精品解析：天津市第一中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题

高一上学期第二次单元检测 一、单选题（共10题，每题5分） 1. 已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若实数a满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数若关于的方程有6个根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共7題，每题5分） 11. 计算_______. 12. 函数的定义域为________． 13. 若幂函数在上单调递增，则______． 14. 已知函数，则_______. 15. ______． 16. 已知，则______． 17. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 二、解答题（共1题，15分） 18. 已知函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期第二次单元检测 一、单选题（共10题，每题5分） 1. 已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数性质确定图象所过定点. 【详解】令，则，故函数恒过定点. 故选：C 2. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合临界值0、1，即可得解. 【详解】因为在上单调递减， 所以， 因为在上单调递减，且恒成立， 所以， 因为在上单调递减，所以， 综上：. 故选：A. 3. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为函数为奇函数，得从而求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且时，， 所以. 故选：A. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数值的符号以及单调性分析判断即可. 【详解】当时，，可得，故BC错误； 当时，可知在内单调递减，故D错误； 故选：A. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值“1”、“2”分析判断. 【详解】由题意可知：在内单调递减， 可得，即； 在内单调递增，可得，即； 在内单调递减，可得，即； 综上所述：. 故选：B. 6. 已知函数，设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性求解. 【详解】由于函数均为上的单调递增函数， 故在单调递增， 因为， 故，所以. 故选：B. 7. 已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得到，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出解集. 【详解】在上是奇函数，故， 故可变形为，即， 当时，单调递增， 令，解得，故， 结合函数为奇函数，作出的图象，如图所示. 由得或， 由图象得或， 所以或， 即不等式的解集是. 8. 已知函数，若实数a满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知为定义在上的偶函数，且在内单调递增，根据单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为， 若，则，可得， 若，则，可得， 可知为定义在上的偶函数，可得， 又因为当时，在内单调递增，且， 可得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C. 9. 设函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的函数，求出其单调递增区间，再结合集合的包含关系求出范围. 【详解】函数中，，解得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，则，解得， 所以a的取值范围为. 故选：D. 10. 已知函数若关于的方程有6个根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象,令，则原方程可化为在上有2个不相等的实根，再数形结合得解. 【详解】 作出函数的图象如图所示．令，则可化为，要使关于的方程有6个根，数形结合知需方程在上有2个不相等的实根，，不妨设，，则解得，故的取值范围为， 故选B． 【点睛】形如的函数的零点问题与函数图象结合较为紧密，处理问题的基础和关键是作出，的图象．若已知零点个数求参数的范围，通常的做法是令，先估计关于的方程的解的个数，再根据的图象特点，观察直线与图象的交点个数，进而确定参数的范围． 二、填空题（共7題，每题5分） 11. 计算_______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据对数运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 12. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】偶次根式被开方数不为负数，分母不为0，真数大于0，根据这些条件列出的不等式组，则此不等式组的解就是函数的定义域． 【详解】要使函数有意义 所以解得 函数的定义域为． 13. 若幂函数在上单调递增，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数定义和性质列出关于a的方程和不等式即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算得解. 【详解】函数，， 所以. 故答案为：2. 15. ______． 【答案】1 【解析】 【分析】把题目分解为多个部分分别计算，利用对数和指数的性质化简，最后合并结果. 【详解】计算： 根据对数的性质，，所以.代入指数表达式，. 计算： 利用对数的换底公式和幂的性质： ， 所以. 计算： 利用对数的减法法则和幂的性质： ， . 计算： . 把各部分结果代入原式： 故答案为：1. 16. 已知，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】将指数式变为对数式，求出的值，然后利用换底公式即可求解. 【详解】解：因为，所以， 所以， 故答案为：1. 17. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数单调性性质将问题转化为二次函数单调性问题，注意真数大于0. 【详解】令，而为减函数， 所以在上单调递增等价于在上单调递减且恒成立， 即，解得. 故答案为： 二、解答题（共1题，15分） 18. 已知函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，将函数转化为关于的二次函数，从而得解； （2）利用换元法，将不等式转化为关于的二次不等式，解后再利用对数函数的单调性即可得解； （3）利用换元法与参数分离法得到的恒成立问题，再利用函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 因为， 令，由，可知， 函数转化为． 因为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，为． 由，可知当时，取到最大值， 故当时，函数的值域为． 【小问2详解】 由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或. 【小问3详解】 由于对于恒成立， 令，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，所以当时，函数取得最大值，为， 故当时，对于恒成立． 所以的最小值为. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $