5.4.1角平分线的性质定理 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角平分线性质定理及判定，从回顾角平分线概念切入，通过尺规作图、折叠纸片等动手操作，引导学生从已有知识自然过渡到新定理探究，搭建清晰的学习支架。 其亮点在于以动手操作培养几何直观，严谨证明过程发展推理意识，课堂小结用表格对比性质与判定规范数学语言。如“动动手”环节让学生折叠观察垂线段关系，“举一反三”结合面积计算应用定理，助力学生直观理解，教师可借分层练习提升教学效率。

湘教版八年级上册5.4.1角平分线的性质定理专项练习 一、核心知识点梳理 1. 角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。角平分线可以实现角度等量拆分，是几何角度换算、全等证明的基础条件。 2. 角平分线性质定理（核心）：角平分线上的点到角两边的距离相等。几何语言：若射线OP平分∠AOB，点P在OP上，且PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE。定理核心是“点在平分线上→垂线段相等”，可直接证线段相等，无需证明全等。 3. 关键概念：点到直线的距离：特指点到直线的垂线段长度，并非任意线段长度。使用性质定理必须满足两个垂直条件，缺少垂直则无法使用该定理，是最核心的解题前提。 4. 定理解题优势：在几何证明中，利用角平分线性质可替代AAS、SAS全等证明，简化解题步骤，快速得出垂线段相等的结论，是初中几何轻量化证明的常用工具。 5. 重难点易错提醒：定理成立三要素：角平分线、点在平分线上、点到角两边的垂线段，三者缺一不可；切勿将斜线段当作距离；性质定理只能证垂线段相等，不能直接证角度相等。 二、专项练习题（满分100分） （一）选择题（每题6分，共30分） 1. 角平分线上的点到角两边的（）相等 A. 线段长度 B. 垂线段距离 C. 任意距离 D. 斜线长度 2. 已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=4，则PN的长为（） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 下列条件中，能直接运用角平分线性质定理的是（） A. 点在角内，任意两条线段相等 B. 点在角平分线上，且到两边垂直 C. 角被射线分成两个角 D. 角内任意一点到两边线段相等 4. 若点P在∠AOB的平分线上，P到OA的距离为5，则P到OB的距离为（） A. 5 B. 10 C. 2.5 D. 无法确定 5. 关于角平分线性质说法错误的是（） A. 必须有垂直条件才可使用 B. 可直接证明垂线段相等 C. 可直接证明角度相等 D. 无需证明全等即可得线段相等 （二）填空题（每题6分，共30分） 6. 角平分线上的点到角两边的________相等。 7. 使用角平分线性质定理，点到角两边的线段必须是________线段。 8. 若射线AD平分∠BAC，点P在AD上，且PE⊥AB，PF⊥AC，则PE________PF。 9. 点到直线的距离是指点到这条直线的________的长度。 10. 角平分线性质定理可以简化________相等的几何证明。 （三）解答题（每题20分，共40分） 11. 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE。 12. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，若DB=6，求DC的长度，并说明理由。 三、参考答案及解析 选择题解析 1. B 解析：角平分线性质定理特指点到角两边的垂线段距离相等，任意线段、斜线均不成立。 2. B 解析：依据角平分线性质，平分线上的点到角两边垂线段相等，PN=PM=4。 3. B 解析：性质定理使用必备条件：点在角平分线上、线段垂直于角的两边，其余选项条件不充分。 4. A 解析：由角平分线性质可得，角平分线上的点到角两边垂线段距离相等，故距离为5。 5. C 解析：角平分线性质定理只能证明垂线段相等，无法直接证明角度相等，C说法错误。 填空题答案 6. 距离 7. 垂直 8. = 9. 垂线段 10. 线段 解答题解析 11. 证明：∵OC平分∠AOB，∴∠DOC=∠EOC。又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。∵点P在∠AOB的平分线OC上，根据角平分线的性质定理，可得PD=PE。 12. 解：DC=6。理由：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，点D在∠BAC的角平分线上，根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴DC=DB=6。 练习总结：本节核心掌握角平分线的性质定理，牢记“平分线上的点，到角两边垂线段相等”的核心结论。解题关键是找准三大条件：角平分线、点在平分线上、两边垂直。本节定理是几何线段相等证明的简便方法，可替代全等证明，大幅简化步骤。高频易错点是忽略垂直条件乱用定理、混淆距离与普通线段，解题时需严格核对定理成立条件。 湘教版（新教材）数学八年级上册 5.4.1角平分线的性质定理 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/19 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第5章 直角三角形 学习目标 学习目标 1.探究并掌握角平分线的性质定理. 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. 我们学过的角的平分线的概念是什么？ 角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角. 几何语言： 所以 OB 平分∠AOC. 如图，因为 回顾导入 O B A 尺规作角的平分线 M N C 观察领悟作法，探索思考证明方法： 画法： 1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N． 2.分别以M，N为圆心．大于 MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C． 3.作射线OC． 射线OC即为所求． 动动手: 将手中的三角形纸片按如下顺序操作，并标好对应字母: ①将∠AOB对折，记折痕为OC ； ②以OA(OB)为直角边剪一个直角三角形； ③展开，观察分析. 推进新课 A O B A O C （B） A D O P C E B A O C （B） P 交流探究 问题一：折痕分得的两个角的大小有什么关系？ 问题二：PD和PE与OA和OB有什么位置关系？它们的长度有什么关系？ 问题三：你能用自己的语言总结角平分线上点的特点吗？ 问题四：你能证明你的结论吗？ A O B A O C （B） A D O P C E B A O C （B） P 如图，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P，作PD ⊥ OA， PE ⊥ OB ，垂足分别为点D，E. 比较线段PD，PE 的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 若将∠AOB 沿角平分线OC 折叠，则可以发现点D 与点E 重合，因而PD与PE 重合，即PD = PE. P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 已知： 一个点在一个角的平分线上. 求证： 验证 这个点到这个角两边的距离相等. C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 A D O P C E B 证明：因为PD⊥OA 于点D，PE⊥OB 于点E， 所以∠PDO =∠PEO = 90°. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO =∠PEO， ∠DOP =∠EOP， OP = OP， 所以△PDO ≌ △PEO（角角边）. 因此 PD = PE. 已知： 一个点在一个角的平分线上. 求证： 这个点到这个角两边的距离相等. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线上的点到角两边的距离相等 几何语言： 文字语言： 角平分线性质定理： 如图，∵OC 是∠AOB 的平分线， P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E， ∴PD = PE. C A B O D E P 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 角平分线上的点到角两边的距离相等 C A B O D E P 1. 如图，为 的平分线， ，，垂足分别是, ,则 下列结论不一定正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 12 2．[娄底市期末]如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是10，CD∶BD＝2∶3，DE＝2，则AC的长是________． 4 举一反三 13 返回 举一反三 针对训练 1. 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4，则 PE = ______. 4 M B C A D E P 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC = 8，则点 P 到 AB 的距离为______. 8 A C P B 针对训练 角平分线上的点到角两边的距离相等 条件： 结论： 点在这个角的角平分线上 这个点到角的两边的距离相等 逆命题： 如果一个点到角的两边的距离相等，那么该点位于角的平分线上。 这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？ C A B O D E P 如图，点P 在∠AOB 的内部，作PD⊥OA ，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 可以通过添加辅助线，构造三角形来证明. A B O D E P C 证明：如图，过点O，P 作射线 OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP， PD = PE， ∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO（HL） ∴∠AOC =∠BOC 因此OC是∠AOB 的平分线，即点 P 在∠AOB 的平分线OC上. A B O D E P C 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： 文字语言： 角的平分线的判定定理： C A B O D E P 位置关系 数量关系 如图，∵P 为∠AOB 内部一点， PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE， ∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB. 归纳总结 所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线 1 角的平分线的性质及判定的关系 点在角的平分线上 角的内部，点到角两边距离相等 性质 判定 2 角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 例1 如图， ∠BAD =∠BCD = 90°，∠1 =∠2.求证： （1）点B在∠ADC 的平分线上； （2）BD 平分∠ABC. 证明：（1）在△ABC中， 因为∠1 =∠2，所以BA = BC. 又BA⊥AD， BC⊥CD， 所以点B 在∠ADC 的平分线上. 例1 如图， ∠BAD =∠BCD = 90°，∠1 =∠2.求证： （1）点B在∠ADC 的平分线上； （2）BD 平分∠ABC. （2）在Rt△BAD 和Rt△BCD 中， BA = BC， BD = BD， 所以Rt△BAD ≌ Rt△BCD（HL）. 因此∠ABD =∠CBD， 从而 BD 平分∠ABC. 返回 8 举一反三 24 4．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，连接AO.若∠AOD＝55°，则∠BAC＝(　　) A．35° B．55° C．60° D．70° D 举一反三 25 返回 举一反三 5. 如图，，， 分别平分 ，，过点，且与垂直，若 ， ，则四边形的面积是____ . 40 返回 举一反三 27 6. 如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC＝10 cm2，则S△ABC等于(　　) A．20 cm2 B．30 cm2 C．25 cm2 D．不能确定 A 举一反三 28 课堂小结 图形 名称 图形语言 文字语言 符号语言 关键词 角平分线 性质定理 判定定理 P C ∵OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E ∴PD = PE 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 一平分， 两个垂直， 得一个相等 P C ∴OP平分∠AOB ∵PD = PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 一相等， 两个垂直， 得一个平分 谢谢观看 THANKS 【点拨】如图，过点D作DF⊥AC于点F.因为AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DF＝DE＝2.因为△ABC的面积是10，CDBD＝23，所以S△ADC＝S△ABC＝×10＝4，所以S△ADC＝AC·DF＝AC×2＝4，解得AC＝4. 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC.以点A为圆心，任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G.若AB＝8 cm，则△BFG的周长等于________cm. 【点拨】因为CD⊥AB，BE⊥AC，所以∠ODA＝∠ODB＝∠OEC＝90°.在△BOD和△COE中，所以△BOD≌△COE(角角边)，所以OD＝OE.又因为CD⊥AB，BE⊥AC，点O在∠BAC的内部，所以AO平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠OAB.因为∠ODA＝90°，∠AOD＝55°，所以∠OAB＝90°－55°＝35°，所以∠BAC＝2×35°＝70°，故选D. $