ，满足条件； 当时，， ∴， 解得， ，满足条件； 综上，的值是3或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，分类讨论是解题的关键． 题型十二 解一元一次方程的步骤判断 解｜题｜技｜巧 熟悉解方程的每一步依据（等式性质、去括号法则等），逐项检查。 【典例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）解方程：．下面是小圣同学的解题过程 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，得，第③步 合并同类项，得，第④步 系数化为1，得．第⑤步 (1)小圣的解题过程从第______步开始出现错误 (2)请你帮小圣同学写出正确的解题过程． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）根据解一元一次方程需要注意的事项进行求解即可得出答案； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】（1）解：小圣的解题过程从第一步开始出现错误．没有加括号， 故答案为：①； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解： …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去分母即可得出答案； （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 【变式2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）阅读小虎同学解方程的过程，并回答问题． 解：① ② ③ ④ ⑤ (1)小虎解方程最先出现错误的是第__________步（填写序号），该步骤错误原因是__________；（可多选） A．漏乘不含分母的项 B．分子是多项式，去掉分母后未给分子整体添括号 C．移项没有变号 (2)请正确解出这个方程． 【答案】(1)AB (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）第①步去分母时，等式右边的1没有乘以6，且式子去分母后没有加括号，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，最先出现错误是第①步，错误原因是再去分母时等式右边的1没有乘以6，且式子去分母后没有加括号， 故选：AB； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式3】（21-22七年级上·浙江丽水·期末）小慧解方程的过程如下： 解：去分母，得…① 去括号，得…② 移项，得…③ 合并同类项，得…④ 两边同除以，得…⑤ (1)小慧从第_______步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】（1）根据等式的性质判断即可． （2）去分母，去括号，移项，合并同类型，系数化为即可． 【详解】（1）①． （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 题型十三 新规定的特殊形式方程 解｜题｜技｜巧 阅读理解新规则，转化为常规方程，注意新规则的特殊要求。 【典例1】（21-22七年级上·浙江湖州·期末）我们规定：如果关于的一元一次方程的解为，则称该方程为和解方程．例如：的解为，且，故方程是和解方程．若关于的一元一次方程是和解方程，则 ． 【答案】 【分析】先求出的解，根据题意得出关于m的方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：由题意可得方程为， ． 方程为和解方程， ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能求出每个方程的解是解此题的关键． 【变式1】我们规定：关于的一元一次方程（，，，均为常数）的解为，则称该方程为“特征方程”例如的解为，满足则方程为“特征方程”，请根据以上规定解决以下问题． (1)已知关于的一元一次方程是特征方程，请求出的值． (2)若和都是特征方程，请求出与的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的求解，根据题意准确得知“特征方程”的基本性质是解题关键． （1）根据“特征方程”的定义得出，求解即可； （2）根据“特征方程”的定义得出，结合方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 解得： （2）解：由题意得： ① 解得： 将代入①得： 解得：． 【变式2】我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：的解为，且，则该方程是和解方程． 请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否为和解方程； (2)若关于的一元一次方程是和解方程，求的值． 【答案】(1)是和解方程，理由见解析； (2)的值为． 【分析】（）根据新定义代入判断即可； （）根据和解方程得出关于的方程，求出方程的解即可． 本题考查的是新定义情境下的一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：是和解方程，理由： 由可得， ，解得：， ∴， ∴是和解方程； （2）解：根据题意得：， 又， ∵关于的一元一次方程是和解方程， ∴， 解得：， ∴的值为． 【变式3】我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值； (3)已知为整数，若关于的方程的解是整数，且其与方程互为“互反方程”，试求所有可能的的和． 【答案】(1)是，见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 对于（1），先求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义解答即可； 对于（2），先分别求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义得出两个根的乘积等于1列出方程，然后求出解即可； 对于（3），先求出第一个方程的解，再根据整数解讨论m的值，然后根据结果得出另一个方程的解，进而根据“互反方程”定义判断即可． 【详解】（1）解：方程的解为， 方程的解为， ， 方程与为“互反方程”； （2）解：方程的解为， 方程的解为， 这两方程为“互反方程”， ，解得； （3）解：方程的解为， 为整数，且也为整数， ，，，1， 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意， 综上可得，或1，故所有可能的的和为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25七年级上·浙江杭州·期末）若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 将已知的毛利率公式进行等式变形，得出b的表达式即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选：C． 2．小明在做解方程的过程中，去分母时，方程的右边忘记乘以2，结果他得到的解为，那么n的值为 ． 【答案】1 【分析】根据题意得出小明去分母后的方程，然后将x=2代入方程求解． 【详解】解：由题意可得小明去分母之后的方程为： 把代入方程得：， 解得：， 故答案为1． 【点睛】本题考查解一元一次方程，正确理解题意列出方程代入计算是解题关键． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用去括号，移项，合并同类项解方程即可； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 4．已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求k的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题主要考查了非负数的性质，解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得：，再把代入方程中求出k的值即可； （2）根据（1）所求可得，则由非负数的性质得到，，即，，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵方程与关于x的方程的解相同， ∴是关于x的方程的解， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 5．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，导致其看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？ (1)小明猜想“”部分是，请你算一算的值； (2)小明翻看了书后的答案，此方程的解是．请你算一算这个常数应是多少． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、未知数系数化为1． （1）代入 ，解方程即可； （2）设常数为y，把代入解关于y的方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：设常数为y，把代入得：， 解得：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（21-22七年级上·浙江温州·期末）（1）计算：； （2）； （3）已知关于x的方程，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 【答案】（1）（2）；（3）当时，方程的解为：；当时，方程的解为：；当时，方程无解 【分析】本题考查了解绝对值方程，绝对值的性质以及绝对值的运用，灵活运用分类讨论是解决本题的关键． （1）把进行分类讨论，分为、，，然后分别化简绝对值，进行计算即可； （2）先化简最外面的，得或，再化简里面的绝对值，得或，进行计算即可； （3）把进行分类讨论，分为、，，然后分别化简绝对值，进行计算即可； 【详解】解：（1）①当时， ∴ ∴， ∴， 解得； 此时方程的解为：x=1； ②当时， ∴ ∴， 此时方程的解为：； ③当时， ∴ ∴|， ∴， 解得：， 此时方程的解为：； 综上所述：此时方程的解为：； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或， 对于，则，即； 对于，则，即； ∴或， 由解得：； 当时，不符合题意，故舍去； 由解得：； 当时，不符合题意，故舍去； 由解得：； 由解得：， 综上所述：方程的解为：； （3）①当时，， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∵， ∴ 解得：， 即当时，方程的解为：； ②当时， ∴， ∴， ∴， 即当时，方程的解为：； ③当时， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 即当时，方程|x-2|+|x-3|=a的解为：； 综上所述：当时，方程的解为：；当时，方程的解为：；当时，方程无解． 2．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）对于有理数，定义一种新运算“*”，规定． (1)计算的值； (2)已知且，求的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程．掌握新运算的法则，是解题的关键． （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）根据新运算的法则，列出方程进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）我们规定：若关于a的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，且，则为“和解方程”．请根据上述规定解答以下问题：已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义和一元一次方程的解以及代数式求值，根据新定义和一元一次方程解的定义得到，，据此推出，，即，，则． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴关于x的一元一次方程的解是， 又∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是， ∴， ∴，， ∴， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 2．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：4． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解 （1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断； （2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解． 【详解】（1） （2）解：， 去分母，得，， 移项，得：， 合并同类页，得：， 解得：． 4 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $