5.4 角平分线的性质 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角平分线的性质定理及逆定理，通过角平分线定义作图、点到直线距离作图的导入问题，链接旧知与新知，构建从定义到性质探究的学习支架。 其亮点是以“活动一到三”驱动探究，活动一作图测量发现性质培养几何直观，活动二逻辑证明逆定理发展推理能力，应用环节结合例题与“做一做”强化模型意识。教学方法注重探究与例题解析，课堂评价与总结引导反思，助力学生深化理解、提升能力，为教师提供结构化教学资源。

湘教版八年级数学上册 第5章 直角三角形 5.4 角平分线的性质 导入新课 问题1：角平分线的定义是怎样的？请在练习本上画出一个角，并作出它的角平分线. 角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两个相等的角. 问题2：什么是点到直线的距离？请通过作图说明. 3 高效课堂 活动一：探究角平分线的性质 如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ 问题1：通过以上活动，你能发现什么结论？ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 4 高效课堂 由此可得角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言：因为OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD＝PE. 5 高效课堂 活动二：探究角平分线的性质定理的逆定理 问题1：角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？ 逆命题：若角的内部存在一点到角的两边的距离相等，则这个点在角的平分线上. 你能证明它吗？ 几何语言：如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.如果PD＝PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？ 6 高效课堂 证明：如图，过点O，P作射线OC. 因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO＝∠PEO＝90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， 所以Rt△PDO≌Rt△PEO(斜边、直角边). 所以∠AOC＝∠BOC. 因此OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. 7 高效课堂 由此得到角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言：因为PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，所以OC是∠AOB的平分线. 8 高效课堂 问题2：已知PD⊥OA于点D，PE⊥OB的反向延长线于点E，且PD＝PE，点P在∠AOB的平分线上吗？ 此时点P并不在∠AOB的平分B线上，它在角的外部. 在总结角平分线的性质定理的逆定理时，要注意添加前提条件：点P要在角的内部. 9 高效课堂 活动三：角平分线的性质定理及其逆定理的应用 思考：如图，已知EF⊥CD于点E，EF⊥AB于点F，MN⊥AC于点N，M是EF的中点. 需要添加一个什么条件，就可使CM，AM是∠ACD，∠CAB的平分线呢？ 添加条件MN＝ME即可. 10 高效课堂 因为ME⊥CD，MN⊥CA，MN＝ME，所以点M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.又因为M是EF的中点，所以MF＝ME＝MN.同理可证AM是∠CAB的平分线. 添加条件MN＝MF可以吗？ 添加条件MN＝MF，也可以证明CM，AM是∠ACD，∠CAB的平分线. 11 高效课堂 做一做：任意作一个△ABC，在△ABC内部找一点P，使其到各边的距离相等. 操作1：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三个内角的平分线，观察三条角平分线的交点情况. 发现三条角平分线交于一点. 三条角平分线都需要作出吗？可以减少条数吗？ 所求作的点应在△ABC中任意两个内角的角平分线上，角平分线的条数可以减少到两条即可. 12 高效课堂 操作2：分别过交点作三角形三边的垂线，用直尺测量每条垂线段的长度，观察并讨论发现了什么？ 发现三条垂线段的长度相等. 证明：如图，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC， PF⊥BC，垂足分别为点D，E，F. 因为AP是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC， 所以PD＝PE. 因为BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF⊥BC，所以PD＝PF. 13 高效课堂 所以PD＝PE＝PF.因此P为所求作的点. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 14 高效课堂 活动四：探究例题 15 高效课堂 16 高效课堂 17 课堂评价 A 18 课堂评价 C 19 课堂总结 1.通过本课的学习，你有哪些收获？在学习过程中用到了哪些数学思想方法？ 2.学习了本课，你对角平分线有怎样更深入的认识？请畅所欲言. 3.结合以往经验，如何探究得到新的性质定理，需要经过怎样的步骤？ 20 作业设计 基础性作业：教材例1后面的练习第1，2题，习题5.4前面的练习第1，2题. 提高性作业：教材习题5.4第2，3，5题. 21 谢 谢 $